《電磁場(chǎng)與電磁波》課件第7章

第7章電磁波的反射和折射7.1平面波在不同媒質(zhì)界面上的反射和折射7.2平面波向?qū)щ娒劫|(zhì)界面上的垂直入射7.3平面波向理想介質(zhì)界面上的垂直入射7.4平面波向理想導(dǎo)體界面上的斜入射7.5平面波向理想介質(zhì)界面上的斜入射7.6平面波向?qū)щ娒劫|(zhì)界面上的斜入射7.1平面波在不同媒質(zhì)界面上的反射和折射

設(shè)兩種半無(wú)限大界面為z=0平面，如圖7-1所示。兩種媒質(zhì)電參數(shù)分別為μ1、ε1和μ2、ε2。現(xiàn)有一平面電磁波由媒質(zhì)1入射到界面上的A點(diǎn)，在該點(diǎn)產(chǎn)生反射波和折射波，A點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的位置矢量rA。反射波和折射波是否可以表示為平面波，要根據(jù)它們是否能滿足界面上邊界條件而定。下面會(huì)看到，對(duì)無(wú)限大平面分界面的情況，它們能夠滿足邊界條件，根據(jù)唯一性定理，這種假設(shè)是正確的。圖7-1平面波在媒質(zhì)界面上的反射和折射設(shè)入射波、反射波和折射波各場(chǎng)量下標(biāo)分別以i、r和t表示，則電磁波的各電場(chǎng)可分別表示為：

(7-1)式中，ωi、ωr和ωt分別表示入射波、反射波和折射波的角頻率，t為時(shí)間，三種波的波矢量分別為(7-2)而媒質(zhì)1中的總電場(chǎng)和總磁場(chǎng)分別為E1和H1，媒質(zhì)2中的總電場(chǎng)和總磁場(chǎng)分別為E2和H2，因而各場(chǎng)量可寫(xiě)為(7-3)兩媒質(zhì)中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)在媒質(zhì)分界面必須滿足的邊界條件為(7-4)即電場(chǎng)和磁場(chǎng)在界面處的切向分量必須連續(xù)。7.1.1反射定律和折射定律

如圖7-1所示，在兩媒質(zhì)的邊界(z=0)面上，電場(chǎng)強(qiáng)度E應(yīng)滿足其切向分量連續(xù)的邊界條件，即

如將界面上任一點(diǎn)A的矢徑記作rA，則由式(7-1)和上式，有(7-5)要使上式對(duì)界面上任一點(diǎn)rA和任意時(shí)間均成立，式中各項(xiàng)的相位因子必須相等。而t和rA又是兩個(gè)獨(dú)立變量，因此有

ωi=ωr=ωt=ω

(7-6)可見(jiàn)，反射波和折射波與入射波的頻率相同，而相移常數(shù)為

(7-7)另外(7-8)為了從上式求得入射波、反射波和折射波傳播矢量間的關(guān)系，應(yīng)用矢量恒等式故有式中，n為界面的法向單位矢量，而rA在z=0面上，故有n·rA=0,所以

rA=－n×(n×rA)

將上式代入式(7-8)，并由矢量恒等式A·(B×C)=C·(A×B)得

ki·n×(n×rA)=(ki×n)·(n×rA)

=(kr×n)·(n×rA)=(kt×n)·(n×rA)

式中，ki×n、kr×n和kt×n均垂直于n，均在z=0平面上，n×rA是z=0平面上的任意矢量，故上式成立的條件是

ki×n=kr×n=kt×n

(7-9)由式(7-9)可得出很有意義的結(jié)論。我們把入射波的波矢量ki與n構(gòu)成的平面稱為入射面，則kr和kt均在入射面內(nèi)，如圖7-2所示，這是因?yàn)閗r和n及ki和n決定的平面的法線與入射面的法線平行，即ki、kr、kt與n共面。入射波的波矢量ki與平面法線n之間的夾角θi稱為入射角，反射波的波矢量kr、折射波的波矢量kt與n之間的夾角θr和θt分別稱為反射角和折射角。

由圖7-2和式(7-8)并考慮到式(7-7)可得

(7-10)圖7-2說(shuō)明ki、kr、kt和n共面用圖

又由式(7-7)和式(7-9)得

k1sinθi=k1sinθr=k2sinθt

由

k1sinθi=k1sinθr

得

θi=θr

(7-11)

可見(jiàn)反射角θr等于入射角θi，且ki、kr在同一平面內(nèi)，式(7-11)稱為反射定律。

由k1sinθi=k2sinθt及

，可得(7-12)7.1.2菲涅爾公式

1.垂直極化波入射

取直角坐標(biāo)系，選取介質(zhì)交界面為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，入射面與xz平面重合，如圖7-3所示。入射角、反射角和折射角分別為θi、θr和θt，則入射線、反射線和折射線的方向分別為ni、nr和nt，它們均在xz平面內(nèi)。由于是垂直極化波，則入射波的Ei垂直于入射波，故Ei只有垂直于界面的y分量。在z=0的界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量必須滿足其連續(xù)的邊界條件，因而反射波和折射波電場(chǎng)也只有垂直于界面的y分量。而磁場(chǎng)方向應(yīng)滿足關(guān)系式E×H=S，因而有x和z方向的兩個(gè)分量，其中僅x分量平行于界面，故分界面上的電磁波的邊界條件應(yīng)為

(7-13)圖7-3Ei垂直于入射面時(shí)的反射和折射對(duì)于均勻平面波H0=E0/η，上式中的Hiox=－Hiocosθi,Hrox=Hrocosθr，Htox=－Htocosθt，所以式(7-13)又可以寫(xiě)為

