專題08 一元一次不等式（組）及其應(yīng)用（講義）（4考點(diǎn)+28題型）

第08講一元一次不等式（組）及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì) 3題型01不等式的概念及意義 4題型02列不等式 4題型03取值是否滿足不等式 4題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù) 5題型05根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù) 5題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小 6題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）等式 8題型08利用不等式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍 10題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用 10考點(diǎn)二一元一次不等式 12題型01判斷一元一次不等式 13題型02根據(jù)一元一次不等式求參數(shù)值 13題型03求一元一次不等式解集 13題型04利用數(shù)軸表示一元一次不等式解集 14題型05一元一次不等式整數(shù)解問(wèn)題 14題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的情況求參數(shù)的取值范圍 16題型07與一元一次不等式有關(guān)的新定義問(wèn)題 16題型08含絕對(duì)值的一元一次不等式 17題型09不等式與方程組綜合求參數(shù)的取值范圍 19考點(diǎn)三一元一次不等式組 20題型01一元一次不等式組定義 20題型02解不等式組 20題型03求不等式組整數(shù)解 21題型04由不等式組整數(shù)解求字母取值范圍 22題型05由不等式組的解集求參數(shù) 22題型06與不等式組有關(guān)的新定義問(wèn)題 23題型07根據(jù)程序圖解不等式組 23題型08不等式組與方程的綜合 24考點(diǎn)四不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用 25題型01利用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題 25題型02利用一元一次不等式組解決實(shí)際問(wèn)題 27考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)不等式及不等式的基本性質(zhì)結(jié)合具體問(wèn)題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)中考數(shù)學(xué)中，一元一次不等式(組)的解法及應(yīng)用題時(shí)有考察.其中不等式性質(zhì)、解一元一次不等式(組)，通常是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.而不等式（組）相關(guān)的應(yīng)用題常會(huì)和其它考點(diǎn)(如二元一次方程組、二次函數(shù)等)結(jié)合考察，常以解答題形式出現(xiàn)，此時(shí)難度上升，需要小心應(yīng)對(duì).對(duì)于一元一次不等式（組）中含參數(shù)問(wèn)題，難度偏大，但是考察幾率并不大，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)在復(fù)習(xí)過(guò)程中扎實(shí)掌握．一元一次不等式能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集一元一次不等式組會(huì)用數(shù)軸確定兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集.不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì)1、不等式的相關(guān)概念不等式的定義：用不等號(hào)“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.解不等式的概念：求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式.2、不等式的性質(zhì)基本性質(zhì)1若a>b，則a±c>b±c若a<b，則a±c<b±c基本性質(zhì)2若a>b,c>0，則ac>bc（或ac基本性質(zhì)3若a>b,c<0，則ac<bc（或ac易混易錯(cuò)1.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系.2.常見(jiàn)的不等號(hào)有：≠，>，≥，<，≤五種.3.用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號(hào)畫(huà)實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)畫(huà)空心圓點(diǎn).4.不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：1）不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值.2）不等式的解集是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值.3）不等式的所有解組成了這個(gè)不等式的解集，不等式的解集中包括這個(gè)不等式的每一個(gè)解.5.在列不等式時(shí)，要注意抓住問(wèn)題中的一些關(guān)鍵詞語(yǔ)，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.同時(shí)要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號(hào)．另外，對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際．6.運(yùn)用不等式的性質(zhì)的注意事項(xiàng)：1）不等式兩邊都要參與運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算．2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子．3）等式兩邊不能同時(shí)除以0，即0不能作除數(shù)或分母．4）運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式變形時(shí),要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別,在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí),必須先弄清楚這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),如果是負(fù)數(shù),不等號(hào)要改變方向.題型01不等式的概念及意義【例1】以下表達(dá)式：①4x+3y≤0；②a>3；③x2+xy；④a2+bA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式1-1】（2023湖里區(qū)模擬）某養(yǎng)生鈣奶飲料中的包裝瓶上標(biāo)注“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內(nèi)含鈣150毫克B．每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克C．每100克內(nèi)含鈣高于150毫克D．每100克內(nèi)含鈣不超過(guò)150毫克題型02列不等式【例2】（2020·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下面列出的不等式中，正確的是（

）A．“m不是負(fù)數(shù)”表示為m>0B．“m不大于5”表示為m<5C．“n與4的差是正數(shù)”表示為n?4>0D．“n不等于4”表示為n>4【變式2-1】（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考二模）烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過(guò)3500米．若用x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，則x滿足的關(guān)系為（

）A．x<3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x>3500【變式2-2】（2023南寧市模擬）a是非負(fù)數(shù)的表達(dá)式是（

）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)題型03取值是否滿足不等式【例3】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在?2,?2,1,?3四個(gè)數(shù)中，滿足不等式x<A．－2 B．－3 C．?2 【變式3-1】（2021·四川南充·統(tǒng)考中考真題）滿足x?3的最大整數(shù)x是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-2】（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）當(dāng)x=4時(shí)，不等式成立的是（

）A．x+1<4 B．12x>2 C．2x+1<5 題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù)【例4】（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如果x<?3，那么下列不等式成立的是（）A．x2>?3x B．x2≥?3x C．x2【變式4-1】（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知a>b，則下列不等式變形不正確的是（

）A．a(chǎn)?2>b?2 B．?2a>?2b C．a(chǎn)+2>b+2 D．a(chǎn)【變式4-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，且a?b>c?d，下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．若b=d，則a>c B．若a=c，則b>dC．若b>d，則a>c D．若a>c，則b>d【變式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學(xué)?？既＃┰O(shè)x，y，c為實(shí)數(shù)，則（

）A．若x＞y，則x+3c>y?2c B．若xC．若x＞y，則xc2>y題型05根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù)【例5】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）實(shí)數(shù)a，A．?a?c>?b?c B．a(chǎn)c>bc C．a(chǎn)?b=a?b D．【變式5-1】（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．a(chǎn)+b<0 B．b?a<0 C．?2a>?2b D．a(chǎn)【變式5-2】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．a(chǎn)+b<0 B．b?a<0 C．2a>2b D．a(chǎn)+2<b+2【變式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，數(shù)軸上有O、A、B、C四點(diǎn)位置與各點(diǎn)所表示的數(shù)，若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，D點(diǎn)所表示的數(shù)為d，d?5=d?c，則D點(diǎn)的位置（

A．在A的左邊 B．在A、C之間 C．在C、O之間 D．在O、B之間【變式5-4】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）m，n在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列各式正確的是（

）

A．x<x?n<x?m B．x?n<x<x?mC．x?m<x?n<x D．x<x?m<x?n題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小【例6】（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）數(shù)m，m+1，?m?2m>0的大小順序是（

