《電磁場(chǎng)與電磁波》課件第4章

第4章靜態(tài)場(chǎng)的解4.1邊值問(wèn)題的分類4.2唯一性定理和電位疊加原理4.3鏡像法4.4分離變量法4.5復(fù)變函數(shù)法4.6格林函數(shù)法4.7有限差分法

4.1邊值問(wèn)題的分類

本章以靜電場(chǎng)的求解為例說(shuō)明靜態(tài)場(chǎng)的求解方法。靜電場(chǎng)的計(jì)算通常是求場(chǎng)內(nèi)任一點(diǎn)的電位。一旦電位確定，電場(chǎng)強(qiáng)度和其他物理量都可由電位求得。在無(wú)界空間，如果已知分布電荷的體密度，可以通過(guò)積分公式計(jì)算任意點(diǎn)的電位。但計(jì)算有限區(qū)域的電位時(shí)，必須使用所討論區(qū)域邊界上電位的指定值(稱為邊值)來(lái)確定積分常數(shù)。此外，當(dāng)場(chǎng)域中有不同介質(zhì)時(shí)，還要用到電位在邊界上的邊界條件。這些用來(lái)決定常數(shù)的條件，通常稱為邊界條件。我們把通過(guò)微分方程及相關(guān)邊界條件描述的問(wèn)題，稱為邊值問(wèn)題。實(shí)際上，邊界條件(即邊值)除了給定電位在邊界上的值以外，也可以是電位在邊界上的方向?qū)?shù)。根據(jù)不同形式的邊界條件，邊值問(wèn)題通常分為三類:

第一類邊值問(wèn)題，也叫狄利克雷(Dirichlet)問(wèn)題:給定整個(gè)邊界上的位函數(shù)值；即

第二類邊值問(wèn)題，也叫諾伊曼(Neumann)問(wèn)題:給定邊界上每一點(diǎn)位函數(shù)的法向?qū)?shù)第三類邊值問(wèn)題，也叫羅賓斯(Robins)問(wèn)題，屬于混合型問(wèn)題:給定邊界上電位和電位法向?qū)?shù)的線性組合，即在邊界面S上，也可以是給定一部分邊界上的電位值，同時(shí)給定另一部分邊界上的電位法向?qū)?shù)。

給定導(dǎo)體上的總電量也屬于第二類邊值問(wèn)題。

在分析時(shí)變場(chǎng)時(shí)，除了要知道邊界條件，還必須知道一個(gè)過(guò)程的起始狀態(tài)。如果定解時(shí)，不需要起始狀態(tài)，僅僅用到邊界上的函數(shù)值或函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，就叫做邊值問(wèn)題。也就是我們前面談到的靜態(tài)場(chǎng)的拉普拉斯方程或者泊松方程的邊值問(wèn)題。如果定解時(shí)，不需要邊界條件，僅僅用到起始狀態(tài)物理量的分布，就叫做初值問(wèn)題。初值問(wèn)題也叫做柯西(Cauchy)問(wèn)題。在實(shí)際問(wèn)題中，常常會(huì)碰到到自然邊界條件。比如當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域而電磁場(chǎng)延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)處的電位應(yīng)該趨于零，并且以一定的形式趨于零。寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中的常數(shù)A與距離無(wú)關(guān)，與上述有限區(qū)域的電荷及其分布有關(guān)。常數(shù)A也可以是零，比如我們前面分析過(guò)的電偶極子的電位就是這種情形。

4.2唯一性定理和電位疊加原理

邊值問(wèn)題的求解就是偏微分方程的求解。對(duì)于偏微分方程，通常和常微分方程相似，要考慮其解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。這里僅對(duì)靜電邊值問(wèn)題的唯一性加以討論。

4.2.1格林公式

格林公式是場(chǎng)論中的一個(gè)重要公式，可以由散度定理導(dǎo)出。散度定理可以表示為(4-1)在上式中，令F=

，則

(4-2)

F=(

)=

2

+

即(4-3)這就是格林第一恒等式。n是面元的外法向，即閉合面的外法向。把式(4-2)中的f和ψ交換，得(4-4)把式(4-3)和式(4-4)相減，得(4-5)這個(gè)公式稱為格林第二恒等式。4.2.2唯一性定理

邊值型問(wèn)題的唯一性定理十分重要，它表明，對(duì)任意的靜電場(chǎng)，當(dāng)空間各點(diǎn)的電荷分布與整個(gè)邊界上的邊界條件已知時(shí)，空間各部分的場(chǎng)就唯一地確定了。我們以泊松方程的第一類邊值問(wèn)題為例，對(duì)唯一性定理加以證明。我們用反證法證明。假設(shè)特定的邊值問(wèn)題有兩個(gè)解，然后證明兩者恒等。

設(shè)在區(qū)域V內(nèi)，j1和j2滿足泊松方程，即

在V的邊界S上，j1和j2滿足同樣的邊界條件，即令j=j1－j2，則在V內(nèi)，，在邊界面S上，j|S=0。在格林第一恒等式中，令ψ=j，則

由于，考慮到在S上，j=0，因而上式右邊為零，因而有由于對(duì)任意函數(shù)j，≥0，所以得，于是j只能是常數(shù)，再使用邊界面上j=0及其電位的連續(xù)性條件，可知在整個(gè)區(qū)域內(nèi)j=0，即j1≡j2。關(guān)于第二、三類邊值問(wèn)題，唯一性定理的證明和第一類邊值問(wèn)題類似。附帶指出，對(duì)于第二類邊值問(wèn)題，所得的電場(chǎng)是唯一的，電位可以相差一個(gè)常數(shù)。

唯一性定理對(duì)某些解邊值問(wèn)題的方法特別重要。有時(shí)可以通過(guò)猜測(cè)確定問(wèn)題的解，只要此解滿足拉普拉斯方程以及邊界條件，由唯一性定理可知，這個(gè)解就是所求的唯一解。4.2.3拉普拉斯方程解的疊加原理

拉普拉斯方程解的疊加原理是拉普拉斯方程的另一個(gè)重要特性。疊加原理是由拉普拉斯方程的線性特性導(dǎo)致的必然結(jié)論。假設(shè)j1和j2均是拉普拉斯方程的解，則由這兩個(gè)解的線性組合C1j1+C2j2也是拉普拉斯方程的解。依次類推，若j1、j2、…、jn都滿足拉普拉斯方程，則這些解的線性組合也必定是拉普拉斯方程的解。這就是拉普拉斯方程解的疊加原理。

4.3鏡像法

4.3.1平面鏡像法

例4-1

求置于無(wú)限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面為h處的點(diǎn)電荷q的電位。

解如圖4-1所示，設(shè)z=0為導(dǎo)體面，點(diǎn)電荷q位于(0，0，h)處，待求的是z>0中的電位。我們可以把上半空間的電位看做兩部分之和，即j=jq+js

，其中jq、js分別表示點(diǎn)電荷和導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位。我們不知道感應(yīng)面電荷的分布，因其分布與空間電場(chǎng)有關(guān)，但我們知道，在上半空間僅有點(diǎn)電荷q，電位js滿足拉普拉斯方程；導(dǎo)體表面由所有電荷產(chǎn)生的總電位為零；且在無(wú)窮遠(yuǎn)處，總電位趨于零，即