(7-14)聯(lián)立求解式(7-14)，并考慮反射定律θi=θr?？傻么怪睒O化波的反射系數(shù)Γ⊥和透射系數(shù)T⊥為(7-15)(7-16)?！秃蚑⊥分別為當(dāng)Ei垂直于入射面時(shí)，在z=0處反射波電場(chǎng)和折射波電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)振幅之比，其η1和η2分別為媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的波阻抗。對(duì)于非磁性介質(zhì)，因?yàn)?，，并?yīng)用折射定律，則反射系數(shù)和透射系數(shù)可寫(xiě)為

(7-17)(7-18)上面兩式還可以分別表示為(7-19)(7-20)

2.平行極化波入射

取坐標(biāo)如圖7-4所示，ni、nr、nt和Ei、Er、Et均在入射面內(nèi)。圖7-4Ei平行于入射面時(shí)的反射和折射

設(shè)直角坐標(biāo)y軸的正方向垂直紙面向外，Hi只有y分量，則Hi的正方向?yàn)樨?fù)y方向，同樣，Hr和Ht也只有方向?yàn)樨?fù)y方向的y分量。此時(shí)界面處的電磁場(chǎng)切向分量為Eox和Hoy，由切向邊界條件H1t=H2t、E1t=E2t有

Eiox+Erox=Etox，Hioy+Hroy=Htoy

即(7-21)因θi=θr，上式可寫(xiě)為(7-22)兩邊同除以Eio，則有

(7-23)求解式(7-23)可得平行極化波的反射系數(shù)?！魏屯干湎禂?shù)T∥為(7-24)(7-25)對(duì)于非磁性介質(zhì)，μ1≈μ2≈μ0，，，則反射系數(shù)和透射系數(shù)可寫(xiě)成

(7-26)(7-27)上面兩式由折射定律還可以分別表示為(7-28)(7-29)上面討論了入射波、反射波和折射波在界面處的方向關(guān)系及振幅關(guān)系，那么入射波、反射波和折射波功率間的關(guān)系又怎樣？為了討論這個(gè)問(wèn)題，需引入功率反射系數(shù)Γp和功率透射系數(shù)Tp。

(7-30)式中，n為界面法向單位矢，Savi、Savr和Savt分別為入射波、反射波和折射波的平均功率流密度。在圖7-4中，n=ez，將Savi、Savr和Savt代入式(7-30)可得(7-31)上式對(duì)平行極化波和垂直極化波均成立。若將?！汀⊥和?！?、T∥代入，可得

Γp+Tp=1

表明在界面上，入射、反射、透射波和平均功率密度滿足能量守恒關(guān)系。

設(shè)用Γh、Th和Z分別表示用橫向場(chǎng)分量定義的反射系數(shù)、透射系數(shù)和橫向波阻抗，則對(duì)于入射波Ei垂直于入射面時(shí)，由圖7-3有

(7-32)而橫向波阻抗為

(7-33)式中η1和η2分別為媒質(zhì)1和媒質(zhì)2中的波阻抗，而Z1和Z2分別為當(dāng)Ei垂直于入射面時(shí)(即垂直極化波入射)，媒質(zhì)1和媒質(zhì)2中的橫向波阻抗。由式(7-15)、式(7-16)和式(7-33)得(7-34)顯然

1+Γh⊥=Th⊥

(7-35)

對(duì)于平行極化波入射(即Ei平行于入射面)，如圖7-4所示，有(7-36)(7-37)由上兩式并代入?！魏蚑∥可得(7-38)(7-39)可見(jiàn)，式(7-35)和式(7-39)的形式完全相同。在傳輸線理論中，兩段半無(wú)限長(zhǎng)特性阻抗不同的傳輸線接頭處，就有形如式(7-35)的電壓(電場(chǎng))反射系數(shù)和傳輸關(guān)系。這是因?yàn)榫痛怪庇诮缑鎮(zhèn)鞑サ牟ǘ?，與傳輸線上的情況是類似的。

7.2平面波向?qū)щ娒劫|(zhì)界面上的垂直入射

當(dāng)一平面電磁波由理想介質(zhì)(μ1，ε1)垂直入射到導(dǎo)電媒質(zhì)(μ2，ε2，σ)界面時(shí)，由于入射角θi=0，由反射定律和折射定律知，反射角θr和折射角θt也等于零，即反射波和透射波也是垂直于界面?zhèn)鞑?。為了討論?wèn)題方便，設(shè)反射波和透射波的電場(chǎng)均與入射波電場(chǎng)方向相同，即Ei、Et和Er的正方向均沿直角坐標(biāo)的x方向，而磁場(chǎng)強(qiáng)度Hi、Hr和Ht均垂直于xz平面，但此時(shí)入射面是不確定的，這意味著反、折射系數(shù)和Ei在xy面上的取向無(wú)關(guān)。而由式(7-15)和式(7-24)可見(jiàn)，當(dāng)θi=θr=θt=0時(shí)，Γ⊥=－?！?，相差一負(fù)號(hào)，這是由于當(dāng)θi=0時(shí)，(如圖7-3所示和圖7-4所示)Ei⊥與Er⊥指向相同，而Ei∥與Er∥指向相反，故正負(fù)號(hào)取決于正方向上的規(guī)定。對(duì)于圖7-5所示的正入射情況，由于Ei、Et和Er的正方向相同，此時(shí)的反射系數(shù)和折射系數(shù)可由式(7-15)、式(7-16)得(7-40)(7-41)式中，由式(7-40)和式(7-41)可見(jiàn)

