三角函數(shù)解答題十一大題型（老師版）

題型1識圖問題 1題型2單調(diào)性問題 7題型3對稱軸與對稱中心問題 14題型4值域問題 題型5最值問題 題型6湊角求值問題 題型7方程的根問題 46題型8零點問題 題型9恒成立問題 題型10有解問題 題型11實際應(yīng)用問題 801.注意正余弦"第一零點"和"第二零點"的區(qū)別和聯(lián)系.正弦“第一零點”：x=2kπ;正弦“第二零點”：x=π+2kπ.余弦"第一零點"：x=-+2kx；余弦"第二零點"：x=+2kπ2.【例題1】（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考階段練習）已知函數(shù)fx=2sin(wx+φ(0<φ<的部分圖像如圖，該圖像與Y軸交于點A(0,3)，與x軸交于點B，C兩點，D為圖像的最高點，且△BCD的面積為.（1）求fx的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若將fx的圖像向右平移個單位，再將所得圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變得到函數(shù)gx的圖像，若gα=<α<π)，求sinα+的值.【詳解】分析1）由△BCD的面積為可得T=π,w=2，由f0=2sinφ=3，從而可解得φ的值，從而解得fx=2sin2x+，由?+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z，即可求得fx的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)；（2）由題意易知gx=2sinx+，從而有sinα+=，再利用兩角和的正弦公式即可.詳解1）因為函數(shù)fx=2sin(wx+φ)的最大值為2，故△BCD的面積S=×BC×2=，∴BC=，所以函數(shù)fx的周期T=π,即w=2，由函數(shù)fx的圖像與y交于點A(0,3)，得f0=2sinφ= 所以fx=2sin2x+.所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?+kπ,+kπI(k∈Z).（2）由題意易知gx=2sinx+，∵gα=，得sinα+=，∴cos(α+35所以sinα+=sinα++=sinα+cos+cosα+點睛：本題考查由y=Asin(wx+φ)的部分圖像確定其解析式，考查三角函數(shù)間的基本關(guān)系與兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)的平移變換，屬于中檔題【變式1-1】1.（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)sinwx+coswx的周期為4.(1)求fx的解析式；(2)將fx的圖像沿x軸向右平移個單位得到函數(shù)gx的圖像，p，Q分別為函數(shù)gx圖像的最高點和最低點(如圖求∠OQp的大小.【答案】(1)fx=3sinx+(2)∠OQp=【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為fx=3sinwx+，根據(jù)函數(shù)的周期為4=，求得w的值，可得fx的解析式；（2）由條件根據(jù)y=Asin(wx+φ)的圖像變換規(guī)律，可得函數(shù)gx=3sinx，求出p，Q的坐標，可得OP=2，PQ=4，OQ=12，利用余弦定理求得cosθ的值，從而得θ的值.fx=sinwx+coswx，=3sinwx+coswx)，=3sinwxcos+coswxsin，=3sin(wx+，∴fx=3sinx+.將fx的圖像沿x軸向右平移個單位得到函數(shù)gx=3sinx)，∵P，Q分別為該圖像的最高點和最低點，∴P(1,3，Q3,?3)，∴∠OQP=.【變式1-1】2.（2022湖南長沙·統(tǒng)考一模）如圖是函數(shù)f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,φ<)圖像的一部分.（1）求出A,w,φ的值；（2）當x∈(0,)時，求不等式的解集.【分析】（1）由三角函數(shù)的圖像確定函數(shù)f(x)=Asin(wx+φ)的步驟①求A：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A=;②求w，確定函數(shù)的周期T，則w=;③求φ,一般來說，先找最大值點及最小值點，其次找零點，一定要確定好是第一個零點還是第二個零點，以便正確的求出φ值；（2）求三角不等式的解集，一般要把三角函數(shù)化為Asin(wx+φ)等于一個常數(shù)的形式，進行求解.【詳解】（1）由圖可知，該函數(shù)的最大值M=2和最小值m=該函數(shù)周期T=4×=2，得f=2sin（2）由2sin2x>4sin2x?2?sin2x+cos2x>0?sin(2x+)>0由x∈(0,)得2x+∈(,,∴<2x+<π?x∈(0,).【變式1-1】3.（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=Asin(wx+φ)(x∈R,A>0,w>0,0<φ<圖像如圖，P是圖像的最高點，Q為圖像與x軸的交點，O為原點．且OQ=2，OP=5PQ=13（1）求函數(shù)y=fx的解析式；（2）將函數(shù)y=fx圖像向右平移1個單位后得到函數(shù)y=gx的圖像，當x∈0,2時，求函數(shù)?x=fx·gx的最大值.【答案】（1）fx=sinx+（2）?maxx=.【分析】（1）運用余弦定理，解△OPQ，算出P點的坐標，求得A，w,φ;（2）根據(jù)函數(shù)平移性質(zhì)，求出gx的解析式，對?x進行恒等變換，用輔助角公式將?x變?yōu)閱我坏娜呛瘮?shù)式即可求解.【詳解】(1)由余弦定理，得cos∠POQ=OP+OQiPQ2=，sin∠POQ=，∴fx=sinx+，(2)由題意，gx=fx?1=sinx，?x=fx·gx=sinx+sinx=sin2x+sinxcosx=+sinx=sinx?+，當x?=即x=1時，?maxx=；綜上，fx=sinx+，?x的最大值為.【變式1-1】4.（2022秋·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┖瘮?shù)fx=sin(wx+φ)(w>0,φ<π)的部分圖象如圖所示，其中MN//x軸.π8(1)求函數(shù)y=fx的解析式；π8(2)將y=fx的圖像向右平移個單位，再向上平移2個單位得到y(tǒng)=gx的圖像，求g的值.【答案】(1)fx=sin2x?)【分析】（1）根據(jù)圖象可求函數(shù)的對稱方程及T，故可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象平移可求gx的解析式，故可求g的值.【詳解】（1）由圖象可得函數(shù)圖象的一條對稱軸為故×=+=，故w=2，故fx=sin(2x+φ)，而φ故φ=?故f=sin（2）將y=fx的圖像向右平移個單位，再向上平移2個單位得到y(tǒng)=gx的圖像，故gx=sin2x??+2=?sin2x?+2，函數(shù)Y=sinxY=cosxY=tanx單調(diào)性[?+2kπ,+2kπ](kEZ)上遞增；[+2kπ,+2kπ](kEZ)上遞減[?