固體物理chapter-5-固體能帶論

第5章固體能帶論能帶理論是單電子近似理論。把每個(gè)電子運(yùn)動(dòng)看成是獨(dú)立的在一個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。原子結(jié)合成固體，價(jià)電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)很大變化，把原子核和內(nèi)層電子看成離子實(shí),帶正電。固體中電子不再束縛于某個(gè)原子，而在整個(gè)固體中運(yùn)動(dòng)——共有化運(yùn)動(dòng)。

5.2布洛赫定理一、周期性勢(shì)場(chǎng)1、周期性勢(shì)場(chǎng)：把孤立原子當(dāng)成一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷，由于晶格原子周期性排列，內(nèi)部原子的勢(shì)場(chǎng)也具有周期性，邊界處勢(shì)能將提高。rV(r)xV(x)孤立原子周期性勢(shì)函數(shù)V(r)可展成傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉系數(shù)一維周期性函數(shù)V(x)展成傅立葉級(jí)數(shù)2、處于周期性勢(shì)場(chǎng)中的電子電子勢(shì)函數(shù)在已知周期性外場(chǎng)V(r)，可通過(guò)解薛定格方程，求出電子的波函數(shù)和能量。ORnrRn+rerAB二、布洛赫定理1、布洛赫定理周期性勢(shì)場(chǎng)中電子，波函數(shù)具有性質(zhì)。說(shuō)明——平移晶格矢量，波函數(shù)只增加相位因子。2、布洛赫函數(shù)的特點(diǎn)一維布洛赫函數(shù)由波恩—卡曼邊界條件所以u(píng)k（x）也是周期性函數(shù)（與晶格相同周期）平面波因子結(jié)論：周期性勢(shì)場(chǎng)中的電子波函數(shù)為周期性函數(shù)uk（x）和平面波

調(diào)制結(jié)果——調(diào)幅平面波。推廣到三維，布洛赫函數(shù)周期性勢(shì)場(chǎng)中電子能帶理論

——3個(gè)理論模型克龍尼克模型近自由電子近似模型緊束縛近似模型xvo-bca克龍尼克模型§5.3近自由電子近似

近自由電子近似模型：離子實(shí)形成的周期性勢(shì)場(chǎng)較弱，電子近似認(rèn)為是自由電子，周期性勢(shì)場(chǎng)看成微擾。周期性勢(shì)場(chǎng)展成傅立葉級(jí)數(shù)其中

h=±1,±2……

微擾算符應(yīng)用量子力學(xué)非簡(jiǎn)并微擾理論一、一維定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾

近似認(rèn)為近自由電子處于一維無(wú)限深勢(shì)阱中，再加上周期性勢(shì)場(chǎng)的微擾V（x）。1、能量二級(jí)近似0L∞∞零級(jí)（無(wú)微擾）一級(jí)修正能量二級(jí)近似值2、波函數(shù)的一級(jí)近似零級(jí)（無(wú)微擾）波函數(shù)一級(jí)近似調(diào)幅平面波，Bloch函數(shù)k前行平面波k’散射波能量二級(jí)近似波函數(shù)一級(jí)近似

根據(jù)量子理論，上述非簡(jiǎn)并微擾只適用于（或）比較大的情況，以便很快收斂。][22kk￠-k'k'討論理論適用范圍：這時(shí)不能用非簡(jiǎn)并微擾處理.用簡(jiǎn)并微擾處理K0π/a2π/a-π/a2π/ahπ/a-hπ/a把前行波k和反射波分為三個(gè)區(qū)域：（1）k和遠(yuǎn)離布區(qū)邊界；（非簡(jiǎn)并微擾理論）（2）k和趨于布區(qū)邊界，（3）k和在布區(qū)邊界上，簡(jiǎn)并微擾理論處于布區(qū)邊界自由電子波函數(shù)和能量為二、一維定態(tài)簡(jiǎn)并微擾簡(jiǎn)并零級(jí)波函數(shù)為自由電子波函數(shù)組合把和展式代入薛定諤方程

等式兩邊分別乘，全空間積分等式兩邊分別乘，利用積分、整理等式兩邊分別乘，利用積分、整理（1）最后得：A、B不全為0的條件是能量：（2）當(dāng)即布里淵區(qū)的邊界此處能量相等，代入（2）式微擾后，能級(jí)發(fā)生分裂，分裂為、把代入（1）式選擇原點(diǎn)，使波函數(shù)為三、近自由電子能量的討論自由電子E~K關(guān)系近自由電子E~K關(guān)系討論1、當(dāng)k

和k’遠(yuǎn)離布區(qū)邊界時(shí)，即非簡(jiǎn)并情況，能量與波函數(shù)修正項(xiàng)中較大，修正項(xiàng)較小電子近似認(rèn)為是自由電子，E~K曲線是拋物線KE2、

k

和k’處于布區(qū)邊界令能級(jí)分裂為禁帶寬度為

禁帶（能隙）：各能帶之間的間隙，不允許有電子狀態(tài)。

能帶分裂的位置和禁帶寬度決定于晶體結(jié)構(gòu)以及周期性勢(shì)場(chǎng)。3、波矢趨于布區(qū)邊界代入（2）式得hπ/aTh=Ek(0)2VhBZ邊界E+E-開口向上小拋物線開口向下小拋物線開口向上小拋物線開口向下小拋物線近自由電子近似下，電子的能量與波矢（E~K）關(guān)系圖第一能帶第二能帶第三能帶第四能帶KEk