1+Γ=Τ

(7-42)由圖7-5及式(7-40)和式(7-41)可得圖7-5向?qū)щ娒劫|(zhì)界面上垂直入射

Eio=exEio

Ero=exEro=exΓEio

Eto=exTEio

ni=nt=ez;

nr=－ez

將以上各式代入式(7-1)~式(7-3)，就能得到入射波、反射波和折射波電場(chǎng)表示式，故媒質(zhì)1中的總場(chǎng)量E1、H1與媒質(zhì)2中的總場(chǎng)量E2、H2為

(7-43)7.2.1媒質(zhì)2為良導(dǎo)體

1.穿透深度和趨膚效應(yīng)

在導(dǎo)電媒質(zhì)中沿z方向傳播的電磁波，由于能量損耗而使場(chǎng)量(電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度及電流密度等)都按e－αz指數(shù)規(guī)律衰減，且隨著電導(dǎo)率與磁導(dǎo)率的增加以及頻率的升高衰減得越快。因此，導(dǎo)電媒質(zhì)表面處的場(chǎng)量最大，愈深入內(nèi)部，場(chǎng)量愈小。我們把電磁波的場(chǎng)量趨于導(dǎo)電媒質(zhì)表面的現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。由于趨膚效應(yīng)使得導(dǎo)體傳導(dǎo)電流的截面減小，因而增加了導(dǎo)體的電阻，減小了內(nèi)自感。利用良導(dǎo)體內(nèi)部的電磁場(chǎng)基本為零的原理可對(duì)電子設(shè)備進(jìn)行屏蔽，應(yīng)用高頻電磁波的趨膚效應(yīng)可對(duì)金屬表面進(jìn)行硬化熱處理。當(dāng)電磁波到達(dá)導(dǎo)電媒質(zhì)表面時(shí)，無(wú)論入射角如何，透射進(jìn)入導(dǎo)電媒質(zhì)中的電磁波基本上沿其表面的法線方向傳播，且按e－αz的指數(shù)規(guī)律衰減。進(jìn)入導(dǎo)電媒質(zhì)的電磁波場(chǎng)量的值衰減至表面值的1/e=0.368深度，稱為趨膚深度或穿透深度，以δ表示。由

e－αz=e－αδ=e－1=36.8%

可得導(dǎo)電媒質(zhì)的穿透深度為

(7-45)對(duì)于良導(dǎo)體，因(σ/ωε)>>1，

，故δ為(7-46)

2.良導(dǎo)體的功率損耗

假設(shè)良導(dǎo)體的厚度遠(yuǎn)大于穿透深度，(一般這是符合實(shí)際情況的)，透入的電磁功率將全部被導(dǎo)體吸收并轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃?。我們把單位面積導(dǎo)體(厚度為0~∞)吸收的功率用PL表示，即

PL=Savt=TSavi

(7-47)

而功率透射系數(shù)Tp為

Tp=1－Γp=1－|Γ|2

(7-48)

設(shè)媒體1為空氣，則η1→η0，良導(dǎo)體的波阻抗為η2→η，則有

~~因?yàn)椋?/p>

則故可將用二項(xiàng)式展開(kāi)，取其前兩項(xiàng)，得(7-49)由前式1+Γ=T可將透射系數(shù)寫(xiě)為(7-50)于是

(7-51)將式(7-51)代入式(7-47)，且利用入射電磁波的磁場(chǎng)表示Savi，得損耗功率為(7-52)圖7-6良導(dǎo)體的表面電阻和表面電抗

3.表面阻抗

因?yàn)榱紝?dǎo)體中的電流密度集中于導(dǎo)體表面，則與能量損耗有關(guān)的波阻抗可看成表面阻抗。現(xiàn)在我們來(lái)求其表面阻抗，如圖7-6所示。由式(7-49)可知，良導(dǎo)體的反射系數(shù)?！郑?。在z=0的邊界上，磁場(chǎng)的切向分量連續(xù)。即由式(7-43)和式(7-44)有

H1t=H1o，H2t=Hto

故

(7-53)代入式(7-44)，可得導(dǎo)體中電磁場(chǎng)的近似表示式為(7-54)導(dǎo)體中的電流密度為(7-55)式中J0=2σHioη為良導(dǎo)體表面處(z=0處)的電流密度，因此,它在y方向單位寬度而沿z方向?yàn)?~∞的截面上的總電流為

~(7-56)在導(dǎo)體表面，沿x方向單位長(zhǎng)度上的電壓為則表面阻抗定義為電壓與電流之比，而，即有(7-57)其中(7-58)由式(7-56)、式(7-58)及式(7-52)可得單位面積導(dǎo)體損耗的功率為(7-59)在理想導(dǎo)體內(nèi)，因J為零，故只有面電流。由邊界條件可得，電流密度JS等于表面處的磁場(chǎng)即JS=H0。由式(7-49)知，當(dāng)σ→∞即為理想導(dǎo)體，Γ=－1時(shí)，因而有JS=H0=2Hi。而由式(7-56)，I≈2Hio，所以I近似等于將導(dǎo)體視作理想導(dǎo)體時(shí)的面電流密度，即I≈JS。所以一般在計(jì)算良導(dǎo)體的功率損耗時(shí),往往可以將良導(dǎo)體當(dāng)作理想導(dǎo)體求出電磁場(chǎng)。由磁場(chǎng)和理想導(dǎo)體表面的邊界條件求出面電流，再由式(7-59)來(lái)計(jì)算導(dǎo)體損耗。這種近似的求解方法稱為微擾法。這種處理在許多情況下,特別是在導(dǎo)體處場(chǎng)分布較為復(fù)雜的情況下,將會(huì)大大地簡(jiǎn)化計(jì)算。例7-1