A．?m?2<m<m+1 B．?m?2<m+1<mC．m<m+1<?m?2 D．m<?m?2<m+1【變式6-1】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知M=x2?2x+4以下是小明的解答：∵M(jìn)=x?12+3≥3∴M≥N．小明的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答．40．（2021·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校?？家荒＃╅喿x：（1）若a＜b，則2a﹣3＜2b﹣3，簡(jiǎn)述理由：小明的解法：∵a＜b，∴2a＜2b，（不等式性質(zhì)2：_______________________），∴2a﹣3＜2b﹣3，（不等式性質(zhì)1）．小亮的解法：令y＝2x﹣3，∵k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大．∵a＜b，∴2a﹣3＜2b﹣3．小敏的解法：∵a＜b，觀察函數(shù)y＝2x﹣3的圖象可知，圖象上點(diǎn)（a，2a﹣3）在點(diǎn)（b，2b﹣3）的左邊，而圖象由左往右呈上升趨勢(shì)，∴2a﹣3＜2b﹣3．（2）若a＜b＜0，請(qǐng)用兩種不同的方法比較﹣2a與﹣2（3）若a＜b＜0，比較（a+2）2+1與（b+2）2+1的大小，簡(jiǎn)述理由．（4）若a＜b＜0，且a≠﹣2，b≠﹣2，直接寫(xiě)出﹣2a+12a+4與﹣2b+1方法技巧根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可知比較兩個(gè)數(shù)或式子的大小可以通過(guò)求它們的差來(lái)判斷．如果兩個(gè)數(shù)或式子分別為m和n，若m-n>0，則m>n；若m-n=0，則m=n；若m-n<0，則m<n.題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）等式【例7】（2022·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校校考二模）根據(jù)不等式的性質(zhì)：若x?y＞0，則x＞y；若x?y＜0，則x＜【變式7-1】（2019上·江西贛州·九年級(jí)?？计谥校W(xué)以致用：?jiǎn)栴}1：怎樣用長(zhǎng)為12cm的鐵絲圍成一個(gè)面積最大的矩形？小學(xué)時(shí)我們就知道結(jié)論：圍成正方形時(shí)面積最大，即圍成邊長(zhǎng)為3cm的正方形時(shí)面積最大為9cm思考驗(yàn)證：?jiǎn)栴}2：怎樣用鐵絲圍一個(gè)面積為9m小明猜測(cè)：圍成正方形時(shí)周長(zhǎng)最?。疄榱苏f(shuō)明其中的道理，小明翻閱書(shū)籍，找到下面的材料：結(jié)論：在a+b?2ab(a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b?2p，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+ba+b?2ab(a,b對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a?b)2∴a+b?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b解決問(wèn)題：（1）若x>0，則x+4x?（當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取“=（2）運(yùn)用上述結(jié)論證明小明對(duì)問(wèn)題2的猜測(cè)；（3）當(dāng)x>?1時(shí)，求y=x【變式7-2】（2022·山東日照·日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？级＃?002年國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是公園3世紀(jì)中四數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理繪制的弦圖（如圖1），該圖蘊(yùn)含著豐富的不等關(guān)系，例如，正方形的面積大于4個(gè)直角三角形的面積之和…設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)為a，b，則S正方形>4SRT△，當(dāng)a=b時(shí)，中間小正方形收縮為一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)正方形的面積每于4個(gè)直角三角形的面積之和，即a2綜上所述，a2+b使用上述結(jié)論，“a2+b(1)證明：“若a，b為正實(shí)數(shù)，則a+b≥2ab．當(dāng)且僅當(dāng)a=b(2)a，b均為實(shí)數(shù)，若ab為定值4，則a+b有最小值________；若a+b為定值6，則ab有最大值_________．(3)請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象（圖2）研究y=x+1(4)如圖3，已知P是反比例函數(shù)y=1x(x>0)圖象上任意一動(dòng)點(diǎn)，O(0,0)，A(?1,a)，其中a是常數(shù)，a>0【變式7-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為ab(1)再往杯中加入mm>0(2)請(qǐng)證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式；(3)在△ABC中，三條邊的長(zhǎng)度分別為a,b,c，證明：ab+c題型08利用不等式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍【例8】（2023·重慶·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？级＃┤鬭=35?2，則a的取值范圍是（A．2<a<3 B．3<a<4 C．4<a<5 D．5<a<6【變式8-1】（2023路南區(qū)二模）若x<y，且a?3x?a?3y，則a的取值范圍是（

A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<3 C．a(chǎn)?3 D．a(chǎn)?3【變式8-2】（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？既＃┮阎P(guān)于x的不等式a+2x<1的解集為x>1a+2【變式8-3】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)x，y，a滿足x+3y+a=4，x?y?3a=0．若?1≤a≤1，t=x+y，那么t的取值范圍是_________．題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用【例9】（2023·河北保定·?？家荒＃┮阎獙?shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b=3c，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)?b=3c?b B．C．若a>b，則a>c>b D．若a>c，則b?a>【變式9-1】（2023武威縣模擬）若x+y=3，x≥0，y≥0，則2x+3y的最小值為（

）A．0 B．3 C．6 D．9【變式9-2】（2023德陽(yáng)市一模）實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＞b且ac＜bc，它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可以是（

）A． B． C． D．

考點(diǎn)二一元一次不等式1、一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.2、一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或ax+b>0a≠0步驟具體做法依據(jù)注意事項(xiàng)去分母在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)不等式性質(zhì)2、31）不要漏乘不含分母的項(xiàng)；2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項(xiàng)式，去分母后要加括號(hào).去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)分配律去括號(hào)法則1)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前的數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng);2)括號(hào)前面是負(fù)數(shù)時(shí),去掉括號(hào)后,括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)；3）括號(hào)前面是正數(shù)時(shí),去掉括號(hào)后,括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都不變號(hào).移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式左邊，其它項(xiàng)都移到不等式右邊不等式性質(zhì)11）移項(xiàng)時(shí)不要漏項(xiàng);2）將不等式中的項(xiàng)從一邊移到另一邊要變號(hào).而在不等式同一邊改變項(xiàng)的位置時(shí)不變號(hào).合并同類項(xiàng)把不等式變?yōu)閍x<b或ax>ba≠0合并同類項(xiàng)法則1）不要漏項(xiàng)；2）系數(shù)的符號(hào)處理要得當(dāng).系數(shù)化為1將不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到不等式的解不等式性質(zhì)2、31)不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù);2)當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向發(fā)生改變.易混易錯(cuò)1.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1.2.進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時(shí)，要根據(jù)不等號(hào)兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否改變不等號(hào)的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論．3.在解一元一次不等式時(shí),上述的五個(gè)步驟不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的順序,要根據(jù)不等式的形式靈活安排求解步驟.題型01判斷一元一次不等式【例1】（2021·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：?3<0，a+b，x=3，x2+2xy+y2，x≠5，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（2021·陜西·九年級(jí)專題練習(xí)）下列各式中，是一元一次不等式的有（

）個(gè)．①a?3＜2；②?x?1x＞3；③x?y＜0；④A．1 B．2 C．3 D．0題型02根據(jù)一元一次不等式求參數(shù)值【例2】已知23（m+4）x|m|–3+6＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為（

A．4 B．±4 C．3 D．±3【變式2-1】若m?1xm?3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則mA．0 B．1 C．?1 D．±1【變式2-2】若(k?1)xk+3≥0是關(guān)于x的一元一次不等式，則k題型03求一元一次不等式解集【例3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列變形中正確的是（

）A．由?2x<1，得x<?12 B．由2x+1>3x?1C．由2x+1>x?1，得x>2 D．由x+2<2x?2，得x【變式3-1】（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）不等式x?32≥1的解集為【變式3-2】（2022·安徽宣城·統(tǒng)考一模）解不等式：2x?3<x+1題型04利用數(shù)軸表示一元一次不等式解集【例4】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）不等式3x＋1＜2x的解在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【變式4-1】（2023下·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）不等式x?1≥2x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．B．C． D．【變式4-2】（2021·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式可以是（

