專題04 二次根式（練習(xí)）（9題型）

第04講二次根式目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關(guān)練 1題型01二次根式有意義的條件 1題型02判斷最簡(jiǎn)二次根式 2題型03判斷同類二次根式 2題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn) 2題型05二次根式的乘除運(yùn)算 3題型06二次根式的加減運(yùn)算 3題型07二次根式的混合運(yùn)算 4題型08二次根式的化簡(jiǎn)求值 4題型09二次根式的應(yīng)用 5真題實(shí)戰(zhàn)練 7重難創(chuàng)新練 10

題型過關(guān)練題型01二次根式有意義的條件1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）若式子x?19在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．2．（2021·浙江麗水·中考真題）要使式子x?3有意義，則x可取的一個(gè)數(shù)是__________．3．（2022·遼寧丹東·中考真題）在函數(shù)y＝x+3x中，自變量x的取值范圍是（

A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠04．（2023·廣東廣州·一模）代數(shù)式k?1有意義時(shí)，直線y=kx+k一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限題型02判斷最簡(jiǎn)二次根式1．（2023·貴州遵義·?？家荒＃┫铝卸胃绞亲詈?jiǎn)二次根式的是（）A．0.5 B．3 C．8 D．122．下列各式：①32，②2，③18，④0.2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于8，下列說法不正確的是（）A．是最簡(jiǎn)二次根式 B．是無理數(shù)C．整數(shù)部分是2 D．一定能夠在數(shù)軸上找到表示8的點(diǎn)4．（2022江門市模擬）若最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1題型03判斷同類二次根式1．（2023·上海松江·二模）下列二次根式中，與2是同類二次根式的是（

）A．0.2 B．0.5 C．4 D．122．（2023·四川攀枝花·二模）下列二次根式中，不能與3合并的是（

）A．32 B．27 C．12 D．13．（2023衡陽市模擬）若最簡(jiǎn)二次根式2x+1和4x?3能合并，則x的值為（

）A．0.5 B．1 C．2 D．2.5題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)1．（2022·河北·中考真題）下列正確的是（

）A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．942．（2023南皮縣模擬）下列二次根式中，化簡(jiǎn)結(jié)果為-5的是（

）A．?52 B．?52 C．?3．（2021·湖南婁底·中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長(zhǎng)，則(m?3)2+(m?7)A．2m?10 B．10?2m C．10 D．44．（2022·四川綿陽·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)a?ba+ba?b的結(jié)果是（A．a(chǎn)2?b2 B．b?a C．5．（2023·廣東佛山·一模）若實(shí)數(shù)m，n滿足m?42+n+3=0，則題型05二次根式的乘除運(yùn)算1．（2021·湖南株洲·中考真題）計(jì)算：?4×12=A．?22 B．－2 C．?2 2．（2020·江蘇泰州·中考真題）下列等式成立的是（