當(dāng)z>0，

2js=0;

當(dāng)z=0，j=0;

當(dāng)z→∞，|x|→∞，|y|→∞時(shí)，j→0。我們考慮圖4-1(b)所示的電荷分布，容易求得這一組電荷分布的電位是(4-6)其中:R+=[x2+y2+(z－h(huán))2]1/2,R－

=[x2+y2+(z+h)2]1/2

。圖4-1平面鏡像法比較圖4-1(a)和(b)后，可以看出，在z>0的區(qū)域，二者電荷分布相同，即在A(0，0，h)點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)電荷q，在區(qū)域的邊界上有相同的邊界條件(即在z=0的平面上電位為零，在半徑趨于無(wú)窮大的半球面上電位為零)。根據(jù)邊值型問(wèn)題的唯一性定理，可知二者在上半空間電位分布相同。也就是說(shuō)，可以用圖4-1(b)中點(diǎn)的電荷－q等效圖4-1(a)中的感應(yīng)面電荷。我們把圖4-1(b)叫做圖4-1(a)所示問(wèn)題的等效鏡像問(wèn)題。位于B(0，0，－h(huán))的點(diǎn)電荷－q是原電荷q的鏡像電荷。注意，在下半空間，圖4-1(a)和(b)電荷分布不同，因而不能用式(4-6)表示原問(wèn)題z<0處的電位。由公式(4-6)可得z>0區(qū)域的電場(chǎng)為

由Dn=ρS可得導(dǎo)體表面的面電荷密度為導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷為如果導(dǎo)體平面不是無(wú)限大，而是像圖4-2(a)所示相互正交的兩個(gè)無(wú)限大接地平面，我們同樣可以運(yùn)用鏡像法，此時(shí)需要用圖4-2(b)所示的三個(gè)鏡像電荷。用這些鏡像電荷代替導(dǎo)體面上的感應(yīng)面電荷以后，觀察圖4-2(a)和圖4-2(b)，可以看到在待求區(qū)域內(nèi)(原電荷所在的區(qū)域)，兩問(wèn)題的電荷分布不變，電位邊值相同。實(shí)際上夾角為π/n(n=1，2，3，…)的兩個(gè)導(dǎo)體板都可以用有限個(gè)鏡像電荷來(lái)等效原問(wèn)題。如果夾角不滿足上述關(guān)系，不能直接用鏡像法求解，一般要要借助其他方法，先把區(qū)域變換為滿足上述條件的角形區(qū)域，才能用鏡像法求解。圖4-2接地導(dǎo)體拐角4.3.2球面鏡像法

我們通過(guò)具體例題討論球面鏡像問(wèn)題。

例4-2

如圖4-3(a)所示，一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，這個(gè)導(dǎo)體球外有一個(gè)點(diǎn)電荷q位于距離球心d處，求球外任一點(diǎn)的電位。

解我們先試探用一個(gè)鏡像電荷q′等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外區(qū)域產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。從對(duì)稱性考慮，鏡像電荷q′應(yīng)置于球心與電荷q的連線上，設(shè)q′離球心距離是b(b<a)，這樣，在球外任一點(diǎn)的電位是由電荷q與鏡像電荷q′產(chǎn)生電位的疊加，即

(4-7)圖4-3球面鏡像法當(dāng)計(jì)算球面上一點(diǎn)的電位時(shí)，有

(4-8)式中R10、R20分別是從q、q′到球面上點(diǎn)P0的距離。在上式中q′和b是待求量，取球面上的點(diǎn)分別位于離原電荷最遠(yuǎn)、最近處，可以得到確定q′、b的兩個(gè)方程。注意到鏡像電荷應(yīng)該位于球內(nèi)，即b<a，考慮到這個(gè)限制條件，解上述方程，得出(4-9)我們可以驗(yàn)證，當(dāng)取這樣的鏡像點(diǎn)電荷時(shí)，對(duì)球面上的任一的P0

，式(4-8)恒成立。事實(shí)上，當(dāng)觀察點(diǎn)選擇在導(dǎo)體球面上時(shí)，從球外正電荷處到球面上給定點(diǎn)的距離R10和球內(nèi)負(fù)電荷到球面的距離R20的表達(dá)式可以通過(guò)余弦定理計(jì)算出來(lái)，即把距離R10和R20的表達(dá)式及其鏡像電荷的表示式代入方程式(4-8)的左邊，可以驗(yàn)證，球面上的電位為零。也就是說(shuō)，我們可以用公式(4-9)確定鏡像點(diǎn)電荷的大小和位置，用此點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體球面上的感應(yīng)面電荷，與平面鏡像法相比，鏡像電荷仍然與原電荷異號(hào)，但數(shù)值不等。例4-3

空氣中有兩個(gè)半徑相同(均等于a)的導(dǎo)體球相切，試用球面鏡像法求這個(gè)孤立導(dǎo)體系統(tǒng)的電容。

解如圖4-4所示，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的電位是零，導(dǎo)體面的電位為常數(shù)。以下我們用球面鏡像法來(lái)確定導(dǎo)體所帶的總電荷。先在兩導(dǎo)體球的球心處各放相同的點(diǎn)電荷q，并且q=4πε0aV0。此時(shí)，如果我們僅僅考慮右側(cè)球心B處的單個(gè)電荷q在右面的球面上產(chǎn)生的電位，則可知右面球面是等位面，但考慮到左面的電荷q對(duì)右面導(dǎo)體球面的影響，要維持其表面是一個(gè)等位面，必須在右側(cè)導(dǎo)體球的內(nèi)部再加上一個(gè)q1

，它是左側(cè)q在右面導(dǎo)體球上的鏡像電荷，其位置與大小由鏡像法確定。設(shè)其位于B1處，則圖4-4導(dǎo)體電容右側(cè)的q在左面的導(dǎo)體球面也有一個(gè)鏡像電荷，大小也是q1，位于A1處。由問(wèn)題本身的對(duì)稱性可知，左面的電荷總是與右側(cè)分布對(duì)稱。以下僅分析右側(cè)的。左面的q1在右導(dǎo)體球上也有成像，這個(gè)鏡像電荷記作q2，位于B2處。依次類推，有因而，導(dǎo)體系統(tǒng)的總電荷是導(dǎo)體面的電位是所以，這個(gè)孤立導(dǎo)體的電容是例4-4

若一個(gè)導(dǎo)體是由兩個(gè)半徑相同(均等于a)的部分導(dǎo)體球組成，兩個(gè)球面相交的夾角呈60°，如圖4-5所示，試證明這個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱孤立導(dǎo)體的電容為證明考慮到當(dāng)兩個(gè)球面夾角為60°時(shí)，我們用余弦定理可以算出，球心間距為c=

a。設(shè)這個(gè)導(dǎo)體表面的電位為1V，仿照上例，首先在兩個(gè)導(dǎo)體各自球心A處和B處，各放一個(gè)等量同號(hào)的點(diǎn)電荷q，并且q=4πε0a。其次考慮位于球心的電荷在左右導(dǎo)體球面成像的像電荷大小及其位置，像電荷離各自球心的距離為BB1=a/，像電荷大小為q1=－q/。而q1在導(dǎo)體球面成像的像電荷位于兩個(gè)球心的中點(diǎn)C處，其電荷量為q2=q/2。最后求得整個(gè)導(dǎo)體內(nèi)部帶電量為圖4-5旋轉(zhuǎn)對(duì)稱孤立導(dǎo)體

