2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：數(shù)列（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：數(shù)列（10題）一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?衡陽縣校級模擬）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=14n-3，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{1an}與數(shù)列{4nanan+1A．a(chǎn)n+1an＜14 C．Sn＜4339（多選）2．（2024?東湖區(qū)校級模擬）已知數(shù)列{an}滿足2a1+22a2+?+2nan=A．a(chǎn)1的值為2 B．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為anC．?dāng)?shù)列{an}為遞減數(shù)列 D．S（多選）3．（2024?織金縣校級模擬）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，其前n項(xiàng)和為Sn，則下列說法正確的是（）A．{SnB．若d＜0，則Sn有最大值 C．Sn，S2n，S3n成等差數(shù)列 D．若Sm＝Sn，m≠n，則Sm+n＝0（多選）4．（2024?樊城區(qū)校級模擬）對于正整數(shù)n，φ（n）是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)φ（n）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，又稱為φ函數(shù)，例如φ（10）＝4，（10與1，3，7，9均互質(zhì)）則（）A．φ（12）+φ（29）＝32 B．?dāng)?shù)列{φ（n）}單調(diào)遞增 C．若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列{φ（pn）}為等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{nφ(3n（多選）5．（2024?城陽區(qū)校級模擬）若有窮整數(shù)數(shù)列An：a1，a2，…an（n≥3）滿足：ai+1﹣ai∈{﹣1，2}（i＝1，2，?，n﹣1），且a1＝an＝0，則稱An具有性質(zhì)T．則（）A．存在具有性質(zhì)T的A4 B．存在具有性質(zhì)T的A5 C．若A10具有性質(zhì)T，則a1，a2，…，a9中至少有兩項(xiàng)相同 D．存在正整數(shù)k，使得對任意具有性質(zhì)T的Ak，都有a1，a2，…，ak﹣1中任意兩項(xiàng)均不相同（多選）6．（2024?遼寧模擬）等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn，且S2nA．當(dāng)an＝2n﹣1時(shí)，T4＝52 B．當(dāng)Sn=n2時(shí)，bn＝3C．4（a4+a7）＝5b3 D．a(chǎn)（多選）7．（2024?貴陽模擬）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn+1＝2Sn+n﹣1，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列{Sn+n}為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n﹣n C．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣1﹣1 D．?dāng)?shù)列{an+1}為等比數(shù)列（多選）8．（2024?太原模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1A．{an}是遞增數(shù)列 B．{a2n﹣2}是等比數(shù)列 C．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，anD．?m，n∈N*，使得a2m﹣1＞a2n（多選）9．（2024?惠來縣校級模擬）對于正項(xiàng)數(shù)列{an}，定義：Gn=a1+3a2+9a3+?+3n-1ann為數(shù)列{an}的“勻稱值”．已知數(shù)列{an}的“勻稱值”為GA．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列 C．S2023D．記Tn為數(shù)列{1Sn}（多選）10．（2024?漢陽區(qū)模擬）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且SnA．當(dāng)m＞n（m，n∈N*）時(shí)，am＞an B．Sn+Sn+2＜2Sn+1 C．?dāng)?shù)列{SnD．S

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：數(shù)列（10題）參考答案與試題解析一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?衡陽縣校級模擬）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=14n-3，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{1an}與數(shù)列{4nanan+1A．a(chǎn)n+1an＜14 C．