）A．x+2>0 B．x?2<0 C．2x≥4 D．2?x<0【變式4-3】（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）解不等式x?13≥題型05一元一次不等式整數(shù)解問(wèn)題【例5】（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）整式31(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求P的值；(2)若P的取值范圍如圖所示，求m的負(fù)整數(shù)值．【變式5-1】（2022下·廣東江門·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）求一元一次不等式1?8+x【變式5-2】（2023·陜西咸陽(yáng)·校考二模）解不等式：9x+86【變式5-3】（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？寄M預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：(12?x?1)÷方法技巧與一元一次不等式的特殊解有關(guān)的解題方法類型一求一元一次不等式特殊解的方法解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：正確求出不等式的解集，再根據(jù)題目要求求出其特殊解．可以借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進(jìn)而非常容易的解決問(wèn)題．類型二已知一元一次不等式解集（整數(shù)解）求字母的取值．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)作常數(shù)看待解不等式，再根據(jù)題目中的限制條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的情況求參數(shù)的取值范圍【例6】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的不等式x?b≥0恰有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，則b的取值范圍是（

）A．?3<b<?2 B．?3<b≤?2 C．?3≤b≤?2 D．?3≤b<?2【變式6-1】（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式x+m<1只有3個(gè)正整數(shù)解，則m的取值范圍是_______．【變式6-2】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元一次不等式x?2<n+3有且只有5個(gè)正整數(shù)解，則n的取值范圍是________．【變式6-3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的不等式x+t≥2x?3恰有3個(gè)正整數(shù)解，則t的取值范圍是__________．【變式6-4】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知x=3是關(guān)于x的不等式3x?ax+12題型07與一元一次不等式有關(guān)的新定義問(wèn)題【例7】（2022下·廣西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有a⊕b=aa?b+1，如：2⊕5=22?5+1=?5A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-1】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于a、b定義a★b=1a?b2，已知分式方程x★?1A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)<3 D．a(chǎn)>3【變式7-2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算“a☆b”為：當(dāng)a≥b時(shí)，a☆b=a+b；當(dāng)a<b時(shí)，a☆b=a?b．例如：1☆(?2)=1+(?2)=?1，(?2)☆1=?2?1=?3．若A．m>2 B．m>5 C．2<m<5 D．m<2或m>5【變式7-3】（2023海港區(qū)一模）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b（a≠0）都有a*b=ba﹣a+b，等式右邊是通常的加、減、除運(yùn)算，比如2*1=12﹣2+1=﹣（1）求4*5的值：（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范圍，并在如圖所示的數(shù)軸上表示出來(lái)．【變式7-4】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）定義一種新的運(yùn)算※，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b，規(guī)定a※b=ab2+ab+a(1)求5※?2(2)若m?2※2>14，求題型08含絕對(duì)值的一元一次不等式【例8】（2020·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.例如，代數(shù)式x?2的幾何意義是數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)閤+1=x??1，所以x+1的幾何意義就是數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：代數(shù)式x+1+（2）探究問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A,B,P分別表示的是?1,?????2,?????∵x+1+x?2的幾何意義是線段PA與∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA+PB=3;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)PA+PB>3∴x+1+（3）解決問(wèn)題：①.x?4+x+2的最小值是_②.利用上述思想方法解不等式：x+3③.當(dāng)a為何值時(shí)，代數(shù)式x+a+【變式8-1】（1）【閱讀理解】“a”的幾何意義是：數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以“a≥2”可理解為：數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于2①“a<2”可理解為_(kāi)__________②請(qǐng)列舉兩個(gè)符號(hào)不同的整數(shù)，使不等式“|a|>2”成立，列舉的a的值為_(kāi)____和______．我們定義：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|<m，|x|>m”（m為非負(fù)數(shù)）的不等式叫做絕對(duì)值不等式，能使一個(gè)絕對(duì)值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱為絕對(duì)值不等式的解集．（2）【理解應(yīng)用】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可以解一些絕對(duì)值不等式．由上圖可以得出：絕對(duì)值不等式x>1的解集是x<?1或x>1絕對(duì)值不等式x≤3的解集是?3≤x≤3①不等式x≥4的解集是_________②不等式|12x|<2的解集是（3）【拓展應(yīng)用】解不等式x+1+【變式8-2】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a?b|．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是__；(2)數(shù)軸上表示x和?2的兩點(diǎn)之間的距離表示為_(kāi)_；(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，且?3<x<1，則x?1+x+3＝__(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，且x?1+x+3＞4，則有理數(shù)x的取值范圍是______題型09不等式與方程組綜合求參數(shù)的取值范圍【例9】（2023·湖南衡陽(yáng)·?？级＃┮阎P(guān)于x的方程2x+4=m?x的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（

）A．m≤43 B．m≥43 C．【變式9-1】（2023泗水縣一模）如果關(guān)于x的方程2x+mx?1=1的解是非負(fù)數(shù)，那么m的取值范圍是（A．m≤?1 B．m≥?1 C．m≤?1且m≠?2 D．m≥?1且m≠0【變式9-2】（2022·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？家荒＃┤舨坏仁?x+2≤4x?1的最小整數(shù)解是方程23x?1

考點(diǎn)三一元一次不等式組一元一次不等式組的概念：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．不等式組解集的確定有兩種方法：1）數(shù)軸法：在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個(gè)公共部分就是不等式組的解集.2）口訣法：大大取大，小小取小，大小、小大中間找，大大、小小取不了．解一元一次不等式組的一般步驟：1）求出不等式組中各不等式的解集.2）將各不等式的解決在數(shù)軸上表示出來(lái).3）在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個(gè)公共部分就是不等式組的解集.易混易錯(cuò)1.在求不等式組的解集的過(guò)程中，通常是利用數(shù)軸來(lái)表示不等式組的解集的.2.利用數(shù)軸表示不等式組解集時(shí)，要把幾個(gè)不等式的解集都表示出來(lái)，不能僅畫(huà)公共部分.題型01一元一次不等式組定義【例1】（2020·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列各式不是一元一次不等式組的是（

）A．{x?1>3x?3<2 B．{a?1<0b+2>0 C．【變式1-1】下列不等式組：①x>?2x<3，②x>0x+2>4，③x2+1<xx2+2>4A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)題型02解不等式組【例2】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一元一次不等式組x?1≥0x<2的解集為（

A． B．C． D．【變式2-1】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：2+x>7?4x,x<【變式2-2】（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）解不等式組3x?1題型03求不等式組整數(shù)解【例3】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：2x?1【變式3-1】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：x?12【變式3-2】（2022·上海楊浦·?？家荒＃┫然?jiǎn)，再求值：2x2+x÷（1﹣x?1【變式3-3】（2023太原五中二模）解不等式組：3x+6?5(x?2)x?5題型04由不等式組整數(shù)解求字母取值范圍【例4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）不等式組x<mx≥3有4個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A．6≤m≤7 B．6<m<7 C．6≤m<7 D．6<m≤7【變式4-1】（2022·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的不等式組?13x>23A．3 B．4 C．5 D．6【變式4-2】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組x?a>0,7?2x>5A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2【變式4-3】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的不等式組2x+5>03x?k<4只有3個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)kA．?4 B．?3 C．?2 D．?1【變式4-4】（2023·黑龍江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的一元一次不等式組2x?a<03x?9>0只有2個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是_______題型05由不等式組的解集求參數(shù)【例5】（2023菏澤市三模）若不等式組x+13<x2?1x<4mA．m≤2 B．m<2 C．m≥2 D．m>2【變式5-1】（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組2x?1＜3x?a<0的解集為x<2，則a的取值范圍是________．【變式5-2】（2023扎蘭屯市三模）若不等式組x+8<4x?1x>m的解集為x＞3，則m的取值范圍_________．【變式5-3】（2023·江蘇連云港·?？级＃╆P(guān)于x、y的方程組2x?y=2a+7x+y=4a?4的解滿足x>0，y<0，求實(shí)數(shù)a題型06與不等式組有關(guān)的新定義問(wèn)題【例6】（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)初中部校考一模）定義新運(yùn)算：a?b=2a?b+3．例如，5?4=2×5?4+3，則不等式組0.5?x>?22x?5>3x+1的解集為(