由于導(dǎo)體表面電位為1V，就得到電容為4.3.3圓柱面鏡像法

在討論圓柱面的鏡像問(wèn)題之前，先分析線電荷的平面鏡像問(wèn)題。這一結(jié)果可用于導(dǎo)體柱的鏡像問(wèn)題。

例4-5

線密度為ρ的無(wú)限長(zhǎng)線電荷平行置于接地?zé)o限大導(dǎo)體平面,二者相距d,如圖4-6(a)所示,求電位及等位面方程。

解仿照點(diǎn)電荷的平面鏡像法，可知線電荷的鏡像電荷為－ρl

，位于原電荷的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。選取圖4-6(b)所示的坐標(biāo)系，以原點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，得出線電荷ρl電位為

(4-10)圖4-6例4-5圖同理得鏡像電荷－ρl的電位為

(4-11)任一點(diǎn)(x，y)的總電位(4-12)用直角坐標(biāo)表示為上式表示圖4-6(b)二平行線電荷的電位，其右半空間(x>0)就是圖4-6(a)的電位。以下討論式(4-12)所示電位在xoy平面的等位線方程及圖形。等位線方程為(4-13)式中m是常數(shù)(寫成平方僅為了方便)。上式可化為(4-14)這個(gè)方程表示一族圓，圓心在(x0，y0)，半徑是R0

，其中(4-15)每一個(gè)給定的m(m>0)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)等位圓，此圓的電位是(4-16)

例4-6

兩平行圓柱形導(dǎo)體的半徑都為a，導(dǎo)體軸線之間的距離是2b，求導(dǎo)體單位長(zhǎng)的電容(如圖4-7所示)。

解設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體圓柱單位長(zhǎng)帶電分別為ρl、－ρl

，利用柱面鏡像法，將導(dǎo)體柱面上的電荷用線電荷代替，線電荷相距原點(diǎn)均為d，兩個(gè)導(dǎo)體面的電位分別為V1、V2，依式(4-15)，有解之得上式中的正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)第一、第二個(gè)圓柱體。由式(4-16)有圖4-7平行雙導(dǎo)線

兩個(gè)圓柱之間單位長(zhǎng)的電容為(4-17)當(dāng)b>>a時(shí)，(4-18)對(duì)于半徑為a、b的相互平行的兩個(gè)無(wú)窮長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱，它們軸線間的距離為c，且c>a+b，也可以采用電軸法求單位長(zhǎng)度的電容。對(duì)圖4-8所示的非對(duì)稱傳輸線而言，需要先求出放置在大圓柱內(nèi)部的線電荷的位置，。同理可以求出放置在左側(cè)小圓柱內(nèi)部的電荷位置。(具體求法，不再詳述，讀者按照前面介紹的電軸法要點(diǎn)自己推導(dǎo))。單位長(zhǎng)度電容為

圖4-8非對(duì)稱傳輸線其中a、b是導(dǎo)體圓柱的各自半徑。2d是電軸之間的距離，h1和h2分別是從導(dǎo)體圓柱的各自中心到零電位面的距離，即當(dāng)半徑較小的導(dǎo)體圓柱被半徑較大的導(dǎo)體圓柱包含時(shí)，也能夠依照電軸法分析，比如偏心的電纜單位長(zhǎng)度電容，就屬于這種情形。圖4-9例4-7用圖4.3.4介質(zhì)平面鏡像法

鏡像法也可以求解介質(zhì)邊界附近的電位。

例4-7

設(shè)兩種介電常數(shù)分別為ε1、ε2的介質(zhì)填充于x<0和x>0的半空間，在介質(zhì)2中點(diǎn)(d，0，0)處有一個(gè)點(diǎn)電荷q，如圖4-9(a)所示，試求空間各點(diǎn)的電位。解這個(gè)問(wèn)題的右半空間有一個(gè)點(diǎn)電荷，左半空間沒(méi)有電荷，在界面上存在束縛面電荷(即極化面電荷)。我們用鏡像法求解，把原問(wèn)題分為x<0和x>0兩個(gè)區(qū)域。求右半空間的電位時(shí)，假設(shè)全空間填充介電常數(shù)為ε2的介質(zhì)，在原電荷q的對(duì)稱點(diǎn)(－d，0，0)放一鏡像電荷q′，用它代替界面上的束縛電荷見圖4-9(b)；在求左半空間電位時(shí)，假設(shè)全空間填充介電常數(shù)為ε1的介質(zhì)，原電荷不存在，而在原電荷所在點(diǎn)放一個(gè)電荷q″，用它代替原電荷和界面上束縛電荷的共同影響，其實(shí)這時(shí)的極化電荷等效于q″－q(見圖4-9(c))。

這樣右半空間任一點(diǎn)的電位為

(4-19)左半空間任一點(diǎn)的電位為(4-20)在界面x=0上，電位應(yīng)該滿足邊界條件，即將電位表示式(4-19)和式(4-20)代入以上的邊界條件，得解之得(4-21)最后，將上式代入式(4-19)和式(4-20)可得出各區(qū)的電位。例4-8

設(shè)兩種磁導(dǎo)率分別為μ1、μ2的介質(zhì)填充于x<0和x>0的半空間，在介質(zhì)2中點(diǎn)(b，0，0)處有一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線，導(dǎo)線與分界面彼此平行，電流為I，且電流方向與z軸正向一致，如圖4-10(a)所示，試求空間各處的磁場(chǎng)。

解用鏡像法求解，把原問(wèn)題分為x<0和x>0兩個(gè)區(qū)域。求右半空間的磁場(chǎng)時(shí)，設(shè)全空間填充磁導(dǎo)率為μ2的介質(zhì)，在原電流的對(duì)稱點(diǎn)(－d，0，0)放鏡像電流I1，用來(lái)代替界面上的極化電流(見圖4-10(b))；在求左半空間磁場(chǎng)時(shí)，假設(shè)全空間填充磁導(dǎo)率為μ1的介質(zhì)，而在原電流所在處放一個(gè)電流I2，用它代替原來(lái)的電流和界面上的極化電流(見圖4-10(c))。分別用H2和H1表示右半空間和左半空間的磁場(chǎng)強(qiáng)度(當(dāng)然，也可以先計(jì)算磁場(chǎng)的矢量位A)。圖4-10例4-8用圖

其中的單位矢量ej1和ej2分別是電流I1和I為軸線的圓周方向。即ej1=ez×eR1，ej2=ez×eR2。因此，我們有

4.4分離變量法

4.4.1直角坐標(biāo)中的分離變量法

在直角坐標(biāo)中，拉普拉斯方程為

(4-22)設(shè)j可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，即(4-23)其中X只是x的函數(shù)，同時(shí)Y只是y的函數(shù)，Z只是z的函數(shù)。將上式代入式(4-22)，得然后，上式各項(xiàng)同除以XYZ，得(4-24)以上方程的第一項(xiàng)只是x的函數(shù)，第二項(xiàng)只是y的函數(shù)，第三項(xiàng)只是z的函數(shù)，要這一方程對(duì)任一組(x，y，z)成立，這三項(xiàng)必須分別為常數(shù)，即(4-25)(4-26)(4-27)這樣，就將偏微分方程化為三個(gè)常微分方程，α、β、γ是分離常數(shù)，也是待定常數(shù)，與邊界條件有關(guān)。它們可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)，它們各自的平方是實(shí)數(shù)，且依方程(4-24)應(yīng)有