）A．3+42=72 B．3×2=3．（2023松原市三模）計(jì)算：521×23=4．（2021·天津和平·一模）計(jì)算(5+2)(5?2)的結(jié)果等于5．（2022·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)校考一模）計(jì)算24÷6的結(jié)果是_____題型06二次根式的加減運(yùn)算1．（2022·貴州六盤水·中考真題）計(jì)算：12?23=_____2．（2020·黑龍江哈爾濱·中考真題）計(jì)算：24+6163．（2022·山東青島·二模）計(jì)算：18?24．（2023·河北石家莊·三模）12?3的結(jié)果在（A．0.5和1之間 B．1和1.5之間C．1.5和2之間 D．2和2.5之間5．（2021·河北唐山·二模）已知：?50+12=a2+b題型07二次根式的混合運(yùn)算1．（2022·山東青島·中考真題）計(jì)算(27?12A．33 B．1 C．5 2．（2022·山東泰安·中考真題）計(jì)算：8?63．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算24?654．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）計(jì)算：1計(jì)算：52題型08二次根式的化簡(jiǎn)求值1．（2021·湖北恩施·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：1?a?2a+4÷2．（2023·河北衡水·二模）已知A，B都是關(guān)于x的多項(xiàng)式，且A=2x2?5x+4(1)求B；(2)若A?B=2，求B3．（2022·河南商丘·一模）已知M=(x+1)2+(2x+1)(2x?1),N=4x(x+1)，當(dāng)x=2時(shí)，請(qǐng)比較題型09二次根式的應(yīng)用1．（2023下·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列各式：①1×2×3×4+1=5②2×3×4×5+1=11③3×4×5×6+1=19…(1)觀察①②③等式，那么第⑤個(gè)等式為_____________________；(2)根據(jù)上述規(guī)律，猜測(cè)寫出n×n+1n+2n+32．（2022·山東濟(jì)寧·二模）閱讀理解：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b，∵(a∴a?2ab∴a+b≥2ab∴當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值2ab根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題(1)若m>0，只有當(dāng)m=_______時(shí)，m+1m有最小值_______；若m>0，只有當(dāng)m=_______時(shí)，(2)疫情需要為解決臨時(shí)隔離問題，檢測(cè)人員利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不限）和63米長(zhǎng)的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的矩形隔離房，如圖設(shè)每間隔離房的面積為S（米2）．問：當(dāng)每間隔離房的長(zhǎng)寬各為多少時(shí)，使每間隔離房面積S最大？最大面積是多少？3．（2021·貴州黔西·模擬預(yù)測(cè)）閱讀理解：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a?b)2≥0，∴a?2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．結(jié)論：在a+b≥2ab（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值(1)若a>0，只有當(dāng)a=__________時(shí)，a+4(2)若a>0，只有當(dāng)a=__________時(shí)，2a+6(3)若a<0，平面內(nèi)有Aa,a2?4，Ba,?4．（2021·河北唐山·一模）如圖，甲、乙兩張卡片上均有一個(gè)系數(shù)為整數(shù)的多項(xiàng)式，其中乙中二次項(xiàng)系數(shù)因?yàn)楸晃廴究床磺宄?）嘉嘉認(rèn)為污染的數(shù)為?3，計(jì)算“A+B”的結(jié)果；（2）若a=3+3，淇淇認(rèn)為存在一個(gè)整數(shù)，可以使得“A?B5．（2023·江蘇·二模）問題：已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a≠b，且2023(a?b)+2023(b?c)+(c?a)=0，求證：小明在思考時(shí)，感覺無從下手，就去請(qǐng)教學(xué)霸小剛,小剛審題后思考了片刻，對(duì)小明說：我們可以構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參考：令2023=x，則2023=x2(a?b)x可以發(fā)現(xiàn)：(a?b)×1從而可知構(gòu)造的方程兩個(gè)根分別是1和2023．利用根與系數(shù)的關(guān)系得：1+2023=_____；請(qǐng)你根據(jù)小剛的思路完整地解答本題．真題實(shí)戰(zhàn)練1．（2022·四川雅安·中考真題）使x?2有意義的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B．C． D．2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）下列說法正確的是（）①若二次根式1?x有意義，則x的取值范圍是x≥1．②7＜65＜8．③若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則它的邊數(shù)是5．④16的平方根是±4．⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④3．（2023·廣東廣州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2?2k?2x+kA．?1 B．1 C．?1?2k D．2k?34．（2021·湖北恩施·中考真題）從2，?3，?2這三個(gè)實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．35．（2023·遼寧大連·中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A．20=2 C．8=42 6．（2023·重慶·中考真題）估計(jì)5×6?A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間7．（2022·四川瀘州·中考真題）與2+15最接近的整數(shù)是（

A．4 B．5 C．6 D．78．（2022·湖南常德·中考真題）我們發(fā)現(xiàn)：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+?+6+6+3=3n個(gè)根號(hào)，一般地，對(duì)于正整數(shù)a，b，如果滿足b+b+b+?+b+b+a=an個(gè)根號(hào)時(shí)，稱A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2023·湖南永州·中考真題）已知x為正整數(shù)，寫出一個(gè)使x?3在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)沒有意義的x值是_______．10．（2023連云港中考真題）計(jì)算：(5)11．（2023·四川涼山·中考真題）計(jì)算(π?3.14)0+12．（2023·湖北·中考真題）計(jì)算4?1?113．（2023·山東濰坊·中考真題）從?2、3，6中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式□+○2÷14．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）計(jì)算63?71715．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）觀察下列各式：S1=1+11請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：S1+16．（2022呼倫貝爾市中考）已知x，y是實(shí)數(shù)，且滿足y=x?2＋2?x＋18，則x?y17．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：m+2+52?m?（2023·山東淄博·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：x?2y2+x5y?x?4y重難創(chuàng)新練1．（2022·四川達(dá)州·中考真題）人們把5?12≈0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)a=5?12，b=5+12，記2．（2023·山東濰坊·中考真題）［材料閱讀]用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知12即12方法2：借助函數(shù)y=12x+12+122+123即兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)到x軸的距離．因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)(1,1)到x軸的距為1，所以，12

