新高考人教版高中物理題型訓(xùn)練專題3.5靜態(tài)平衡-（人教版2019必修第一冊(cè)）含答案及解析

專題3.5靜態(tài)平衡【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1輕桿模型】 【題型2共線力平衡問(wèn)題】 【題型3不共線三力平衡問(wèn)題】 【題型4不共線三力以上平衡問(wèn)題】 【題型5彈簧連接體平衡問(wèn)題】 【題型6細(xì)繩連接體平衡問(wèn)題】 【題型7其他連接體平衡問(wèn)題】 【題型8生活中的平衡問(wèn)題】 【題型9各力不共面的平衡問(wèn)題】 【題型1輕桿模型】【例1】如圖為兩種形式的吊車的示意圖，OA為可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的輕桿，重量不計(jì)，AB為纜繩，當(dāng)它們吊起相同重物時(shí)，桿OA在圖(a)、(b)中的受力分別為Fa、Fb，則下列關(guān)系正確的是()A．Fa＝Fb B．Fa>FbC．Fa<Fb D．大小不確定【變式1-1】如圖所示，水平橫梁一端A插在墻壁內(nèi)，另一端裝有一小滑輪B。一輕繩的一端C固定于墻壁上，另一端跨過(guò)滑輪后懸掛一質(zhì)量為m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，則滑輪受到繩子的作用力大小為(g取10m/s2)()A．50N B．60NC．120N D．100N【變式1-2】如圖所示，用AC、CD兩根輕繩將物塊懸于水平輕桿BC的下方，其中B為光滑轉(zhuǎn)軸，C為結(jié)點(diǎn)，輕桿BC始終保持水平，重物靜止不動(dòng)。已知物塊質(zhì)量為m，重力加速度為g。設(shè)AC、CD繩的拉力分別為FAC、FCD。下列選項(xiàng)正確的是()A．FAC＞mgB．FCD＞mgC．若A點(diǎn)上移，則FAC變大D．若A點(diǎn)下移，則FCD變大【變式1-3】如圖所示，A、B兩球用輕桿相連，用兩根細(xì)線將其懸掛在水平天花板上的O點(diǎn)．現(xiàn)用一水平力F作用于小球B上，使系統(tǒng)保持靜止?fàn)顟B(tài)且A、B兩球在同一水平線上．已知兩球重力均為G，輕桿與細(xì)線OA長(zhǎng)均為L(zhǎng)，則()A．細(xì)線OB的拉力的大小為2GB．細(xì)線OB的拉力的大小為GC．水平力F的大小為2GD．水平力F的大小為G【題型2共線力平衡問(wèn)題】【例2】20世紀(jì)末，由于生態(tài)環(huán)境的破壞，我國(guó)北方地區(qū)3、4月份沙塵暴天氣明顯增多。近年來(lái)，我國(guó)加大了環(huán)境治理，踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，沙塵天氣明顯減少?，F(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為沙塵顆粒懸浮在空中不動(dòng)。已知風(fēng)對(duì)沙塵的作用力表達(dá)式為F＝αρAv2，其中α為常數(shù)，ρ為空氣密度，A為沙塵顆粒的截面積，v為風(fēng)速。設(shè)沙塵顆粒為球形，密度為ρ0，半徑為r，風(fēng)速的方向豎直向上，重力加速度為g，則v的表達(dá)式為()A.eq\r(\f(4ρgr,3αρ0)) B.eq\r(\f(4ρ0gr,3αρ))C.eq\r(\f(ρ0gr,αρ)) D.eq\r(\f(4gr,3α))【變式2-1】如圖，A、B、C、D是四個(gè)完全相同的球，重力皆為G，A、B、C放置在水平面上用細(xì)線扎緊，D球疊放在A、B、C三球上面，則球A對(duì)地面的壓力為()A.eq\f(4,3)GB.eq\f(3,2)GC.eq\f(3,4)G D．G【變式2-2】如圖所示為某新型夾磚機(jī)，它能用兩支巨大的“手臂”將幾噸磚夾起，大大提高了工作效率．已知該新型夾磚機(jī)能夾起質(zhì)量為m的磚，兩支“手臂”對(duì)磚產(chǎn)生的最大壓力為Fmax，設(shè)最大靜犘擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則“手臂”與磚之間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為()A.eq\f(mg,Fmax)B.eq\f(mg,2Fmax)C.eq\f(2mg,Fmax)D.eq\f(Fmax,mg)【變式2-3】如圖所示，質(zhì)量均為m的木塊A和B，用一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，最初系統(tǒng)靜止，現(xiàn)在用力緩慢拉A直到B剛好離開地面，則這一過(guò)程A上升的高度為()A.eq\f(mg,k) B.eq\f(2mg,k)C.eq\f(3mg,k) D.eq\f(4mg,k)【題型3不共線三力平衡問(wèn)題】【例3】如圖所示，一物體在三根不可伸長(zhǎng)的輕繩的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，ac輕繩與豎直方向成37°角，bc輕繩與豎直方向成53°角，已知ac輕繩與bc輕繩能夠承受的最大拉力均為20N，cd輕繩能夠承受足夠大的拉力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8。則所掛物體的最大質(zhì)量為()A．1.6kgB．2.4kgC．2.5kg D．2.8kg【變式3-1】歷經(jīng)一年多的改造，太原迎澤公園重新開園，保持原貌的七孔橋與新建的湖面碼頭，如圖甲所示，為公園增色不少。如圖乙是七孔橋正中央一孔，位于中央的楔形石塊1，左側(cè)面與豎直方向的夾角為θ，右側(cè)面豎直。若接觸面間的摩擦力忽略不計(jì)，則石塊1左、右兩側(cè)面所受彈力的比值為()A.eq\f(1,tanθ)B．sinθC.eq\f(1,cosθ)D.eq\f(1,2cosθ)【變式3-2】如圖所示，一卡車沿傾角為15°的下坡路段勻速行駛，一質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓筒置于車廂內(nèi)兩固定光滑斜面之間，兩斜面Ⅰ、Ⅱ與車廂底板的夾角分別為30°和60°，圓筒對(duì)斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1、F2，則()A．F1＝eq\f(\r(2),2)mg、F2＝eq\f(\r(2),2)mgB．F1＝eq\f(\r(3),2)mg、F2＝eq\f(1,2)mgC．F1＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)mg、F2＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)mgD．F1＝eq\f(\r(3),3)mg、F2＝eq\f(\r(3),2)mg【變式3-3】(多選)兩輕桿通過(guò)鉸鏈相連構(gòu)成一個(gè)三角形框架，AB、BC、CA三邊長(zhǎng)度分別為30cm、20cm、40cm，在A點(diǎn)用一細(xì)線懸掛1kg的物塊，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則(g取10m/s2)()A．AB桿對(duì)A點(diǎn)有沿桿從B點(diǎn)指向A點(diǎn)的彈力B．CA桿作用于A點(diǎn)的彈力不一定沿CA桿方向C．CA桿產(chǎn)生的彈力大小為20ND．若改為懸掛一個(gè)0.5kg的物塊，則AB桿上彈力變?yōu)樵瓉?lái)的一半【題型4不共線三力以上平衡問(wèn)題】【例4】(多選)如圖所示，某中學(xué)新校區(qū)裝修時(shí)，工人用質(zhì)量為m的磨石對(duì)斜壁進(jìn)行打磨，當(dāng)對(duì)磨石施加方向豎直向上、大小為F的推力時(shí)，磨石恰好沿斜壁向上勻速運(yùn)動(dòng)，已知磨石與斜壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則磨石受到的摩擦力大小為()A．μ(F－mg)cosθ B．μ(F－mg)sinθC．(F－mg)cosθ D．μ(F－mg)【變式4-1】如圖(a)，滑塊在與水平方向夾角為37°斜向上的拉力F作用下，沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)。將該桌面傾斜成與水平方向夾角為37°，保持拉力的方向不變，大小變?yōu)?F，如圖(b)，滑塊恰好沿傾斜桌面向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)?；瑝K與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)【變式4-2】如圖，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)。若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)。物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為()A．2－eq\r(3) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)【變式4-3】如圖所示，六根原長(zhǎng)均為l的輕質(zhì)細(xì)彈簧兩兩相連，在同一平面內(nèi)六個(gè)大小相等、互成60°的恒定拉力F作用下，形成一個(gè)穩(wěn)定的正六邊形。已知正六邊形外接圓的半徑為R，每根彈簧的勁度系數(shù)均為k，彈簧在彈性限度內(nèi)，則F的大小為()A.eq\f(k,2)(R－l) B.k(R－l)C.k(R－2l) D.2k(R－l)【題型5彈簧連接體平衡問(wèn)題】【例5】如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球通過(guò)兩根輕彈簧A、B連接，在水平外力F作用下，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧實(shí)際長(zhǎng)度相等。