Sn＜4339【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ACD【分析】由已知通項(xiàng)公式代入直接檢驗(yàn)選項(xiàng)A；先利用裂項(xiàng)求和求出Tn即可檢驗(yàn)選項(xiàng)B；an=14n【解答】解：因?yàn)閍n所以an+1=14n+1-3，由題意得，1an=4n所以Rn=4(1-4n)1-4-4nanan+1=4n×所以Tn=13（=13（1-14n+1因?yàn)閍nSn＝a1+a2+…+an＜1+113+311×14令F（n）＝Rn﹣6n2+5n=4n+1-43-3n﹣6n2+5n=則F（n+1）﹣F（n）=4n+2-43-6（n+1）2+2（n+1）-4n+1-43+6n2﹣2n根據(jù)指數(shù)冪的性質(zhì)可知，4n+1≥12n+4，n＝1時(shí)取等號，所以F（n）＜F（n﹣1）＞…＞F（2）≥F（1）＝0，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和，不等式放縮，數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題．（多選）2．（2024?東湖區(qū)校級模擬）已知數(shù)列{an}滿足2a1+22a2+?+2nan=A．a(chǎn)1的值為2 B．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為anC．?dāng)?shù)列{an}為遞減數(shù)列 D．S【考點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ACD【分析】對于A．只需令n＝1即可得出a1的值；對于B．已知數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和，根據(jù)前n項(xiàng)和與數(shù)列的關(guān)系即可求出{2nan}的通項(xiàng)公式，繼而得到{an}的通項(xiàng)公式；對于C．已知{an}的通項(xiàng)公式，利用遞減數(shù)列定義列式an+1﹣an判斷即可；對于D．化簡得出數(shù)列{cn}，裂項(xiàng)相消即可得出Sn．【解答】解：對于A選項(xiàng)，∵2a1=3×12+5×12對于B選項(xiàng)，∵2a∴2a∴2nan＝3n+1，∴an=3n+12n當(dāng)n＝1時(shí)a1∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1對于C選項(xiàng)，∵an+1∴an+1-an=-3n+22n+1對于D選項(xiàng)，∵cn∴Sn=1故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查Sn與an的關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)列的單調(diào)性，裂項(xiàng)求和法，屬中檔題．（多選）3．（2024?織金縣校級模擬）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，其前n項(xiàng)和為Sn，則下列說法正確的是（）A．{SnB．若d＜0，則Sn有最大值 C．Sn，S2n，S3n成等差數(shù)列 D．若Sm＝Sn，m≠n，則Sm+n＝0【考點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)；等差數(shù)列的概念與判定．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式判斷A，應(yīng)用數(shù)列正負(fù)求前n項(xiàng)和的最大值，特殊值法判斷C，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷D．【解答】解：Snn=a1若a2＜0，則0＞a2＞a3＞?，S1最大；若a2＝0，0＞a3＞a4＞?，S1＝S2最大；若a2＞0，則an＝a2+（n﹣1）d，則存在m∈N*，am≥0，am+1＜0，故Sm最大，故B正確；對數(shù)列：1，2，3，…，取n＝1，S1＝1，S2＝3，S3＝6，故C錯(cuò)誤；不妨設(shè)n＞m，則Sn﹣Sm＝0?am+1+am+2+?+an＝0，即am+1+a而a1+am+n2=am+1+a故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）4．（2024?樊城區(qū)校級模擬）對于正整數(shù)n，φ（n）是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)φ（n）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，又稱為φ函數(shù)，例如φ（10）＝4，（10與1，3，7，9均互質(zhì)）則（）A．φ（12）+φ（29）＝32 B．?dāng)?shù)列{φ（n）}單調(diào)遞增 C．若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列{φ（pn）}為等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{nφ(3n【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，逐項(xiàng)分析判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，12與1，5，7，11互質(zhì)，29與1、2、3、……28共28個(gè)數(shù)都互質(zhì)，即φ（12）+φ（29）＝4+28＝32，所以A正確；由題目中φ（10）＝4，以及φ（12）＝4可知數(shù)列{φ（n）}不是單調(diào)遞增的，B錯(cuò)誤；若p為質(zhì)數(shù)，則小于等于pn的正整數(shù)中與pn互質(zhì)的數(shù)為1，……，p﹣1，p+1，……，2p﹣1，……，2p+1，……，pa﹣1，即每p個(gè)數(shù)當(dāng)中就有一個(gè)與pa不互質(zhì)，所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為pa-故φ（pa）＝（p﹣1）pa﹣1，所以φ(pa)φ(pa-1)=(p-1)pa-1根據(jù)選項(xiàng)C即可知φ（3a）＝2?3a﹣1，數(shù)列{nφ(3a)}的前故選：AC．