)A．x>3 B．3<x<6 C．無(wú)解 D．?1<x<6【變式6-1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）定義：不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作x，例如3.6=3，?3=?2，按此規(guī)定，若1?3x2A．13<x≤1 B．13≤x<1 C．【變式6-2】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義新運(yùn)算“?”，規(guī)定：a?b=a?2b，若關(guān)于x的不等式組x?3>0x?a>a的解集為x>6，則a的取值范圍是________．【變式6-3】．（2022·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：a⊕b=1?ab，則不等式組x⊕2≤3?13【變式6-4】（2023·廣東江門·江門市怡福中學(xué)?？家荒＃┒x：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的相伴方程．若方程8?x=x、7+x=3x+13都是關(guān)于x的不等式組x<2?m題型07根據(jù)程序圖解不等式組【例7】（2022下·安徽黃山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）運(yùn)行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否>95”為一次程序操作，如果程序操作進(jìn)行了三次才停止，那么x的取值范圍是（）A．12.75<x≤24.5 B．x<24.5C．12.75≤x<24.5 D．x≤24.5【變式7-1】（2023宜賓市三模）如圖，這是王彬同學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)計(jì)算機(jī)程序，規(guī)定從“輸入一個(gè)值x”到判斷“結(jié)果是否≥13”為一次運(yùn)行過(guò)程．如果程序運(yùn)行兩次就停止，那么x的取值范圍是（）A．x≥4 B．4≤x＜7 C．4＜x≤7 D．x≤7【變式7-2】（2020濰坊五縣三模）如圖，一個(gè)運(yùn)算程序，若需要經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算才能輸出結(jié)果，則x的取值范圍為()A．x>1 B．1<x?7 C．1?x<7 D．1?x?7題型08不等式組與方程的綜合【例8】（2023成都市模擬）已知a，b，c為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=302a+3b+4c=100，若W=3a+2b+5c，則W的最大值為_(kāi)_________．【變式8-1】若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程x+1x?2+a2?x=3的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組?3y?2≥4?y3y?a<0

考點(diǎn)四不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用一元一次不等式（組）的應(yīng)用題的關(guān)鍵語(yǔ)句：1）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系，因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．2）對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際.有些不等關(guān)系隱含于生活常識(shí)中,如小王用50元去買單價(jià)為6元的筆記本.設(shè)買x本，求x的取值范圍時(shí),其問(wèn)題中就隱含著所花錢數(shù)不能超過(guò)50元.由此可得出不等式6x≤50.用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;答：實(shí)際問(wèn)題的答案.題型01利用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題【例1】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角互不相等，如果∠A為最小的內(nèi)角，那么下列四個(gè)度數(shù)中，∠A最大可取（

）A．20° B．58° C．60°【變式1-1】．（2022·山西·中考真題）某品牌護(hù)眼燈的進(jìn)價(jià)為240元，商店以320元的價(jià)格出售．“五一節(jié)”期間，商店為讓利于顧客，計(jì)劃以利潤(rùn)率不低于20%的價(jià)格降價(jià)出售，則該護(hù)眼燈最多可降價(jià)_________元．【變式1-2】（2021·福建福州·?？级＃┬∶魍瑢W(xué)在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得到的總和是800°，則少算了這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)____．【變式1-3】（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：被譽(yù)為“世界雜交水稻之父”的“共和國(guó)勛章”獲得者袁隆平，成功研發(fā)出雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的畝產(chǎn)量的2倍．現(xiàn)有兩塊試驗(yàn)田，A塊種植雜交水稻，B塊種植普通水稻，A塊試驗(yàn)田比B塊試驗(yàn)田少4畝．(1)A塊試驗(yàn)田收獲水稻9600千克、B塊試驗(yàn)田收獲水稻7200千克，求普通水稻和雜交水稻的畝產(chǎn)量各是多少千克？(2)為了增加產(chǎn)量，明年計(jì)劃將種植普通水稻的B塊試驗(yàn)田的一部分改種雜交水稻，使總產(chǎn)量不低于17700千克，那么至少把多少畝B塊試驗(yàn)田改種雜交水稻？【變式1-4】．（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）某超市經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液，進(jìn)貨時(shí)發(fā)現(xiàn)，甲品牌洗衣液每瓶的進(jìn)價(jià)比乙品牌高6元，用1800元購(gòu)進(jìn)甲品牌洗衣液的數(shù)量是用1800元購(gòu)進(jìn)乙品牌洗衣液數(shù)量的45（1）求兩種品牌洗衣液的進(jìn)價(jià)；（2）若超市需要購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶，且購(gòu)進(jìn)兩種洗衣液的總成本不超過(guò)3120元，超市應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶，才能在兩種洗衣液完全售出后所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【變式1-5】（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）某公司引入一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，其中A產(chǎn)品每件成本為100元，銷售價(jià)格為120元，B產(chǎn)品每件成本為75元，銷售價(jià)格為100元，A，B兩種產(chǎn)品均能在生產(chǎn)當(dāng)月全部售出．(1)第一個(gè)月該公司生產(chǎn)的A，B兩種產(chǎn)品的總成本為8250元，銷售總利潤(rùn)為2350元，求這個(gè)月生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品各多少件？(2)下個(gè)月該公司計(jì)劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共180件，且使總利潤(rùn)不低于4300元，則B產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【變式1-6】（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）為了解決雨季時(shí)城市內(nèi)澇的難題，我市決定對(duì)部分老街道的地下管網(wǎng)進(jìn)行改造．在改造一段長(zhǎng)3600米的街道地下管網(wǎng)時(shí)，每天的施工效率比原計(jì)劃提高了20%，按這樣的進(jìn)度可以比原計(jì)劃提前10天完成任務(wù)．(1)求實(shí)際施工時(shí)，每天改造管網(wǎng)的長(zhǎng)度；(2)施工進(jìn)行20天后，為了減少對(duì)交通的影響，施工單位決定再次加快施工進(jìn)度，以確保總工期不超過(guò)40天，那么以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加多少米？【變式1-7】（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）為了傳承雷鋒精神，某中學(xué)向全校師生發(fā)起“獻(xiàn)愛(ài)心”募捐活動(dòng)，準(zhǔn)備向西部山區(qū)學(xué)校捐贈(zèng)籃球、足球兩種體育用品．已知籃球的單價(jià)為每個(gè)100元，足球的單價(jià)為每個(gè)80元．(1)原計(jì)劃募捐5600元，全部用于購(gòu)買籃球和足球，如果恰好能夠購(gòu)買籃球和足球共60個(gè)，那么籃球和足球各買多少個(gè)？(2)在捐款活動(dòng)中，由于師生的捐款積極性高漲，實(shí)際收到捐款共6890元，若購(gòu)買籃球和足球共80個(gè)，且支出不超過(guò)6890元，那么籃球最多能買多少個(gè)？題型02利用一元一次不等式組解決實(shí)際問(wèn)題【例2】用長(zhǎng)為40m的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長(zhǎng)度AC=30m，要使靠墻的一邊長(zhǎng)不小于25m，那么與墻垂直的一邊長(zhǎng)x（m）的取值范圍為（）A．0≤x≤5 B．x≥103 C．0≤x≤10【變式2-1】已知三角形兩邊的邊長(zhǎng)分別為3、4，則第三邊長(zhǎng)度的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B．