(4-28)

2+

2+

2=0以上三個(gè)常微分方程式(4-25)、式(4-26)和式(4-27)解的形式與邊界條件有關(guān)(即與常數(shù)α、β和γ有關(guān))。這里以公式(4-25)為例說(shuō)明X的形式與α的關(guān)系。當(dāng)α2=0時(shí)，則(4-29)X(x)=a0x+b0

當(dāng)α2<0時(shí)，令α=jkx，(kx為正實(shí)數(shù))，則(4-30)X(x)=a1sinkxx+a2coskxx

或

X(x)=b1e－jkxx+b2ejkxx

(4-31)

當(dāng)α2>0時(shí)，令α=kx，則

X(x)=c1shkxx+c2chkxx

(4-32)

或

X(x)=d1e－kxx+d2ekxx

(4-33)

以上的a、b、c和d稱為待定常數(shù)，由邊界條件決定。Y(y)和Z(z)的解同X(x)類似。例4-9

橫截面如圖4-11所示的導(dǎo)體長(zhǎng)槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為a×b，槽體的電位為零，蓋板的電位為V0，求此區(qū)域內(nèi)的電位。

解本題的電位與z無(wú)關(guān)，只是x、y的函數(shù)，即j=j(x,y)。

在區(qū)域0<x<a，0<y<b內(nèi)，

(4-34)

2

=0

邊界條件為①x=0，j(0，y)=0；②x=a，j(a，y)=0；③y=0，j(x，0)=0；④y=b，j(x，b)=V0。圖4-11矩形截面導(dǎo)體槽設(shè)滿足式(4-34)的解為

j(x，y)=X(x)Y(y)

則X(x)、Y(y)由方程式(4-25)和式(4-26)確定，且α2+β2=0。先由邊界條件決定分離常數(shù)α，即決定X(x)的形式。邊界條件①和②要求電位在x=0、x=a處為零，從式(4-30)～式(4-33)可見，X(x)的合理形式是三角函數(shù)(即α2<0)，則

X(x)=a1sinkxx+a2coskxx

將邊界條件①代入上式，得

a2=0，再將條件②代入，得

sinkxa=0

考慮到條件③，有c2=0，Y(y)=c1sh(nπy/a)，這樣我們就得到基本乘積解X(x)Y(y)，記作

(4-35)上式滿足拉普拉斯方程式(4-34)和邊界條件①、②、③，其中Cn是待定常數(shù)(Cn=a1c1)，為了滿足條件④，取不同的n值對(duì)應(yīng)的jn并疊加，即(4-36)由條件④，有j(x，b)=V0

，即(4-37)其中要從式(4-37)解出Bn，需要使用三角函數(shù)的正交歸一性，即(4-38)將式(4-37)左右兩邊同乘以sin(mπx/a)，并在區(qū)間(0，a)積分，得使用公式(4-38)，有因而(4-39)所以當(dāng)n=1，3，5，…時(shí),當(dāng)n=2，4，6，…時(shí)，Cn=0這樣得到待求區(qū)域的電位為(4-40)例4-10

如圖4-12所示，兩塊半無(wú)限大平行導(dǎo)體板的電位為零，與之垂直的底面電位為j(x，0)，求此半無(wú)限槽中的電位(在x=a，y=0處有一個(gè)很薄的絕緣層)，其中解這和前題類似，是一個(gè)二維拉普拉斯方程邊值問(wèn)題，j=j(x，y)，邊界條件是圖4-12無(wú)限長(zhǎng)槽的電位①j(0，y)=0；

②j(a，y)=0；

③j(x，∞)=0；

④j(x，0)=(V0x/a)。

從條件①和②知，基本解Xn=sin(nπx/a)，而基本解Yn(y)只能取指數(shù)函數(shù)或雙曲函數(shù)，但考慮到條件③，有Yn=

e－nπy/a，至此我們使用了條件①、②、③，為滿足條件

④，取級(jí)數(shù)

(4-41)代入條件④，得運(yùn)用正弦函數(shù)的正交歸一性，得化簡(jiǎn)得(4-42)將式(4-42)代入式(4-41)即可得到待求電位為從以上兩例看出，用分離變量法解題時(shí)，應(yīng)注意用一部分邊界條件確定基本解的形式(即分離常數(shù)取實(shí)數(shù)還是虛數(shù)，以及分離常數(shù)的值)，用剩余的一部分邊界條件確定待定系數(shù)Cn。4.4.2圓柱坐標(biāo)中的分離變量法

電位的拉普拉斯方程在圓柱坐標(biāo)中(為了不與電荷體密度混淆，取坐標(biāo)(r，f，z))表示為

(4-43)對(duì)于這個(gè)方程，僅分析電位與坐標(biāo)變量z無(wú)關(guān)的情況。對(duì)于電位與三個(gè)坐標(biāo)變量有關(guān)的情形，可參閱有關(guān)數(shù)理方程或者特殊函數(shù)方面的參考書。當(dāng)電位與坐標(biāo)變量z無(wú)關(guān)時(shí)，上式第三項(xiàng)為零，此時(shí)電位

j(r，f)滿足二維拉普拉斯方程:(4-44)運(yùn)用分離變量法求解，令滿足上述方程的電位為

j=R(r)Φ(f)

(4-45)

其中R只是r的函數(shù)，Φ只是f的函數(shù).將上式代入式(4-44)，并且用RΦ除等式兩邊，得

上式第一項(xiàng)只是r的函數(shù)，第二項(xiàng)只是f的函數(shù)。要其對(duì)任意點(diǎn)成立必須每一項(xiàng)都是常數(shù)。令第一項(xiàng)等于n2，于是導(dǎo)出下面兩個(gè)常微分方程(4-46)(4-47)當(dāng)n≠0時(shí)，上面兩方程的解為

R=arn+br－n

(4-48)

Φ=c·cosnf+d·sinf

(4-49)

其中a、b、c、d都是待定常數(shù)。通常對(duì)圓形區(qū)域的問(wèn)題，的變化范圍為0～2π，且有Φ(f)=Φ(f+2mπ)，所以n必須是整數(shù)。為滿足邊界條件，要將式(4-48)和式(4-49)的基本解疊加，構(gòu)成一般解(也稱通解)為

(4-50)當(dāng)n=0時(shí)，方程式(4-46)和式(4-47)的解為(4-51)(4-52)例4-11

將半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱置于真空中的均勻電場(chǎng)E0中，柱軸與E0垂直，求任意點(diǎn)的電位。

解令圓柱的軸線與z軸重合，E0的方向與x方向一致，如圖4-13所示。由于導(dǎo)體柱是一個(gè)等位體，不妨令其為零，即在柱內(nèi)(r<a)，j1=0，柱外電位j2滿足拉普拉斯方程，j2的形式就是圓柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程的通解，以下由邊界條件確定待定系數(shù)。本例的邊界條件是:

①r→∞，柱外電場(chǎng)E2→E0ax，這樣j2→－E0x，即j2→－E0rcosf；

②r=a，導(dǎo)體柱內(nèi)外電位連續(xù)，即j2=0。圖4-13均勻場(chǎng)中導(dǎo)體柱除此之外，由電位的對(duì)稱性可知，在通解中只取余弦項(xiàng)，于是

由條件①可知，A1=－E0，An=0(n>1)。這樣由條件②，有因這一表達(dá)式對(duì)任意的f成立，所以其等位線與電力線分布如圖4-14所示。圖4-14柱外的電力線和等位線例4-12

若電場(chǎng)強(qiáng)度為E0的均勻靜電場(chǎng)中放入一個(gè)半徑為a的電介質(zhì)圓柱，柱的軸線與電場(chǎng)互相垂直，介質(zhì)柱的介電常數(shù)為ε，柱外為真空，如圖4-15所示，求柱內(nèi)外的電場(chǎng)。

解設(shè)柱內(nèi)電位j1，柱外電位j2

，取坐標(biāo)原點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，且外電場(chǎng)的方向沿x軸正向。這時(shí)邊界條件如下:

①r→∞，j2=－E0rcosf；

②r=0，j1=0；

③r=a，j1=j2

；

④

r=a，。

于是，柱內(nèi)、外電位的通解為圖4-15均勻場(chǎng)中介質(zhì)柱

考慮本題的外加電場(chǎng)、極化面電荷均關(guān)于x軸對(duì)稱，柱內(nèi)、外電位解中只有余弦項(xiàng)，即(n≥1)由條件②，有Cn=0，(n≥1)，又由條件①，得：A1′=－E0，An′=0，(n≥2)，于是，由條件③和④，得比較左右兩邊各個(gè)余弦函數(shù)cosnf的系數(shù)，并且考慮余弦函數(shù)系的完備性(也就是正余弦展開的唯一性)，可以得出其中，εr=ε/ε0

，是介質(zhì)圓柱的相對(duì)介電常數(shù)，于是得柱內(nèi)外的電位為由此得電場(chǎng)為圓柱內(nèi)的場(chǎng)是一個(gè)均勻場(chǎng)，且比外加均勻場(chǎng)小，柱外的場(chǎng)同電偶極子的場(chǎng)。例4-13

在一個(gè)半徑為a的圓柱面上，給定其電位分布

求圓柱內(nèi)的電位分布。解本題的電位也是與坐標(biāo)z無(wú)關(guān)。除了圓柱面上的已知電位以外，根據(jù)問(wèn)題本身的物理含義，可以得出，圓柱外部的電位在無(wú)窮遠(yuǎn)處應(yīng)該趨于零，圓柱內(nèi)部的電位在圓柱中軸線上應(yīng)該為有限值。依據(jù)這一點(diǎn)，可以判斷在圓柱外通解中的正冪項(xiàng)的系數(shù)為零，在圓柱內(nèi)部，通解中的負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)同樣為零。于是，柱內(nèi)電位的通解為通解中的待定系數(shù)可以由界面的電位來(lái)確定，即由傅立葉級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)可得出即將這些系數(shù)代入上面的通解，得到圓柱內(nèi)部的電位為

4.4.3球坐標(biāo)中的分離變量法

在求解具有球面邊界的邊值問(wèn)題時(shí)，采用球坐標(biāo)較方便。球坐標(biāo)(r，θ，f)中拉普拉斯方程為(4-53)這里只討論軸對(duì)稱場(chǎng)(也就是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱情形)，即電位j與坐標(biāo)f無(wú)關(guān)的場(chǎng)。此時(shí)拉普拉斯方程為(4-54)令j=R(r)Θ(θ)，將其代入式(4-54)，并用r2/(RΘ)乘該式的兩邊，得上式的第一項(xiàng)只是r的函數(shù)，第二項(xiàng)只是θ的函數(shù)，要其對(duì)空間任意點(diǎn)成立，必須每一項(xiàng)為常數(shù)。令第一項(xiàng)等于k，于是有

(4-55)(4-56)為了把式(4-56)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，令(4-57)x=cos

代換后原方程變?yōu)?4-58)方程(4-58)稱為勒讓德方程，它的解具有冪級(jí)數(shù)形式，且在

－1<x<1收斂。如果選擇k=n(n+1)，其中n為正整數(shù)，則解的收斂域擴(kuò)展為－1≤x≤1。當(dāng)k=n(n+1)時(shí)，勒讓德方程的解為n階勒讓德多項(xiàng)式Pn(x)為

(4-59)前幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)式是(4-60)勒讓德多項(xiàng)式也是正交函數(shù)系，正交關(guān)系為

(4-61)將k=n(n+1)代入R(r)的方程(4-55)，解之得

Rn(r)=Anrn+Bnr－n－1

(4-62)其中An、Bn是待定系數(shù)。取不同的n值對(duì)應(yīng)的基本解疊加，得到球坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程的通解為(4-63)例4-14

假設(shè)真空中在半徑為a的球面上有面密度為σ0cosθ的表面電荷，其中σ0是常數(shù)，求任意點(diǎn)的電位。解本題除了面電荷外，球內(nèi)和球外再無(wú)電荷分布，雖然可以用靜電場(chǎng)中的積分公式計(jì)算各點(diǎn)的電位，但使用分離變量法更方便。設(shè)球內(nèi)、球外的電位分別是j1、j

2，由題意知道，在無(wú)窮遠(yuǎn)處電位為零；在球心處電位為有限值，所以可以取球內(nèi)、球外電位形式如下:

(4-64)(4-65)球面上的邊界條件為①r=a

，j1=j2；②r=a，將式(4-63)和式(4-64)代入邊界條件，得(4-66)(4-67)比較式(4-66)兩邊，得到

Bn=Ana2n+1

(4-68)將式(4-68)代入式(4-67)，整理以后變?yōu)槭褂美兆尩露囗?xiàng)式展開的唯一性，即將區(qū)間［－1，1］內(nèi)的函數(shù)可以唯一的用勒讓德多項(xiàng)式展開，并考慮P1(cosθ)=cosθ，得于是我們得到

4.5復(fù)變函數(shù)法

4.5.1復(fù)電位

如果復(fù)變函數(shù)w(z)=u(x，y)+jv(x，y)是解析函數(shù)，則可知它的實(shí)部和虛部之間滿足柯希-黎曼條件

(4-69)利用柯希-黎曼條件，可以證明解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都滿足二維拉普拉斯方程(4-70)(4-71)4.5.2用復(fù)電位解二維邊值問(wèn)題

我們先說(shuō)明通量函數(shù)的含意。如前所述，當(dāng)取某一解析函數(shù)的虛部表示二維電場(chǎng)的電位時(shí)，有

我們考慮一個(gè)以xoy平面上任意的一條曲線l為底，在z方向單位長(zhǎng)的曲面，計(jì)算通過(guò)這一曲面的電通量

E=axEx+ayEy

dS=dl×az=(axdx+aydy)×az=ax

dy－aydx顯然，如果在xoy平面上指定A點(diǎn)作為計(jì)算通量的起點(diǎn)，則B點(diǎn)的通量函數(shù)是指在AB間的一條曲線l和z方向單位長(zhǎng)度構(gòu)成的一個(gè)曲面上的電通量(如圖4-16所示)。若此圖中j1、j