彈簧A、B的勁度系數(shù)分別為kA、kB，且原長(zhǎng)相等。彈簧A、B與豎直方向的夾角分別為θ與45°。設(shè)彈簧A、B中的拉力分別為FA、FB。小球直徑相比彈簧長(zhǎng)度可以忽略，重力加速度為g。則()A.tanθ＝eq\f(1,2) B.kA＝kBC.FA＝eq\r(3)mg D.FB＝2mg【變式5-1】如圖所示，水平固定且傾角為30°的光滑斜面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B，它們用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，現(xiàn)對(duì)B施加一水平向左的推力F使A、B均靜止在斜面上，此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為l，則彈簧原長(zhǎng)和推力F的大小分別為()A．l＋eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgB．l－eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgC．l＋eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mgD．l－eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mg【變式5-2】如圖所示，用完全相同的輕彈簧A、B、C將兩個(gè)相同的小球連接并懸掛，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧A與豎直方向的夾角為30°，彈簧C水平，則彈簧A、C的伸長(zhǎng)量之比為()A.eq\r(3)∶4B．4∶eq\r(3)C．1∶2D．2∶1【變式5-3】如圖所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四個(gè)小物塊，各小物塊之間由四根完全相同的輕彈簧相互連接，正好組成一個(gè)菱形，∠BAD＝120°，整個(gè)系統(tǒng)保持靜止?fàn)顟B(tài)，已知A物塊所受的摩擦力大小為Ff，則D物塊所受的摩擦力大小為()A.eq\f(\r(3),2)FfB．FfC.eq\r(3)FfD．2Ff【題型6細(xì)繩連接體平衡問(wèn)題】【例6】如圖所示，釘子A和小定滑輪B均固定在豎直墻面上，它們相隔一定距離且處于同一高度，細(xì)線的一端系有一小沙桶D，另一端跨過(guò)定滑輪B與動(dòng)滑輪C后固定在釘子A上。質(zhì)量為m的小球E與輕質(zhì)動(dòng)滑輪C固定連接。初始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，滑輪C兩側(cè)細(xì)線的夾角為74°?，F(xiàn)緩慢地往沙桶添加細(xì)沙，當(dāng)系統(tǒng)再次平衡時(shí)，滑輪C兩側(cè)細(xì)線的夾角為106°。不計(jì)一切摩擦，取cos37°＝0.8，cos53°＝0.6，則此過(guò)程中往沙桶D中添加的細(xì)沙質(zhì)量為()A.eq\f(5,6)m B.eq\f(5,8)mC.eq\f(5,24)m D.eq\f(1,8)m【變式6-1】如圖所示，在豎直平面內(nèi)，固定有半圓弧軌道，其兩端點(diǎn)M、N連線水平。將一輕質(zhì)小環(huán)A套在軌道上，一細(xì)線穿過(guò)輕環(huán)A，一端系在M點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球恰好靜止在圖示位置。不計(jì)所有摩擦，重力加速度大小為g。下列說(shuō)法正確的是()A．軌道對(duì)輕環(huán)的支持力大小為mgB．細(xì)線對(duì)M點(diǎn)的拉力大小為eq\f(\r(3),2)mgC．細(xì)線對(duì)輕環(huán)的作用力大小為eq\f(3,2)mgD．N點(diǎn)和輕環(huán)的連線與豎直方向的夾角為30°【變式6-2】如圖所示，一根直桿固定在水平地面上，與水平面成θ＝37°的傾角，桿上套著一個(gè)質(zhì)量為m的圓環(huán)A，跨過(guò)定滑輪的細(xì)繩一端系在圓環(huán)A上，另一端系一物塊B。細(xì)繩對(duì)圓環(huán)A的拉力方向是水平向左。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，圓環(huán)A與直桿間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，要保證A不向上滑動(dòng)，所懸掛的物塊B質(zhì)量不能超過(guò)()A．mB.eq\f(4,3)mC.eq\f(5,3)m D．2m【變式6-3】如圖，兩個(gè)輕環(huán)a和b套在位于豎直面內(nèi)的一段固定圓弧上；一細(xì)線穿過(guò)兩輕環(huán)，其兩端各系一質(zhì)量為m的小球.在a和b之間的細(xì)線上懸掛一小物塊.平衡時(shí)，a、b間的距離恰好等于圓弧的半徑.不計(jì)所有摩擦.小物塊的質(zhì)量為()A.eq\f(m,2)B.eq\f(\r(3),2)mC.mD.2m【題型7其他連接體平衡問(wèn)題】【例7】如圖，V型對(duì)接的絕緣斜面M、N固定在水平面上，兩斜面與水平面夾角均為α＝60°，其中斜面N光滑。兩個(gè)質(zhì)量相同的帶電小滑塊P、Q分別靜止在M、N上，P、Q連線垂直于斜面M，已知最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。則P與M間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)【變式7-1】如圖所示，質(zhì)量為M的四分之一圓柱體放在粗糙水平地面上，質(zhì)量為m的正方體放在圓柱體和光滑墻壁之間，且不計(jì)圓柱體與正方體之間的摩擦，正方體與圓柱體的接觸點(diǎn)的切線與右側(cè)墻壁成θ角，圓柱體處于靜止?fàn)顟B(tài)。則()A．地面對(duì)圓柱體的支持力為MgB．地面對(duì)圓柱體的摩擦力為mgtanθC．墻壁對(duì)正方體的彈力為eq\f(mg,tanθ)D．正方體對(duì)圓柱體的壓力為eq\f(mg,cosθ)【變式7-2】如圖所示，物體A靠在豎直墻面上，在力F作用下，A、B保持靜止。物體B的受力個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．4 D．5【變式7-3】如圖所示，用輕繩系住一質(zhì)量為2m的勻質(zhì)大球，大球和墻壁之間放置一質(zhì)量為m的勻質(zhì)小球，各接觸面均光滑。系統(tǒng)平衡時(shí)，繩與豎直墻壁之間的夾角為α，兩球心連線O1O2與輕繩之間的夾角為β，則α、β應(yīng)滿足()A．tanα＝3cotβ B．2tanα＝3cotβC．3tanα＝tan(α＋β) D．3tanα＝2tan(α＋β)【題型8生活中的平衡問(wèn)題】【例8】筷子是中國(guó)人常用的飲食工具，也是中華飲食文化的標(biāo)志之一。筷子在先秦時(shí)稱為“梜”，漢代時(shí)稱“箸”，明代開始稱“筷”。如圖所示，用筷子夾質(zhì)量為m的小球，筷子均在豎直平面內(nèi)，且筷子和豎直方向的夾角均為θ，為使小球靜止，求每根筷子對(duì)小球的壓力N的取值范圍。已知小球與筷子之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(μ＜tanθ)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g?！咀兪?-1】如圖所示，總重為G的吊燈用三條長(zhǎng)度相同的輕繩懸掛在天花板上，每條輕繩與豎直方向的夾角均為θ，則每條輕繩對(duì)吊燈的拉力大小為()A.eq\f(G,3cosθ) B.eq\f(G,3sinθ)C.eq\f(1,3)Gcosθ D.eq\f(1,3)Gsinθ【變式8-2】（2022-浙江6月）如圖所示，一輕質(zhì)曬衣架靜置于水平地面上，水平橫桿與四根相同的斜桿垂直，兩斜桿夾角°。一重為的物體懸掛在橫桿中點(diǎn)，則每根斜桿受到地面的（）A.作用力為 B.作用力為C.摩擦力為 D.摩擦力為【變式8-3】如圖所示，對(duì)稱晾掛在光滑等腰三角形衣架上的衣服質(zhì)量為M，衣架頂角為120°，重力加速度為g，則衣架右側(cè)對(duì)衣服的作用力大小為()A.eq\f(1,2)Mg B.eq\f(\r(3),3)MgC.eq\f(\r(3),2)Mg D．Mg【題型9各力不共面的平衡問(wèn)題】【例9】如圖所示，矩形平板ABCD的AD邊固定在水平面上，平板與水平面夾角為θ，AC與AB的夾角也為θ。質(zhì)量為m的物塊在平行于平板的拉力作用下，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)。物塊與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝tanθ，重力加速度大小為g，拉力大小為()A.2mgsinθcoseq\f(θ,2) B.2mgsinθC.2mgsineq\f(θ,2) D.mgsinθcoseq\f(θ,2)【變式9-1】被譽(yù)為“中國(guó)天眼”的射電天文望遠(yuǎn)鏡(FAST)如圖所示，質(zhì)量為3×104kg的饋源艙用對(duì)稱的六索六塔裝置懸吊在球面鏡正上方，相鄰塔頂?shù)乃骄嚯x為300m，每根連接塔頂和饋源艙的繩索長(zhǎng)600m，不計(jì)繩索重力，則每根繩索承受的拉力大約為()A．4×105N B．6×104NC．1×105N D．3×104N【變式9-2】如圖所示為一款吊床，用四根長(zhǎng)均為L(zhǎng)的粗麻繩將床懸空吊起，繩與床連接點(diǎn)到天花板的豎直距離為0.9L，床及床上物品的總質(zhì)量為m，繩的重力不計(jì)，則每根繩上的張力大小為()A.eq\f(5,18)mgB.eq\f(9,10)mgC.eq\f(4,9)mgD.eq\f(1,4)mg【變式9-3】(多選)張鵬同學(xué)在家?guī)蛬寢屜赐暌路?，掛在如圖所示的晾衣架上晾曬，A、B為豎直墻壁上等高的兩點(diǎn)，AO、BO為長(zhǎng)度相等的兩根輕繩，CO為一根輕桿。轉(zhuǎn)軸C在AB中點(diǎn)D的正下方，A、O、B在同一水平面上?！螦OB＝60°，∠DOC＝30°，衣服質(zhì)量為m，重力加速度為g。則()A.CO桿所受的壓力大小為2mgB.CO桿所受的壓力大小為eq\f(2\r(3),3)mgC.AO繩所受的拉力大小為eq\r(3)mgD.BO繩所受的拉力大小為mg