C． D．

【變式2-2】已知有A、B兩種不同規(guī)格的貨車共50輛，現(xiàn)計(jì)劃分兩趟把甲種貨物306噸和乙種貨物230噸運(yùn)往某地，先用50輛貨車共同運(yùn)輸甲種貨物，再開(kāi)回共同運(yùn)輸乙種貨物.其中每輛車的最大裝載量如表：最大裝載量（噸）A型貨車B型貨車甲種貨物75乙種貨物37(1)裝貨時(shí)按此要求安排A、B兩種貨車的輛數(shù)，共有幾種方案.(2)使用A型車每輛費(fèi)用為600元，使用B型車每輛費(fèi)用800元.在上述方案中，哪個(gè)方案運(yùn)費(fèi)最省?最省的運(yùn)費(fèi)是多少元?(3)在（2）的方案下，現(xiàn)決定對(duì)貨車司機(jī)發(fā)共2100元的安全獎(jiǎng)，已知每輛A型車獎(jiǎng)金為m元，每輛B型車獎(jiǎng)金為n元，38<m<n，且m，n均為整數(shù).則m=___________，n=____________.【變式2-3】（2022·云南昆明·統(tǒng)考三模）某地區(qū)為打造鄉(xiāng)村振興示范區(qū)．實(shí)行大面積機(jī)械化種植，今年共計(jì)種植某作物700畝，預(yù)計(jì)租用10臺(tái)作物收割機(jī)在一天之內(nèi)完成該作物的收割.已知可租用A、B兩種型號(hào)的作物收割機(jī)，2臺(tái)A型號(hào)收割機(jī)與3臺(tái)B型號(hào)收割機(jī)一起工作1天共收制該作物310畝，1臺(tái)A型號(hào)收割機(jī)和1臺(tái)B型號(hào)收割機(jī)一起工作1天共收割該作物130畝，租用A型號(hào)收割機(jī)的租金為每天3000元，租用B型號(hào)收割機(jī)的租金為每天2000元．(1)兩種型號(hào)收割機(jī)每臺(tái)每天平均收割多少畝該作物?(2)設(shè)租用x臺(tái)A型號(hào)的收割機(jī)，完成該作物的收割需要的總租金為y元，一共有多少種租賃方案，并求出最少的總租金．【變式2-4】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）日前市教育局發(fā)布了《佛山市教育局關(guān)于做好2023年我市初中畢業(yè)升學(xué)體育考試工作的通知》，確定了考試項(xiàng)目可由學(xué)生自行選擇．某校為了保證九年級(jí)畢業(yè)生有足夠的訓(xùn)練器材，計(jì)劃增購(gòu)一批籃球和足球，如果購(gòu)買20個(gè)足球和15個(gè)籃球，共需2050元；如果購(gòu)買10個(gè)足球和20個(gè)籃球，共需1900元．(1)足球與籃球的單價(jià)分別為多少元？(2)若學(xué)校計(jì)劃用不超過(guò)2800元的經(jīng)費(fèi)購(gòu)買足球和籃球共50個(gè)，且足球數(shù)不多于籃球數(shù)的3倍，則最多購(gòu)買多少個(gè)籃球？

第08講一元一次不等式（組）及其應(yīng)用答案解析考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì)題型01不等式的概念及意義【例1】以下表達(dá)式：①4x+3y≤0；②a>3；③x2+xy；④a2+bA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【提示】根據(jù)不等式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：a+b、a>3、x≠5是不等式，x2+xy和即不等式有3個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的定義，熟知用不等號(hào)連接的式子是不等式是解本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023湖里區(qū)模擬）某養(yǎng)生鈣奶飲料中的包裝瓶上標(biāo)注“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內(nèi)含鈣150毫克B．每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克C．每100克內(nèi)含鈣高于150毫克D．每100克內(nèi)含鈣不超過(guò)150毫克【答案】C【提示】“>”就是大于，在本題中也就是“高于”的意思．【詳解】解：根據(jù)>的含義，“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，就是“每100克內(nèi)含鈣高于150毫克”，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等號(hào)的含義，是需要熟練記憶的內(nèi)容．題型02列不等式【例2】（2020·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下面列出的不等式中，正確的是（

）A．“m不是負(fù)數(shù)”表示為m>0 B．“m不大于5”表示為m<5C．“n與4的差是正數(shù)”表示為n?4>0 D．“n不等于4”表示為n>4【答案】C【提示】根據(jù)題意列出不等式即可判斷．【詳解】A、∵m不是負(fù)數(shù)，∴m≥0，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵m不大于5，∴m≤5，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵n與4的差是正數(shù)，∴n?4＞0，C選項(xiàng)正確；D、∵n不等于4，∴n＜4或n＞4，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由題目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考二模）烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過(guò)3500米．若用x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，則x滿足的關(guān)系為（

）A．x<3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x>3500【答案】D【提示】根據(jù)題意列出不等式即可求解．【詳解】解：∵烏鞘嶺主主峰海拔超過(guò)3500米．∴x>3500，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023南寧市模擬）a是非負(fù)數(shù)的表達(dá)式是（

）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)【答案】D【提示】非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和零，即大于等于零的數(shù)是非負(fù)數(shù)判斷即可．【詳解】∵a是非負(fù)數(shù)，∴a≥0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略零而導(dǎo)致錯(cuò)誤．題型03取值是否滿足不等式【例3】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在?2,?2,1,?3四個(gè)數(shù)中，滿足不等式x<A．－2 B．－3 C．?2 【答案】B【提示】根據(jù)各數(shù)的大小即可做出判斷．【詳解】在?2,?2,1,?3四個(gè)數(shù)中，故滿足不等式x<?2故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2021·四川南充·統(tǒng)考中考真題）滿足x?3的最大整數(shù)x是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【提示】逐項(xiàng)提示，求出滿足題意的最大整數(shù)即可．【詳解】A選項(xiàng)，1<3，但不是滿足x?3的最大整數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意，B選項(xiàng)，2<3，但不是滿足x?3的最大整數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意，C選項(xiàng)，3=3，滿足D選項(xiàng)，4>3，不滿足x?3，故該選項(xiàng)不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題較為簡(jiǎn)單，主要是對(duì)不等式的理解和最大整數(shù)的理解．【變式3-2】（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）當(dāng)x=4時(shí)，不等式成立的是（

）A．x+1<4 B．12x>2 C．2x+1<5 【答案】D【提示】將x=4分別代入四個(gè)選項(xiàng)中，看不等式是否成立即可．【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)x=4時(shí)，x+1=5>4，不符合題意；B選項(xiàng)：當(dāng)x=4時(shí)，12C選項(xiàng)：當(dāng)x=4時(shí)，2x+1=9>5，不符合題意；D選項(xiàng)：當(dāng)x=4時(shí)，3x?2=10>9，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù)【例4】（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如果x<?3，那么下列不等式成立的是（）A．x2>?3x B．x2≥?3x C．x2【答案】A【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：因?yàn)閤<?3，所以x2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式4-1】（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知a>b，則下列不等式變形不正確的是（

