《電磁場(chǎng)與電磁波》課件第9章

第9章電磁波的輻射及天線基礎(chǔ)9.1滯后位9.2電基本振子輻射場(chǎng)9.3磁基本振子的輻射場(chǎng)9.4天線的基本電參數(shù)9.5互易定理9.6線形天線9.7天線陣9.8面天線基本理論

9.1滯后位

在第5章中，已經(jīng)引入了時(shí)變電磁場(chǎng)的標(biāo)量位j和矢量位A。對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，它們與電荷源ρ和電流源J之間的關(guān)系為(式(5-79)和式(5-80))

式中k2=ω2με。式(5-78)和(5-79)稱為非齊次亥姆霍茲方程。時(shí)諧場(chǎng)中，電荷源ρ和電流源J之間以電流連續(xù)性方程為將ρ與J聯(lián)系起來(lái)，而標(biāo)量位j和矢量位A之間也存在一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是洛侖茲條件(式(5-78))

電磁場(chǎng)與標(biāo)量位j和矢量位A之間的關(guān)系式為(9-1)可見，只要解出式(5-78)中的A，就可以由式(9-1)和式(9-2)求出B和E。9.1.1亥姆霍茲積分及輻射條件

下面我們來(lái)求式(5-79)中的標(biāo)量位j。對(duì)于式(5-78)，可以在直角坐標(biāo)系中把矢量位A分解為三個(gè)分量，得到三個(gè)與式(5-79)形式相同的標(biāo)量方程，然后直接套用標(biāo)量位φ的解法求得。

采用格林定理(9-3)求式(5-79)中的標(biāo)量位j，并且導(dǎo)出輻射條件。這里u、w以及它們的一階和二階導(dǎo)數(shù)在V內(nèi)連續(xù)。容易驗(yàn)證標(biāo)量函數(shù)(9-4)滿足齊次亥姆霍茲方程(9-5)令格林定理中的u代表標(biāo)量位j，即u=

j

，j滿足式(5-79)，即(9-6)再令w=Ψ，且R=|r－r′|，如圖9-1所示。r是場(chǎng)點(diǎn)；r′是源點(diǎn)，亦即格林定理中的積分變點(diǎn)。圖9-1求解式(9-6)用圖再將j和Ψ帶入格林定理積分時(shí)，需暫時(shí)排除Ψ的奇點(diǎn)R=0(r=r′)，因?yàn)檫@時(shí)Ψ在P點(diǎn)不連續(xù)，從而不滿足格林定理對(duì)被積函數(shù)的要求。為此，以P點(diǎn)為球心，作半徑為a的小球，其表面為S2，體積為V2，如圖9-1所示。于是積分在體積V1=V－V2及其表面S1=S+S2上進(jìn)行：(9-7)式中，在S2上積分時(shí)，其面元外法線方向指向小球球心P點(diǎn)，于是有；面元dS′=a2dΩ′，dΩ′是dS′對(duì)P點(diǎn)所張的立體角元。這樣，令a小球面S2收縮成點(diǎn)P?？紤]到有限，上式中的積分只剩下被積函數(shù)是j(r′)·e－jkR/R2的一項(xiàng)不等于零。此時(shí)小球面S2上任一點(diǎn)的j(r′)可以用小球球心處的j(r)代替，從而使上式變?yōu)閷⑸鲜酱胧?9-7)，并且在其體積分中考慮到式(9-5)和式(9-6)，可得標(biāo)量位的表達(dá)式為(9-8)由于矢量位A的每個(gè)直角坐標(biāo)分量均可用形如上式的積分表示，于是矢量位的表達(dá)式為(9-9)可見，當(dāng)源分布已知時(shí)，可由式(9-8)或式(9-9)求出位函數(shù)，其中的體積分是V內(nèi)源的貢獻(xiàn)；而面積分是V外源的貢獻(xiàn)。上述結(jié)論首先是由亥姆霍茲得出，故稱為亥姆霍茲積分?？紤]無(wú)限空間的電磁場(chǎng)問題時(shí)，取以R為半徑的球面作為S，dS′=R2dΩ′，這時(shí)式(9-8)中的面積分可以寫成