參考答案【題型1輕桿模型】【例1】如圖為兩種形式的吊車的示意圖，OA為可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的輕桿，重量不計(jì)，AB為纜繩，當(dāng)它們吊起相同重物時(shí)，桿OA在圖(a)、(b)中的受力分別為Fa、Fb，則下列關(guān)系正確的是()A．Fa＝Fb B．Fa>FbC．Fa<Fb D．大小不確定[解析]對(duì)題圖中的A點(diǎn)受力分析，則由圖(a)可得Fa＝Fa′＝2mgcos30°＝eq\r(3)mg由圖(b)可得tan30°＝eq\f(mg,Fb′)，則Fb＝Fb′＝eq\r(3)mg，故Fa＝Fb。[答案]A【變式1-1】如圖所示，水平橫梁一端A插在墻壁內(nèi)，另一端裝有一小滑輪B。一輕繩的一端C固定于墻壁上，另一端跨過(guò)滑輪后懸掛一質(zhì)量為m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，則滑輪受到繩子的作用力大小為(g取10m/s2)()A．50N B．60NC．120N D．100N[解析]輕繩跨過(guò)滑輪，BC段、BD段拉力F1＝F2＝mg＝100N，夾角為120°，根據(jù)平行四邊形定則，二力合成如圖所示。由于F1＝F2，所以平行四邊形為菱形，又因?yàn)椤螪BG＝60°，所以△BGD為等邊三角形，所以F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100N，即繩子對(duì)滑輪的作用力大小為100N，D正確。[答案]D【變式1-2】如圖所示，用AC、CD兩根輕繩將物塊懸于水平輕桿BC的下方，其中B為光滑轉(zhuǎn)軸，C為結(jié)點(diǎn)，輕桿BC始終保持水平，重物靜止不動(dòng)。已知物塊質(zhì)量為m，重力加速度為g。設(shè)AC、CD繩的拉力分別為FAC、FCD。下列選項(xiàng)正確的是()A．FAC＞mgB．FCD＞mgC．若A點(diǎn)上移，則FAC變大D．若A點(diǎn)下移，則FCD變大解析：選AC點(diǎn)的受力如圖所示，則有FACsinα＝FCD，F(xiàn)CD＝mg，則FAC＝eq\f(FCD,sinα)＝eq\f(mg,sinα)，所以FAC＞mg，故A正確，B、D錯(cuò)誤；若A點(diǎn)上移，α變大，sinα變大，所以FAC變小，故C錯(cuò)誤?！咀兪?-3】如圖所示，A、B兩球用輕桿相連，用兩根細(xì)線將其懸掛在水平天花板上的O點(diǎn)．現(xiàn)用一水平力F作用于小球B上，使系統(tǒng)保持靜止?fàn)顟B(tài)且A、B兩球在同一水平線上．已知兩球重力均為G，輕桿與細(xì)線OA長(zhǎng)均為L(zhǎng)，則()A．細(xì)線OB的拉力的大小為2GB．細(xì)線OB的拉力的大小為GC．水平力F的大小為2GD．水平力F的大小為G答案D【題型2共線力平衡問(wèn)題】【例2】20世紀(jì)末，由于生態(tài)環(huán)境的破壞，我國(guó)北方地區(qū)3、4月份沙塵暴天氣明顯增多。近年來(lái)，我國(guó)加大了環(huán)境治理，踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，沙塵天氣明顯減少?，F(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為沙塵顆粒懸浮在空中不動(dòng)。已知風(fēng)對(duì)沙塵的作用力表達(dá)式為F＝αρAv2，其中α為常數(shù)，ρ為空氣密度，A為沙塵顆粒的截面積，v為風(fēng)速。設(shè)沙塵顆粒為球形，密度為ρ0，半徑為r，風(fēng)速的方向豎直向上，重力加速度為g，則v的表達(dá)式為()A.eq\r(\f(4ρgr,3αρ0)) B.eq\r(\f(4ρ0gr,3αρ))C.eq\r(\f(ρ0gr,αρ)) D.eq\r(\f(4gr,3α))答案B解析沙塵懸浮時(shí)受力平衡，根據(jù)平衡條件有mg＝F其中m＝ρ0V＝ρ0×eq\f(4,3)πr3，由題意知F＝αρAv2，A＝πr2，聯(lián)立解得v＝eq\r(\f(4ρ0gr,3αρ))，選項(xiàng)B正確。【變式2-1】如圖，A、B、C、D是四個(gè)完全相同的球，重力皆為G，A、B、C放置在水平面上用細(xì)線扎緊，D球疊放在A、B、C三球上面，則球A對(duì)地面的壓力為()A.eq\f(4,3)GB.eq\f(3,2)GC.eq\f(3,4)G D．G解析：選A由對(duì)稱性知，地面對(duì)A、B、C每個(gè)球的支持力相等，設(shè)為FN，對(duì)整體受力分析，據(jù)平衡條件可得3FN＝4G，可知地面對(duì)每個(gè)球的支持力FN＝eq\f(4,3)G。據(jù)牛頓第三定律可得，球A對(duì)地面的壓力F壓＝FN＝eq\f(4,3)G，故A正確。【變式2-2】如圖所示為某新型夾磚機(jī)，它能用兩支巨大的“手臂”將幾噸磚夾起，大大提高了工作效率．已知該新型夾磚機(jī)能夾起質(zhì)量為m的磚，兩支“手臂”對(duì)磚產(chǎn)生的最大壓力為Fmax，設(shè)最大靜犘擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則“手臂”與磚之間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為()A.eq\f(mg,Fmax)B.eq\f(mg,2Fmax)C.eq\f(2mg,Fmax)D.eq\f(Fmax,mg)答案B解析對(duì)磚進(jìn)行受力分析，根據(jù)平衡條件得：2Ff＝mg，即2μFmax＝mg，解得：μ＝eq\f(mg,2Fmax)，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤．【變式2-3】如圖所示，質(zhì)量均為m的木塊A和B，用一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，最初系統(tǒng)靜止，現(xiàn)在用力緩慢拉A直到B剛好離開地面，則這一過(guò)程A上升的高度為()A.eq\f(mg,k) B.eq\f(2mg,k)C.eq\f(3mg,k) D.eq\f(4mg,k)答案B解析最初彈簧處于壓縮狀態(tài)，根據(jù)平衡條件對(duì)A有kΔl1＝mg，B剛好離開地面時(shí)彈簧處于拉伸狀態(tài)，根據(jù)平衡條件對(duì)B有kΔl2＝mg，這一過(guò)程A上升的高度為Δl1＋Δl2＝eq\f(2mg,k)，故選項(xiàng)B正確?！绢}型3不共線三力平衡問(wèn)題】【例3】如圖所示，一物體在三根不可伸長(zhǎng)的輕繩的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，ac輕繩與豎直方向成37°角，bc輕繩與豎直方向成53°角，已知ac輕繩與bc輕繩能夠承受的最大拉力均為20N，cd輕繩能夠承受足夠大的拉力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8。則所掛物體的最大質(zhì)量為()A．1.6kgB．2.4kgC．2.5kg D．2.8kg[解析]對(duì)結(jié)點(diǎn)c受力分析，由共點(diǎn)力平衡條件可得Tbc＝mgsin37°＝0.6mg，Tac＝mgsin53°＝0.8mg，可知Tac＞Tbc，則ac輕繩承受的最大拉力為20N時(shí)，此時(shí)能懸掛物體的質(zhì)量最大，則有m＝eq\f(Tac,0.8g)＝eq\f(20,0.8×10)kg＝2.5kg，C正確。[答案]C【變式3-1】歷經(jīng)一年多的改造，太原迎澤公園重新開園，保持原貌的七孔橋與新建的湖面碼頭，如圖甲所示，為公園增色不少。如圖乙是七孔橋正中央一孔，位于中央的楔形石塊1，左側(cè)面與豎直方向的夾角為θ，右側(cè)面豎直。若接觸面間的摩擦力忽略不計(jì)，則石塊1左、右兩側(cè)面所受彈力的比值為()A.eq\f(1,tanθ)B．sinθC.eq\f(1,cosθ)D.eq\f(1,2cosθ)解析：選C對(duì)石塊1受力分析如圖所示，有F1＝eq\f(mg,sinθ)，F(xiàn)2＝eq\f(mg,tanθ)，則石塊1左、右兩側(cè)面所受彈力的比值eq\f(F1,F2)＝eq\f(1,cosθ)，故C正確?！咀兪?-2】如圖所示，一卡車沿傾角為15°的下坡路段勻速行駛，一質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓筒置于車廂內(nèi)兩固定光滑斜面之間，兩斜面Ⅰ、Ⅱ與車廂底板的夾角分別為30°和60°，圓筒對(duì)斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1、F2，則()A．F1＝eq\f(\r(2),2)mg、F2＝eq\f(\r(2),2)mgB．F1＝eq\f(\r(3),2)mg、F2＝eq\f(1,2)mgC．F1＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)mg、F2＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)mgD．