試分別計(jì)算直徑為2mm的銅導(dǎo)線和鐵導(dǎo)線在

1MHz頻率下的穿透深度與表面電阻。已知銅的參量σ=5.8×107S/m，εr=μr=1；鐵的參量為σ=107S/m，

εr=1，μr=103。

解對(duì)于圓柱形導(dǎo)體，只要其半徑a>>δ，則可以近似地應(yīng)用導(dǎo)體表面為平面時(shí)的趨膚深度公式。對(duì)于銅導(dǎo)線，其趨膚深度和單位長(zhǎng)度的表面電阻分別為

對(duì)于鐵導(dǎo)線，同理可得

7.2.2媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體

由上節(jié)討論已知，當(dāng)平面電磁波射向良導(dǎo)體時(shí)，絕大部分電磁能量經(jīng)良導(dǎo)體表面反射而形成反射波，透入良導(dǎo)體的能量很小，穿透深度很小。在實(shí)際的相關(guān)分析計(jì)算時(shí)，為了分析方便，常將良導(dǎo)體當(dāng)作理想導(dǎo)體處理，即認(rèn)為電導(dǎo)率σ=∞，而η2=0，則有~(7-60)可見(jiàn)，電磁波的能量不可能透入理想導(dǎo)體內(nèi)，透射波為零，能量全被反射回媒質(zhì)1。在這種情況下，我們只要考慮媒質(zhì)1中的波。

在媒質(zhì)1中，由式(7-43)考慮到反射系數(shù)Γ=－1，則媒質(zhì)1中的合成電場(chǎng)和磁場(chǎng)為(略去下標(biāo)1)

(7-61)其瞬時(shí)值(設(shè)Eio的幅角為零)為(7-62)由此可見(jiàn)，此時(shí)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再是行波，它們均為駐波，由上式畫(huà)出E和H在不同時(shí)刻隨z的變化關(guān)系，如圖7-7所示。圖7-7不同時(shí)刻電磁駐波的場(chǎng)分布現(xiàn)在研究電磁駐波的能量和能流，由式(7-62)可求出電磁駐波的坡印廷矢量的瞬時(shí)值為

(7-63)由上式可見(jiàn)，每隔λ/4，S的符號(hào)，即能量流動(dòng)的方向要改變一次，由式(7-61)可求得能流密度的平均值為而電、磁能量密度的瞬時(shí)值分別為(7-64)由式(7-64)畫(huà)出的we和wm在不同時(shí)刻沿z的分布如圖7-8所示，圖中箭頭表示能量密度方向。由圖可見(jiàn)，電能密度we和磁能密度wm在時(shí)間和空間上分別相差T/4和λ/4。如果沿z方向在z=－λ/2到z=0間取單位截面的柱體，其中的總電、磁能分別為

(7-65)總能量為(7-66)可見(jiàn)，柱體內(nèi)總電磁能為常數(shù)，且有

W=Wemax=Wmmax

(7-67)

而由式(7-65)可看出，當(dāng)t=0時(shí)，We=0，Wm=Wmmax場(chǎng)能全部?jī)?chǔ)存在磁場(chǎng)中，當(dāng)t=T/4，Wm=0，We=Wemax場(chǎng)能全部?jī)?chǔ)存在電場(chǎng)中。在0~T/4的時(shí)間內(nèi)，磁能逐漸轉(zhuǎn)換為電能，而在T/4~T/2的時(shí)間內(nèi)，電能逐漸轉(zhuǎn)換為磁能。由于電場(chǎng)與磁場(chǎng)的波節(jié)平面相距λ/4，而穿過(guò)波節(jié)平面的能流恒為零，所以電磁能之間的轉(zhuǎn)換只限于在兩個(gè)波節(jié)之間的空間范圍內(nèi)進(jìn)行，如圖7-8所示。這種電能、磁能之間周期性地轉(zhuǎn)換，與低頻電子電路中的LC諧振回路中的能量關(guān)系一樣，故可認(rèn)為形成電磁駐波就形成了電磁振蕩。圖7-8不同時(shí)刻電、磁能流密度沿z的分布例7-2

在空氣中一均勻平面波垂直投射到理想導(dǎo)體表面(z=0的面)。已知空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度E=(exExm+jeyEym)e－jkz，其中Exm、Eym是實(shí)常數(shù)。求反射波的極化狀態(tài)及導(dǎo)體表面的面電流密度。

解入射波是左旋橢圓極化波，其每一線極化分量的反射系數(shù)均為-1，所以反射波為

Er=－(exExm+jeyEym)ejkz

這是一右旋橢圓極化波。旋間的改變是由于反射波的傳播方向與入射波相反。

理想導(dǎo)體表面的面電流密度為

JS=n×H=－ez×H|z=0其中H是導(dǎo)體表面處入、反射波之和，即于是瞬時(shí)值為

7.3平面波向理想介質(zhì)界面上的垂直入射

7.3.1介質(zhì)為兩層理想介質(zhì)

仍取坐標(biāo)如圖7-5所示。因媒質(zhì)1、2為理想介質(zhì)，η1和η2均為實(shí)數(shù)。又因?yàn)槭谴怪比肷?，即有θi=θr=θt=0，所以由式(7-15)和式(7-16)可得，電磁波垂直入射到兩理想介質(zhì)界面時(shí)的反射系數(shù)和透射系數(shù)為(7-68)在這里因?yàn)樗p系數(shù)α=0，，，則由7.2節(jié)的式(7-43)和式(7-44)可得兩種媒質(zhì)中各場(chǎng)量的表達(dá)式為