π+2kπ,2kπ](kEZ)上遞增；[2kπ,π+2kπ](kEZ)上遞減kπ)(kEZ)上遞增【例題2】（2023秋·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）設(shè)函數(shù)fx=sinxsinx+?cos2x+.（1）求fx的最小正周期、最大值及取最大值時x的取值集合；（2）討論fx在區(qū)間?,上的單調(diào)性.【答案】（1）最小正周期π;當x=kπ+,k∈Z時，最大值為2）遞增區(qū)間為?,，遞減區(qū)間為?,?,,.【分析】（1）由三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)fx=sin2x?,再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）由x∈?,，可得?≤2x?≤,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由題意，函數(shù)fx=sinxsinx+cosx)?cos2x+ =+sin2x?+=sin2x?cos2x=sin2x?,所以fx的最小正周期T==π,當2x?=2kπ+,k∈Z，即x=kπ+,k∈Z時，fx)取最大值為.結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得：當?≤2x?≤,即?≤x≤,函數(shù)fx單調(diào)遞增；當≤2x?≤,即≤x≤,函數(shù)fx單調(diào)遞減，綜上可得，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?,，單調(diào)遞減區(qū)間為?,?與,上單調(diào)遞減.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的恒等變換，求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.ω>0與其圖象的對稱軸x=相鄰的f（x）的個零點為.（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[,【答案】(1)fx在區(qū)間?,上單調(diào)遞增.(2)a=3,b=3【分析】（1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得ω的值，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[,]上的單調(diào)性.（2）利用兩個向量垂直的性質(zhì)，求出C，再利用正弦定理求得b=3a．再利用余弦定理，【詳解】（1）fx=3sin2wx+1+cos2wx?1=sin(2wx+，∵與fx圖像的對稱軸x=相鄰的fx的零點為，∴fx=sin2x+，則函數(shù)y=sinz單調(diào)增區(qū)間是?+2kπ,+2kπ,k∈Z.∴?+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為?+kπ,+kπl(wèi)，k∈Z.當k=0時，fx單調(diào)增區(qū)間為?,,所以f(x)在區(qū)間?,上單調(diào)遞增.（2）fC=sin2C+?1=0，則sin(2C+=1.即sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a①,由余弦定理得c2=a2+b2?2abcos，由①②解得a=3,b=3.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩個向量垂直的性質(zhì)，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題【變式2-1】2.（2022·天津河西·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fx=cos2x+3sinxcosx?x∈R)（1）求fx的最小正周期；（2）討論fx在區(qū)間?,上的單調(diào)性；【答案】（1）π.（2）fx在區(qū)間?,上單調(diào)遞增；在區(qū)間[,上單調(diào)遞減.【分析】（1）根據(jù)題意，利用三角恒等變換化簡f(x)為標準正弦型三角函數(shù)，利用最小正周期求解公式即可求得結(jié)果；（2）先求得f(x)在R上的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合區(qū)間?,，即可求得結(jié)果.fx=cos2x+3sinxcosx?=+sin2x?=sin2x+所以T=2π=π. w所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?+kπ,+kπ,k∈Z.所以當x∈?,時，fx)在區(qū)間?,上單調(diào)遞增；在區(qū)間,上單調(diào)遞減.【點睛】本題考查利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)解析式，以及用公式法求正弦型三角函數(shù)的最小正周期，用整體法求正弦型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬綜合中檔題(1)求f(x)的最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性.【答案】(1)T=π(2)f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增，在區(qū)間,上單調(diào)遞減.【分析】（1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得fx的最小正周期；（2）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求0,上單調(diào)區(qū)間，即得fx在區(qū)間0,上的單調(diào)性.fx,=sinx+3cosx?cosx=sinxcosx+3cos2x，∵x∈0,，∴fx在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，故fx在區(qū)間,上單調(diào)遞減【變式2-1】4.（2022秋·四川雅安·高三雅安中學(xué)階段練習）已知函數(shù)fx=23sinxcosx?2cos2x+1.(1)求fx的最大值和對稱中心坐標；(2)討論fx在0,π上的單調(diào)性.【答案】(1)最大值為2，對稱中心為：+,0)k∈Z)(2)遞增區(qū)間：0,和,π;遞減區(qū)間：,【分析】（1）由正余弦的倍角公式和降冪公式，f(x)可化簡為fx=2sin2x?,可知最大值為2，對稱中心由2x?=kπ求解即可；（2）先求得fx最大增區(qū)間與減區(qū)間，再與0,π求交集，即可求得單調(diào)性.【詳解】（1）fx=3sin2x?cos2x=2sin2x?,所以最大值為2，由2x?=kπ,解得x=+，所以對稱中心為：+,0)ck∈Z)；（2）先求fx的單調(diào)增區(qū)間，由?+2kπ≤2x?≤+2kπ,k∈Z，解得?+kπ,+kπ,k∈Z，在0,π上的增區(qū)間有0,和,π].同理可求得fx的單調(diào)減區(qū)間+kπ,+kπ,k∈Z，在0,π上的減區(qū)間有,.故fx的遞增區(qū)間：0,和,π1；遞減區(qū)間：,【變式2-1】5.