【實(shí)踐應(yīng)用】任務(wù)一

完善23

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知23方法2：借助函數(shù)y=23x+因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為______，所以，23任務(wù)二

參照上面的過程，選擇合適的方法，求34任務(wù)三

用方法2，求q+q2+【遷移拓展】長(zhǎng)寬之比為5+1觀察圖⑤，直接寫出5?1

第04講二次根式答案解析題型過關(guān)練題型01二次根式有意義的條件1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）若式子x?19在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】x≥19【提示】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x?19≥0，求解即可．【詳解】∵式子x?19在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x?19≥0，解得x≥19，故答案為：x≥19．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）要使式子x?3有意義，則x可取的一個(gè)數(shù)是__________．【答案】如4等（答案不唯一，x≥3）【提示】根據(jù)二次根式的開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求解即可．【詳解】解：∵式子x?3有意義，∴x﹣3≥0，∴x≥3，∴x可取x≥3的任意一個(gè)數(shù)，故答案為：如4等（答案不唯一，x≥3．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）在函數(shù)y＝x+3x中，自變量x的取值范圍是（

A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0【答案】D【提示】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】解：由題意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）代數(shù)式k?1有意義時(shí)，直線y=kx+k一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【提示】根據(jù)k?1≥0，結(jié)合圖像分布規(guī)律判斷即可．【詳解】∵代數(shù)式k?1有意義，∴k?1≥0，∴k≥1，∴直線y=kx+k經(jīng)過第一、二、三象限，故直線一定不經(jīng)過第四象限，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，一次函數(shù)的圖像分布，熟練掌握?qǐng)D像分布規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型02判斷最簡(jiǎn)二次根式1．（2023·貴州遵義·?？家荒＃┫铝卸胃绞亲詈?jiǎn)二次根式的是（）A．0.5 B．3 C．8 D．12【答案】B【提示】若根號(hào)下沒有小數(shù)、分?jǐn)?shù)、能夠開方的因數(shù)，就是最簡(jiǎn)二次根式，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：0.5=8=2127故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，若根號(hào)下沒有小數(shù)、分?jǐn)?shù)、能夠開方的因數(shù)，就是最簡(jiǎn)二次根式．2．下列各式：①32，②2，③18，④0.2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【提示】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．【詳解】解：①32②2，是最簡(jiǎn)二次根式；③18=3④0.2=最簡(jiǎn)二次根式有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的定義的理解；能理解最簡(jiǎn)二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵．3（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于8，下列說法不正確的是（）A．是最簡(jiǎn)二次根式 B．是無理數(shù)C．整數(shù)部分是2 D．一定能夠在數(shù)軸上找到表示8的點(diǎn)【答案】A【提示】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式、無理數(shù)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．8=22，B．8=22，2是無理數(shù)，則C．因?yàn)?<2<1.5，則2<22D．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則一定能夠在數(shù)軸上找到表示8的點(diǎn)，選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式、無理數(shù)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2022江門市模擬）若最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【提示】由二次根式的定義可知3a?b=2，由最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，可得4a+3b=2a?b+6【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6∴3a?b=24a+3b=2a?b+6∴3a?b=2a+2b=3解得a=1b=1故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義和最簡(jiǎn)二次根式的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵．題型03判斷同類二次根式1．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）下列二次根式中，與2是同類二次根式的是（

）A．0.2 B．0.5 C．4 D．12【答案】B【提示】幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.【詳解】解：A、0.2=15B、0.5=12C、4=2，與2D、.12=23，與故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的概念是解題的關(guān)鍵.2．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）下列二次根式中，不能與3合并的是（