）A．a(chǎn)?2>b?2 B．?2a>?2b C．a(chǎn)+2>b+2 D．a(chǎn)【答案】B【提示】①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行提示即可．【詳解】解：A、a>b，不等式的性質(zhì)1，a?2>b?2，故A正確，不符合題意；B、a>b，不等式的性質(zhì)3，?2a<?2b，故B錯(cuò)誤，符合題意；C、a>b，不等式的性質(zhì)1，a+2>b+2，故C正確，不符合題意；D、a>b，不等式的性質(zhì)2，a2故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是要注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式4-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，且a?b>c?d，下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．若b=d，則a>c B．若a=c，則b>dC．若b>d，則a>c D．若a>c，則b>d【答案】A【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)提示判斷即可求解．【詳解】解：A.若b=d，a?b>c?d，則a>c，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

B.若a=c，a?b>c?d，則b<d，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.若b>d，則a>c不一定成立，例如a=2,c=1,2>1;b=2,d=1,b>d，則a?b=c?d，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.同C選項(xiàng)，可得，若a>c，則b>d不一定成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學(xué)?？既＃┰O(shè)x，y，c為實(shí)數(shù)，則（

）A．若x＞y，則x+3c>y?2c B．若xC．若x＞y，則xc2>y【答案】D【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算辨別即可．【詳解】解：若x＞y，x+5c>y不一定成立，即故選項(xiàng)A不符合題意；若x＞y，c=0時(shí)，故選項(xiàng)B不符合題意；若x＞y，c=0時(shí)，則故選項(xiàng)C不符合題意；若xc2>yc故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的變化正確選擇對(duì)應(yīng)的性質(zhì)．題型05根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù)【例5】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）實(shí)數(shù)a，A．?a?c>?b?c B．a(chǎn)c>bc C．a(chǎn)?b=a?b D．【答案】C【提示】借助數(shù)軸上實(shí)數(shù)的位置關(guān)系結(jié)合相反數(shù)和絕對(duì)值的知識(shí)點(diǎn)，判斷大小，逐一驗(yàn)證．【詳解】解：A．由圖知：a>b，那么?a<?b，B．由圖知：a>b，c<0，那么C．由圖知：a>b，那么a?b>0，D．由圖知：a>b，故選:C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，實(shí)數(shù)，絕對(duì)值，相反數(shù)的大小比較，注意符號(hào)的變化對(duì)數(shù)值的影響．【變式5-1】（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．a(chǎn)+b<0 B．b?a<0 C．?2a>?2b D．a(chǎn)【答案】C【提示】由數(shù)軸可得a<0<b，a<【詳解】解：∵a<0<b，a<∴a+b>0，∵a<b，∴?2a>故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小，有理數(shù)的加法與減法法則的應(yīng)用，絕對(duì)值的含義，不等式的性質(zhì)，掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．a(chǎn)+b<0 B．b?a<0 C．2a>2b D．a(chǎn)+2<b+2【答案】D【提示】依據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，有理數(shù)大小的比較法則對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得：a＜0＜b，且a＜b，∴a+b>0，∴A選項(xiàng)的結(jié)論不成立；b?a>0，∴B選項(xiàng)的結(jié)論不成立；2a<2b，∴C選項(xiàng)的結(jié)論不成立；a+2<b+2，∴D選項(xiàng)的結(jié)論成立．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)大小的比較法則，利用點(diǎn)在數(shù)軸上的位置確定出a，b的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)校考三模）如圖所示，數(shù)軸上有O、A、B、C四點(diǎn)位置與各點(diǎn)所表示的數(shù)，若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，D點(diǎn)所表示的數(shù)為d，d?5=d?c，則D點(diǎn)的位置（

A．在A的左邊 B．在A、C之間 C．在C、O之間 D．在O、B之間【答案】D【提示】結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，點(diǎn)B表示的數(shù)為5，點(diǎn)C表示的數(shù)為c，∵D點(diǎn)所表示的數(shù)為d，且d?5=∴根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義得：D點(diǎn)到B點(diǎn)的距離等于D點(diǎn)到C點(diǎn)的距離，∴D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則D點(diǎn)表示的數(shù)d=c+5由題意，?5<c<0，則0<c+5∴0<d<5故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的幾何意義，以及不等式的性質(zhì)等，理解并熟練運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義是解題關(guān)鍵．【變式5-4】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）m，n在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列各式正確的是（

）

A．x<x?n<x?m B．x?n<x<x?mC．x?m<x?n<x D．x<x?m<x?n【答案】A【提示】數(shù)軸上右邊點(diǎn)表示的數(shù)比左邊點(diǎn)表示的數(shù)大，運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)求解．【詳解】如圖，m<n<0∴0<?n<?m∴x<x?n<x?m故選A．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小、不等式的基本性質(zhì)；注意不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)反向．題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小【例6】（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）數(shù)m，m+1，?m?2m>0的大小順序是（