（2022春·安徽安慶·高三階段練習）已知函數(shù)f(x)=sinx·(2cosx?sinx)+cos2x.（1）討論函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)性；（2）設(shè)<α<，且f(α)=?,求sin2α的值.【答案】（1）f(x)在區(qū)間[0,]、[,π]上遞增，在區(qū)間[,]上遞減2.【詳解】（1）將函數(shù)化簡得f(x)=2sin(2x+)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可求出函數(shù)f(x)在區(qū)間<，所以可求出cos(2α+)=?,由sin2α=sin[(2α+)?]展開即可.試題解析1）f(x)=sin2x?sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+)，當2x+∈[,]即x∈[0,]時，f(x)遞增；當2x+∈[,]即x∈[,]時，f(x)遞減；當2x+∈[,]即x∈[,π]時，f(x)遞增.綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]、[,π]上遞增，在區(qū)間[,]上遞減.（2）由f(α)=?,即2sin(2α+)=?,得sin(2α+)=?,因為<α<，所以<2α+<，可得cos(2α+)=?,則sin2α=sin[(2α+)?]=sin(2α+)?cos(2α+)【點睛】本題考查三角恒等變換、函數(shù)的的單調(diào)性，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，具有一定的綜合性，屬于中等題型.第一小題先將函數(shù)化簡，再求出在R上的單調(diào)性，再求出[0,π]上的單調(diào)性；第二小題求出sin(2α+)，再求出cos(2α+)，再利用湊角法和兩角和差公式即可求得正解.函數(shù)y＝Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)(1)奇偶性：φ=kπ(k∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(ωx+φ)為奇函數(shù)；φ=kπ+∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(2)周期性：y＝Asin(ωx+φ)存在周期性，其最小正周期為(3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sint和t=ωx+φ(ω>0)的單調(diào)性來研究，由＋2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得單調(diào)增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx+φ≤+2kπ得單調(diào)減區(qū)間.(4)對稱性：利用y＝sinx的對稱中心為(kπ,0)(k∈Z)來解，令ωx+φ=kπ(k∈Z)，求得其對稱中心.利用y＝sinx的對稱軸為x＝kπ+來解，令ωx+φ=kπ+得其對稱軸【例題3】已知函數(shù)fx=2cosx(sinx?cosx)+1,x∈R(1)求函數(shù)fx的對稱軸和對稱中心；(2)當x∈,，求函數(shù)fx的值域.【答案】(1)函數(shù)fx的對稱軸為,k∈Z，對稱中心(2)?1,2kπ2,k∈Z【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡fx，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)運算求解；（2）采用整體替換的方法，先確定出2x?的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)確定出最值，由此求解出fx的值域.【詳解】（1）因為fx=2cosx(sinx?cosx)+1=2sinxcosx?(2cos2x?1)=sin2x?4cos2x=2sin2x?π4令2x?=kπ,k∈Z，解得x=+,k∈Z；所以函數(shù)fx的對稱軸為x=+,k∈Z，對稱中心+,0),k∈Z.當2x?=，即x=時，函數(shù)fx取到最大值2；當2x?=，即x=時，函數(shù)fx取到最小值?1；所以函數(shù)fx的值域為[?1,2].【變式3-1】1.（2022秋·天津靜?！じ呷o海一中?？茧A段練習）已知函數(shù)f(x)=2sinwxcoswx+3+3cos2wx?3+1.將周期為π的函數(shù)fx圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為gx.(1)求gx的單調(diào)區(qū)間；(2)求gx圖像的對稱軸方程和對稱中心坐標.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析【分析】（1）先求得函數(shù)fx解析式，進而得到函數(shù)gx解析式，利用代入法去求gx的單調(diào)區(qū)間；（2）利用代入法去求gx的圖像的對稱軸方程和對稱中心坐標.【詳解】（1）f(x)=2sinwxcoswx+3+3cos2wx?3+1=sin2wx+3cos2wx?+1=2sin(2wx+)?+1則g(x)=2sin(wx+)?+1由函數(shù)fx周期為π,可得=π,解之得w=±1當w=1時，g(x)=2sin(x+)?+1則gx的單調(diào)增區(qū)間為?+2kπ,+2kπ,k∈Z由+2kπ≤x+≤+2kπ,可得+2kπ≤x≤+2kπ則gx的單調(diào)減區(qū)間為+2kπ,+2kπ,k∈Z當w=?1時，g(x)=2sin(?x+)?+1=2sin(x+)?由?+2kπ≤x+≤+2kπ,可得?+則gx的單調(diào)增區(qū)間為?+2kπ,?+2kπ,k∈Z由+2kπ≤x+≤+2kπ,可得?+2kπ≤x≤+2kπ則gx的單調(diào)減區(qū)間為?+2kπ,+2kπ,k∈Z（2）當w=1時，g(x)=2sin(x+)?+1由x+=+kπ,可得x=+kπ則g(x)的對稱軸方程為x=+kπ,k∈Z則g(x)的對稱中心為?+kπ,?+1)，k∈Z當w=?1時，g(x)=2sin(?x+)?+1=2sin(x+)?則g(x)的對稱軸方程為x=?+kπ,k∈Z則g(x)的對稱中心為?+kπ,?+1)，k∈Z【變式3-1】2.（2022秋·江蘇蘇州·高三蘇州市第五中學(xué)校開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=5sinxcosx?53cos2x+(x∈R).(1)求f(x)的周期和最值；(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)寫出f(x)的圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標.【答案】（1）π,f(x)max=5，f(x)min=?52）[?+kπ,+kπ](k∈Z)3）對稱軸方程是x=+k∈Z，(+,0)(k∈Z)【分析】（1）化簡函數(shù)f(x)=5sinxcosx?53cos2x+=5sin(2x?)，由T=即可得到周期；當2x?=+2kπ(k∈Z)與當2x?=?+2kπ(k∈Z)時取得最值，從而求得答案；（2）由?+2kπ≤2x?