四川省宜賓市三中教育集團2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

宜賓市三中教育集團20242025學(xué)年秋期高2023級半期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)學(xué)科（全卷滿分150分，完成時間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩點求出直線斜率即可得解.【詳解】設(shè)傾斜角為，因為，所以，又，所以.故選：D2.已知等軸雙曲線過點，則該雙曲線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)等軸雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出該雙曲線的方程.【詳解】設(shè)等軸雙曲線的方程為，將點2,1的坐標代入等軸雙曲線的方程可得，因此，該雙曲線的方程為.故選：C.3.已知點、是橢圓:的左、右焦點，若過焦點的直線交橢圓于A，B兩點，則的周長為（）A.4 B.9 C. D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求解.詳解】根據(jù)橢圓方程可得，則，由橢圓的定義得，，BF1所以的周長為.故選：D.4.若正方體的棱長為3，則點B與到平面的距離為（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三棱錐等體積法，列式求解.【詳解】設(shè)點到平面的距離為，由正方體棱長為3，所以，則，，由，得，即，解得.所以點到平面的距離為.故選：A.5.已知直線經(jīng)過定點且與直線平行，若點和到直線的距離相等，則實數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線過的點以及平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再由點到直線距離公式計算可得結(jié)果.【詳解】若直線經(jīng)過定點且與直線平行可設(shè)直線的方程為；點和到直線的距離相等可知，解得或.故選：C6.19世紀法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間幾何學(xué)的獨立發(fā)展.橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有兩個公共點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)蒙日圓定義求出橢圓的蒙日圓，再利用兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】根據(jù)題意，橢圓的蒙日圓方程為，圓心為，半徑為2，因為圓與只有兩個交點，即兩圓相交，，解得.所以的取值范圍為.故選：C.7.已知A，B兩點的坐標分別為，2,0，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，點M形成的軌跡內(nèi)有一點P，設(shè)某條弦過點P且以P為中點，那么這條弦所在直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求出點的軌跡方程，設(shè)過點的直線與橢圓交于，，求出所以直線的斜率，求出直線的方程.【詳解】設(shè)，則，所以點軌跡方程為，設(shè)過點的直線與橢圓交于，，所以，所以，因為中點，所以，，所以，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即.故選：B.8.已知為橢圓的兩個焦點，過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C.23 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由橢圓的對稱性可得，，結(jié)合橢圓的定義和勾股定理求得答案.【詳解】如圖，由，，所以，，所以是直角三角形，又BF1+BF2，所以，即，即，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知方程表示曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若曲線是圓，則該圓的半徑為B.若曲線是橢圓，則且C.若曲線是雙曲線，則或D.若曲線是雙曲線，則焦距為定值【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)描述列不等式組求出，可得圓的方程，即可判斷；根據(jù)描述列不等式組即可判斷，；分兩種情況分別求出焦距即可判斷.【詳解】對于，若曲線是圓，則，解得，所以方程為，所以圓的半徑為，故正確；對于，若曲線是橢圓，則，解得且，故正確；對于，若曲線是雙曲線，則，解得或，故正確；對于，若曲線是雙曲線，則或，當(dāng)時，，，所以焦距為，當(dāng)時，，，所以焦距為，所以焦距不是定值，故不正確.故選：.10.已知圓和直線，點在直線上運動，直線、分別與圓相切于點、，則下列說法正確的是（）A.切線長最小值為B.四邊形的面積最小值為C.最小時，弦所在的直線方程為D.弦長的最小值為【答案】BC【解析】【分析】分析可知，當(dāng)時，取最小值，結(jié)合勾股定理可判斷A選項；推導(dǎo)出，可得出，利用三角形的面積公式可判斷B選項；分析可知，當(dāng)最小時，四邊形為正方形，求出線段的中點坐標，結(jié)合直線的點斜式方程可判斷C選項；分析可知，，求出的最小值，可判斷D選項.【詳解】圓心為，半徑為，連接、，則，對于A選項，由勾股定理可得，當(dāng)時，取最小值，此時，也取最小值，且，則，A錯；對于B選項，由切線長定理可得，又因為，，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故四邊形面積的最小值為，B對；對于C選項，當(dāng)取最小值時，，因為直線的斜率為，則，此時，直線的方程為，聯(lián)立可得，此時，點，線段的中點為，因為，且，所以，四邊形為正方形，此時，，且直線過線段的中點，則直線的方程為，即，C對；對于D選項，設(shè)，因為，則，因為，則，且為的中點，所以，，且，當(dāng)時，取最小值，此時，，故，D錯.故選：BC.【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.11.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體).如圖所示，正八面體，下列說法中正確的有（）A.平面EAD平面FCBB.平面EAD平面ECBC.異面直線與所成的角為D.