(7-69)(7-70)由式(7-70)可知，媒質(zhì)2中的波為無(wú)衰減的行波。行波的傳播特性已在第6章討論過(guò)，沒(méi)必要再來(lái)分析討論，現(xiàn)在討論介質(zhì)1中的波的特性。由式(7-69)知，如設(shè)Eio=Eim為實(shí)數(shù)即初相角為0，那么

則式(7-69)可改寫(xiě)為(7-71)式中(7-72)(7-73)同理(7-74)式中(7-75)(7-76)

式(7-71)和式(7-74)中仍有因子，可見(jiàn)它們?nèi)跃哂行胁ㄌ匦浴５浞惦Sz作周期變化。

當(dāng)η2>η1時(shí)，Γ實(shí)數(shù)，θ=0，由式(7-72)和式(7-75)知(7-77)處電場(chǎng)強(qiáng)度E的振幅具有最大值，磁場(chǎng)強(qiáng)度H的振幅具有最小值，即(7-78)而在(7-79)處有(7-80)由此可見(jiàn)，電磁場(chǎng)E和H振幅的最大值和最小值分布在空間固定位置上，即有固定的波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)，這也正是駐波的特點(diǎn)，但波節(jié)點(diǎn)位置場(chǎng)強(qiáng)并不為零。我們將這種波稱為行駐波。媒質(zhì)1中的行駐波如圖7-9(a)所示，在界面(z=0)處，E為最大值(即波腹)。圖7-9行駐波振幅當(dāng)η2<η1時(shí)，Γ=|Γ|ejπ，則E和H的波腹點(diǎn)、波節(jié)點(diǎn)的位置與η2>η1時(shí)相反。媒質(zhì)1中的行駐波如圖7-9(b)所示，在界面(z=0)處E為波節(jié)點(diǎn)，H為波腹點(diǎn)。

另外由式(7-78)和式(7-80)得(7-81)(7-82)(7-83)ρ稱為駐波系數(shù)(或駐波比)，其定義為在傳輸線上波腹點(diǎn)的場(chǎng)量(Emax或Hmax)與相鄰波節(jié)點(diǎn)的場(chǎng)量(Emin或Hmin)的振幅之比。由于反射系數(shù)0≤|Γ|≤1，故1≤ρ≤∞。而駐波系數(shù)的倒數(shù)(1/ρ)稱為行波系數(shù)。

媒質(zhì)1中沿z方向通過(guò)單位面積的功率的時(shí)間平均值為

(7-84)式中第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別為入射波和反射波的平均能流密度。透入媒質(zhì)2中的透射波的平均能流密度為(7-85)其中Tp為功率透射系數(shù)，由式(7-68)有而Γp+Tp=1(7-86)例7-3

設(shè)有兩種無(wú)耗非磁性媒質(zhì)，一均勻平面波自媒質(zhì)1垂直投射到其兩媒質(zhì)交界平面。如果

(1)反射波電場(chǎng)振幅為入射波電場(chǎng)振幅的1/3；

(2)反射波的功率通量密度為入射波功率通量密度的1/3;

(3)媒質(zhì)1中合成電場(chǎng)的最小值為最大值的1/3，且界面處為電場(chǎng)波節(jié)。

試分別確定n1/n2，(n1和n2分別為媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的折射率)

解由已知條件可求出反射系數(shù)對(duì)于無(wú)耗非磁性介質(zhì)，因?yàn)棣?=μ2=μ0，所以

，

，將η1和η2代入上式有

n=是媒質(zhì)的折射率，故于是例7-4

已知空氣中的均勻平面波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量分別在x，y方向，波沿z方向垂直入射到無(wú)耗非磁性媒質(zhì)表面。界面處，入射波磁場(chǎng)Hio=ey(A/m)，而反射波磁場(chǎng)Hro=ey0.243(A/m)。求Γ、T、εr2及Hto。

解在界面處

由此得εr2≈2.7T=1+Γ=0.757由邊界條件得Hto=Hio+Hro=1.243(A/m)7.3.2向多層介質(zhì)的垂直入射

設(shè)有三種介質(zhì)形成兩無(wú)限大平行的界面，如圖7-10所示，媒質(zhì)1、2的界面為z=0的平面，而媒質(zhì)2和3的界面為z=d的平面。當(dāng)一均勻平面波由媒質(zhì)1垂直入射時(shí)，由于有兩個(gè)界面，入射波在第一界面上一部分被反射回媒質(zhì)1中，另一部分透入媒質(zhì)2。透射到媒質(zhì)2中的平面波在z=d的第二界面一部分被反射，而向媒質(zhì)1傳播，另一部分則透射入媒質(zhì)3。經(jīng)第二界面反射向第一媒質(zhì)傳播的波在界面1處又要有一部分反射向第二界面，而另一部分透射入媒質(zhì)1，這樣形成無(wú)限次的反射和透射。如將媒質(zhì)1中的所有的反射波疊加起來(lái)，便可求出總的反射波及在界面1上的反射系數(shù)。但在這里，我們不用波的這一系列反射來(lái)考慮多層介質(zhì)的反射問(wèn)題，而是用各媒質(zhì)中向正負(fù)z方向傳播的總波來(lái)討論。為了方便，仍將向正、負(fù)z方向傳播的波分別稱為入射波與反射波。圖7-10向多層介質(zhì)垂直入射設(shè)媒質(zhì)1中的入射波電場(chǎng)為