≤+2kπ(k∈Z)即可得到f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（3）由2x?=+kπ(k∈Z)得f(x)的圖象的對稱軸方程；由2x?=kπ(k∈Z)可得f(x)的圖象的對稱中心坐標.【詳解】f(x)=5sinxcosx?53cos2x+=sin2x?(1+cos2x)+=5sin(2x?).(1)T==π;當2x?=+2kπ(k∈Z)即x=+kπ(k∈Z)時，f(x)max=5；當2x?=?+2kπ(k∈Z)即x=+kπ(k∈Z)時，f(x)min=?5.故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為：[?+kπ,+kπ](k∈Z).(3)由2x?=+kπ(k∈Z)得x=+k∈Z).故f(x)的圖象的對稱軸方程是x=+k∈Z)；由2x?=kπ(k∈Z)得x=+(k∈Z).f(x)的圖象的對稱中心坐標是(+,0)(k∈Z).【變式3-1】3.（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=2asin2x+2sinxcosx?a的圖象過點(0,?3).（1）求常數(shù)a；（2）求函數(shù)f(x)的最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標；（3）當x∈[0,]時，求函數(shù)f(x)的值域.【詳解】試題分析1）把點(0,?3)代入函數(shù)表達式即可求得a的值2）首先利用倍角公式下兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)解析式，然后利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答3）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可.（2）f(x)=23sin2x+sin2x?3=sin2x?3cos2x=2sin(2x?).周期T=π;單調(diào)增區(qū)間[?+kπ,+kπ](k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間[+kπ,+kπ](k∈Z).對稱軸x=+(k∈Z)；對稱中心(+,0)(k∈Z).所以?3≤2sin(2x?)≤2，故f(x)的值域為[?3,2].考點：1、倍角公式；2、兩角差的正弦函數(shù)；3、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)【變式3-1】4.（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習）設(shè)函數(shù)fx=cos2x??3cos2x?.(1)求fx的最小正周期及其圖象的對稱中心；(2)若x0∈,且fx0=?,求cos2x0的值.【答案】(1)最小正周期為π,對稱中心為+,?k∈Z)【分析】（1）展開化簡fx=sin2x??,最小正周期為π,令2x?=kπk∈Z)對稱中心為+,?k∈Z)；（2）根據(jù)fx0=?,求得sin2x0?=，配湊cos2x0=cosI(2x0?+從而帶入求值.【詳解】（1）因為fx=cos2x??3cos2x?所以fx的最小正周期為T==π.令2x?=kπk∈Z)，解得x=+k∈Z)，所以fx的對稱中心為+,?k∈Z)（2）因為fx0=?,即fx0=sin2x0??=?,所以sin2x0?=，因為x0∈,，所以2x0?∈,π,所以cos(2x0?)=?1?sin2(2x0?=?,所以cos2x0=cosI(2x0?+=cos2x0?cos?sin2x0?sin【變式3-1】5.已知向量=(sinwx+coswx,sinwx)，向量=(sinwx?coswx,23coswx)，設(shè)函數(shù)fx=+1x∈R的圖象關(guān)于直線x=對稱，其中常數(shù)w∈(0,2).(1)求函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)fx的圖象向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)gx的圖象，求出函數(shù)gx對稱中心.【答案】(1)kπ+,kπ+(k∈Z)(2)(,0)(k∈Z)【分析】（1）先通過向量的數(shù)量積及降冪公式進行化簡，利用關(guān)于直線x=對稱，求出參數(shù)w=1，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間求解；（2）直接將函數(shù)進行平移得到gx，再按照正弦函數(shù)的對稱中心求解.(1)∵向量=(sinwx+coswx,sinwx)，向量=(sinwx?coswx,23coswx)，π62sin2wx?)+1.π6∵圖象關(guān)于直線x=對稱，其中常數(shù)w∈(0，2).∴f(x)=2sin2x?+1，∵令2kπ+≤2x?≤2kπ+π(k∈Z)，得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)，∴f(x)=2sin2x++的單調(diào)減區(qū)間為kπ+,kπ+(k∈Z).(2)將函數(shù)fx的圖象向左平移個單位，得y=2sin2x+π?π+1=2sin2x+1.再向下平移1個單位后得到函數(shù)gx=2sin2x.令2x=kπ(k∈Z)，則有x=,(k∈Z)，求三角函數(shù)值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函數(shù)的最值或值域問題時，利用正、余弦函數(shù)的有界性(－1≤sinx≤11≤cosx≤1)求解．求三角函數(shù)取最值時相應(yīng)自變量x的集合時，要注意考慮三角函數(shù)的周期性.(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令t＝sinx(或cosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性.【例題4】（2023春·陜西寶雞·高三?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)=2sin(1)列表并畫出y=fx，x∈?2,10的圖象；(2)求函數(shù)gx=f(1+x+f4?x)在區(qū)間0,6上的值域.【答案】(1)答案見解析(2)?2,22.【分析】（1）根據(jù)五點作圖法畫出圖象.（2）化簡gx的解析式，根據(jù)三角函數(shù)值域的求法求得正確答案.πx+π0π2π2x147y0200作圖：（2）由已知gx=f1+x+f4?x)=2sinx++2sinπ?x)=2cosπx+2sinπx=22sinπx+π∴?2≤gx≤22，∴函數(shù)gx=f(1+x+f4?x)在區(qū)間0,6上的值域是[?2,22【變式4-1】1.（2023秋·河南·高三鄭州一中校聯(lián)考階段練習）設(shè)函數(shù)fx=sinx+2cosx.(1)是否存在m>0，使得fx=f(m?x)對?x∈R恒成立？若存在，試給出一個符合題意的實數(shù)m并加以證明；若不存在，請說明理由；(2)若x∈?,πI時，求fx的值域.【答案】(1)存在，取m=(2k+1πk∈Z)中任意一個值；(2)1?,5l.