【點(diǎn)評】本題主要是理解函數(shù)φ（n）的定義，難點(diǎn)是選項(xiàng)C的證明，主要是確定與pa互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)；若p為質(zhì)數(shù)，在小于等于pa的正整數(shù)中每p個(gè)數(shù)當(dāng)中就有一個(gè)與pa不互質(zhì)，則不互質(zhì)的數(shù)目個(gè)數(shù)為pap=pa-1個(gè)，所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為pa-pap=p（多選）5．（2024?城陽區(qū)校級模擬）若有窮整數(shù)數(shù)列An：a1，a2，…an（n≥3）滿足：ai+1﹣ai∈{﹣1，2}（i＝1，2，?，n﹣1），且a1＝an＝0，則稱An具有性質(zhì)T．則（）A．存在具有性質(zhì)T的A4 B．存在具有性質(zhì)T的A5 C．若A10具有性質(zhì)T，則a1，a2，…，a9中至少有兩項(xiàng)相同 D．存在正整數(shù)k，使得對任意具有性質(zhì)T的Ak，都有a1，a2，…，ak﹣1中任意兩項(xiàng)均不相同【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【專題】新定義；集合思想；數(shù)學(xué)抽象；邏輯推理；數(shù)據(jù)分析．【答案】ACD【分析】根據(jù)題目所給新定義，據(jù)選項(xiàng)證明即可．【解答】解：對于A，設(shè)An：a1＝a4＝0，a2＝﹣1，a3＝1，則數(shù)列An具有性質(zhì)T，故A對；對于B，設(shè)A5：a1，a2，a3，a4，a5，由于a1＝a5＝0，ai+1﹣ai∈{﹣1，2}（i＝1，2，3，4），設(shè)a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，a5﹣a4中有m個(gè)﹣1，4﹣m個(gè)2，則有（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）＝a5﹣a1＝0所以﹣1×m+2（4﹣m）＝0，解得m=83，與所以不存在具有性質(zhì)T的A5故B錯(cuò)；對于C，設(shè)|a1|，|a2|，|a3|，?，|a10中的最大值為M，則存在ak，使得ak＝M或ak＝﹣M，若存在ak，使ak＝M，下證：ak，ak+1，?，10d可以取遍0到M之間所有的整數(shù)，假設(shè)存在正整數(shù)m（m＜M）使得ak，ak+1，?，a10中各項(xiàng)均不為m，令集合B＝{i|ai＞m}，設(shè)i0是集合B中元素的最大值，則有ai這與ai+1﹣ai∈{﹣1，2}（i＝1，2，?，n﹣1）矛盾，所以ak，ak+1，?，a10可以取遍0到M之間所有的整數(shù)，若M＝1，則a1，a2，a3，?，a0的取值只能為0，±1中的數(shù)，此時(shí)a1，a2，a3，?，a0中必有兩項(xiàng)相同，若M＝2，則a1，a2，a3，?，a5的取值只能為0，±1，±2中的數(shù)，此時(shí)a1，a2，a3，?，a1中必有兩項(xiàng)相同，若M≥3，則a1，a2，a3，?，ak中一定有異于0和M的正整數(shù)，再由ak，ak+1，?，a10可以取遍0到M之間所有的整數(shù)，所以a1，a2，a3，?，a0中必有兩項(xiàng)相同，當(dāng)ak＝﹣M，同理可證：a1，a2，?，ak可以取遍﹣M到0之間所有的整數(shù)，從而a1，a2，a3，?，a9中必有兩項(xiàng)相同，故C對；對于D，若存在i，j（1≤i＜j≤k﹣1）使得ai＝aj，令ai＝﹣u1+2v1，aj＝﹣u2+2v2，則有0≤u1≤u2≤2，0≤v1≤v2≤1，令s＝u2﹣u1，t＝v2﹣v1，則有2t﹣s＝0，且0≤s≤2，0≤t≤1則有s＝q（s﹣t），若s＝ti則有s＝0，即u2＝u1，當(dāng)ai＝aj時(shí)，有v2＝v1，從而i＝j(luò)，矛盾；若s≠ti則有s＝q且s＝t+1，因此有u2＝q，u1＝0，v2＝q﹣1，v1＝0，所以此時(shí)ai故D對．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題通過數(shù)列新定義，考查學(xué)生對數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于較難題．（多選）6．（2024?遼寧模擬）等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn，且S2nA．當(dāng)an＝2n﹣1時(shí)，T4＝52 B．當(dāng)Sn=n2時(shí)，bn＝3C．4（a4+a7）＝5b3 D．a(chǎn)【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】由Sn=n(【解答】解；于A：因?yàn)閍n＝2n﹣1，所以Sn=代入S2nTn=4n3n+1得Tn＝n（3n+1），所以T對于B：由A知Tn＝n（3n+1），由bn=T1，n=1Tn-Tn-1對于C：由S2n所以S10所以4（a4+a7）＝5b3，故C正確．對于D：由C知S2n所以S14T7故選：AC．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）7．（2024?貴陽模擬）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn+1＝2Sn+n﹣1，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列{Sn+n}為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n﹣n C．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣1﹣1 D．?dāng)?shù)列{an+1}為等比數(shù)列【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AB【分析】由數(shù)列的遞推式推得Sn+1+n+1＝2（Sn+n），結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可判斷AB；由an與Sn的關(guān)系，可判斷C；由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)可判斷D．