和k’

遠(yuǎn)離布區(qū)邊界k

和k’處于布區(qū)邊界k

和k’趨于布區(qū)邊界近似于自由電子能級(jí)發(fā)生分裂出現(xiàn)禁帶開口向上小拋物線開口向下小拋物線四、色散關(guān)系圖（E~K）1、擴(kuò)展區(qū)圖第一能帶第二能帶第三能帶第四能帶KE2.重復(fù)區(qū)圖K03、簡(jiǎn)約圖EK電子能帶結(jié)構(gòu)的特征（結(jié)合E~K圖）：（1）在周期性勢(shì)場(chǎng)中，電子有帶狀結(jié)構(gòu)的能譜，能帶與禁帶交替排列；兩能帶之間出現(xiàn)能量不允許的區(qū)域，稱為禁帶。

(2)E是K的偶函數(shù)E(K)=E(-K)；（3）能帶的分界點(diǎn)出現(xiàn)在BZ邊界；（4）能量越高，能帶越寬；（5）能量E與波矢K是周期函數(shù)；（6）禁帶寬度為，與周期性勢(shì)場(chǎng)有關(guān)。五、能隙產(chǎn)生的物理解釋（波函數(shù)的討論）電子幾率密度分布ax平均勢(shì)能：對(duì)應(yīng)電荷分布，在原子實(shí)附近電子出現(xiàn)的幾率密度最大，即負(fù)電荷大部分靠近原子實(shí)，勢(shì)能比平均勢(shì)能低，E-

<E。

：對(duì)應(yīng)電荷分布，在原子實(shí)附近電子出現(xiàn)的幾率密度最小，即負(fù)電荷遠(yuǎn)離帶正電的原子實(shí)，勢(shì)能比平均勢(shì)能高E+>E

。

所以，形成兩個(gè)態(tài)能量差，例：一維周期勢(shì)場(chǎng)為其中a=4b，W為常數(shù)，求平均勢(shì)能和第一禁帶寬度。x2aV（x)

ba3a五、三維情況下的近自由電子近似一維三維非簡(jiǎn)并微擾簡(jiǎn)并微擾（布區(qū)邊界）能帶交疊——在二、三維晶格中，K不同方向能量斷開的取值不同，使不同能帶發(fā)生重疊。二維正方晶格第一布區(qū)[10][11]思考題：周期性勢(shì)場(chǎng)指什么？布洛赫定理？布洛赫函數(shù)的特點(diǎn)？近自由電子近似模型？近自由電子近似中，禁帶的成因？近自由電子近似中，晶體能帶結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)？近自由電子近似中，能帶發(fā)生分裂的位置和禁帶寬度？近自由電子近似中，布區(qū)邊界處電子能量特點(diǎn)?5.4

緊束縛近似一、緊束縛近似模型：當(dāng)原子間距較大時(shí)，把電子處于很強(qiáng)的原子勢(shì)場(chǎng)，近似看成孤立原子勢(shì)場(chǎng)；把其它原子的周期性勢(shì)場(chǎng)，當(dāng)微擾來(lái)處理。孤立原子勢(shì)場(chǎng)其它原子勢(shì)場(chǎng)（周期性勢(shì)場(chǎng)）二、運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)和能量第n個(gè)電子在第n原子實(shí)附近孤立原子形成的勢(shì)場(chǎng)為孤立原子中的電子（s態(tài)）的波函數(shù)

能量e其它原子的勢(shì)場(chǎng)（微擾）電子總波函數(shù)總能量晶體周期性勢(shì)場(chǎng)孤立原子勢(shì)場(chǎng)孤立原子束縛的電子薛定諤方程（本征方程）

應(yīng)具有布洛赫波函數(shù)的形式，歸一化可以得出加上其它原子勢(shì)場(chǎng)，晶體中電子波函數(shù)為孤立原子波函數(shù)的線性組合孤立原子+其它原子勢(shì)場(chǎng)薛定格方程??同乘、全空間積分令Rn=0原點(diǎn)處，其它原子勢(shì)場(chǎng)平均值Rn=0和Rn=0處，兩個(gè)原子中電子波函數(shù)對(duì)微擾勢(shì)的交疊積分

由于原子間距較大，只有相鄰原子的電子波函數(shù)交疊，即，其它為0。由于S態(tài)的波函數(shù)的球?qū)ΨQ性，B（Rn）應(yīng)與Rn無(wú)關(guān)。S態(tài)電子的能量例：利用緊束縛近似，求面心立方結(jié)構(gòu)的晶體中S態(tài)電子的能量。并計(jì)算能量的極大值、極小值和能帶寬度。解:面心立方結(jié)構(gòu)有12個(gè)最近鄰，分別是在XOZ面同理在XOY面在YOZ面編號(hào)：①~④編號(hào)：⑤~⑧編號(hào)：⑨~⑿XZ面心立方的倒格子為體心立方，第一布區(qū)為截角八面體Γ(0,0,0)X(2π/a,0,0)通過(guò)求極值的方法可求出能量極大值和極小值16BEsaA4B12B孤立原子時(shí)周期性勢(shì)場(chǎng)，緊束縛近似孤立原子——能級(jí)晶體——能帶三、原子能級(jí)與固體能帶1、運(yùn)動(dòng)電子的速度、加速度和有效質(zhì)量電子速度

