2.1-時(shí)域數(shù)學(xué)模型

2-2復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型2-1時(shí)域數(shù)學(xué)模型概述2-3信號(hào)流圖第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型概述1、數(shù)學(xué)模型的定義3、建立數(shù)學(xué)模型的方法2、建立數(shù)學(xué)模型的意義4、建立數(shù)學(xué)模型的工具1、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的定義

描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量(或變量)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為數(shù)學(xué)模型。物理模型任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。電子放大器看成理想的線性放大環(huán)節(jié)。通訊衛(wèi)星看成質(zhì)點(diǎn)。2、數(shù)學(xué)模型的意義

對(duì)系統(tǒng)行為進(jìn)行控制的基礎(chǔ)

研究系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律的基礎(chǔ)

定量研究的基礎(chǔ)

對(duì)系統(tǒng)未來進(jìn)行預(yù)測的基礎(chǔ)3、建立數(shù)學(xué)模型的方法解析法根據(jù)具體系統(tǒng)服從的規(guī)律，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具列出各變量間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)法在系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)系復(fù)雜時(shí)，為達(dá)到某種目的，可以通過實(shí)驗(yàn)手段，測量該系統(tǒng)的輸入輸出，然后運(yùn)用系統(tǒng)辨識(shí)的手段，構(gòu)建出一個(gè)近似的數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)法－:基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法已知知識(shí)和辨識(shí)目的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)--選擇實(shí)驗(yàn)條件模型階次--適合于應(yīng)用的適當(dāng)階次參數(shù)估計(jì)--最小二乘法模型驗(yàn)證—將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近微分方程差分方程傳遞函數(shù)4、建立數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)工具拉氏變換傳遞函數(shù)，Z變換傳遞函數(shù)其他數(shù)學(xué)工具（如RoughSet，Petri等）“三域”數(shù)學(xué)模型及其相互關(guān)系

微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性分別是系統(tǒng)在時(shí)間域、復(fù)數(shù)域和頻率域中的數(shù)學(xué)模型。人們?cè)谘芯糠治鲆粋€(gè)控制系統(tǒng)的特性時(shí)，可以根據(jù)對(duì)象的特點(diǎn)和工程的需要，人為地建立不同域中的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行討論。習(xí)慣上把用微分方程的求解、分析系統(tǒng)的方法稱為數(shù)學(xué)分析法，把用傳遞函數(shù)、頻率特性求解、分析系統(tǒng)的方法稱為工程分析法。一般來說，工程分析法比數(shù)學(xué)分析法直觀、方便，這也是我們引入復(fù)域、頻域數(shù)學(xué)模型的主要原因。2-1時(shí)域數(shù)學(xué)模型一、線性元件的微分方程二、線性系統(tǒng)的特性三、線性定常微分方程的求解（拉氏變換法）五、運(yùn)動(dòng)的模態(tài)（振型）Mode四、非線性微分方程的線性化LRCUr(t)U0(t)根據(jù)基爾霍夫電壓定律合并，整理例2-1RLC

無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程一、線性元件的微分方程[例2-2]求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfF圖1Fm圖2根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個(gè)兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：[需要討論的問題]：相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到例2-1的微分方程形式是完全一樣的。這是因?yàn)椋喝袅?電荷)，則例2-1的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢?，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)仿真研究。二、線性系統(tǒng)的特性1、線性系統(tǒng)的性質(zhì)可疊加性均勻性（或奇次性）若則

在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應(yīng)用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。2、線性系統(tǒng)性質(zhì)的應(yīng)用多個(gè)外作用產(chǎn)生的響應(yīng)可通過逐個(gè)外作用響應(yīng)的疊加。

零輸入和零初始條件響應(yīng)合成得到非零響應(yīng)。

系統(tǒng)對(duì)輸入和干擾分別研究。

只有線性時(shí)不變微分方程才能運(yùn)用Laplace變換為代數(shù)方程。三、非線性微分方程的線性化在實(shí)際工程中，幾乎所有的器件、系統(tǒng)都是非線性的，完全線性的幾乎沒有。（1）許多情況下，在一定工作范圍，一定精度范圍下，可以近似看作是線性。（2）嚴(yán)重非線性情況下，在工作點(diǎn)附近，可以局部的線性化。在該點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開局部線性化－切線法（小偏差法）連續(xù)變化的非線性函數(shù)：增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有17寫出增量線性化微分方程略去增量符號(hào)，便得到函數(shù)在工作點(diǎn)A附近的線性化方程：顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點(diǎn)附近展開。

18對(duì)于具有兩個(gè)自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點(diǎn)附近展開。設(shè)雙變量非線性方程為：，工作點(diǎn)為。則可近似為：式中：，。 為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)。[注意]：⑴上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性(如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等)，它是可以用泰勒級(jí)數(shù)展開的。⑵實(shí)際的工作情況在工作點(diǎn)附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點(diǎn)附近的非線性情況及變量變化范圍有關(guān)。四、線性定常微分方程的求解（拉氏變換法）微分方程的解法直接解析法（分離變量法）適用于少量簡單的情況

Laplace變換解析法僅適用于線性時(shí)不變情況狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣法僅適用于線性時(shí)不變情況數(shù)值法適用于所有情況本節(jié)討論用Laplace變換法解線性時(shí)不變微分方程

例2-6

已知L=1H,C=1F,R=1歐姆，且電容上的初始電壓U0(0)=0.1V，初始電流i(0)=0.1A，電源電壓ur(t)=1V。求電路突然接通電源時(shí)，電容電壓u0(t)的變化規(guī)律。LRCUr(t)U0(t)解：【RLC無源網(wǎng)絡(luò)微分方程】為：令據(jù)Laplace變換的微分性質(zhì)待入整理得：其中：由輸入電壓產(chǎn)生的輸出分量與初始條件無關(guān)零初始條件響應(yīng)零輸入響應(yīng)由初始條件產(chǎn)生的輸出分量與輸入電壓無關(guān)零初始條件響應(yīng)＋零輸入響應(yīng)＝單位階躍響應(yīng)【Laplace法解線性定常微分方程歸納】（2）由代數(shù)方程求出輸出量的拉氏變換表達(dá)式，使之成為典型分式之和；（3）反Laplace變換得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式。（1）考慮初始條件，對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s的代數(shù)方程；五、運(yùn)動(dòng)的模態(tài)（振型）Mode（1）定義：所謂模態(tài)，即齊次微分方程的獨(dú)立解，n階微分方程有n個(gè)