【解答】解：由a1＝1，Sn+1＝2Sn+n﹣1，可得S2＝1+a2＝2S1+0＝2a1＝2，即有a2＝1，由Sn+1+n+1＝2（Sn+n），可得數(shù)列{Sn+n}是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，則Sn+n＝2n，即Sn＝2n﹣n，故AB正確；由n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣n﹣2n﹣1+n﹣1＝2n﹣1﹣1，對n＝1不成立，故C錯(cuò)誤；由a1+1＝2，a2+1＝2，a3+1＝4，（a2+1）2≠（a1+1）（a3+1），故數(shù)列{an+1}不為等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的項(xiàng)與和的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）8．（2024?太原模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1A．{an}是遞增數(shù)列 B．{a2n﹣2}是等比數(shù)列 C．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，anD．?m，n∈N*，使得a2m﹣1＞a2n【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】根據(jù)題意求出a2，發(fā)現(xiàn)a2＜a1，由此判斷A項(xiàng)的正誤；利用題中的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，證出{a2n﹣2}是首項(xiàng)為-12、公比為12的等比數(shù)列，由此判斷出B、C兩項(xiàng)的正誤；通過求通項(xiàng)公式，利用不等式的性質(zhì)證出a2m﹣1≤1且a2n∈（1，2），從而斷定a2m﹣1＜a2n【解答】解：對于A，由a1＝1，得a2=1根據(jù)a2＜a1，可得{an}不是遞增數(shù)列，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)n＝1時(shí)，a2當(dāng)n≥2時(shí)，a2n綜上所述，數(shù)列{a2n﹣2}是首項(xiàng)為-12，公比為12對于C，由B的分析可得a2n-2=(-12)×(12)因此當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，an=2-(1對于D，由B、C的分析，得a2m=2-(12)因?yàn)?12)m-1∈(0，1]，所以當(dāng)當(dāng)m≥2時(shí)，a2m-1=6-4m-(12)m-1＜0，而a2n=2-(12)故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用等知識，屬于中檔題．（多選）9．（2024?惠來縣校級模擬）對于正項(xiàng)數(shù)列{an}，定義：Gn=a1+3a2+9a3+?+3n-1ann為數(shù)列{an}的“勻稱值”．已知數(shù)列{an}的“勻稱值”為GA．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列 C．S2023D．記Tn為數(shù)列{1Sn}【考點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】由新定義可得a1+3a2+?+3n-1an=n?3n，利用遞推關(guān)系求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，可判斷A，B；根據(jù)等差數(shù)列求和公式求出【解答】解：由已知可得Gn所以a1+3當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3由①﹣②得，3n-1即n≥2時(shí)，an＝2n+1，當(dāng)n＝1時(shí)，由①知a1＝3，滿足an＝2n+1，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)镾n=n(故S20232023=2023+2=2025因?yàn)?S所以Tn=1故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系的應(yīng)用，還考查了等差數(shù)列的求和公式，裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）10．（2024?漢陽區(qū)模擬）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且SnA．當(dāng)m＞n（m，n∈N*）時(shí)，am＞an B．Sn+Sn+2＜2Sn+1 C．?dāng)?shù)列{SnD．S【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】計(jì)算數(shù)列首項(xiàng)及第二項(xiàng)可判定A，利用等差數(shù)列的定義及Sn，an的關(guān)系可判定C，從而求出Sn的通項(xiàng)公式結(jié)合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性可判定B、D．【解答】解：對A，由題意可知a1=a12+則a1+a2=對C，由Sn=a對B，所以Sn則Sn+S對D，易知Sn-1則f'(x)=1+1x2所以f(x)≥f(1)=0?n-故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn﹣1；前n項(xiàng)和公式Sn=a1(1-qn3、用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列（1）對于等差數(shù)列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），當(dāng)d≠0時(shí)，an是n的一次函數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)（n，an）是位于直線上的若干個(gè)點(diǎn)．