F1＝eq\f(\r(3),3)mg、F2＝eq\f(\r(3),2)mg解析：選A對(duì)圓筒受力分析如圖所示，由幾何關(guān)系可得F1、F2與豎直方向夾角都為45°，由平衡條件可得F1＝mgcos45°＝eq\f(\r(2),2)mg，F(xiàn)2＝mgsin45°＝eq\f(\r(2),2)mg，所以A正確，B、C、D錯(cuò)誤。【變式3-3】(多選)兩輕桿通過(guò)鉸鏈相連構(gòu)成一個(gè)三角形框架，AB、BC、CA三邊長(zhǎng)度分別為30cm、20cm、40cm，在A點(diǎn)用一細(xì)線懸掛1kg的物塊，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則(g取10m/s2)()A．AB桿對(duì)A點(diǎn)有沿桿從B點(diǎn)指向A點(diǎn)的彈力B．CA桿作用于A點(diǎn)的彈力不一定沿CA桿方向C．CA桿產(chǎn)生的彈力大小為20ND．若改為懸掛一個(gè)0.5kg的物塊，則AB桿上彈力變?yōu)樵瓉?lái)的一半[解析]AB桿對(duì)A點(diǎn)有沿桿從A點(diǎn)指向B點(diǎn)的拉力，A錯(cuò)誤；由于是輕桿且通過(guò)鉸鏈連接，則CA桿作用于A點(diǎn)的彈力一定沿CA桿方向，B錯(cuò)誤；分析A點(diǎn)的受力，由相似三角形可知：解得FCA＝2mg＝20N，C正確；因則FAB＝15N，若改為懸掛一個(gè)0.5kg的物塊，則AB桿上彈力為7.5N，D正確。[答案]CD【題型4不共線三力以上平衡問(wèn)題】【例4】(多選)如圖所示，某中學(xué)新校區(qū)裝修時(shí)，工人用質(zhì)量為m的磨石對(duì)斜壁進(jìn)行打磨，當(dāng)對(duì)磨石施加方向豎直向上、大小為F的推力時(shí)，磨石恰好沿斜壁向上勻速運(yùn)動(dòng)，已知磨石與斜壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則磨石受到的摩擦力大小為()A．μ(F－mg)cosθ B．μ(F－mg)sinθC．(F－mg)cosθ D．μ(F－mg)解析：選BC磨石受重力、推力、斜壁的彈力及摩擦力而處于平衡狀態(tài)，由圖可知，F(xiàn)一定大于重力；先將重力與向上的推力合成后，將二者的合力向垂直于斜面方向及沿斜面方向分解，可得在沿斜面方向有：f＝(F－mg)cosθ；在垂直于斜面方向上有：FN＝(F－mg)sinθ；則f＝(F－mg)cosθ＝μ(F－mg)sinθ，故B、C正確?！咀兪?-1】如圖(a)，滑塊在與水平方向夾角為37°斜向上的拉力F作用下，沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)。將該桌面傾斜成與水平方向夾角為37°，保持拉力的方向不變，大小變?yōu)?F，如圖(b)，滑塊恰好沿傾斜桌面向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)。滑塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)解析：選A設(shè)滑塊質(zhì)量為m，當(dāng)滑塊沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，據(jù)平衡條件可得，在水平、豎直方向分別有Fcos37°＝μN(yùn)1，F(xiàn)sin37°＋N1＝mg，當(dāng)滑塊沿傾斜桌面向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿斜面方向、垂直斜面方向分別有2F＝mgsin37°＋μN(yùn)2，N2＝mgcos37°，聯(lián)立可解得μ＝eq\f(3,4)，A正確?！咀兪?-2】如圖，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)。若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)。物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為()A．2－eq\r(3) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：選C當(dāng)拉力水平時(shí)，物塊做勻速運(yùn)動(dòng)，則F＝μmg，當(dāng)拉力方向與水平方向的夾角為60°時(shí)，物塊也剛好做勻速運(yùn)動(dòng)，則Fcos60°＝μ(mg－Fsin60°)，聯(lián)立解得μ＝eq\f(\r(3),3)，A、B、D項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確。【變式4-3】如圖所示，六根原長(zhǎng)均為l的輕質(zhì)細(xì)彈簧兩兩相連，在同一平面內(nèi)六個(gè)大小相等、互成60°的恒定拉力F作用下，形成一個(gè)穩(wěn)定的正六邊形。已知正六邊形外接圓的半徑為R，每根彈簧的勁度系數(shù)均為k，彈簧在彈性限度內(nèi)，則F的大小為()A.eq\f(k,2)(R－l) B.k(R－l)C.k(R－2l) D.2k(R－l)答案B解析正六邊形外接圓的半徑為R，則彈簧的長(zhǎng)度為R，彈簧的伸長(zhǎng)量為Δx＝R－l。由胡克定律可知，每根彈簧的彈力為F彈＝kΔx＝k(R－l)。兩相鄰彈簧夾角為120°，兩相鄰彈簧彈力的合力為F合＝F彈＝k(R－l)。彈簧靜止，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，F(xiàn)的大小為F＝F合＝k(R－l)，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤?！绢}型5彈簧連接體平衡問(wèn)題】【例5】如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球通過(guò)兩根輕彈簧A、B連接，在水平外力F作用下，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧實(shí)際長(zhǎng)度相等。彈簧A、B的勁度系數(shù)分別為kA、kB，且原長(zhǎng)相等。彈簧A、B與豎直方向的夾角分別為θ與45°。設(shè)彈簧A、B中的拉力分別為FA、FB。小球直徑相比彈簧長(zhǎng)度可以忽略，重力加速度為g。則()A.tanθ＝eq\f(1,2) B.kA＝kBC.FA＝eq\r(3)mg D.FB＝2mg答案A解析對(duì)小球B進(jìn)行受力分析，如圖甲所示，甲乙根據(jù)平衡條件得F＝mgtan45°＝mg，F(xiàn)B＝eq\f(mg,cos45°)＝eq\r(2)mg；對(duì)兩個(gè)小球整體受力分析，如圖乙所示。根據(jù)平衡條件得：tanθ＝eq\f(F,2mg)，又F＝mg，解得tanθ＝eq\f(1,2)，F(xiàn)A＝eq\r(（2mg）2＋F2)＝eq\r(5)mg，由題意可知兩彈簧的形變量相等，則有：x＝eq\f(FA,kA)＝eq\f(FB,kB)，解得：eq\f(kA,kB)＝eq\f(FA,FB)＝eq\f(\r(5),\r(2))，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤?！咀兪?-1】如圖所示，水平固定且傾角為30°的光滑斜面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B，它們用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，現(xiàn)對(duì)B施加一水平向左的推力F使A、B均靜止在斜面上，此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為l，則彈簧原長(zhǎng)和推力F的大小分別為()A．l＋eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgB．l－eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgC．l＋eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mgD．l－eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mg答案B解析以A、B和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，則Fcos30°＝2mgsin30°，得F＝eq\f(2\r(3),3)mg；隔離A有kx＝mgsin30°，得彈簧原長(zhǎng)為l－x＝l－eq\f(mg,2k)，故選項(xiàng)B正確．【變式5-2】如圖所示，用完全相同的輕彈簧A、B、C將兩個(gè)相同的小球連接并懸掛，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧A與豎直方向的夾角為30°，彈簧C水平，則彈簧A、C的伸長(zhǎng)量之比為()A.eq\r(3)∶4B．4∶eq\r(3)C．1∶2D．2∶1答案D解析這是典型的平衡模型，解題的要點(diǎn)是對(duì)兩小球進(jìn)行受力分析，列平衡方程，若取兩小球作為一個(gè)整體來(lái)研究會(huì)更方便．方法1：分別對(duì)兩小球受力分析，如圖所示FAsin30°－FBsinα＝0FB′sinα－FC＝0，F(xiàn)B＝FB′得FA＝2FC，即彈簧A、C的伸長(zhǎng)量之比為2∶1，選項(xiàng)D正確．方法2：將兩球作為一個(gè)整體進(jìn)行受力分析，如圖所示由平衡條件知：eq\f(FA′,FC)＝eq\f(1,sin30°)即FA′＝2FC又FA′＝FA，則FA＝2FC，故選項(xiàng)D正確．