【分析】（1）由題可得f(2k+1)π?x=f(x)，進而即得；（2）利用（1）可得fx在?,π上的值域即為fx在?,上的值域，然后利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】（1）取m=(2k+1πk∈Z)中任意一個值即可，證明如下：因為f[(2k+1)π?x]=sin(2kπ+π?x)+2cos2kπ+π?x)l=sinx+2cosx=fx，所以m=(2k+1πk∈Z)符合題意.（2）由（1）可知，fx=f(π?x)恒成立，所以fx在,π上的值域與fx在0,上的值域相同.因此fx在?,π上的值域即為fx在?,上的值域，當x∈?,時，cosx≥0，所以fx=sinx+2cosx=5sinx+φ,其中tanφ=2，,所以f(x)min=minf?,f=1?,f(x)max=5所以fx在?,π上的值域為1?,5.,【變式4-1】2.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx=sinxcosx?3cos2x+.（1）求函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)fx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)gx的圖象，求函數(shù)?x=fx+g2x在x∈,的值域.【分析】（1）通過降冪公式和輔助角公式將函數(shù)f（x）化簡，進而求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先通過圖象變換求出函數(shù)g（x進而通過降冪公式和輔助角公式將函數(shù)h（x）化簡，進而求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）fx=sin2x?3+=sin2x?cos2x=sini2x?)，令+2kπ≤2x?≤+2kπk∈Z,則+kπ≤x≤+kπk∈Z,∴函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為：+kπ,+kπ(k∈Z).（2）將函數(shù)fx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=sinx?的圖象，再將圖象向左平移個單位，得到gx=sinx+?=sinx?的圖象，∴?x=sin2x?+sin2x?=sin2x?+=sin2x?+，∵x∈π,7π∴2x?7π∈?π,7π∴sin2x?7π∈?即?x)的值域為：0,.【變式4-1】3.（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）在△ABC中，A+B=2C且cosA+sinB=sinA+cosB.(1)求角B的大?。?2)設(shè)函數(shù)fx=2cosxsinx+?2sin2xsinB+3sinxcosxcos(2A+C)，當x∈,時，求f(x)的值域.【答案】(1)B=【分析】（1）根據(jù)A+B=2C解得C=，然后根據(jù)三角恒等變化求解角B的大?。唬?）化簡函數(shù)解析式，然后利用整體代入法求解函數(shù)的值域；所以C=.因為cosA+sinB=sinA+cosB，所以cosA?sinA=cosB?sinB，根據(jù)三角恒等式變化，2cosA+=2cosB+,解得：A=B，所以B+B+=π,即B=.（2）fx=2cosxsinx+?2sin2xsinB+3sinxcosxcos(2A+C)=2cosxsinx+cosx)?3sin2x?3sinxcosx=3cos2x?3sin2x?2sinxcosx=?sin2x+3cos2x=2cos(2x+，則fx的值域為?,?1.【變式4-1】4.（2023春·陜西西安·高三西安中學(xué)?？茧A段練習）已知函數(shù)fx=sin(π?wx)coswx+cos2wxw>0，y=fx的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求w的值；(2)將函數(shù)y=fx的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)y=gx的圖象，求函數(shù)y=gx在區(qū)間0,上的值域.【答案】(1)1(2)0,【分析】（1）根據(jù)題意利用二倍角公式和輔助角公式可得fx=sin(2wx++，又知周期為T=π即可得w=1；（2）根據(jù)三角函數(shù)平移規(guī)則可得gx=sin4x++，利用整體代換即可求得其在區(qū)間0,上的值域.fx=sinwxcoswx+cos2wx=sin2wx+=sin2wx++；由題意可得=，即T=π（2）由（1）知fx=sin2x++由平移規(guī)則可得gx=sin4x++，當x∈0,時，4x+∈,由正弦函數(shù)單調(diào)性可知?≤sin4x+≤1，所以gx=sin4x++∈0,即函數(shù)y=gx在區(qū)間0,上的值域為0,【變式4-1】5.已知數(shù)f(x)=3sinwx++2sin2+)?1(w>0)的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求f(x)的解析式；（2）將函數(shù)f(x)的圖像向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，當x∈?,時，求函數(shù)g(x)的值域.（3）對于第（2）問中的函數(shù)g(x)，記方程g(x)=在x∈,，上的根從小到依次為x1,x2,?xn，試確定n的值，并求x1+2x2+2x3+?+2xn?1+xn的值.【分析】（1）利用降冪公式與輔助角公式化簡f(x)，再根據(jù)相鄰兩對稱軸間的距離為，所以T=π求解w即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到g(x)=2sin4x?,再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解值域即可；（3）結(jié)合三角函數(shù)圖象，畫圖分析x1,x2,?xn的位置，再根據(jù)對稱性的性質(zhì)結(jié)論求解即可【詳解】（1）由題意，函數(shù)f(x)=3sin(wx+)+2sin2wx+)?1=3sin(wx+)?cos(wx+)=2sinwx+?=2sinwx因為函數(shù)f(x)圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以T=π,可得w=2.故f(x)=2sin2x（2）將函數(shù)f(x)的圖像向右平移個單位長度，可得y=2sin2x?的圖像.再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)y=g(x)=2sin4x?的圖像.當4x?=?時，函數(shù)g(x)取得最小值，最小值為?2，當4x?=時，函數(shù)g(x)取得最大值，最大值為3，故函數(shù)g(x)的值域[?2,3].（3）由方程g(x)=，即2sin4x?=，即sin4x?=，結(jié)合正弦函數(shù)y=sinθ的圖像，可得方程sinθ=在區(qū)間其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π即4x1?+4x2?=3π,4x2?+4x3?=5π,4x3?+4x4?=7π,4x4?+4x5?解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=【變式4-5】6.