媒質(zhì)1中總反射波電場(chǎng)強(qiáng)度可寫(xiě)為媒質(zhì)1，2中的合成波電磁場(chǎng)為(7-87)式中，Γ1為待求值，是z=0界面處的反射系數(shù)(7-88)

式中，Εio

[2]

為媒質(zhì)2中沿z方向傳播的波的總振幅，Γ2為界面z=d處的反射系數(shù)。平面波垂直入射時(shí)在界面處的反射系數(shù)為(7-89)由邊界條件，在z=0的界面處，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的切向分量連續(xù)，由式(7-87)和式(7-88)，在z=0處應(yīng)有：

E1x=E2x、H1y=H2y，即兩式相除得(7-90)令

用歐拉公式將上式中的指數(shù)函數(shù)變?yōu)槿呛瘮?shù)，并代入式(7-89)，得(7-91)Zp為在z=0的界面處,媒質(zhì)2中的電場(chǎng)E與磁場(chǎng)H的切向分量之比。具有阻抗的量綱。故將Zp稱為界面1處媒質(zhì)2中的等效阻抗。引入等效阻抗后，則式(7-90)可寫(xiě)成于是(7-92)例7-5

半無(wú)限大理想導(dǎo)體表面涂有μr=1、εr=4，厚度d=0.6cm的介質(zhì)層。介質(zhì)層外為空氣，如圖7-11所示。一頻率f=1010Hz，電場(chǎng)振幅為1V/m的平面波自空氣中向介質(zhì)層表面垂直入射。

求：(1)空氣中總電場(chǎng)和磁場(chǎng)的瞬時(shí)值；

(2)確定空氣中距介質(zhì)層表面最近的電場(chǎng)波節(jié)的位置。

解

(1)在圖7-11所示的坐標(biāo)系中，設(shè)電場(chǎng)在x方向，則在空氣中

因?yàn)棣閳D7-11涂有介質(zhì)的半無(wú)限大理想導(dǎo)體

由式(7-91)可知對(duì)于理想導(dǎo)體η3=0，故有Zp=jη2tank2d代入已知數(shù)值得Γ=ej1.22π，|Γ|=1于是瞬時(shí)值

E1=ex2cos(k1z+0.61π)cos(ωt+0.61π)(V/m)

同理

H1=ex5.31×10－3sin(k1z+0.61π)sin(ωt+0.61π)(A/m)

(2)空氣中的場(chǎng)為駐波分布，在界面z=0處Γ不等于1，所以該點(diǎn)并不是電場(chǎng)波節(jié)，設(shè)z=－l處是離界面最近的波節(jié)，則有例7-6

設(shè)有三層介質(zhì)，其分界面均為無(wú)限大的平面，介質(zhì)的波阻抗分別為η1、η2和η3，介質(zhì)2的厚度為d。當(dāng)平面波由媒質(zhì)1垂直射向界面時(shí)，入射波的能量全部進(jìn)入介質(zhì)3，試決定d和η2。

解取坐標(biāo)系如圖7-10所示，要求能量全部透入介質(zhì)3，即要求Γ1=0或Zp=η1，此時(shí)，式(7-91)可寫(xiě)成

η2(η3cosk2d+jη2sink2d)=η1(η2cosk2d+jη3sink2d)

于是有

η3cosk2d=η1cosk2d…

(1)

η22sink2d=η1η3sink2d…

(2)要使上式(1)成立，必有

η3=η1

或cosk2d=0

即同理，要使上式(2)成立，應(yīng)有η22=η1η3

或sink2d=0即

7.4平面波向理想導(dǎo)體界面上的斜入射

7.4.1垂直極化波向理想導(dǎo)體面的斜入射

介質(zhì)與理想導(dǎo)體的界面如圖7-12所示，電場(chǎng)矢量與入射面垂直，即為垂直極化波入射。設(shè)入射波的電場(chǎng)Eio和入射角θi已知，在所取的直角坐標(biāo)系中，由于Eio垂直于入射面，因此Eio=eyEio；入射面為XZ平面，則入射波的方向?yàn)閚i=exsinθi+ezcosθi，故入射波的電磁場(chǎng)量為

(7-93)由圖7-12可知，并考慮到ni與nr共面，且θi=θr，故反射波傳播方向單位矢量nr=exsinθi－ezcosθi；對(duì)于垂直極化波?！?－1，所以，Ero=Eio?！?－Eio，故可求得反射波的電磁場(chǎng)量為(7-94)介質(zhì)1中合成的場(chǎng)量為(7-95)7.4.2平行極化波向理想導(dǎo)體面的斜入射

介質(zhì)與理想導(dǎo)體的界面如圖7-14所示，電場(chǎng)矢量在入射面內(nèi)，即為平行極化波入射。設(shè)入射角為θi，則該入射波的電磁場(chǎng)量為(7-99)圖7-14平行極化波向理想導(dǎo)體面的斜入射運(yùn)用和7.4.1節(jié)相同的方法計(jì)算，可得此時(shí)媒質(zhì)1中的合成波的場(chǎng)為(7-100)由電場(chǎng)與磁場(chǎng)表示式可見(jiàn)：介質(zhì)中的電磁波仍為沿z方向的駐波分布，比較式(7-95)與式(7-100)可知，此時(shí)電場(chǎng)有向x方向傳播的分量Ex，而磁場(chǎng)垂直于傳播方向，沒(méi)有向x方向傳播的分量，故稱這種波為橫磁波(TM波)或縱電波(E波)。例7-7