【變式5-3】如圖所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四個(gè)小物塊，各小物塊之間由四根完全相同的輕彈簧相互連接，正好組成一個(gè)菱形，∠BAD＝120°，整個(gè)系統(tǒng)保持靜止?fàn)顟B(tài)，已知A物塊所受的摩擦力大小為Ff，則D物塊所受的摩擦力大小為()A.eq\f(\r(3),2)FfB．FfC.eq\r(3)FfD．2Ff答案C解析已知A物塊所受的摩擦力大小為Ff，設(shè)每根彈簧的彈力為F，則有：2Fcos60°＝Ff，對(duì)D：2Fcos30°＝Ff′，解得：Ff′＝eq\r(3)F＝eq\r(3)Ff.【題型6細(xì)繩連接體平衡問(wèn)題】【例6】如圖所示，釘子A和小定滑輪B均固定在豎直墻面上，它們相隔一定距離且處于同一高度，細(xì)線的一端系有一小沙桶D，另一端跨過(guò)定滑輪B與動(dòng)滑輪C后固定在釘子A上。質(zhì)量為m的小球E與輕質(zhì)動(dòng)滑輪C固定連接。初始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，滑輪C兩側(cè)細(xì)線的夾角為74°?，F(xiàn)緩慢地往沙桶添加細(xì)沙，當(dāng)系統(tǒng)再次平衡時(shí)，滑輪C兩側(cè)細(xì)線的夾角為106°。不計(jì)一切摩擦，取cos37°＝0.8，cos53°＝0.6，則此過(guò)程中往沙桶D中添加的細(xì)沙質(zhì)量為()A.eq\f(5,6)m B.eq\f(5,8)mC.eq\f(5,24)m D.eq\f(1,8)m[解析]設(shè)初始時(shí)沙桶和沙的質(zhì)量為m1，再次平衡時(shí)沙桶和沙的質(zhì)量為m2，則添加細(xì)沙前后根據(jù)平衡條件有m1gcos37°＝eq\f(1,2)mg，m2gcos53°＝eq\f(1,2)mg，解得m2＝eq\f(5,6)m，m1＝eq\f(5,8)m，則Δm＝m2－m1＝eq\f(5,24)m，C正確。[答案]C【變式6-1】如圖所示，在豎直平面內(nèi)，固定有半圓弧軌道，其兩端點(diǎn)M、N連線水平。將一輕質(zhì)小環(huán)A套在軌道上，一細(xì)線穿過(guò)輕環(huán)A，一端系在M點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球恰好靜止在圖示位置。不計(jì)所有摩擦，重力加速度大小為g。下列說(shuō)法正確的是()A．軌道對(duì)輕環(huán)的支持力大小為mgB．細(xì)線對(duì)M點(diǎn)的拉力大小為eq\f(\r(3),2)mgC．細(xì)線對(duì)輕環(huán)的作用力大小為eq\f(3,2)mgD．N點(diǎn)和輕環(huán)的連線與豎直方向的夾角為30°解析：選D輕環(huán)兩邊細(xì)線的拉力大小相等，均為FT＝mg，輕環(huán)兩側(cè)細(xì)線的拉力與輕環(huán)對(duì)圓弧軌道的壓力的夾角相等，設(shè)為θ，由OA＝OM知∠OMA＝∠MAO＝θ，則3θ＝90°，θ＝30°，輕環(huán)受力平衡，則軌道對(duì)輕環(huán)的支持力大小FN＝2mgcos30°＝eq\r(3)mg，A錯(cuò)誤；細(xì)線對(duì)M點(diǎn)的拉力大小為mg，B錯(cuò)誤；細(xì)線對(duì)輕環(huán)的作用力大小為FN′＝FN＝eq\r(3)mg，C錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系可知，N點(diǎn)和輕環(huán)的連線與豎直方向的夾角為30°，D正確?！咀兪?-2】如圖所示，一根直桿固定在水平地面上，與水平面成θ＝37°的傾角，桿上套著一個(gè)質(zhì)量為m的圓環(huán)A，跨過(guò)定滑輪的細(xì)繩一端系在圓環(huán)A上，另一端系一物塊B。細(xì)繩對(duì)圓環(huán)A的拉力方向是水平向左。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，圓環(huán)A與直桿間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，要保證A不向上滑動(dòng)，所懸掛的物塊B質(zhì)量不能超過(guò)()A．mB.eq\f(4,3)mC.eq\f(5,3)m D．2m解析：選D對(duì)圓環(huán)A受力分析，如圖，對(duì)物塊B，由平衡條件可得T＝mBg，當(dāng)圓環(huán)剛要上滑時(shí)，由平衡條件可得Tcosθ＝mgsinθ＋fm，fm＝μ(Tsinθ＋mgcosθ)，聯(lián)立解得mB＝2m，即懸掛的物塊B質(zhì)量不能超過(guò)2m。故D正確?！咀兪?-3】如圖，兩個(gè)輕環(huán)a和b套在位于豎直面內(nèi)的一段固定圓弧上；一細(xì)線穿過(guò)兩輕環(huán)，其兩端各系一質(zhì)量為m的小球.在a和b之間的細(xì)線上懸掛一小物塊.平衡時(shí)，a、b間的距離恰好等于圓弧的半徑.不計(jì)所有摩擦.小物塊的質(zhì)量為()A.eq\f(m,2)B.eq\f(\r(3),2)mC.mD.2m答案C解析如圖所示，圓弧的圓心為O，懸掛小物塊的點(diǎn)為c，由于ab＝R，則△aOb為等邊三角形，同一條細(xì)線上的拉力相等，F(xiàn)T＝mg，合力沿Oc方向，則Oc為角平分線，由幾何關(guān)系知，∠acb＝120°，故線的拉力的合力與物塊的重力大小相等，即每條細(xì)線上的拉力FT＝G＝mg，所以小物塊質(zhì)量為m，故C對(duì).【題型7其他連接體平衡問(wèn)題】【例7】如圖，V型對(duì)接的絕緣斜面M、N固定在水平面上，兩斜面與水平面夾角均為α＝60°，其中斜面N光滑。兩個(gè)質(zhì)量相同的帶電小滑塊P、Q分別靜止在M、N上，P、Q連線垂直于斜面M，已知最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。則P與M間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)解析：選D滑塊Q在光滑斜面N上靜止，則P與Q帶電同性，設(shè)兩者之間的庫(kù)侖斥力為F，兩滑塊的受力分析和角度關(guān)系如圖所示，對(duì)滑塊Q在沿著斜面方向有mgcos30°＝Fcos30°，可得F＝mg，P與M間動(dòng)摩擦因數(shù)最小時(shí)有N2＝F＋mgsin30°，f＝μN(yùn)2，f＝mgcos30°，聯(lián)立解得μ＝eq\f(\r(3),3)，故D正確。【變式7-1】如圖所示，質(zhì)量為M的四分之一圓柱體放在粗糙水平地面上，質(zhì)量為m的正方體放在圓柱體和光滑墻壁之間，且不計(jì)圓柱體與正方體之間的摩擦，正方體與圓柱體的接觸點(diǎn)的切線與右側(cè)墻壁成θ角，圓柱體處于靜止?fàn)顟B(tài)。則()A．地面對(duì)圓柱體的支持力為MgB．地面對(duì)圓柱體的摩擦力為mgtanθC．墻壁對(duì)正方體的彈力為eq\f(mg,tanθ)D．正方體對(duì)圓柱體的壓力為eq\f(mg,cosθ)解析：選C以正方體為研究對(duì)象，受力分析，并運(yùn)用合成法如圖所示。由幾何知識(shí)得，墻壁對(duì)正方體的彈力N1＝eq\f(mg,tanθ)圓柱體對(duì)正方體的彈力N2＝eq\f(mg,sinθ)，根據(jù)牛頓第三定律，則正方體對(duì)圓柱體的壓力為eq\f(mg,sinθ)以圓柱體和正方體為研究對(duì)象，豎直方向受力平衡，地面對(duì)圓柱體的支持力：N＝(M＋m)g水平方向受力平衡，地面對(duì)圓柱體的摩擦力：f＝N1＝eq\f(mg,tanθ)，故C正確。【變式7-2】如圖所示，物體A靠在豎直墻面上，在力F作用下，A、B保持靜止。物體B的受力個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．4 D．5解析：選C先以物體A為研究對(duì)象，受力情況如圖甲所示，此時(shí)，墻對(duì)物體A沒有支持力(此結(jié)論可利用整體法得出)。再以物體B為研究對(duì)象，結(jié)合牛頓第三定律，其受力情況如圖乙所示，即要保持物體B平衡，B應(yīng)受到重力、壓力、摩擦力、力F共4個(gè)力的作用?！咀兪?-3】如圖所示，用輕繩系住一質(zhì)量為2m的勻質(zhì)大球，大球和墻壁之間放置一質(zhì)量為m的勻質(zhì)小球，各接觸面均光滑。系統(tǒng)平衡時(shí)，繩與豎直墻壁之間的夾角為α，兩球心連線O1O2與輕繩之間的夾角為β，則α、β應(yīng)滿足()A．tanα＝3cotβ B．2tanα＝3cotβC．3tanα＝tan(α＋β) D．3tanα＝2tan(α＋β)解析：選C設(shè)繩子拉力為T，墻壁支持力為N，兩球之間的壓力為F，將兩個(gè)球作為一個(gè)整體進(jìn)行受力分析，可得Tcosα＝2mg＋mg，Tsinα＝N，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，可得Fcos(α＋β)＝mg，F(xiàn)sin(α＋β)＝N，聯(lián)立得3tanα＝tan(α＋β)，故C正確。【題型8生活中的平衡問(wèn)題】【例8】筷子是中國(guó)人常用的飲食工具，也是中華飲食文化的標(biāo)志之一?？曜釉谙惹貢r(shí)稱為“梜”，漢代時(shí)稱“箸”，明代開始稱“筷”。如圖所示，用筷子夾質(zhì)量為m的小球，筷子均在豎直平面內(nèi)，且筷子和豎直方向的夾角均為θ，為使小球靜止，求每根筷子對(duì)小球的壓力N的取值范圍。已知小球與筷子之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(μ＜tanθ)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。[解析]筷子對(duì)小球的壓力太小時(shí)，小球有下滑的趨勢(shì)，最大靜摩擦力沿筷子向上，如圖甲所示。