）A．32 B．27 C．12 D．1【答案】A【提示】先化簡(jiǎn)各個(gè)選項(xiàng)的二次根式，再看能否合并3，即可得到答案．【詳解】解：A、32=42，不能和B、27=33，能和C、12=23，能和D、13=3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的判斷，二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)二次根式．3．（2023衡陽市模擬）若最簡(jiǎn)二次根式2x+1和4x?3能合并，則x的值為（

）A．0.5 B．1 C．2 D．2.5【答案】C【提示】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式可以合并，得出最簡(jiǎn)二次根式為同類二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式2x+1和4x?3能合并，∴2x+1與4x?3為同類二次根式，∴2x+1=4x?3，解得：x=2，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類二次根式，根據(jù)同類二次根式的定義列出關(guān)于x的方程，是解題的關(guān)鍵．題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)1．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）下列正確的是（

）A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94【答案】B【提示】根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A.4+9=B.4×9=2×3C.94D.4.9≠0.7故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023南皮縣模擬）下列二次根式中，化簡(jiǎn)結(jié)果為-5的是（

）A．?52 B．?52 C．?【答案】C【提示】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：A、?52B、?5C、?5D、52故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長(zhǎng)，則(m?3)2+(m?7)A．2m?10 B．10?2m C．10 D．4【答案】D【提示】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出m的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：∵2,3,m是三角形的三邊，∴5?2<m<5+2，解得：3<x<7，∴(m?3)故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出m的范圍，再對(duì)二次根式化簡(jiǎn)．4．（2022·四川綿陽·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)a?ba+ba?b的結(jié)果是（A．a(chǎn)2?b2 B．b?a C．【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸圖可知a?b<0，a+b<0，再根據(jù)a2【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸圖可知a?b<0，a+b<0，∴a?b=====?故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸和二次根式及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，分式的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸圖判斷絕對(duì)值里數(shù)值的正負(fù)．5．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）若實(shí)數(shù)m，n滿足m?42+n+3=0，則【答案】5【提示】?jī)蓚€(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，須兩個(gè)非負(fù)數(shù)同為0，須被平方的式子與被開方的式子都為0，求得m、n的值．【詳解】∵m?42又∵m?42≥0，∴m?4=0，n+3=0，∴m=4，n=?3，∴m2故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)，熟練掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0，是解決此類為題的關(guān)鍵．題型05二次根式的乘除運(yùn)算1．（2021·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：?4×12=A．?22 B．－2 C．?2 【答案】A【提示】將12【詳解】解：?4×故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）下列等式成立的是（