一均勻平面波由空氣入射到理想導(dǎo)體表面(z=0平面)上，已知入射波電場(chǎng)矢量為求：(1)入射波的角頻率ω和電場(chǎng)振幅值Eim；

(2)入射波磁場(chǎng)矢量Hi；

(3)入射角θi；

(4)反射波電場(chǎng)和磁場(chǎng)矢量Er、Hr；

(5)合成波電場(chǎng)和磁場(chǎng)矢量E1、H1。解據(jù)題意，如圖7-15所示。因?yàn)椋璲k·r=j6，所以波矢量圖7-15例7-7用圖

入射波傳播方向單位矢量為(1)由得(2)入射波的磁場(chǎng)矢量為

(3)由于界面為z=0平面，入射面為xz平面，而Ei也在xz面內(nèi)，故Ei平行于入射面極化。由

,故得。于是可得到如圖7-15所示的坐標(biāo)關(guān)系。

(4)由圖7-15可寫(xiě)出反射波傳播方向單位矢量為

nr=－exsinθi－ezcosθi

反射波電場(chǎng)可表示為

Er=Er0(－excosθi+ezsinθi)e－jknr·r由cosθi=1/2、、Er0=?！蜤i0及?！?1可得

(5)入射波電場(chǎng)與反射波電場(chǎng)疊加，得空氣中合成電場(chǎng)為同理，空氣中合成磁場(chǎng)為可見(jiàn)，合成波為沿負(fù)x方向傳播的行波，且為T(mén)M波。根據(jù)理想導(dǎo)體表面的邊界條件JS=n×H可求得導(dǎo)體表面的面電流分布。這里n=－ez。例7-8

空氣中磁場(chǎng)的平面波射向理想導(dǎo)體表面，直角坐標(biāo)的原點(diǎn)取在空氣與導(dǎo)體的交界面上，坐標(biāo)y的正方向垂直紙面向外。求：

(1)反射波；

(2)空氣中的合成場(chǎng)及導(dǎo)體表面的面電流和面電荷密度的瞬時(shí)值。

解因，故有

所以入射波電場(chǎng)為

電場(chǎng)Ei與入射面(xz)平行，由圖7-14可知故反射波磁場(chǎng)為

(2)空氣中的總電磁場(chǎng)為電流密度及電荷密度分別為

7.5平面波向理想介質(zhì)界面上的斜入射

7.5.1全透射現(xiàn)象

當(dāng)電磁波由介質(zhì)1入射到介質(zhì)2時(shí)，在介質(zhì)界面上不發(fā)生反射，全部能量將透射入介質(zhì)2，這種現(xiàn)象為全透射現(xiàn)象。如兩種媒質(zhì)均為非磁性介質(zhì)。

(1)對(duì)于平行極化波入射由菲涅爾公式當(dāng)?！?0時(shí)，即當(dāng)時(shí)，將發(fā)生全透射，則有代入折射定律，得解得(7-101)可見(jiàn)，當(dāng)平行極化波以角θB入射到分界面上時(shí)，全部能量透入介質(zhì)2而沒(méi)有反射。這個(gè)特定的入射角θB稱為布儒斯特角。激光技術(shù)中的布儒斯特窗就是根據(jù)這一原理設(shè)計(jì)的。

另外由式，當(dāng)θi=θB時(shí)，恰好有(7-102)圖7-16示出了不同情況下反射系數(shù)隨入射角的變化關(guān)系。圖7-16反射系數(shù)隨入射角的變化關(guān)系

(2)對(duì)于垂直極化波入射由菲涅爾公式(7-17)可知7.5.2媒質(zhì)1中的總電磁場(chǎng)

這里以垂直極化波入射為例，如圖7-3所示，在此坐標(biāo)系中，將入射波場(chǎng)與反射波場(chǎng)相加，就能求得媒質(zhì)1中的總電磁場(chǎng)。設(shè)入射波與反射波傳播方向的單位矢為ni和nr

ni=exsinθi+ezcosθi

nr=exsinθi－ezcosθi

設(shè)入射波電場(chǎng)強(qiáng)度為

Ei=eyEioe－jk1ni·r

則由垂直極化波入射的反射系數(shù)，可得媒質(zhì)1中的場(chǎng)量為

(7-103)

(7-104)上式中的相位因子e－j(k1sinθi)x表明，E1、H1均是向x方向傳播的行波。其相移常數(shù)kx=k1sinθi相速為式中α是ni與X軸的夾角。沿z方向，電磁場(chǎng)的每一分量均是與傳播方向相反、幅度不等的兩個(gè)行波之和，其相移常數(shù)kz=k1cosθi相速為

波長(zhǎng)為場(chǎng)沿z方向的分布與垂直入射到無(wú)耗媒質(zhì)時(shí)類似，為行駐波。另外，由于E1垂直于傳播方向，而H1有傳播方向的分量Hx，所以它為沿x方向的TE波。而介質(zhì)2中的透射波為式中可見(jiàn)磁場(chǎng)有x和z方向的兩個(gè)場(chǎng)量，介質(zhì)2中的透射波為向nt方向傳播的行波，其相速為

對(duì)于電場(chǎng)Ei平行入射面的電磁波，與前推導(dǎo)類似可以得出媒質(zhì)1中的總電磁場(chǎng)與式(7-104)相似的形式。但波是沿x方向的TM波。沿x、z方向的相移常數(shù)、相速、波長(zhǎng)等與上述的TE波相同。對(duì)于功率反射系數(shù)和功率透射系數(shù)，可定義為