2兩條等位線是電容器的兩個(gè)極板表面(極板在z方向無(wú)限長(zhǎng))，則正極板單位長(zhǎng)電荷是ε0(ψB－ψA)，這樣得到單位長(zhǎng)電容為(如圖4-17所示)(4-72)圖4-16電通量函數(shù)圖4-17電容的計(jì)算例4-15

分析解析函數(shù)w=Alnz所表示的場(chǎng)(A為實(shí)常數(shù))。

解用極坐標(biāo)(r，f)表示z，則

w=Aln(rejf)=Alnr+Ajf=u+jv

實(shí)部u的等值線是圓心在原點(diǎn)的圓，虛部的等值線是幅角f為常數(shù)的射線，如圖4-18所示。如果用實(shí)部u表示電位，虛部v表示電通量函數(shù)，那么，對(duì)數(shù)函數(shù)可以表示同軸線的場(chǎng)，也可以表示無(wú)限長(zhǎng)帶電導(dǎo)線的場(chǎng)。對(duì)線電荷密度為ρl的無(wú)限長(zhǎng)均勻線電荷，其穿過(guò)半徑為r，沿z

方向單位長(zhǎng)度的圓柱面的電通量是圖4-18對(duì)數(shù)變換

于是，得到復(fù)電位是如果用虛部表示電位，它可以表示夾角為α的兩個(gè)半無(wú)限大導(dǎo)體板的電場(chǎng)。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，因u和v都是無(wú)量綱的量，故應(yīng)乘以適當(dāng)?shù)臉?biāo)度常數(shù)，又為了便于確定電位參考點(diǎn)，還要在對(duì)數(shù)函數(shù)中加上另一常數(shù)，即

w=Alnz+B

(4-75)

例4-16

分析解析函數(shù)

(4-76)所表示的場(chǎng)，并用此求半徑為a的導(dǎo)體圓柱與無(wú)限大導(dǎo)體板(導(dǎo)體圓柱與平板平行，軸線距導(dǎo)體平面的距離為b)之間單位長(zhǎng)的電容(如圖4-19所示)。解將z=x+jy代入式(4-74)，將函數(shù)w實(shí)部與虛部分別寫成x、y的函數(shù)，有(4-77)(4-78)圖4-19導(dǎo)體圓柱與平板當(dāng)用實(shí)部u表示電位時(shí)，等位線分布同例4-5，所以它可以表示兩個(gè)平行的等量異號(hào)線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，也可以表示一個(gè)線電荷和無(wú)限大接地導(dǎo)體板之間的場(chǎng)，同樣也可以表示一個(gè)導(dǎo)體圓柱與導(dǎo)體板之間的場(chǎng)。下面用此解析函數(shù)法計(jì)算導(dǎo)體圓柱與導(dǎo)體板之間的電容，同例4-5，可以從已知的a和b求出d的值。

d=(b2－a2)1/2

(4-79)

導(dǎo)體平面(x=0)的電位為零，為了求導(dǎo)體圓柱的表面電位，將式(4-79)代入式(4-77)，并注意導(dǎo)體圓柱面的方程是

(x－b)2+y2=a2

即

x2+y2=a2－b2+2bx=2bx－d2

于是有這樣就得到帶正電的導(dǎo)體電位為用式(4-78)，計(jì)算出點(diǎn)x=0、y=+∞處通量函數(shù)值為πA。同理點(diǎn)x=0、y=－∞處的通量函數(shù)值為－πA。通量值的差為2πA。從式(4-72)，得導(dǎo)體板與導(dǎo)體圓柱單位長(zhǎng)電容為4.5.3保角變換

當(dāng)w=f(z)變換為單值函數(shù)時(shí)，對(duì)于z平面上的一個(gè)點(diǎn)z0，在w平面就有一點(diǎn)w0與之對(duì)應(yīng)；z平面上的一條曲線C，w平面上就有一條曲線C′與之對(duì)應(yīng)；同樣，在z平面上的一個(gè)圖形D，也在w平面有一個(gè)圖形D′與之對(duì)應(yīng)，這種關(guān)系稱為映射，或稱為變換，如圖4-20所示，在變換中，盡管圖形的形狀要產(chǎn)生變化，但是相應(yīng)的兩條曲線之間的夾角卻保持不變，所以變換w=f(z)也叫做保角變換。為了證明保角性，設(shè)z平面的z0點(diǎn)上，沿曲線C1有一個(gè)增量dz1，沿曲線C2有一個(gè)增量dz2，相應(yīng)的在w平面w0點(diǎn)，沿曲線C1′有增量dw1，沿曲線C2′有增量dw2，于是

dw1=f′(z0)dz1，dw2=f′(z0)dz2

當(dāng)f′(z0)不等于零時(shí)，它們之間的幅角關(guān)系是

argdw1=argdz1+argf′(z0)

argdw2=argdz2+argf′(z0)

以上二式相減得

argdw1－argdw2=argdz1－argdz2

即θ′=θ。圖4-20保角變換這樣就證明了保角性。在變換前后，圖形的形狀要產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和伸縮，但是兩條曲線之間的夾角保持不變。使用保角變換法求解靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q函數(shù)，將z平面上比較復(fù)雜的邊界變換成w平面上較易求解的邊界。例4-17

兩個(gè)共焦橢圓柱面導(dǎo)體組成的電容器，其外柱的長(zhǎng)、短半軸分別是a2、b2，內(nèi)柱的長(zhǎng)、短半軸分別是a1，b1，如圖4-21所示，變換后的區(qū)域如圖4-22所示，求單位長(zhǎng)度的電容。

解先分析反余弦變換w=arccos(z/k)所能表示的場(chǎng)(k為常數(shù)，為了簡(jiǎn)便起見，取其為實(shí)常數(shù))。

x+jy=kcos(u+jv)=kcosuchv－jksinushv

即

x=kcosuchv

y=－ksinushv圖4-21橢圓區(qū)域變換圖4-22變換后的區(qū)域所以可見，v=常數(shù)表示一族共焦點(diǎn)的橢圓，焦點(diǎn)在(±k，0)，u=常數(shù)表示一族與橢圓族正交的共焦點(diǎn)雙曲線。如圖4-23所示(圖中是k=1的情形)，它可以將z平面上的橢圓或雙曲線邊界變換到w平面的直線邊界(包括蛻變?yōu)橐欢尉€段的橢圓，蛻變?yōu)橐粭l射線的雙曲線)。橢圓的長(zhǎng)半軸為kchv，短半軸為kshv。對(duì)于本題，選取v表示電勢(shì)函數(shù)。則在z平面的兩個(gè)橢圓導(dǎo)體之間的區(qū)域變換到w平面的矩形區(qū)域0<u<2π，v1<v<v2，其中

a1=kchv1，a2=kchv2

單位長(zhǎng)度電容為注意到可求出此橢圓電容器單位長(zhǎng)度的電容為圖4-23余弦變換

4.6格林函數(shù)法

4.6.1靜電邊值問(wèn)題的格林函數(shù)法表示式

1.三維狄拉克δ函數(shù)