A．?m?2<m<m+1 B．?m?2<m+1<mC．m<m+1<?m?2 D．m<?m?2<m+1【答案】A【提示】根據(jù)m＞0【詳解】∵m∴?m∴?m?2∵m+1∴m+1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的比較大小，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)m＞0【變式6-1】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知M=x2?2x+4以下是小明的解答：∵M(jìn)=x?12+3≥3∴M≥N．小明的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答．【答案】有錯(cuò)；x>0時(shí)，M>N；x=0時(shí)，M=N；x<0時(shí)，M<N；【提示】先求出M與N的差，根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)M與N的差進(jìn)行分類討論即可求解．【詳解】解：有錯(cuò)，正確解答如下．∵M(jìn)=x2?2x+4∴M?N=x∴當(dāng)x>0時(shí)，2x>0，即M?N>0，此時(shí)M>N；當(dāng)x=0時(shí)，2x=0，即M?N=0，此時(shí)M=N；當(dāng)x<0時(shí)，2x<0，即M?N<0，此時(shí)M<N．∴x>0時(shí)，M>N；x=0時(shí)，M=N；x<0時(shí)，M<N．【點(diǎn)睛】本題考查作差法比較大小，不等式的性質(zhì)，正確應(yīng)用分類討論思想是解題關(guān)鍵．40．（2021·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校?？家荒＃╅喿x：（1）若a＜b，則2a﹣3＜2b﹣3，簡(jiǎn)述理由：小明的解法：∵a＜b，∴2a＜2b，（不等式性質(zhì)2：_________），∴2a﹣3＜2b﹣3，（不等式性質(zhì)1）．小亮的解法：令y＝2x﹣3，∵k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大．∵a＜b，∴2a﹣3＜2b﹣3．小敏的解法：∵a＜b，觀察函數(shù)y＝2x﹣3的圖象可知，圖象上點(diǎn)（a，2a﹣3）在點(diǎn)（b，2b﹣3）的左邊，而圖象由左往右呈上升趨勢(shì)，∴2a﹣3＜2b﹣3．（2）若a＜b＜0，請(qǐng)用兩種不同的方法比較﹣2a與﹣2（3）若a＜b＜0，比較（a+2）2+1與（b+2）2+1的大小，簡(jiǎn)述理由．（4）若a＜b＜0，且a≠﹣2，b≠﹣2，直接寫(xiě)出﹣2a+12a+4與﹣2b+1【答案】（1）不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；（2）見(jiàn)解析，?2a<2b；（3）見(jiàn)解析；（4）當(dāng)-2<a＜b＜0和a＜b＜-2時(shí)，﹣2a+12a+4【提示】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)回答即可；（2）方法一：利用作差法比較；方法二：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較；（4）利用作差法比較即可．【詳解】解：（1）不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；（2）方法1：?＝2(a?b)ab∵a＜b＜0，∴ab＞0，a﹣b＜0，∴2(a﹣b)＜0，∴2(a?b)ab∴?2方法2：令y＝?2∵k＝﹣2＜0，∴在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．∵a＜b＜0，∴?2（3）令y＝(x+2)2+1，則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x＝﹣2且開(kāi)口向上．∴當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨著x增大而增大．∵a＜b＜0，∴當(dāng)a＜b＜﹣2時(shí)，(a+2)2+1＞(b+2)2+1；當(dāng)﹣2＜a＜b＜0時(shí)，(a+2)2+1＜(b+2)2+1；當(dāng)a<-2<b<0且|a+2|＜|b+2|時(shí)，(a+2)2+1＜(b+2)2+1．（4）﹣2a+12a+4-(﹣2b+12b+4)=∵a＜b＜0，∴b-a>0，當(dāng)-2<a＜b＜0時(shí)，∵a+2>0，b+2>0，∴﹣2a+12a+4>﹣2b+1當(dāng)a＜-2<b＜0時(shí)，∵a+2<0，b+2>0，∴﹣2a+12a+4<﹣2b+1當(dāng)a＜b＜-2時(shí)，∵a+2<0，b+2<0，∴﹣2a+12a+4>﹣2b+1綜上可知，當(dāng)-2<a＜b＜0和a＜b＜-2時(shí)，﹣2a+12a+4>﹣2b+12b+4；當(dāng)a＜-2<b＜0時(shí)，﹣2a+12a+4【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，分式的加減，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作差法比較代數(shù)式的大小，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）等式【例7】（2022·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校?？级＃└鶕?jù)不等式的性質(zhì)：若x?y＞0，則x＞y；若x?y＜0，則x＜【答案】見(jiàn)解析【提示】先求出n?1n?n?2n?1=1n(n?1)，根據(jù)n【詳解】證明：n?1==∵n＜0∴n?1＜0∴nn?1∴n?1n【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式加減運(yùn)算的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運(yùn)算法則．【變式7-1】（2019上·江西贛州·九年級(jí)?？计谥校W(xué)以致用：?jiǎn)栴}1：怎樣用長(zhǎng)為12cm的鐵絲圍成一個(gè)面積最大的矩形？小學(xué)時(shí)我們就知道結(jié)論：圍成正方形時(shí)面積最大，即圍成邊長(zhǎng)為3cm的正方形時(shí)面積最大為9cm思考驗(yàn)證：?jiǎn)栴}2：怎樣用鐵絲圍一個(gè)面積為9m小明猜測(cè)：圍成正方形時(shí)周長(zhǎng)最?。疄榱苏f(shuō)明其中的道理，小明翻閱書(shū)籍，找到下面的材料：結(jié)論：在a+b?2ab(a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b?2p，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+ba+b?2ab(a,b對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a?b)2∴a+b?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b解決問(wèn)題：（1）若x>0，則x+4x?（當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取“=（2）運(yùn)用上述結(jié)論證明小明對(duì)問(wèn)題2的猜測(cè)；（3）當(dāng)x>?1時(shí)，求y=x【答案】（1）4，2；（2）見(jiàn)解析；（3）2【提示】（1）根據(jù)題意，由a+b?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b（2）設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為x、y，由題意得xy=9，再根據(jù)公式證明當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值，進(jìn)而得結(jié)論；（3）把y=x2+3【詳解】解：（1）∵x>0，∴4x∴當(dāng)x=4x時(shí)，即∴x+4x?2故答案為4；2．（2）設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為xm、ym，由題意得xy=9，則x+y?2xy，即x+y?6當(dāng)x=y=3時(shí)，x+y取最小值為6，此時(shí)矩形的周長(zhǎng)最小為：2(x+y)=12；∵x=y時(shí)，矩形變?yōu)檎叫?，∴鐵絲圍一個(gè)面積為9m（3）y=x∵x>?1，∴x+1>0，4x+1∴y?2(x+1)·4x+1∴當(dāng)x+1=4x+1時(shí)，即y取最小值為：2．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)閱讀材料題，主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，弄清解答的理論依據(jù)，學(xué)會(huì)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行拓展應(yīng)用，難度較大，第（3）題關(guān)鍵是把求出函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)恰當(dāng)?shù)恼龑?shí)數(shù)的和形式，才能應(yīng)用公式．【變式7-2】（2022·山東日照·日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？级＃?002年國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是公園3世紀(jì)中四數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理繪制的弦圖（如圖1），該圖蘊(yùn)含著豐富的不等關(guān)系，例如，正方形的面積大于4個(gè)直角三角形的面積之和…設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)為a，b，則S正方形>4SRT△，當(dāng)a=b時(shí)，中間小正方形收縮為一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)正方形的面積每于4個(gè)直角三角形的面積之和，即a2綜上所述，a2+b使用上述結(jié)論，“a2+b(1)證明：“若a，b為正實(shí)數(shù)，則a+b≥2ab．當(dāng)且僅當(dāng)a=b(2)a，b均為實(shí)數(shù)，若ab為定值4，則a+b有最小值________；若a+b為定值6，則ab有最大值_________．(3)請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象（圖2）研究y=x+1(4)如圖3，已知P是反比例函數(shù)y=1x(x>0)圖象上任意一動(dòng)點(diǎn)，O(0,0)，A(?1,a)，其中a是常數(shù)，a>0【答案】(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，a+b的最小值為4，當(dāng)a<0，(3)y≥2或y≤?2(4)a【提示】（1）利用a2+b（2）利用（1）中的結(jié)論求解即可；（3）分當(dāng)x>0時(shí)，x+1x≥2x?1（4）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，1x【詳解】（1）解：∵a2+b∴a2∴a+b≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b（2）解：若ab為定值4時(shí)，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，∵a+b≥2ab∴a+b≥4，∴此時(shí)a+b的最小值為4，當(dāng)a<0，b<0時(shí)，∵∴?a+b∴a+b≤?4，∴此時(shí)a+b沒(méi)有最小值；若a+b為定值6，則a，b不可能都小于0，因此要使ab值最大，只需要討論當(dāng)當(dāng)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，∵a+b≥2ab∴2ab∴ab≤9，∴ab的最大值為9；（3）解：當(dāng)x>0時(shí)，x+1x≥2當(dāng)x<0時(shí)，?x+1?x∴y≥2或y≤?2；（4）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，∴AB=a，BC=x+1，PC=1∴S==1∵ax+1∴S△POA∴S△POA的最小面積為【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，不等式的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確讀懂題意．【變式7-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為ab(1)再往杯中加入mm>0(2)請(qǐng)證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式；(3)在△ABC中，三條邊的長(zhǎng)度分別為a,b,c，證明：ab+c【答案】(1)a+m(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【提示】（1）根據(jù)濃度公式代入以及變甜了判斷所得分式大小即可；（2）利用作差法，并化簡(jiǎn)通過(guò)判斷結(jié)果的正負(fù)即可；（3）利用三角形的三邊關(guān)系得到a+b>c，b+c>a，c+a>b，即ab+c<1，bc+a【詳解】（1）解：由題意得：加入m克糖后糖水濃度為：a+mb+m由糖水變甜可知：a+mb+m故答案為：a+m（2）解：利用作差法比較大?。篴+mb+m∵m>0，b>a>0，∴b?a>0，b+m>0，即mb?a∴a+mb+m?a（3）解：在△ABC中，a+b>c，b+c>a，c+a>b，且a＞∴ab+c<1，bc+a由糖水不等式得，ab+c<a+ab+c+a，∴ab+c∴ab+c【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算及大小比較，理解不等式并能夠利用糖水不等式以及三角形三邊關(guān)系證明ab+c題型08利用不等式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍【例8】（2023·重慶·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考二模）若a=35?2，則a的取值范圍是（A．2<a<3 B．3<a<4 C．4<a<5 D．5<a<6【答案】C【提示】根據(jù)35=45，得出6<3【詳解】解：∵35∴6<35∴6?2<35?2<7?2，即故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的運(yùn)算法則，得出35【變式8-1】（2023路南區(qū)二模）若x<y，且a?3x?a?3y，則aA．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<3 C．a(chǎn)?3 D．a(chǎn)?3【答案】D【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可得a?3≤0，即可求解【詳解】解：x<y，且a?3x?∴a?3≤0即a≤3故選D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)3，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式8-2】（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？既＃┮阎P(guān)于x的不等式a+2x<1的解集為x>1a+2【答案】a<?2【提示】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，由不等式a+2x<1的解集為x>1a+2【詳解】解：∵不等式a+2x<1的解集為∴a+2<0∴a的取值范圍為：a<?2故答案為：a<?2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的解集，不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵【變式8-3】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)x，y，a滿足x+3y+a=4，x?y?3a=0．若?1≤a≤1，t=x+y，那么t的取值范圍是_________．【答案】1【提示】把a(bǔ)當(dāng)作參數(shù)，聯(lián)立方程組求出x，y的值，然后用x表示出t=x+y，利用不等式的性質(zhì)求解．【詳解】聯(lián)立方程組x+3y+a=4①x?y?3a=0②∵?1≤a≤1，∴t=x+y=a+2，可得：1≤t≤故答案為：1≤t≤【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)和解二元一次方程組，解題時(shí)要把a(bǔ)當(dāng)作參數(shù)，聯(lián)立方程組求出x，y的值，然后利用不等式的性質(zhì)求解．題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用【例9】（2023·河北保定·?？家荒＃┮阎獙?shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b=3c，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)?b=3c?b B．C．若a>b，則a>c>b D．若a>c，則b?a>【答案】D【提示】通過(guò)等式的性質(zhì)得a?b=3c?b和a?c2=c?b可判斷A和B正確；由題目條件判斷b<c，a>c，可判斷C正確；結(jié)合B和A推出a?c【詳解】解：∵a+2b=3c，∴a+2b?3b=3c?3b，即a?b=3c?b∵a+2b=3c，∴a+2b?2b+c=3c?2b+c∴a?c2若a>b，∵a+2b=3c，∴a?a+2b>b?3c，即∴?3b>?3c，∴b<c，∵a>b，∴2a>2b，∵3c=a+2b，∴2a?3c>2b?a+2b整理得a>c，∴a>c>b，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；由B知a?c2∵a>c，∴a?c2>0，∴c?b>0，∴b<c，由A知a?b=3c?b∴a?b>0，即b?a<0，∵a+2b=3c，即2b=3c?a，∴b?a?c?a∴b?a<c?a故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，正確記憶等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)并正確變形做出判斷是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2023武威縣模擬）若x+y=3，x≥0，y≥0，則2x+3y的最小值為（