（2022·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)f(x)=sinx?cosx(x∈R).(1)求函數(shù)y=f(x)?f(?x)的最小正周期及其對稱中心；2(2)求函數(shù)y=[f(x)]2+fx+在?,上的值域.2【答案】(1)周期π,對稱中心為+,0)(k∈Z)【分析】（1）利用二倍角公式將y=f(x)?f(?x)的表達式化簡，即可求得函數(shù)的最小正周期，結(jié)合余弦函數(shù)的對稱中心可求得函數(shù)y=f(x)?f(?x)的對稱中心；2（2）將函數(shù)y=[f(x)]2+fx+)的表達式展開，并化簡，根據(jù)x∈?,的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可確定答案.2函數(shù)y=f(x)?f(?x)=cos2x?sin2x=cos2x，所以最小正周期令2x=+kπ(k∈Z)，解得x=+(k∈Z)，所以對稱中心為π42函數(shù)y=[f(x)]2+fx+)=(sinx?cosx)2+[sin(x+)?cos(x+)]22=1?sin2x+1?sin(2x+)=2?sin2x?cos2x【例題5】（2023·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校?？家荒＃┮阎瘮?shù)f(x)=2cos2wx+23sinwxcoswx+a（w>0，a∈R）.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)f(x)解析式的兩個合理條件作為已知，條件①：f(x)的最大值為1；條件②：f(x)的一條對稱軸是直線x=?;條件③：f(x)的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.求：(1)求函數(shù)f(x)的解析式；并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱中心坐標；(2)若將函數(shù)f(x)圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移單位，得到函?shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間[0,m]上的最小值為g(0)，求m的最大值.【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角將f(x)化為f(x)=2sin(2wx+)+a+1，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇條件求出w和a，進而得到f(x)=2sin2x+?1，再利用整體思想和正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性進行求解；（2）利用函數(shù)平移變換得gx)=2sin(4x?)?1，利用函數(shù)的性質(zhì)得到4m?≤進行求解.【詳解】（1）fx=2cos2wx+23sinwxcoswx+a=cos2wx+3sin2wx+a+1=2s顯然條件②不合理；綜上所述，條件①③能確定函數(shù)fx解析式，且f(x)=2sin2x+?1；所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[?+kπ,+kπ]（k∈Z所以函數(shù)f(x)的對稱中心坐標為(?+kπ,?1)，k∈Z；（2）將函數(shù)f(x)圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=2sin(4x+)?1的圖象，再向右平移單位，得到函數(shù)y=2sin[4(x?)+]?1=2sin(4x?)?1的圖象，即gx=2sin4x??1；因為gx在區(qū)間0,m上的最小值為g0，所以4m?≤,解得0<m≤.所以m的最大值為.【變式5-1】1.（2023秋·北京·高三北京市八一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=2sin(wx+φ+1w>0,φ<，fx圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為(Ⅰ)在①fx的一條對稱軸x=?;②fx)的一個對稱中心,1)；③fx的圖象經(jīng)過點,0)這三個條件中任選一個補充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；(Ⅱ)若動直線x=t(t∈0,π與fx和gx=23sinxcosx的圖象分別交于P、Q兩點，求線段PQ長度的最大值及此時t的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(Ⅰ)選①或②或③,fx=2sin2x++1；(Ⅱ)當t=0或t=π時，線段PQ的長取到最大值2.【解析】(Ⅰ)先根據(jù)題中信息求出函數(shù)y=fx的最小正周期，進而得出w=2.選①,根據(jù)題意得出?+φ=+kπk∈Z)，結(jié)合φ的取值范圍可求出φ的值，進而得出函數(shù)y=fx的解析式；選②,根據(jù)題意得出+φ=kπk∈Z，結(jié)合φ的取值范圍可求出φ的值，進而得出函數(shù)y=f(x)的解析式；選③,根據(jù)題意得出sin+φ)=?,結(jié)合φ的取值范圍可求出φ的值，進而得出函數(shù)y=f(x)的解析式；(Ⅱ)令?x=fx?gx，利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)y=?x的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求出?t在t∈0,π上的最大值和最小值，由此可求得線段PQ長度的最大值及此時t的值.【詳解】(Ⅰ)由于函數(shù)y=fx圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為，則該函數(shù)的最小正周期為T=2×=π,∴w===2，此時fx=2sin(2x+φ)若選①,則函數(shù)y=fx的一條對稱軸x=?,則?+φ=+kπk∈Z)，此時，fx=2sin2x++1；若選②,則函數(shù)y=fx的一個對稱中心,1)，則+φ=kπk∈Z，此時，fx=2sin2x++1；若選③,則函數(shù)y=fx的圖象過點,0)，則f=2sin+φ)+1=0，∴+φ=，解得φ=，此時，fx=2sin2x++1.綜上所述，fx=2sin2x++1；(Ⅱ)令?x=fx?gx=2sin2x++1?23sinxcosx=2sin2x+cos2x)+線段PQ的長取到最大值2.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)求解析式，同時也考查了余弦型三角函數(shù)在區(qū)間上最值的計算，考查計算能力，屬于中等題.【變式5-1】2.（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考期末）設(shè)向量-→=(2coswx,3sinwx),=(coswx,2coswx)，函數(shù)f(x)=-→?