小球平衡時(shí)，有2Nsinθ＋2fcosθ＝mgf＝μN(yùn)聯(lián)立解得N＝eq\f(mg,2sinθ＋μcosθ)筷子對(duì)小球的壓力太大時(shí)，小球有上滑的趨勢(shì)，最大靜摩擦力沿筷子向下，如圖乙所示。小球平衡時(shí)，有2N′sinθ＝mg＋2f′cosθf(wàn)′＝μN(yùn)′聯(lián)立解得N′＝eq\f(mg,2sinθ－μcosθ)綜上，筷子對(duì)小球的壓力的取值范圍為：eq\f(mg,2sinθ＋μcosθ)≤N≤eq\f(mg,2sinθ－μcosθ)。[答案]eq\f(mg,2sinθ＋μcosθ)≤N≤eq\f(mg,2sinθ－μcosθ)【變式8-1】如圖所示，總重為G的吊燈用三條長(zhǎng)度相同的輕繩懸掛在天花板上，每條輕繩與豎直方向的夾角均為θ，則每條輕繩對(duì)吊燈的拉力大小為()A.eq\f(G,3cosθ) B.eq\f(G,3sinθ)C.eq\f(1,3)Gcosθ D.eq\f(1,3)Gsinθ答案A解析對(duì)吊燈，由平衡條件可知：3FTcosθ＝G，解得FT＝eq\f(G,3cosθ)，故選A.【變式8-2】（2022-浙江6月）如圖所示，一輕質(zhì)曬衣架靜置于水平地面上，水平橫桿與四根相同的斜桿垂直，兩斜桿夾角°。一重為的物體懸掛在橫桿中點(diǎn)，則每根斜桿受到地面的（）A.作用力為 B.作用力為C.摩擦力為 D.摩擦力為【答案】B【解析】設(shè)斜桿的彈力大小為，以水平橫桿和重物為整體，豎直方向根據(jù)受力平衡可得解得以其中一斜桿為研究對(duì)象，其受力如圖所示可知每根斜桿受到地面的作用力應(yīng)與平衡，即大小為，每根斜桿受到地面的摩擦力為B正確，ACD錯(cuò)誤；故選B。【變式8-3】如圖所示，對(duì)稱晾掛在光滑等腰三角形衣架上的衣服質(zhì)量為M，衣架頂角為120°，重力加速度為g，則衣架右側(cè)對(duì)衣服的作用力大小為()A.eq\f(1,2)Mg B.eq\f(\r(3),3)MgC.eq\f(\r(3),2)Mg D．Mg解析：選B以衣服為研究對(duì)象，受力分析如圖所示，由幾何關(guān)系得F與豎直方向的夾角為30°，由共點(diǎn)力的平衡條件可得，2Fcos30°＝Mg，解得F＝eq\f(\r(3),3)Mg，故選項(xiàng)B正確。【題型9各力不共面的平衡問(wèn)題】【例9】如圖所示，矩形平板ABCD的AD邊固定在水平面上，平板與水平面夾角為θ，AC與AB的夾角也為θ。質(zhì)量為m的物塊在平行于平板的拉力作用下，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)。物塊與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝tanθ，重力加速度大小為g，拉力大小為()A.2mgsinθcoseq\f(θ,2) B.2mgsinθC.2mgsineq\f(θ,2) D.mgsinθcoseq\f(θ,2)答案A解析對(duì)物塊受力分析，如圖甲、乙所示，重力沿斜面向下的分力為mgsinθ，支持力FN＝mgcosθ，滑動(dòng)摩擦力Ff＝μFN＝mgsinθ，則拉力F＝2mgsinθcoseq\f(θ,2)，故A正確?！咀兪?-1】被譽(yù)為“中國(guó)天眼”的射電天文望遠(yuǎn)鏡(FAST)如圖所示，質(zhì)量為3×104kg的饋源艙用對(duì)稱的六索六塔裝置懸吊在球面鏡正上方，相鄰塔頂?shù)乃骄嚯x為300m，每根連接塔頂和饋源艙的繩索長(zhǎng)600m，不計(jì)繩索重力，則每根繩索承受的拉力大約為()A．4×105N B．6×104NC．1×105N D．3×104N解析：選B將各塔頂連接起來(lái)，得到正六邊形，由幾何關(guān)系可得饋源艙到塔頂?shù)乃骄嚯x等于相鄰塔頂?shù)乃骄嚯x為300m，則可知每根繩索與豎直方向的夾角為30°，由平衡條件可得6Fcos30°＝mg，解得F＝eq\f(mg,6cos30°)≈6×104N，所以B正確，A、C、D錯(cuò)誤?！咀兪?-2】如圖所示為一款吊床，用四根長(zhǎng)均為L(zhǎng)的粗麻繩將床懸空吊起，繩與床連接點(diǎn)到天花板的豎直距離為0.9L，床及床上物品的總質(zhì)量為m，繩的重力不計(jì)，則每根繩上的張力大小為()A.eq\f(5,18)mgB.eq\f(9,10)mgC.eq\f(4,9)mgD.eq\f(1,4)mg解析：選A設(shè)每根繩子的張力為T，繩子與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)幾何知識(shí)有cosθ＝eq\f(0.9L,L)＝0.9，對(duì)吊床，根據(jù)平衡條件可得4Tcosθ＝mg，則每根繩上的張力大小為T＝eq\f(5,18)mg，A正確?！咀兪?-3】(多選)張鵬同學(xué)在家?guī)蛬寢屜赐暌路?，掛在如圖所示的晾衣架上晾曬，A、B為豎直墻壁上等高的兩點(diǎn)，AO、BO為長(zhǎng)度相等的兩根輕繩，CO為一根輕桿。轉(zhuǎn)軸C在AB中點(diǎn)D的正下方，A、O、B在同一水平面上?！螦OB＝60°，∠DOC＝30°，衣服質(zhì)量為m，重力加速度為g。則()A.CO桿所受的壓力大小為2mgB.CO桿所受的壓力大小為eq\f(2\r(3),3)mgC.AO繩所受的拉力大小為eq\r(3)mgD.BO繩所受的拉力大小為mg答案AD解析設(shè)繩AO和繩BO拉力的合力為F，以O(shè)點(diǎn)為研究對(duì)象，O點(diǎn)受到衣服的拉力(大小等于衣服的重力mg)、CO桿的支持力F1和兩繩的合力F，受力分析如圖甲所示，根據(jù)平衡條件得：F1＝eq\f(mg,cos60°)＝2mg，由牛頓第三定律可知CO桿所受的壓力大小為2mg，故A正確，B錯(cuò)誤；甲乙F＝mgtan60°＝eq\r(3)mg，將F分解，如圖乙所示，繩AO和繩BO所受拉力的大小均為F2，由F＝2F2cos30°，解得F2＝mg，故C錯(cuò)誤，D正確。專題3.5靜態(tài)平衡【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1輕桿模型】 【題型2共線力平衡問(wèn)題】 【題型3不共線三力平衡問(wèn)題】 【題型4不共線三力以上平衡問(wèn)題】 【題型5彈簧連接體平衡問(wèn)題】 【題型6細(xì)繩連接體平衡問(wèn)題】 【題型7其他連接體平衡問(wèn)題】 【題型8生活中的平衡問(wèn)題】 【題型9各力不共面的平衡問(wèn)題】 【題型1輕桿模型】【例1】如圖為兩種形式的吊車的示意圖，OA為可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的輕桿，重量不計(jì)，AB為纜繩，當(dāng)它們吊起相同重物時(shí)，桿OA在圖(a)、(b)中的受力分別為Fa、Fb，則下列關(guān)系正確的是()A．Fa＝Fb B．Fa>FbC．Fa<Fb D．大小不確定[解析]對(duì)題圖中的A點(diǎn)受力分析，則由圖(a)可得Fa＝Fa′＝2mgcos30°＝eq\r(3)mg由圖(b)可得tan30°＝eq\f(mg,Fb′)，則Fb＝Fb′＝eq\r(3)mg，故Fa＝Fb。[答案]A【變式1-1】如圖所示，水平橫梁一端A插在墻壁內(nèi)，另一端裝有一小滑輪B。一輕繩的一端C固定于墻壁上，另一端跨過(guò)滑輪后懸掛一質(zhì)量為m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，則滑輪受到繩子的作用力大小為(g取10m/s2)()A．50N B．60NC．120N D．100N[解析]輕繩跨過(guò)滑輪，BC段、BD段拉力F1＝F2＝mg＝100N，夾角為120°，根據(jù)平行四邊形定則，二力合成如圖所示。由于F1＝F2，所以平行四邊形為菱形，又因?yàn)椤螪BG＝60°，所以△BGD為等邊三角形，所以F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100N，即繩子對(duì)滑輪的作用力大小為100N，D正確。[答案]D【變式1-2】如圖所示，用AC、CD兩根輕繩將物塊懸于水平輕桿BC的下方，其中B為光滑轉(zhuǎn)軸，C為結(jié)點(diǎn)，輕桿BC始終保持水平，重物靜止不動(dòng)。已知物塊質(zhì)量為m，重力加速度為g。設(shè)AC、CD繩的拉力分別為FAC、FCD。下列選項(xiàng)正確的是()A．FAC＞mgB．FCD＞mgC．若A點(diǎn)上移，則FAC變大D．若A點(diǎn)下移，則FCD變大解析：選AC點(diǎn)的受力如圖所示，則有FACsinα＝FCD，F(xiàn)CD＝mg，則FAC＝eq\f(FCD,sinα)＝eq\f(mg,sinα)，所以FAC＞mg，故A正確，B、D錯(cuò)誤；若A點(diǎn)上移，α變大，sinα變大，所以FAC變小，故C錯(cuò)誤?！咀兪?-3】如圖所示，A、B兩球用輕桿相連，用兩根細(xì)線將其懸掛在水平天花板上的O點(diǎn)．現(xiàn)用一水平力F作用于小球B上，使系統(tǒng)保持靜止?fàn)顟B(tài)且A、B兩球在同一水平線上．已知兩球重力均為G，輕桿與細(xì)線OA長(zhǎng)均為L(zhǎng)，則()A．細(xì)線OB的拉力的大小為2GB．細(xì)線OB的拉力的大小為GC．水平力F的大小為2GD．水平力F的大小為G答案D【題型2共線力平衡問(wèn)題】【例2】20世紀(jì)末，由于生態(tài)環(huán)境的破壞，我國(guó)北方地區(qū)3、4月份沙塵暴天氣明顯增多。近年來(lái)，我國(guó)加大了環(huán)境治理，踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，沙塵天氣明顯減少?，F(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為沙塵顆粒懸浮在空中不動(dòng)。已知風(fēng)對(duì)沙塵的作用力表達(dá)式為F＝αρAv2，其中α為常數(shù)，ρ為空氣密度，A為沙塵顆粒的截面積，v為風(fēng)速。