）A．0 B．3 C．6 D．9【答案】C【提示】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2x+3y=6?2y+3y=6+y，利用不等式的性質(zhì)解決最值問(wèn)題．【詳解】解：∵x+y=3，∴x=3?y，∴2x+3y=6?2y+3y=6+y，∵x≥0，∴3?y≥0，即y≤3，∵y≥0∴0≤y≤3，∴6≤y+6≤9，即6≤2x+3y≤9，∴y=0時(shí)，2x+3y的值最小，最小值為6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查代入消元法、不等式的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023德陽(yáng)市一模）實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＞b且ac＜bc，它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)，先判斷c的正負(fù)．再確定符合條件的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的大致位置．【詳解】解：因?yàn)閍＞b且ac＜bc，所以c＜0．選項(xiàng)A符合a＞b，c＜0條件，故滿足條件的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置可以是A．選項(xiàng)B不滿足a＞b，選項(xiàng)C、D不滿足c＜0，故滿足條件的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置不可以是B、C、D．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的位置和不等式的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷c的正負(fù)．考點(diǎn)二一元一次不等式題型01判斷一元一次不等式【例1】（2021·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：?3<0，a+b，x=3，x2+2xy+y2，x≠5，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【提示】一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的不等式；根據(jù)一元一次不等式的定義，對(duì)各個(gè)表達(dá)式逐一提示，即可得出答案．【詳解】-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；a+b是整式，不是一元一次不等式；x=3是方程，不是一元一次不等式；x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；x≠5是一元一次不等式；x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；∴是一元一次不等式的有1個(gè)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次不等式的定義，從而完成求解．【變式1-1】（2021·陜西·九年級(jí)專題練習(xí)）下列各式中，是一元一次不等式的有（

）個(gè)．①a?3＜2；②?x?1x＞3；③x?y＜0；④A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【提示】根據(jù)一元一次不等式的定義，只要含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式就是一元一次不等式．【詳解】是一元一次不等式的是①和⑤，∴一元一次不等式個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)且最高次數(shù)為1，還要注意未知數(shù)的系數(shù)不能是0．題型02根據(jù)一元一次不等式求參數(shù)值【例2】已知23（m+4）x|m|–3+6＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為（

A．4 B．±4 C．3 D．±3【答案】A【提示】根據(jù)一元一次不等式的定義，|m|﹣3=1，m+4≠0，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)題意得：|m|﹣3=1，m+4≠0，解得：|m|=4，m≠﹣4，∴m=4．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義中的未知數(shù)的最高次數(shù)為1次，本題還要注意未知數(shù)的系數(shù)不能是0．【變式2-1】若m?1xm?3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則mA．0 B．1 C．?1 D．±1【答案】C【提示】根據(jù)一元一次不等式的定義得到m?1≠0,m【詳解】解：∵m?1xm?3>0∴m?1≠0,m解得m=-1，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的定義，熟記一元一次不等式的定義并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】若(k?1)xk+3≥0是關(guān)于x的一元一次不等式，則k【答案】?1【提示】根據(jù)一元一次不等式的定義可得k=1且k?1≠0【詳解】解：∵(k?1)xk+3≥0∴k=1且k?1≠0，解得：k=?1故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式定義的“未知數(shù)的最高次數(shù)為1次”這一條件；還要注意，未知數(shù)的系數(shù)不能是0，掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．題型03求一元一次不等式解集【例3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列變形中正確的是（

）A．由?2x<1，得x<?12 B．由2x+1>3x?1C．由2x+1>x?1，得x>2 D．由x+2<2x?2，得x【答案】D【提示】求出一元一次不等式的解集，逐項(xiàng)提示判斷即可求解．【詳解】解：A.由?2x<1，得x>?1B.由2x+1>3x?1，得x<2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.由2x+1>x?1，得x>?2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.由x+2<2x?2，得x>4故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法，注意不等式兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向發(fā)生改變，是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）不等式x?32≥1的解集為【答案】x≥5【提示】根據(jù)解一元一次不等式的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得答案．【詳解】解：x?32去分母，得x-3≥2，移項(xiàng)，得x≥2+3，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，得，x≥5，故答案為：x≥5．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵掌握解一元一次不等式的方法步驟．【變式3-2】（2022·安徽宣城·統(tǒng)考一模）解不等式：2x?3<x+1【答案】x<2【提示】根據(jù)一元一次不等式的解法即可得．【詳解】解：2x?3<x+1去分母，得32x?3去括號(hào)，得6x?9<x+1，移項(xiàng)，得6x?x<1