）A．3+42=72 B．3×2=【答案】D【提示】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可逐一判斷．【詳解】解：A、3和42B、3×C、3÷D、(?3)2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握基本的運(yùn)算法則．3．（2023松原市三模）計(jì)算：521×2【答案】30【提示】根據(jù)二次根式的計(jì)算法則運(yùn)算即可．【詳解】5=10=307故答案為：307【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是結(jié)果應(yīng)該化為最簡(jiǎn)二次根式．4．（2021·天津和平·統(tǒng)考一模）計(jì)算(5+2)(5【答案】1【提示】先用平方差公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：原式=5=52-=5-4=1故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式與二次根式的性質(zhì)是關(guān)鍵．5．（2022·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)校考一模）計(jì)算24÷6的結(jié)果是【答案】2【提示】根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】24÷6故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法運(yùn)算，掌握二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵．題型06二次根式的加減運(yùn)算1．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：12?23【答案】0【提示】先把12化簡(jiǎn)為23【詳解】解：12=2=0故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的減法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：24+616【答案】3【提示】根據(jù)題意可知，本題考查二次根式的運(yùn)算，根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，即可進(jìn)行求解．【詳解】解：原式=26+故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，先化簡(jiǎn)再進(jìn)行合并二次根式是解決此類問題的關(guān)鍵．3．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）計(jì)算：18?2【答案】2【提示】根據(jù)二次根式運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】原式=3故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是先化簡(jiǎn)再進(jìn)行計(jì)算．4．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）12?3的結(jié)果在（A．0.5和1之間 B．1和1.5之間C．1.5和2之間 D．2和2.5之間【答案】C【提示】12?3整理得3，根據(jù)1.52【詳解】解：12?∵1.52=2.25，22∴1.5<∴實(shí)數(shù)12?3的值在故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無理數(shù)，關(guān)鍵是掌握用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．5．（2021·河北唐山·統(tǒng)考二模）已知：?50+12=a2+b【答案】-7【提示】先將原式中二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合并，則可求得a=?5，b=12，【詳解】解：?50∵?50∴a=?5，b=12，∴ab+c=?5×1故答案為：-7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減，掌握二次根式加減的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．題型07二次根式的混合運(yùn)算1．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算(27?12A．33 B．1 C．5 【答案】B【提示】把括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)分別乘以13【詳解】解：(=9故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，掌握“二次根式的乘法運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：8?6【答案】2【提示】先計(jì)算乘法，再合并，即可求解．【詳解】解：8==4=23故答案為：23【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2021·山東威海·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算24?65【答案】?【提示】根據(jù)二次根式的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可求解．【詳解】解：原式=2=2=?6故答案為：?6【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過程中細(xì)心即可求解．4．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）計(jì)算：1【答案】1+【提示】根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：原式=2+=2+3?4+=1+3【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．5．計(jì)算：52?【答案】3【提示】按照二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式=5?=5?=3．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型08二次根式的化簡(jiǎn)求值1．（2021·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：1?a?2a+4÷【答案】?2a+2【提示】先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入進(jìn)行求解即可．【詳解】解：原式=1?a?2把a(bǔ)=2?2代入得：原式=【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算及分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河北衡水·二模）已知A，B都是關(guān)于x的多項(xiàng)式，且A=2x2?5x+4(1)求B；(2)若A?B=2，求B【答案】(1)2(2)?【提示】（1）根據(jù)題意，可得B=A?2x+1（2）根據(jù)題意得出x=2【詳解】（1）解：∵A=2x2∴B=A?=2=2=2x（2）∵A?B=2x+1，A?B=2即2x+1=∴x=∴B=2=2×=2×=?【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，代數(shù)式求值，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南商丘·統(tǒng)考一模）已知M=(x+1)2+(2x+1)(2x?1),N=4x(x+1)，當(dāng)x=2時(shí)，請(qǐng)比較【答案】M<N【提示】先計(jì)算出M?N=x2?2x，再把x=2代入，求得【詳解】解：∵M(jìn)=(x+1)∴M?N==x2=x2當(dāng)x=2時(shí)，M?N=2?2∵2>1∴22∴2?22∴M?N<0，即M<N．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減-化簡(jiǎn)求值，二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則及作差法是解本題的關(guān)鍵．題型09二次根式的應(yīng)用1．（2023下·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列各式：①1×2×3×4+1=5②2×3×4×5+1=11③3×4×5×6+1=19…(1)觀察①②③等式，那么第⑤個(gè)等式為_；(2)根據(jù)上述規(guī)律，猜測(cè)寫出n×n+1n+2n+3【答案】(1)5×6×7×8+1(2)n2【提示】（1）根據(jù)①②③等式的結(jié)果找到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解答；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則、完全平方公式解答即可．【詳解】（1）（1）因?yàn)棰?×2×3×4+1=②2×3×4×5+1=③3×4×5×6+1=所以第⑤個(gè)等式為：5×6×7×8+1=故答案為：5×6×7×8+1=41（2）nn+1證明如下：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(==(∴nn+1故答案為：n2【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）閱讀理解：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b，∵(a∴a?2ab∴a+b≥2ab∴當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值2ab根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題(1)若m>0，只有當(dāng)m=_______時(shí)，m+1m有最小值_______；若m>0，只有當(dāng)m=_______時(shí)，(2)疫情需要為解決臨時(shí)隔離問題，檢測(cè)人員利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不限）和63米長(zhǎng)的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的矩形隔離房，如圖設(shè)每間隔離房的面積為S（米2）．問：當(dāng)每間隔離房的長(zhǎng)寬各為多少時(shí)，使每間隔離房面積S最大？最大面積是多少？【答案】(1)1，2，2，8(2)每間隔離房長(zhǎng)為72米，寬為218米時(shí)，S的最大值為147【提示】（1）根據(jù)a+b≥2ab（a，b均為正實(shí)數(shù)），分別對(duì)m+1m（2）設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為x米，與墻垂直的邊為y米，根據(jù)題意得出9x+12y=63，然后根據(jù)題干提供的方法求S的最大值即可．【詳解】（1）解：∵m?又∵m>0∴m+1∴當(dāng)m=1m，即m=1時(shí)，m+1∵2m?又∵m>0，∴2m+8∴當(dāng)2m=8m，即m=2時(shí)，故答案為：1，2，2，8．（2）解：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為x米，與墻垂直的邊為y米，依題意得：9x+12y=63，即3x+4y=21，∴3x+4y≥23x?4y即21≥23x?4y∴xy≤147即S≤147當(dāng)3x=4y時(shí)，Smax此時(shí)，x=7即每間隔離房長(zhǎng)為72米，寬為218米時(shí)，S的最大值為14716【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式和二次根式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用題中的結(jié)論，求出最小值．3．（2021·貴州黔西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀理解：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a?b)2≥0，∴a?2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．結(jié)論：在a+b≥2ab（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值(1)若a>0，只有當(dāng)a=__________時(shí)，a+4(2)若a>0，只有當(dāng)a=__________時(shí)，2a+6(3)若a<0，平面內(nèi)有Aa,a2?4，Ba,?【答案】(1)2，4；(2)3，43(3)－4；8．【提示】（1）直接利用題中公式求解即可；（2）直接利用題中公式求解即可；（3）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得AB=4+【詳解】（1）由題意可知，a+b≥2∴a+∴只有當(dāng)a=2時(shí)，a+4故答案為2，4；（2）∵a+b≥2ab∴2a+6即2a+6∴只有當(dāng)a=3時(shí)，2a+6a有最小值為故答案為：，3，43（3）∵a<0，∴?a>0．∵Aa,a2∴AB=a∵?a2當(dāng)a2=8a∴AB≥|4+4|=8所以，當(dāng)a=－4時(shí)，線段AB最短，最短距離是8．【點(diǎn)睛】本題主要考查a+b≥2ab（a，b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2p，只有當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值4．（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，甲、乙兩張卡片上均有一個(gè)系數(shù)為整數(shù)的多項(xiàng)式，其中乙中二次項(xiàng)系數(shù)因?yàn)楸晃廴究床磺宄?）嘉嘉認(rèn)為污染的數(shù)為?3，計(jì)算“A+B”的結(jié)果；（2）若a=3+3，淇淇認(rèn)為存在一個(gè)整數(shù)，可以使得“A?B【答案】（1）?2a2?2a+3【提示】（1）根據(jù)整式的加法法則解題；（2）設(shè)污染的數(shù)字為m，利用整式的減法法則解得A?B=a2?6a+9?ma2，再利用配方法化為A?B=【詳解】解：（1）A+B===?2a（2）設(shè)污染的數(shù)字為m，