設(shè)沙塵顆粒為球形，密度為ρ0，半徑為r，風(fēng)速的方向豎直向上，重力加速度為g，則v的表達(dá)式為()A.eq\r(\f(4ρgr,3αρ0)) B.eq\r(\f(4ρ0gr,3αρ))C.eq\r(\f(ρ0gr,αρ)) D.eq\r(\f(4gr,3α))答案B解析沙塵懸浮時(shí)受力平衡，根據(jù)平衡條件有mg＝F其中m＝ρ0V＝ρ0×eq\f(4,3)πr3，由題意知F＝αρAv2，A＝πr2，聯(lián)立解得v＝eq\r(\f(4ρ0gr,3αρ))，選項(xiàng)B正確?！咀兪?-1】如圖，A、B、C、D是四個(gè)完全相同的球，重力皆為G，A、B、C放置在水平面上用細(xì)線扎緊，D球疊放在A、B、C三球上面，則球A對(duì)地面的壓力為()A.eq\f(4,3)GB.eq\f(3,2)GC.eq\f(3,4)G D．G解析：選A由對(duì)稱性知，地面對(duì)A、B、C每個(gè)球的支持力相等，設(shè)為FN，對(duì)整體受力分析，據(jù)平衡條件可得3FN＝4G，可知地面對(duì)每個(gè)球的支持力FN＝eq\f(4,3)G。據(jù)牛頓第三定律可得，球A對(duì)地面的壓力F壓＝FN＝eq\f(4,3)G，故A正確。【變式2-2】如圖所示為某新型夾磚機(jī)，它能用兩支巨大的“手臂”將幾噸磚夾起，大大提高了工作效率．已知該新型夾磚機(jī)能夾起質(zhì)量為m的磚，兩支“手臂”對(duì)磚產(chǎn)生的最大壓力為Fmax，設(shè)最大靜犘擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則“手臂”與磚之間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為()A.eq\f(mg,Fmax)B.eq\f(mg,2Fmax)C.eq\f(2mg,Fmax)D.eq\f(Fmax,mg)答案B解析對(duì)磚進(jìn)行受力分析，根據(jù)平衡條件得：2Ff＝mg，即2μFmax＝mg，解得：μ＝eq\f(mg,2Fmax)，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤．【變式2-3】如圖所示，質(zhì)量均為m的木塊A和B，用一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，最初系統(tǒng)靜止，現(xiàn)在用力緩慢拉A直到B剛好離開地面，則這一過(guò)程A上升的高度為()A.eq\f(mg,k) B.eq\f(2mg,k)C.eq\f(3mg,k) D.eq\f(4mg,k)答案B解析最初彈簧處于壓縮狀態(tài)，根據(jù)平衡條件對(duì)A有kΔl1＝mg，B剛好離開地面時(shí)彈簧處于拉伸狀態(tài)，根據(jù)平衡條件對(duì)B有kΔl2＝mg，這一過(guò)程A上升的高度為Δl1＋Δl2＝eq\f(2mg,k)，故選項(xiàng)B正確?！绢}型3不共線三力平衡問(wèn)題】【例3】如圖所示，一物體在三根不可伸長(zhǎng)的輕繩的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，ac輕繩與豎直方向成37°角，bc輕繩與豎直方向成53°角，已知ac輕繩與bc輕繩能夠承受的最大拉力均為20N，cd輕繩能夠承受足夠大的拉力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8。則所掛物體的最大質(zhì)量為()A．1.6kgB．2.4kgC．2.5kg D．2.8kg[解析]對(duì)結(jié)點(diǎn)c受力分析，由共點(diǎn)力平衡條件可得Tbc＝mgsin37°＝0.6mg，Tac＝mgsin53°＝0.8mg，可知Tac＞Tbc，則ac輕繩承受的最大拉力為20N時(shí)，此時(shí)能懸掛物體的質(zhì)量最大，則有m＝eq\f(Tac,0.8g)＝eq\f(20,0.8×10)kg＝2.5kg，C正確。[答案]C【變式3-1】歷經(jīng)一年多的改造，太原迎澤公園重新開園，保持原貌的七孔橋與新建的湖面碼頭，如圖甲所示，為公園增色不少。如圖乙是七孔橋正中央一孔，位于中央的楔形石塊1，左側(cè)面與豎直方向的夾角為θ，右側(cè)面豎直。若接觸面間的摩擦力忽略不計(jì)，則石塊1左、右兩側(cè)面所受彈力的比值為()A.eq\f(1,tanθ)B．sinθC.eq\f(1,cosθ)D.eq\f(1,2cosθ)解析：選C對(duì)石塊1受力分析如圖所示，有F1＝eq\f(mg,sinθ)，F(xiàn)2＝eq\f(mg,tanθ)，則石塊1左、右兩側(cè)面所受彈力的比值eq\f(F1,F2)＝eq\f(1,cosθ)，故C正確。【變式3-2】如圖所示，一卡車沿傾角為15°的下坡路段勻速行駛，一質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓筒置于車廂內(nèi)兩固定光滑斜面之間，兩斜面Ⅰ、Ⅱ與車廂底板的夾角分別為30°和60°，圓筒對(duì)斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1、F2，則()A．F1＝eq\f(\r(2),2)mg、F2＝eq\f(\r(2),2)mgB．F1＝eq\f(\r(3),2)mg、F2＝eq\f(1,2)mgC．F1＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)mg、F2＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)mgD．F1＝eq\f(\r(3),3)mg、F2＝eq\f(\r(3),2)mg解析：選A對(duì)圓筒受力分析如圖所示，由幾何關(guān)系可得F1、F2與豎直方向夾角都為45°，由平衡條件可得F1＝mgcos45°＝eq\f(\r(2),2)mg，F(xiàn)2＝mgsin45°＝eq\f(\r(2),2)mg，所以A正確，B、C、D錯(cuò)誤。【變式3-3】(多選)兩輕桿通過(guò)鉸鏈相連構(gòu)成一個(gè)三角形框架，AB、BC、CA三邊長(zhǎng)度分別為30cm、20cm、40cm，在A點(diǎn)用一細(xì)線懸掛1kg的物塊，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則(g取10m/s2)()A．AB桿對(duì)A點(diǎn)有沿桿從B點(diǎn)指向A點(diǎn)的彈力B．CA桿作用于A點(diǎn)的彈力不一定沿CA桿方向C．CA桿產(chǎn)生的彈力大小為20ND．若改為懸掛一個(gè)0.5kg的物塊，則AB桿上彈力變?yōu)樵瓉?lái)的一半[解析]AB桿對(duì)A點(diǎn)有沿桿從A點(diǎn)指向B點(diǎn)的拉力，A錯(cuò)誤；由于是輕桿且通過(guò)鉸鏈連接，則CA桿作用于A點(diǎn)的彈力一定沿CA桿方向，B錯(cuò)誤；分析A點(diǎn)的受力，由相似三角形可知：解得FCA＝2mg＝20N，C正確；因則FAB＝15N，若改為懸掛一個(gè)0.5kg的物塊，則AB桿上彈力為7.5N，D正確。[答案]CD【題型4不共線三力以上平衡問(wèn)題】【例4】(多選)如圖所示，某中學(xué)新校區(qū)裝修時(shí)，工人用質(zhì)量為m的磨石對(duì)斜壁進(jìn)行打磨，當(dāng)對(duì)磨石施加方向豎直向上、大小為F的推力時(shí)，磨石恰好沿斜壁向上勻速運(yùn)動(dòng)，已知磨石與斜壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則磨石受到的摩擦力大小為()A．μ(F－mg)cosθ B．μ(F－mg)sinθC．(F－mg)cosθ D．μ(F－mg)解析：選BC磨石受重力、推力、斜壁的彈力及摩擦力而處于平衡狀態(tài)，由圖可知，F(xiàn)一定大于重力；先將重力與向上的推力合成后，將二者的合力向垂直于斜面方向及沿斜面方向分解，可得在沿斜面方向有：f＝(F－mg)cosθ；在垂直于斜面方向上有：FN＝(F－mg)sinθ；則f＝(F－mg)cosθ＝μ(F－mg)sinθ，故B、C正確。【變式4-1】如圖(a)，滑塊在與水平方向夾角為37°斜向上的拉力F作用下，沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)。將該桌面傾斜成與水平方向夾角為37°，保持拉力的方向不變，大小變?yōu)?F，如圖(b)，滑塊恰好沿傾斜桌面向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)。滑塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)解析：選A設(shè)滑塊質(zhì)量為m，當(dāng)滑塊沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，據(jù)平衡條件可得，在水平、豎直方向分別有Fcos37°＝μN(yùn)1，F(xiàn)sin37°＋N1＝mg，當(dāng)滑塊沿傾斜桌面向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿斜面方向、垂直斜面方向分別有2F＝mgsin37°＋μN(yùn)2，N2＝mgcos37°，聯(lián)立可解得μ＝eq\f(3,4)，A正確?！咀兪?-2】如圖，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)。若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)。物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為()A．