若點P為棱上的動點，則直線AP與平面FAD成的角的正弦值的范圍【答案】ACD【解析】【分析】證明，根據(jù)面面平行的判定定理即可判斷A；分別取AD、BC中點M、N，連接MN，由，可得平面ADE與平面BCE的交線l與AD平行，證得，則為平面ADE與平面BCE所成的平面角，利用余弦定理判斷是否為直角，即可判斷B；利用平行直線得出異面直線所成的角，然后利用正三角形可判斷C；利用空間向量法求角判斷D【詳解】連接AC、BD、EF，根據(jù)題意可設(shè)其交于點O，則A、E、C、F四點共面，且O為AC、BD、EF，的中點，所以四邊形AECF、BEDF都是平行四邊形，所以，又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD，平面EAD，平面EAD，所以平面EAD，F(xiàn)B//平面EAD，F(xiàn)C//平面EAD，又FB、FC在平面ECB內(nèi)相交于點F，所以平面EAD//平面FCB，故A對；分別取AD、BC中點M、N，連接MN，則MN的中點為O，由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE，又平面ADE，則平面ADE與平面BCE的交線l與AD平行，因為都是等邊三角形，所以，所以，則為平面ADE與平面BCE所成的平面角，設(shè)，則，，，所以，故B錯誤；由EF與AC垂直相交，且長度相等，則四邊形AECF是正方形，所以，則直線與所成的角即為BF與CF所成角，正中，，故異面直線與所成的角為，故C對；根據(jù)正八面體結(jié)構(gòu)，如圖建立空間直角坐標系，令，則，所以，設(shè)平面FAD的一個法向量為，則，所以，即，令，則，所以平面FAD的一個法向量為，因為點P為棱上的動點，所以設(shè)，則，設(shè)直線AP與平面FAD成的角為，，又，當(dāng)時，，當(dāng)或0時，，故直線AP與平面FAD成的角的正弦值的范圍，故D對；故選：ACD.三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．請把答案直接填在答題卡對應(yīng)題中橫線上.(注意:在試題卷上作答無效)12.已知直線，，若，則實數(shù)_______【答案】0或1【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件求解.【詳解】，，即，解得或1.故答案為：0或1.13.過點的直線與曲線相交于兩點，為坐標原點，則面積的最大值為_________.【答案】【解析】【分析】由圖可知，直線與曲線相交于兩點，則直線的斜率，設(shè)：，計算出，即可求出面積的最大值.【詳解】如圖所示：若直線與曲線相交于兩點，則直線的斜率，設(shè)：，則點O0,0到的距離，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，所以當(dāng)時，取得最大值，故答案為：14.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過作一條漸近線的垂線，垂足為A，延長與另一條漸近線交于點，若（為坐標原點），則該雙曲線的漸近線方程為________.【答案】【解析】【分析】利用已知條件求出點坐標，求出點到漸近線的距離，結(jié)合可以得到點到漸近線的距離為，進而利用點到直線的距離公式求出與的關(guān)系，然后求解該雙曲線的漸近線方程即可.【詳解】由題意知，雙曲線的兩條漸近線方程分別為：與，過點且與漸近線垂直的直線方程為，聯(lián)立，可解得，點到漸近線的距離，因為，所以點到漸近線的距離為，所以，即，所以，即雙曲線的漸近線方程為：.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸.15.已知平面內(nèi)兩點，．（1）求過點且與直線垂直的直線的方程．（2）若是以為頂點的等腰直角三角形，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用斜率公式求出直線的斜率，再根據(jù)直線的斜率與直線垂直的直線的斜率乘積為和點斜式求解即可；（2）求出線段垂直平分線的方程為，故點在直線上，設(shè)點為，根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊垂直，所在直線斜率存在，斜率之積為建立等式求解即可．【小問1詳解】由題意得，則直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線的方程為：，即．【小問2詳解】的中點坐標為，由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，即．因為是以為頂點的等腰直角三角形，所以點在直線上，故設(shè)點為，由可得：，解得或，所以點坐標為或，則直線的方程為或．16.已知橢圓的焦點是，，且，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓C與直線交于M，N兩點，且，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意求出，進而得到，求出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)根的判別式得到，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式表達出弦長，得到方程，檢驗后求出答案【小問1詳解】由題意得：，，解得，故，故橢圓C的方程為；【小問2詳解】聯(lián)立與得，，，解得，設(shè)，則，故，又，所以，解得，滿足，故實數(shù)的值為17.已知圓，點P是直線上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．（1）當(dāng)四邊形PAMB的面積為時，求點P的坐標；（2）若的外接圓為圓N，試問：當(dāng)P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）或（2）存在，，【解析】【分析】（1）設(shè)，解方程，即得解；（2）求出圓N方程：，解方程即得解.【小問1詳解】由題可知，圓M的半徑，設(shè)，因為PA是圓M一條切線，所以，四邊形面積=，于是，所以，解得或，所以點P的坐標為或．【小問2詳解】設(shè)，因為，所以經(jīng)過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，其方程為，即，由，解得或，所以圓過定點，．18.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段AC，的中點，在平面ABC內(nèi)的射影為D．（1）求證：平面BDE；（2）若點F為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標運算求出二面角的余弦值求解.【小問1詳解】連接,因為為等邊三角形，D是線段AC的中點，所以，又因為平面，平面，所以,,平面,所以平面,平面,所以，由題設(shè)可知，四邊形為菱形，所以,因為D，E分別是線段AC，的中點，所以,所以，又因為平面BDE,所以平面BDE.【小問2詳解】以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則,設(shè)，則所以平面的一個法向量,設(shè)平面的一個法向量為,所以，設(shè)，則，所以，設(shè)，所以，因為，所以二次函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以，所以銳二面角的余弦值的取值范圍．19.已知橢圓的左右焦點分別為，，上頂點為，長軸長為，直線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的兩動點，均在軸上方，且，求證：的值為定值；（3）在（2）的條件下求四邊形的的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓長軸以及直線的傾斜角即可得橢圓方程；（2）找出點關(guān)于原點的對稱點，利用對稱性聯(lián)立直線和橢圓方程整理表達式可得結(jié)果；（3）將四邊形面積等價轉(zhuǎn)化為三角形面積，求得面積表達式利用基本不