∴A?B====a?3∵a=3+∴a?32∵A?B的結(jié)果是整數(shù)∴ma∵a2=3+∴m=0即存在整數(shù)0滿足題意．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減混合運(yùn)算、涉及完全平方公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）問題：已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a≠b，且2023(a?b)+2023(b?c)+(c?a)=0，求證：小明在思考時(shí)，感覺無從下手，就去請(qǐng)教學(xué)霸小剛,小剛審題后思考了片刻，對(duì)小明說：我們可以構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參考：令2023=x，則2023=x2(a?b)x可以發(fā)現(xiàn)：(a?b)×1從而可知構(gòu)造的方程兩個(gè)根分別是1和2023．利用根與系數(shù)的關(guān)系得：1+2023=_____；請(qǐng)你根據(jù)小剛的思路完整地解答本題．【答案】?b?ca?b；【提示】令2023=x，則2023=【詳解】解：令2023=x，則2023=x2(a?b)x可以發(fā)現(xiàn)：(a?b)×1從而可知構(gòu)造的方程兩個(gè)根分別是1和2023.利用根與系數(shù)的關(guān)系得：1+2023=?b?c∴(c?b)(c?a)====2023．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意確定一元二次方程，得到方程的兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系用兩根之和與兩根之積表示代數(shù)式中的分式，代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值．真題實(shí)戰(zhàn)練1．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）使x?2有意義的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x?2≥0，求出不等式的解集，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意知，x?2≥0，解得x≥2，∴解集在數(shù)軸上表示如圖，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件以及在數(shù)軸上表示解集．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式有意義的條件．2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）下列說法正確的是（）①若二次根式1?x有意義，則x的取值范圍是x≥1．②7＜65＜8．③若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則它的邊數(shù)是5．④16的平方根是±4．⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、估算無理數(shù)的大小、算術(shù)平方根、平方根和多邊形的內(nèi)角和定理，根的判別式判斷即可．【詳解】解：①若二次根式1?x有意義，則1﹣x≥0，解得x≤1．故x的取值范圍是x≤1，題干的說法是錯(cuò)誤的．②8＜65＜9，故題干的說法是錯(cuò)誤的．③若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則它的邊數(shù)是5是正確的．④16＝4的平方根是±2，故題干的說法是錯(cuò)誤的．⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故題干的說法是正確的．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了二次根式有意義的條件、估算無理數(shù)的大小、算術(shù)平方根、平方根和多邊形．3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的方程x2?2k?2x+kA．?1 B．1 C．?1?2k D．2k?3【答案】A【分析】首先根據(jù)關(guān)于x的方程x2?2k?2x+k2?1=0【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2∴判別式△=?整理得：?8k+8≥0，∴k≤1，∴k?1≤0，2?k>0，∴(k?1)=?=?1．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關(guān)鍵．4．（2021·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）從2，?3，?2這三個(gè)實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【提示】根據(jù)題意分別求出這三個(gè)實(shí)數(shù)中任意兩數(shù)的積，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：由題意得：?3∴所有積中小于2的有?6故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A．20=2 C．8=42 【答案】D【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，二次根式的加法以及二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：A.20=1B.23+3C.8=22D.32故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，二次根式的加法以及二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）估計(jì)5×6?A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】A【分析】先計(jì)算二次根式的乘法，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可得．【詳解】解：5×∵25<30<36，∴25<30∴4<30故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法、無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．7．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）與2+15最接近的整數(shù)是（