+a(w>0,a∈R)的最大值為1，且圖象中心之間的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若將函數(shù)f(x)圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間[0,t]上的最小值為g(0)，求實數(shù)t的最大值.【答案】(1)f(x)=2sin2x+?1【分析】（1）先將f(x)用三角恒等變換公式化簡，再根據(jù)最大值和相鄰兩條對稱軸之間的距離分別求出a和ω代入即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖像變換規(guī)律，得到函數(shù)g(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求m的最大值. 3sin2wx+a=2sin(2wx+所以f(x)的最大值為2+a+1=1，所以a=?2，又因為該函數(shù)圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為，所以該函數(shù)的最小正周期為π,所以=π,w=1，所以f(x)=2sin2x+?1.（2）由題意得g(x)=2sin4x?+?1=2sin4x??1，則y=sinx在?,上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，且sin=sinπ+=?sin=6sin(?6故實數(shù)t的最大值為.【變式5-1】3.（2022秋·寧夏銀川·高三?？茧A段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且sinCcos(1)當B=，求sinc+sinA的值(2)求B的最大值.【答案】(1)sinC+sinA=1【分析】（1）代入B=，解得sinc+cosc=，對sinc+sinA變形得到sinc+sinA= 3sinc+cosc)=1，求出答案2）對題干條件兩邊同乘以2cos，變形得到sinc+sinA=sinB，利用正弦定理得到a+c=b，利用余弦定理和基本不等式求出B的最大值.即3sinc+1則sinc+sinA=sinc+sinc+=sinc+cosc=3sinc+cosc)=1（2）sinccos=(?cosc)sin，兩邊同乘以2cos得：2sinccos2=(?cosc)?2sincos，即sinc1+cosB=(?cosc)?sinB，整理得：sinc+sinA=sinB，由正弦定理得：a+c=23因為ac≤=b2，當且僅當a=c時等號成立，此時cosB=?1≥?,由于B∈0,π,而y=cosx在0,π上單調(diào)遞減，故B的最大值為【變式5-1】4.已知=(3,?1),=tsin2x,cos2x?,函數(shù)f(x)=?.（1）若A={x|f(x)=0,x∈R},B=[?π,π]，用列舉法表示A∩B；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間以及當函數(shù)取得最大值時，和的夾角θ.,夾角為.（2）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得f(x)的增區(qū)間和最大值，及相應(yīng)的x值，從而向量確定，由向量的夾角公式求夾角.【詳解】（1）由題意f(x)=3sin2x?cos(2x?)=3sin2x?(cos2x+sin2x)=sin2x?cos2x=sin(2x?)，f(x)=sin(2x?)=0，2x?=kπ,x=+,k∈Z，A∩B={?,?,,}；（2）由（1）f(x)=sin(2x?)，∴增區(qū)間為[kπ?,kπ+]，k∈Z.f(x)max=1，此時2x?=2kπ+，x=kπ+，k∈sin2x=sin(2kπ+)=sin=，cos(2x?)=cos(2kπ+)=cos=，∴<,>=.【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式和余弦公式，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)量積與求向量的夾角．三角函數(shù)問題中的函數(shù)常?；癁閒(x)=Asin(wx+φ)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)解題，向量夾角公式為：cos<,>=【變式5-1】5.在△ABC中的內(nèi)角A、B、C，sin(A?B)=sinC?sinB，D是邊BC的三等分點（靠近點Bt=.（1）求A的大小.（2）當t取最大值時，求tan∠ACD的值.【詳解】試題分析;（1）由sin(A?B)=sinC?sinB，可得sinB=sin(A+B)?sin整理得sinB=2cosAsinB.又sinB≠0，所以cosA=，即A=.（2）設(shè)BD=x，∠BAD=θ,θ∈0,，則DC=2x，sinB=tsinθ.由正弦定理得AD=tx，sinC=sin?θ).又sinC=sin?B)=cosB+sinθ,由cosB+sinθ)，得cosB=tcos+θ).因為sin2B+cos2B=t2sin2θ+t2cos2+θ)=1，所以t.因為θ∈0,，所以?<2θ?<.所以當2θ?=0，即θ=時，t取得最6大值3+1，由此可得，tan∠ACD=試題解析1）因為sin(A?B)=sinC?sinB，所以sinB=sinC?sin(A?B)，即sinB=sinA+B?sinA?B，整理得sinB=2cosAsinB.又sinB≠0，所以cosA=，即A=.（2）設(shè)BD=x，∠BAD=θ,θ∈0,，則DC=2x，sinB=tsinθ.由正弦定理得AD=tx，sinC==sin?θ).又sinC=sin?B)=cosB+sinB=cosB+sinθ,由cosB+sinθ=sin?θ)，得cosB=tcos+θ).因為sin2B+cos2B=t2sin2θ+t2cos2=1，所以t2=.因為θ∈ ,所以B=，tan∠ACD=tan【點睛】本題考查正弦定理、勾股定理，求角轉(zhuǎn)化為求角的某個三角函數(shù)值，以及基本不等式求最值問題等，其中著重考查化簡、變形能力.2.“重組”：系數(shù)次冪一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一”【例題6】已知函數(shù)f(x)=3sincos+cos2+3coswx+-(w>0)的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.（1）求函數(shù)y=fx的解析式：（2）已知角α,β,θ滿足：f.f)=-且α+β=，tanθ=2，求的值.【答案】（1）f(x)=2cos2x2【分析】（1）化簡函數(shù)得到f(x)=2coswx，根據(jù)周期為T=π,計算得到答案.（2）代入數(shù)據(jù)得到cosα.cosβ=-，計算cos(α+β)得到sinα.sinβ=，最后利用齊次式計算得到答案.【詳解】（1）f(x)=3sinwx+1+coswx+3coswx+π-1=sinwx+coswx+3coswx+=sinwx++3coswx+=2sinwx+=2coswx由條件可得T=π,所以w=2，則f(x)=2cos2x（2）“f.f)=2cosα.2cosβ=-2:cosα.cosβ=-又“cos(α+β)=cosα.cosβ-sinα.sinβ=--sinα.sinβ=cos=-:sinα.sinβ=∴原式=(sinαcosθ+cos)osθ+cosβsinθ)sinαsinβcos2θ+cosαcosβsin2θ+sin(α+β)sinθcosθcos2θ-sin2θcos2θ-sin2θ+sinθcosθcos2θ-sin2θ:w=1；【點睛】本題考查了函數(shù)三角函數(shù)的解析式I三角恒等變換.