我們?cè)陔娐贩治?、?shù)理方程等課程中學(xué)過(guò)，δ函數(shù)可以用來(lái)描述單位強(qiáng)度的激勵(lì)源。在物理學(xué)工程實(shí)際問(wèn)題中，常用三維δ函數(shù)來(lái)表示質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量體密度、點(diǎn)電荷的電荷體密度等問(wèn)題。其定義如下

在直角坐標(biāo)中，三維δ函數(shù)就是三個(gè)一位δ函數(shù)的乘積，即2.電位的格林函數(shù)形式解

假定已知某給定區(qū)域V內(nèi)的電荷體密度為ρ(r)，則待求電位j(r)滿足泊松方程:

(4-80)與方程(4-80)相應(yīng)的格林函數(shù)G(r，r′)滿足下列方程:(4-81)方程(4-81)實(shí)際上就是位于源點(diǎn)r′處的單位正電荷在空間產(chǎn)生的電位所滿足的方程，也就是說(shuō)，格林函數(shù)G(r,

r′)是位于源點(diǎn)r′處的單位正電荷在空間r處產(chǎn)生的電位。很顯然，格林函數(shù)G(r,r′)僅僅是源點(diǎn)與場(chǎng)點(diǎn)間距離的函數(shù)，即是|r－r′|的函數(shù)。我們將源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)互換，其間的距離不變，故而有

G(r，

r′)=G(r′，r)上式稱為格林函數(shù)的對(duì)稱性，也就是電磁場(chǎng)的互易性。

將式(4-80)左右乘以j，式(4-81)左右乘以G，二者相減再積分，得

使用格林第二恒等式，得(4-82)當(dāng)源點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)時(shí)，有

∫Vj(r)δ(r－r′)dV=j(r′)因而，式(4-82)可以改寫為將上式的源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)互換，并且利用格林函數(shù)的對(duì)稱性，得

(4-83)在式(4-83)中的格林函數(shù)是給定邊界形狀下一般邊值問(wèn)題的格林函數(shù)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們可以對(duì)格林函數(shù)附加邊界條件。與靜電邊值問(wèn)題一致,格林函數(shù)的邊界條件也分為三類:

(1)第一類格林函數(shù)。與第一類靜電邊值問(wèn)題相應(yīng)的是第一類格林函數(shù),用G1表示。它在體積V內(nèi)和S上滿足的方程如下:(4-84a)(4-84b)即第一類格林函數(shù)G1表示在邊界面S上滿足齊次邊界條件。將式(4-84b)代入式(4-83)，得出第一類靜電邊值問(wèn)題的解為(4-85)

(2)第二類格林函數(shù)。與第二類靜電邊值問(wèn)題相應(yīng)的是第二類格林函數(shù)，用G2表示。為了簡(jiǎn)單，我們先選取它在體積V內(nèi)和S上滿足的方程如下:(4-86a)(4-86b)公式(4-86a)和式(4-86b)僅僅具有形式上簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，對(duì)于大多數(shù)問(wèn)題，并不能用于計(jì)算。其原因是，假定了邊界面上格林函數(shù)的法向?qū)?shù)為零，就意味著整個(gè)邊界面上的每一點(diǎn)的面電荷密度都為零。但是在求解區(qū)域內(nèi)部，由于加了一個(gè)總電量為1庫(kù)侖的點(diǎn)電荷，依照電荷守恒定律，整個(gè)邊界面上的感應(yīng)電荷總量應(yīng)該是－1庫(kù)侖。這個(gè)矛盾可以通過(guò)修改第二類邊值情形下的格林函數(shù)定義來(lái)解決。一般是修改格林函數(shù)微分方程(4-86a)，或者修改格林函數(shù)邊界條件(4-86b)。比如采用第一種方法時(shí)，第二類邊值的格林函數(shù)采用如下定義:

(4-87a)

(4-87b)式中，V是求解區(qū)域的體積，n是區(qū)域邊界的外法向。在此條件下，第二類靜電邊值問(wèn)題的解為(4-87c)式中j0是區(qū)域內(nèi)電位的平均值，即若采用第二種方法時(shí)，保留方程(4-86a)不變，而修改格林函數(shù)邊界條件時(shí)，格林函數(shù)定義為(4-87d)

(4-87e)式中，S是待求解區(qū)域的總面積。在這種情況下，待求電位同樣用公式(4-87)計(jì)算，僅僅把上述公式中的j0理解為區(qū)域邊界面S上的電位平均值，即其計(jì)算公式為(4-87f)

(3)第三類格林函數(shù)。對(duì)于第三類靜電邊值問(wèn)題，使用第三類格林函數(shù)較為方便。第三類靜電邊值問(wèn)題的電位方程也由方程(4-80)確定，其邊界條件由下式確定:(4-88)其中，α、β為已知常數(shù)，f(r)為已知函數(shù)。與第三類邊值問(wèn)題相應(yīng)的第三類格林函數(shù)G3所滿足的方程及邊界條件如下(4-89a)(4-89b)將式(4-89b)代入式(4-83)，其可以簡(jiǎn)化為(4-90)4.6.2簡(jiǎn)單邊界的格林函數(shù)

以下我們給出一些簡(jiǎn)單邊界形狀下第一類靜電邊值問(wèn)題的格林函數(shù)(為了書寫簡(jiǎn)便，略去下標(biāo)，用G表示)。

(1)無(wú)界空間的格林函數(shù)。我們可以用格林函數(shù)所滿足的偏微分方程以及邊界條件，通過(guò)求解來(lái)得出格林函數(shù)。也可以由格林函數(shù)的物理含義來(lái)求解。在此使用后一種方法計(jì)算。計(jì)算無(wú)界空間的格林函數(shù)，就是計(jì)算無(wú)界空間中位于r′處的單位點(diǎn)電荷，在以無(wú)窮遠(yuǎn)為電位參考點(diǎn)時(shí)空間r處的電位。這一電位為

(4-91)因此，無(wú)界空間的格林函數(shù)為(4-92)由公式(4-92)確定的是三維無(wú)界空間的格林函數(shù)。對(duì)于二維無(wú)界空間，其格林函數(shù)可以通過(guò)計(jì)算位于源點(diǎn)(x′,y′)處的線密度為1的單位無(wú)限長(zhǎng)線電荷在空間(x，y)處的電位來(lái)確定。由靜電場(chǎng)一章的知識(shí)可知,二維無(wú)界空間的格林函數(shù)為(4-93)式中，，C是常數(shù)，取決于電位參考點(diǎn)的選取。

(2)上半空間的格林函數(shù)。計(jì)算上半空間(z>0)的格林函數(shù)，就是求位于上半空間r′處的單位點(diǎn)電荷，以z=0平面為電位零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任意一點(diǎn)r處的電位。這個(gè)電位可以用平面鏡像法求得，因而，上半空間的格林函數(shù)為

(4-94)式中同理可得出二維半空間(y>0)的格林函數(shù)。也使用鏡像法可以比較容易地算出，位于(x′，y′)處的單位線電荷，在以y=0為電位參考點(diǎn)時(shí)在(x，y)處的電位。因而，二維半空間(y>0)的格林函數(shù)為