當(dāng)d＞0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，對應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列；同理，d＝0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列；d＜0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對應(yīng)的數(shù)列是遞減函數(shù)．若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．當(dāng)p＝0時(shí)，{an}為常數(shù)列；當(dāng)p≠0時(shí)，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題．（2）對于等比數(shù)列：an＝a1qn﹣1．可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解．當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．當(dāng)q＝1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列．當(dāng)q＜0時(shí)，無法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：數(shù)列{an}滿足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n+k∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故選：B．典例2：設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{Sn}也為等差數(shù)列，則SA．310B．212C．180D．121解：∵等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），設(shè)公差為d，則an＝1+（n﹣1）d，其前n項(xiàng)和為Sn=n[1+1+(n-1)d]∴SnS1=1，S2∵數(shù)列{Sn}∴2S∴22+d=1解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn+10由于{(1∴Sn+10an2≤故選：D．2．等差數(shù)列的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了．第二問判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的．3．等差數(shù)列的概念與判定【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義：等差數(shù)列滿足an+1﹣an＝d．﹣判定：根據(jù)相鄰兩項(xiàng)的差是否為定值判定數(shù)列是否為等差數(shù)列．【命題方向】常見題型包括利用定義和相鄰兩項(xiàng)的差判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）A．6，6，6，?，6，?B．﹣2，﹣1，0，?，n﹣3，?C．5，8，11，?，3n+2，?D.0，1，3，?，n2解：數(shù)列6，6，6，?，6，?是公差為0的等差數(shù)列；數(shù)列﹣2，﹣1，0，?，n﹣3，?是公差為1的等差數(shù)列；∵3n+2﹣[3（n﹣1）+2]＝3為常數(shù)，故數(shù)列5，8，11，?，3n+2，?是等差數(shù)列；∵1﹣0≠3﹣1，故數(shù)列0，1，3，?，n2故選：D．4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝則S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案為：55點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．5．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和具有許多重要性質(zhì)，如遞增性、遞減性、與通項(xiàng)公式的關(guān)系等．﹣性質(zhì)分析：分析等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，如遞增性、遞減性等．﹣公式推導(dǎo)：根據(jù)等差數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和公式，推導(dǎo)出數(shù)列的性質(zhì)．﹣綜合應(yīng)用：將前n項(xiàng)和的性質(zhì)與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復(fù)雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)分析數(shù)列的遞增性、遞減性，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15，則Sn的最小值為_____．解：S3＝3a2＝﹣15，解得a2＝﹣5，故等差數(shù)列{an}的公差d＝a2﹣a1＝﹣5﹣（﹣7）＝2，∵a4＝a1+3d＝﹣1，a5＝a1+4d＝1，a3＝a2+d＝﹣5+2＝﹣3，∴當(dāng)n＝4時(shí)，Sn取得最小值S4＝a1+a2+a3+a4＝﹣7﹣5﹣3﹣1＝﹣16．故答案為：﹣16．6．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或?a1【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．7．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實(shí)際問題的結(jié)合．8．?dāng)?shù)列的求和【知識點(diǎn)的認(rèn)識】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例