2－eq\r(3) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：選C當(dāng)拉力水平時(shí)，物塊做勻速運(yùn)動(dòng)，則F＝μmg，當(dāng)拉力方向與水平方向的夾角為60°時(shí)，物塊也剛好做勻速運(yùn)動(dòng)，則Fcos60°＝μ(mg－Fsin60°)，聯(lián)立解得μ＝eq\f(\r(3),3)，A、B、D項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確?！咀兪?-3】如圖所示，六根原長(zhǎng)均為l的輕質(zhì)細(xì)彈簧兩兩相連，在同一平面內(nèi)六個(gè)大小相等、互成60°的恒定拉力F作用下，形成一個(gè)穩(wěn)定的正六邊形。已知正六邊形外接圓的半徑為R，每根彈簧的勁度系數(shù)均為k，彈簧在彈性限度內(nèi)，則F的大小為()A.eq\f(k,2)(R－l) B.k(R－l)C.k(R－2l) D.2k(R－l)答案B解析正六邊形外接圓的半徑為R，則彈簧的長(zhǎng)度為R，彈簧的伸長(zhǎng)量為Δx＝R－l。由胡克定律可知，每根彈簧的彈力為F彈＝kΔx＝k(R－l)。兩相鄰彈簧夾角為120°，兩相鄰彈簧彈力的合力為F合＝F彈＝k(R－l)。彈簧靜止，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，F(xiàn)的大小為F＝F合＝k(R－l)，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤?！绢}型5彈簧連接體平衡問(wèn)題】【例5】如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球通過(guò)兩根輕彈簧A、B連接，在水平外力F作用下，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧實(shí)際長(zhǎng)度相等。彈簧A、B的勁度系數(shù)分別為kA、kB，且原長(zhǎng)相等。彈簧A、B與豎直方向的夾角分別為θ與45°。設(shè)彈簧A、B中的拉力分別為FA、FB。小球直徑相比彈簧長(zhǎng)度可以忽略，重力加速度為g。則()A.tanθ＝eq\f(1,2) B.kA＝kBC.FA＝eq\r(3)mg D.FB＝2mg答案A解析對(duì)小球B進(jìn)行受力分析，如圖甲所示，甲乙根據(jù)平衡條件得F＝mgtan45°＝mg，F(xiàn)B＝eq\f(mg,cos45°)＝eq\r(2)mg；對(duì)兩個(gè)小球整體受力分析，如圖乙所示。根據(jù)平衡條件得：tanθ＝eq\f(F,2mg)，又F＝mg，解得tanθ＝eq\f(1,2)，F(xiàn)A＝eq\r(（2mg）2＋F2)＝eq\r(5)mg，由題意可知兩彈簧的形變量相等，則有：x＝eq\f(FA,kA)＝eq\f(FB,kB)，解得：eq\f(kA,kB)＝eq\f(FA,FB)＝eq\f(\r(5),\r(2))，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。【變式5-1】如圖所示，水平固定且傾角為30°的光滑斜面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B，它們用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，現(xiàn)對(duì)B施加一水平向左的推力F使A、B均靜止在斜面上，此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為l，則彈簧原長(zhǎng)和推力F的大小分別為()A．l＋eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgB．l－eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgC．l＋eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mgD．l－eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mg答案B解析以A、B和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，則Fcos30°＝2mgsin30°，得F＝eq\f(2\r(3),3)mg；隔離A有kx＝mgsin30°，得彈簧原長(zhǎng)為l－x＝l－eq\f(mg,2k)，故選項(xiàng)B正確．【變式5-2】如圖所示，用完全相同的輕彈簧A、B、C將兩個(gè)相同的小球連接并懸掛，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧A與豎直方向的夾角為30°，彈簧C水平，則彈簧A、C的伸長(zhǎng)量之比為()A.eq\r(3)∶4B．4∶eq\r(3)C．1∶2D．2∶1答案D解析這是典型的平衡模型，解題的要點(diǎn)是對(duì)兩小球進(jìn)行受力分析，列平衡方程，若取兩小球作為一個(gè)整體來(lái)研究會(huì)更方便．方法1：分別對(duì)兩小球受力分析，如圖所示FAsin30°－FBsinα＝0FB′sinα－FC＝0，F(xiàn)B＝FB′得FA＝2FC，即彈簧A、C的伸長(zhǎng)量之比為2∶1，選項(xiàng)D正確．方法2：將兩球作為一個(gè)整體進(jìn)行受力分析，如圖所示由平衡條件知：eq\f(FA′,FC)＝eq\f(1,sin30°)即FA′＝2FC又FA′＝FA，則FA＝2FC，故選項(xiàng)D正確．【變式5-3】如圖所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四個(gè)小物塊，各小物塊之間由四根完全相同的輕彈簧相互連接，正好組成一個(gè)菱形，∠BAD＝120°，整個(gè)系統(tǒng)保持靜止?fàn)顟B(tài)，已知A物塊所受的摩擦力大小為Ff，則D物塊所受的摩擦力大小為()A.eq\f(\r(3),2)FfB．FfC.eq\r(3)FfD．2Ff答案C解析已知A物塊所受的摩擦力大小為Ff，設(shè)每根彈簧的彈力為F，則有：2Fcos60°＝Ff，對(duì)D：2Fcos30°＝Ff′，解得：Ff′＝eq\r(3)F＝eq\r(3)Ff.【題型6細(xì)繩連接體平衡問(wèn)題】【例6】如圖所示，釘子A和小定滑輪B均固定在豎直墻面上，它們相隔一定距離且處于同一高度，細(xì)線的一端系有一小沙桶D，另一端跨過(guò)定滑輪B與動(dòng)滑輪C后固定在釘子A上。質(zhì)量為m的小球E與輕質(zhì)動(dòng)滑輪C固定連接。初始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，滑輪C兩側(cè)細(xì)線的夾角為74°?，F(xiàn)緩慢地往沙桶添加細(xì)沙，當(dāng)系統(tǒng)再次平衡時(shí)，滑輪C兩側(cè)細(xì)線的夾角為106°。不計(jì)一切摩擦，取cos37°＝0.8，cos53°＝0.6，則此過(guò)程中往沙桶D中添加的細(xì)沙質(zhì)量為()A.eq\f(5,6)m B.eq\f(5,8)mC.eq\f(5,24)m D.eq\f(1,8)m[解析]設(shè)初始時(shí)沙桶和沙的質(zhì)量為m1，再次平衡時(shí)沙桶和沙的質(zhì)量為m2，則添加細(xì)沙前后根據(jù)平衡條件有m1gcos37°＝eq\f(1,2)mg，m2gcos53°＝eq\f(1,2)mg，解得m2＝eq\f(5,6)m，m1＝eq\f(5,8)m，則Δm＝m2－m1＝eq\f(5,24)m，C正確。[答案]C【變式6-1】如圖所示，在豎直平面內(nèi)，固定有半圓弧軌道，其兩端點(diǎn)M、N連線水平。將一輕質(zhì)小環(huán)A套在軌道上，一細(xì)線穿過(guò)輕環(huán)A，一端系在M點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球恰好靜止在圖示位置。不計(jì)所有摩擦，重力加速度大小為g。下列說(shuō)法正確的是()A．軌道對(duì)輕環(huán)的支持力大小為mgB．細(xì)線對(duì)M點(diǎn)的拉力大小為eq\f(\r(3),2)mgC．細(xì)線對(duì)輕環(huán)的作用力大小為eq\f(3,2)mgD．N點(diǎn)和輕環(huán)的連線與豎直方向的夾角為30°解析：選D輕環(huán)兩邊細(xì)線的拉力大小相等，均為FT＝mg，輕環(huán)兩側(cè)細(xì)線的拉力與輕環(huán)對(duì)圓弧軌道的壓力的夾角相等，設(shè)為θ，由OA＝OM知∠OMA＝∠MAO＝θ，則3θ＝90°，θ＝30°，輕環(huán)受力平衡，則軌道對(duì)輕環(huán)的支持力大小FN＝2mgcos30°＝eq\r(3)mg，A錯(cuò)誤；細(xì)線對(duì)M點(diǎn)的拉力大小為mg，B錯(cuò)誤；細(xì)線對(duì)輕環(huán)的作用力大小為FN′＝FN＝eq\r(3)mg，C錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系可知，N點(diǎn)和輕環(huán)的連線與豎直方向的夾角為30°，D正確?！咀兪?-2】如圖所示，一根直桿固定在水平地面上，與水平面成θ＝37°的傾角，桿上套著一個(gè)質(zhì)量為m的圓環(huán)A，跨過(guò)定滑輪的細(xì)繩一端系在圓環(huán)A上，另一端系一物塊B。細(xì)繩對(duì)圓環(huán)A的拉力方向是水平向左。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，圓環(huán)A與直桿間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，要保證A不向上滑動(dòng)，所懸掛的物塊B質(zhì)量不能超過(guò)()A．mB.eq\f(4,3)mC.eq\f(5,3)m D．2m解析：選D對(duì)圓環(huán)A受力分析，如圖，對(duì)物塊B，由平衡條件可得T＝mBg，當(dāng)圓環(huán)剛要上滑時(shí)，由平衡條件可得T