其中齊次式方法是解題的關(guān)鍵I需要熟練掌握.【變式6-1】1.已知函數(shù)f（x）=2sinwxcoswx-23sin2wx+3（w＞0）I直線x=x1Ix=x2是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸I且Ix1-x2I的最小值為.(Ⅱ)求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；(Ⅲ)若f(α)=I求sinπ-4α)的值.見解析；7-.0【詳解】試題分析I）利用二倍角公式即輔助角公式I化簡函數(shù)I利用直線x=x1Ix=x2是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸I且Ix1-x2I的最小值為I可得函數(shù)的最小正周期為πI根據(jù)周期公式I可求w的值；（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性I可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（III）由f（a）=I可得sin（2a+=I根據(jù)sinπ-4a）=sin-2（2a+]=-cos[2（2a+]=2sin2（2a+-1I即可求得結(jié)論.解I）:f（x）=2sinwxcoswx-23sin2wx+3=sin2wx+3cos2wx=2sin（2wx+:直線x=x1Ix=x2是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸I且Ix1-x2I的最小值為I:函數(shù)的最小正周期為π:=π∴+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[+kπ,+kπ]，k∈Z；∴sinπ﹣4a）=sin2（2a+]=﹣考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性.【變式6-1】2.已知函數(shù)f(x)=2sin(wx+φ)(w>0,φ<)圖象的一條對稱軸方程為x=，這條對稱軸與相鄰對稱中心之間的距離為.(1)求f(x)的解析式；(2)若sin4α?cos4α=?,α∈0,，求fα+.【答案】(1)f(x)=2sin2x+【分析】(1）先求出周期,由此求出w的值,利用對稱軸方程求出φ,即可得到函數(shù)的解析式;(2)利用平方差公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合二倍角的余弦公式,求出cos2α,由此得到sin2α,然后利用兩角和差公式求解即可.因為函數(shù)f(x)圖象的對稱軸與相鄰對稱中心之間的距離為，6故f(x)=2sin2x+π;6當sin4α?cos4α=?,α∈0,時，因為sin4α?cos4α=(sin2α?cos2α)(sin2α+cos2α)=sin2α?cos2α=?cos2α=?故cos2α=，因為α∈0,，所以sin2α=，則fα+=2sin2α+)+=2sin2α+)=2sin2αcos+2cos2αsin=.【變式6-1】3.（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=sinwx(sinwx+coswx)?w>0）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2π.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間以及f(x)圖象的對稱中心坐標；(2)是否存在銳角α,β,使α+2β=，f(α+)?f(2β+)=若存在，求出角α,β的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)遞增區(qū)間為[?+4kπ【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)求解即可；（2）由誘導(dǎo)公式可得f(α+)?f(2β+)=sincosβ=，又α+2β=，代入化簡解：f(x)=sinwx(sinwx+coswx)?=sin2wx+sinwxcoswx?=+sin2wx?=sin2wx?cos2wx=sin(2wx?)，由f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2π,得f(x)的最小正周期T=4π=，解得w= 1 .4所以f(x)=sin(x?)，由?+2kπ≤x?≤+2kπ（k∈Z得?+4kπ≤x≤+4kπ（k∈Z所以f(x)的遞增區(qū)間為[?+4kπ,+4kπ]（k∈Z由x?=kπ（k∈Z得x=+2kπ（k∈Z所以f(x)圖象的對稱中心的坐標為(+2kπ,0)（k∈Z）.因為f(α+)=sin，f(2β+)=sin(β+)=cosβ,所以f(α+)?f(2β+)=sincosβ=，所以sincosβ=.又α+2β=，α=?2β,所以sincosβ=sin(?β)cosβ=，即(cosβ?sinβ)cosβ=，即cos2β?sinβcosβ=，即×?sin2β=，即3cos2β?sin2β=0，所以tan2β=3，由β為銳角，得0<2β<π,所以2β=，β故存在α=，β=符合題意.【變式6-1】4.（2022·全國·高三專題練習）在下列三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.①圖象上一個最低點為M,?2)；②直線x=是其圖象的一條對稱軸；③點N(,0)是其圖象的一個對稱中心.問題：已知函數(shù)fx=4coswxsinwx+φ?1w>0,0<φ<的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且.（1）求fx的解析式；（2）若α為銳角，且f=，求fα+的值.【答案】條件選擇見解析.（1）fx=2sin2x+2【分析】（1）先化簡fx，由題意計算出w的值，若選①將最低點M,?2)代入，計算出結(jié)果；若選②,x=是一條對稱軸求得φ的值，即可得到結(jié)果；選③將N(,0)代入求得φ的值，計算出結(jié)果；（2）由題意計算出sinα+和cosα+的值，即可計算出結(jié)果.【詳解】（1）fx=4coswxsin(wx+φ)?1=2cosφsin2wx+2sinφcos2wx+2sinφ?1=2sin2wx+φ,+2sinφ?1，相鄰交點距離，可得若選擇條件①,由最小值點M,?2)，則f=?2，即2所以fx=2sin2x+；若選擇條件②,因為一條對稱軸為x=，所以2+φ=+kπk∈Z?φ=+k所以fx=2sin2x+；若選擇條件③,2+φ=kπk∈Z?φ=kπ?,所以fx=2sin2x+；α2（2）因為α2=2sinα+π=當t∈,時，sint=<sin60°=，則t∈,；當t∈,時，sint=<sin60°=，則t>，矛盾.∴f(α+)=2sin2α+)+=2sin2α+=2sin2t=4sintcost=48【變式6-1】5.（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=2sin(wx+φ)(0<w<6,|φ|<,f(x)的圖象的一條對稱軸是x=，一個對稱中心是,0).（1）求f(x)的解析式；（2）已知△