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【詳解】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜15＜4，∴5.5＜2+15＜6，∴最接近的整數(shù)是6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）我們發(fā)現(xiàn)：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+?+6+6+3=3n個(gè)根號(hào)，一般地，對(duì)于正整數(shù)a，b，如果滿足b+b+b+?+b+b+a=an個(gè)根號(hào)時(shí)，稱A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)定義逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：∵12+4∴4,12是完美方根數(shù)對(duì)；故①正確；∵91+9=10∴9,91不是完美方根數(shù)對(duì)；故②不正確；若a,380是完美方根數(shù)對(duì)，則380+a即a解得a=20或a=?19∵a是正整數(shù)則a=20故③正確；若x,y是完美方根數(shù)對(duì)，則y+x∴y+x=x即y=故④正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查了求算術(shù)平方根，解一元二次方程，二次函數(shù)的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．9．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知x為正整數(shù)，寫出一個(gè)使x?3在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)沒有意義的x值是_______．【答案】1（答案不唯一）【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得當(dāng)x?3<0時(shí)，x?3沒有意義，解不等式，即可解答．【詳解】解：當(dāng)x?3<0時(shí)，x?3沒有意義，解得x<3，∵x為正整數(shù)，∴x可取1，2，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知根號(hào)下的式子小于零時(shí)，二次根式無意義，是解題的關(guān)鍵．10．（2023連云港中考真題）計(jì)算：(5)【答案】5【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：(5)故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算(π?3.14)0+【答案】2【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】(π?3.14)=1+=2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)等知識(shí)，掌握任何一個(gè)不為零的數(shù)的零次冪都是1是解題的關(guān)鍵．12．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算4?1?1【答案】1【分析】先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和化簡(jiǎn)二次根式，然后計(jì)算加減法即可．【詳解】解：4==1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了化簡(jiǎn)二次根式，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）從?2、3，6中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式□+○2÷【答案】522?23（或【分析】先利用完全平方公式計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法即可得．【詳解】解：①選擇?2和3則?==5÷=5②選擇?2和6則?==8÷=42③選擇3和6，則3==9÷=9故答案為：522?23（或【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．14．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算63?717【答案】2【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算法則及分母有理數(shù)的方法即可求解．【詳解】解：63?7故答案為：27【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算及分母有理數(shù)，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．15．（