(4-95)式中

(3)球內(nèi)、外空間的格林函數(shù)。我們可以由球面鏡像法,求出球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為a的球外空間的格林函數(shù)為(4-96)式中各量如圖4-24所示，a是球的半徑，r=|r|，r′=|r′|，R1是r′到場(chǎng)點(diǎn)r的距離，R2是r′的鏡像點(diǎn)r″到場(chǎng)點(diǎn)r的距離。

同理，可以計(jì)算出球內(nèi)空間的格林函數(shù)為(4-97)式中各量如圖4-25所示。

(4)第二類邊值的格林函數(shù)。球內(nèi)問(wèn)題第二類邊值問(wèn)題的格林函數(shù)為(4-98a)圖4-24球外格林函數(shù)圖4-25球內(nèi)格林函數(shù)式中的變量及符號(hào)與圖4-25一致?？梢钥闯龅诙愡呏档母窳趾瘮?shù)同第二類靜電邊值問(wèn)題一樣，但是正電荷的像電荷是正電荷，而不是負(fù)電荷。至于第三項(xiàng)的對(duì)數(shù)函數(shù)，實(shí)際上是在邊界上加上電偶層。還要指出，這個(gè)公式是采用修改格林函數(shù)的邊界條件，即采用公式(4-87d)和式(4-87e)作為格林函數(shù)的定義。而不是修改體積內(nèi)部格林函數(shù)定義得到的?？梢宰C明，在球面上格林函數(shù)(當(dāng)r=a時(shí))滿足。這個(gè)公式的推導(dǎo)比較繁瑣，我們把推導(dǎo)過(guò)程略去。如果要求第二類格林函數(shù)在球面上的法向?qū)?shù)為零，則應(yīng)該在球內(nèi)加上總量為一個(gè)單位的正電荷，即采用公式(4-87a)和式(4-87b)作為格林函數(shù)的定義，此時(shí)，格林函數(shù)為

(4-98b)另外，在分析電磁探礦及生物組織的電阻抗成像問(wèn)題時(shí)，常常選取下述公式表示的球內(nèi)第二類邊值問(wèn)題的格林函數(shù):

(4-98c)這個(gè)公式的含義是，格林函數(shù)在球面邊界上的法向?qū)?shù)為零，在球內(nèi)附加單位負(fù)電荷。但不同于公式(4-98b)，單位負(fù)電荷以密度ρ=－1/(2πa2r)的形式球?qū)ΨQ地加在球內(nèi)部。此種情形下，原來(lái)的球體內(nèi)部電位平均值修改為加權(quán)平均值，即附加的電位用下列公式計(jì)算:(4-98d)半無(wú)界空間(z>0)的格林函數(shù)為(4-99)式中在這種情況下，由于涉及的區(qū)域體積和面積都是無(wú)窮大，因而格林函數(shù)方程及其邊界條件都不做修改。4.6.3格林函數(shù)的應(yīng)用

由方程(4-85)計(jì)算第一類靜電邊值問(wèn)題的解時(shí)，先要知道待解區(qū)域的第一類格林函數(shù)G，然后求出G在邊界面上的法向?qū)?shù)的值，再代入式(4-85)，積分后得到區(qū)域內(nèi)的電位值。

例4-18

已知無(wú)限大導(dǎo)體平板由兩個(gè)相互絕緣的半無(wú)限大部分組成，右半部的電位為V0，左半部的電位為零(如圖4-26所示)，求上半空間的電位。

解此題是拉普拉斯方程的第一類邊值問(wèn)題，即體電荷為零，公式(4-85)可簡(jiǎn)化為

(4-100)圖4-26例4-16圖由式(4-95)，二維半無(wú)界空間的格林函數(shù)為

其中，應(yīng)注意，公式(4-85)中的面積分在二維問(wèn)題時(shí)要轉(zhuǎn)化為線積分，且n′是界面的外法向。于是有代入式(4-98)，得這一結(jié)果，與用復(fù)變函數(shù)法得到的結(jié)果相一致。例4-19

一個(gè)間距為d的平板電容器，極板間的體電荷密度是ρ0(ρ0為常數(shù))，上、下板的電位分別是V0和0，求格林函數(shù)。

解選取如圖4-27所示的坐標(biāo)系，電位僅僅是坐標(biāo)x的函數(shù)j(x)?？梢灾纉(x)滿足的微分方程及其邊界條件如下:

j(0)=V0

，j(d)=0以上方程使用直接積分法可方便地求解。但是為了說(shuō)明格林函數(shù)法的計(jì)算步驟，這里用格林函數(shù)法求解。圖4-27平板電容器先寫出和上述方程相應(yīng)的格林函數(shù)滿足的微分方程及其邊界條件(使用格林函數(shù)是單位點(diǎn)源在齊次邊界條件下的位函數(shù)這一性質(zhì)，一維點(diǎn)源就是面源，即一維δ函數(shù))如下:(4-101)對(duì)于格林函數(shù)G的微分方程，分x<x′和x>x′兩部分積分后,得:

G(x，x′)=Ax+B，(0≤x<x′<d)

G(x，x′)=Cx+D，(0<x′<x≤d)代入左右極板G的邊界條件，得B=0，D=－Cd，即

G(x，x′)=Ax，(0≤x<x′<d)

G(x，x′)=－C(d－x)，(0<x′<x≤d)

上式中還有兩個(gè)待定常數(shù)要確定?？梢允褂肎在x=x′連續(xù)(因?yàn)?，此時(shí)格林函數(shù)表示很大的帶電薄層產(chǎn)生的電位，因而連續(xù))，得

Cx′=C(x′－d)

另外，對(duì)方程(4-99)左右兩邊從x=x′－α到x=x′+α積分，積分完成以后再取α趨于零的極限(注意，帶電薄層產(chǎn)生的電場(chǎng)在其左右兩側(cè)不連續(xù))，得

即解C1和C3的聯(lián)立方程，得最后得到格林函數(shù)為對(duì)于此題，一維的格林函數(shù)通解為一般而言，格林函數(shù)是一個(gè)分段表達(dá)式，積分時(shí)應(yīng)該注意。同時(shí)要注意，邊界條件j(0)=0，j(d)=V0，G(x，x′)在x′位于邊界上時(shí)也均為零。格林函數(shù)對(duì)于變量x′的導(dǎo)數(shù)，要先求導(dǎo)數(shù)，再取變量x′趨于邊界點(diǎn)的極限。最后得到這個(gè)問(wèn)題的解為例4-20

已知一個(gè)半徑為a的圓柱形區(qū)域內(nèi)體電荷密度為零，界面上的電位為

用格林函數(shù)法求圓柱內(nèi)部的電位j(r，f)。

解使用鏡像法及格林函數(shù)的性質(zhì)，可以得出半徑為a的圓柱內(nèi)部靜電問(wèn)題的格林函數(shù)為

式中各量如圖4-28所示，r=|r|，r′=|r′|，R1是r′到場(chǎng)點(diǎn)r的距離，R2是r′的鏡像點(diǎn)r″到場(chǎng)點(diǎn)r的距離。圖4-28圓柱內(nèi)部格林函數(shù)

計(jì)算出界面上的，有對(duì)于圓柱面上電位的具體形式，代入上式，積分后可求出圓柱內(nèi)任意點(diǎn)的電位，即使對(duì)于不能得出解析解的