(7-105)(7-106)且有(7-107)上式中Γp和Tp分別為功率反射系數(shù)與功率透射系數(shù)，Savi、Savr和Savt分別為入射波，反射波和透射波的平均功率密度。例7-9

一均勻平面波由媒質(zhì)1以入射角θi=θ1投射到無(wú)耗媒質(zhì)2的界面，已知入射波Ei垂直于入射面，透射角

θt=θ2，?！?－1/2。

求：(1)求T⊥；

(2)若上述的電磁波自媒質(zhì)2投射到界面，入射角θi′=θ2。求θt′、T⊥′、Γ⊥′；

(3)在上述兩種入射情況下的功率反射系數(shù)與功率透射系數(shù)是否相等。

解

(1)由式1+?！?T⊥有

(2)平面波自媒質(zhì)1入射時(shí)，有

k1sinθ1=k2sinθ2

若自媒質(zhì)2入射，且θi′=θ2，仍由上式聯(lián)系入射角與透射角，所以有θt′=θ1。

自媒質(zhì)1入射時(shí)，有

自媒質(zhì)2入射時(shí)，入射角和透射角是θ1、θ2；入射、透射區(qū)的波阻抗分別為η2、η1，所以可見(jiàn)反向入射時(shí)，反射系數(shù)只改變符號(hào)。

(3)正、反向入射時(shí)反射系數(shù)的模相等，由式(7-107)知，兩種情況下的功率反射透射系數(shù)相等。7.5.3全反射

對(duì)非磁性介質(zhì)μ1=μ2=μ0，由折射定律，如果介質(zhì)電常數(shù)ε1>ε2，則有θt>θi，隨著入射角的增大，折射角也增大，當(dāng)入射角θi增大到某一角度θc時(shí)，θt=90°，這時(shí)這表明，折射波沿分界面掠過(guò)，由此可見(jiàn)，當(dāng)θi=θc時(shí)，介質(zhì)1中的入射波將被界面完全反射回介質(zhì)1中去。這種現(xiàn)象稱為全反射。使折射角θt=90°的入射角θc稱為臨界角。由折射定律可以求得臨界角為(7-108)圖7-17中的曲線表示臨界角θc和布儒斯特角θB隨ε1/ε2的變化關(guān)系。一般情況下,θc>θB,

只有當(dāng)ε1>>ε2時(shí),θc≈θB≈0。另外，布儒斯特角θB并不要求ε1>ε2的限制條件，僅當(dāng)θi=θB時(shí)，平行極化時(shí)的反射波將消失；而發(fā)生全反射時(shí)的入射角θc≤θi<90°，并且與入射波的極化方向無(wú)關(guān)。圖7-17θc與θB隨ε1/ε2的變化關(guān)系當(dāng)θi>θc時(shí)，由折射定律有

因?yàn)?，所以要求sinθt>1，顯然設(shè)有實(shí)的折射角能滿足上式，θt必為復(fù)數(shù)角，因，當(dāng)時(shí)，才為大于1的實(shí)數(shù)，故有(7-109)無(wú)論入射波電場(chǎng)E垂直還是平行于入射面，透射波Et和Ht的表示式中均應(yīng)有因子由及，得(7-110)所以k2為復(fù)矢量。若以Ei垂直入射面為例，則透射波電磁場(chǎng)為(7-111)由式(7-111)可見(jiàn)，Et和Ht是沿x方向的行波，但振幅沿z方向按指數(shù)規(guī)律衰減，這也就是前面我們?nèi)osθt=－jN的原因，否則如取cosθt=+jN，振幅將沿z按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，這實(shí)際上是不可能的。其等相位面是x等于常數(shù)的平面，而等振幅面是z等于常數(shù)的平面，這種等相位面與等振幅不一致的波，稱為非均勻平面波。入射電場(chǎng)Ei垂直于入射面時(shí)的波為T(mén)E波，Ei平行于入射面時(shí)的波為T(mén)M波。~~電磁波沿x方向的相速為(7-112)式中，因sinθi<1、sinθt>1，所以

。例如一根圓柱形介質(zhì)棒，如圖7-18所示，如果介質(zhì)棒內(nèi)的電磁波以大于臨界角的入射角投向圓柱表面，則在介質(zhì)與空氣界面上會(huì)發(fā)生全反射，因而電磁能量就被約束在棒的附近，并沿軸向傳輸。這種傳輸系統(tǒng)稱為介質(zhì)波導(dǎo)，它是一種表面波傳輸系統(tǒng)。圖7-18利用全反射在介質(zhì)板內(nèi)傳輸電磁波全反射在實(shí)際應(yīng)用方面也有其不利的一面。例如，圖7-19所示的顯像管或示波管的熒光屏上，由電子槍射出的電子束打到熒光層上使其發(fā)光并向四面八方射出，由于光在玻璃與空氣的分界面上發(fā)生全反射。只有在錐角2θc以內(nèi)的光才能透射入空氣中，其余的光被界面反射回去，從而降低了光的輸出。為此，需要在熒光屏上鍍一層非常薄的鋁反射膜，以提高光的亮度。圖7-19熒光屏內(nèi)的全反射例7-10

一光纖的剖面，如圖7-20所示。其中光纖的芯線的折射率為n1，包層為n2，且n1>n2，在這里用平面波的反、折射理論來(lái)討論光纖的問(wèn)題。設(shè)光束從折射率為n0的空氣中進(jìn)入光纖，若在芯線與包層的界面上發(fā)生全反射，就可使光束按圖7-20所示的