電子動(dòng)量

5.6晶體中運(yùn)動(dòng)電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)電子E~K關(guān)系大?。耗芰刻荻确较颍旱饶苊娴姆ň€方向加速度對(duì)一維情況：在E~K曲線上，速度由曲線的斜率決定。電子有效質(zhì)量為對(duì)一維情況，有效質(zhì)量為標(biāo)量。2、三維運(yùn)動(dòng)電子的速度、加速度和有效質(zhì)量適當(dāng)選擇坐標(biāo)系當(dāng)?shù)饶苊鏋闄E球面，當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎妫?、三維運(yùn)動(dòng)電子的速度、加速度和有效質(zhì)量三維一維（1）有效質(zhì)量是一個(gè)張量，主要由電子能帶結(jié)構(gòu)決定。當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎鏁r(shí)，各向同性（標(biāo)量）（2）在能帶不同位置，有效質(zhì)量不同。能帶底，對(duì)應(yīng)能量極小能帶頂，對(duì)應(yīng)能量極大Evm*E～k關(guān)系m*～k關(guān)系v～k關(guān)系準(zhǔn)自由電子布區(qū)邊界布區(qū)邊界3、有效質(zhì)量并不代表真正的質(zhì)量，而是代表能帶中電子受外力時(shí)，外力與加速度的一個(gè)比例系數(shù)。負(fù)的有效質(zhì)量說(shuō)明晶格對(duì)電子作負(fù)功，即電子要供給晶格能量，而且電子供給晶格的能量大于外場(chǎng)對(duì)電子作功。4、引入有效質(zhì)量的意義概括了半導(dǎo)體內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)作用，使得在解決半導(dǎo)體中電子在外力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，可以不涉及到半導(dǎo)體內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)的作用。5、布區(qū)邊界，有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量有顯著差別

*晶格對(duì)電子的作用越弱，有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量差別越小；*晶格對(duì)電子的作用越強(qiáng)，有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量差別越大。*當(dāng)電子波矢在布區(qū)邊界時(shí)，散射最強(qiáng)，晶格對(duì)電子的作用大，有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量有顯著差別。例：二維正方格子，晶格常數(shù)為a.求：

（1）S態(tài)電子的能量，能帶寬度；（2）電子的速度；（3）能帶底電子有效質(zhì)量;和能帶頂空穴的有效質(zhì)量；（4）第一布里淵區(qū)[11]方向的能帶、速度和電子有效質(zhì)量。4個(gè)最近鄰，坐標(biāo)解：

（1）（2）

（3）能帶底,電子的有效質(zhì)量

能帶頂空穴的有效質(zhì)量（4）在[11]方向上，[11]SC倒格子是邊長(zhǎng)為簡(jiǎn)立方格子SC第一布區(qū)——立方體能量最小位置：能量最大位置：SC第一布區(qū)——立方體fccfcc第一布區(qū)——十四面體（截角八面體）能量最小位置：能量最大位置：及對(duì)稱點(diǎn)fcc第一布區(qū)——十四面體（截角八面體）bccbcc第一布區(qū)——十二面體bcc第一布區(qū)——十二面體能量最小位置：

能量最大位置：5.7導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體

固體導(dǎo)電是由于外電場(chǎng)作用下，電子定向運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。從能帶論看，電子能量的變化是電子從一個(gè)能級(jí)躍遷到另一能級(jí)上。1、滿帶：一個(gè)能帶內(nèi)的全部狀態(tài)均被電子所填滿。滿帶滿帶不導(dǎo)電滿帶不導(dǎo)電1、未加外電場(chǎng)滿帶中盡管每個(gè)電子都帶一定電流，但狀態(tài)k、-k的電子電流正好抵消。2、加外場(chǎng)時(shí)

K軸上的各k點(diǎn)以相同速度沿外場(chǎng)反方向運(yùn)動(dòng)，從第一布區(qū)一端移出，相當(dāng)與從另一端進(jìn)入。整個(gè)滿帶仍處于填滿狀態(tài)，所以不導(dǎo)電。A滿帶：無(wú)凈電流，不導(dǎo)電XAAXXYYYEkkkZZZ0k1k2k3k4k5電子運(yùn)動(dòng)沒(méi)有改變布區(qū)中電子分布不產(chǎn)生宏觀電流不滿帶2、不滿帶：未被電子填充滿的能帶。不滿帶導(dǎo)電

在有外場(chǎng)時(shí)，在外力F

作用下，整個(gè)電子分布向一邊移動(dòng)，破壞對(duì)稱性，電子電流部分抵消，