(9-10)而要排除在無(wú)限遠(yuǎn)處的場(chǎng)源(設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處的場(chǎng)源為零)，就必須使上式為零。為此，要求R→∞時(shí)(9-11a)在這個(gè)限制條件下，又要求式(9-10)的第二項(xiàng)積分等于零，即要求在遠(yuǎn)離場(chǎng)源處標(biāo)量位j至少按R－1減少；第一項(xiàng)積分在滿足(9-11b)

9.1.2滯后位

標(biāo)量位j滿足輻射條件式(9-11b)時(shí)，排除無(wú)限遠(yuǎn)處的場(chǎng)源，于是式(9-8)右邊的面積分一項(xiàng)為零，標(biāo)量位j(r)僅表示向外傳播的電磁波，即(9-12a)如果我們把k=ω/v代入上式，并重新引入時(shí)間因子ejωt，則得(9-12b)由于矢量位A可以分解為三個(gè)直角坐標(biāo)分量，它們的解也具有式(9-12)的形式，因此有(9-13a)引入時(shí)間因子ejwt后則有(9-13b)這就是式(5-78)的解。利用上式可求解天線電流在空間激發(fā)的電磁波的分布?，F(xiàn)在討論式(9-12b)和(9-13b)的物理含義。首先注意到，當(dāng)ω=0時(shí)，式(9-12b)和(9-13b)都還原到靜電場(chǎng)的解

9.2電基本振子輻射場(chǎng)

電基本振子是指載有高頻電流的短導(dǎo)線，短是指其長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于所輻射的電磁波的工作波長(zhǎng)(l<<λ)，這時(shí)導(dǎo)線上各點(diǎn)電流的振幅和相位可視為相同，但其上的電流分布可以看成是由許多首尾相連的一系列電基本振子的電流組成的，而各電基本振子上的電流可分別看做常數(shù)，因此電基本振子也稱為電流元。電流元輻射場(chǎng)的分析計(jì)算是線天線工程計(jì)算的基礎(chǔ)。

根據(jù)電流連續(xù)性原理，電流元的兩端必須同時(shí)積聚大小相等、符號(hào)相反的時(shí)諧電荷Q，以使

，用復(fù)量表示，則有Q=I/jω，(I=Imejj)。為此，電基本振子的實(shí)際結(jié)構(gòu)之一是在兩端各加載一個(gè)大金屬球，如圖9-2(a)所示，這也就是早期赫茲實(shí)驗(yàn)所用的形式，所以又稱為赫茲電偶極子。普通的短對(duì)稱振子，兩端的電流分布近于零(相當(dāng)于開路端)，其電流沿導(dǎo)線的分布是不均勻的，而是呈現(xiàn)如圖9-2(b)所示的三角形分布。圖9-2電流元與短對(duì)稱振子9.2.1電基本振子的電磁場(chǎng)分布

在此采用間接方法來(lái)求電基本振子的電磁場(chǎng)，即先由式(9-13a)求出電基本振子的矢量位A(r)，再將其代入式(9-1)確定磁感應(yīng)強(qiáng)度B(r)，最后把磁感應(yīng)強(qiáng)度B(r)代入麥克斯韋第一方程求出電場(chǎng)強(qiáng)度E(r)。設(shè)電基本振子沿z軸方向，且置于坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖9-3所示。取短導(dǎo)線的長(zhǎng)度為l，橫截面積為ΔS，因?yàn)槎虒?dǎo)線僅占有一個(gè)很小的體積dV=l·ΔS，故有

(9-14)又由于短導(dǎo)線放置在坐標(biāo)原點(diǎn)，l很小，因此可取r′=0，從而有R=|r－r′|≈r。考慮到上述理由，根據(jù)式(9-13a)可求出電基本振子在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的矢量位(9-15)圖9-3電基本振子

為了采用球坐標(biāo)系，將式(9-15)表示的矢量磁位A(r)進(jìn)行坐標(biāo)變換，得

A=erAr+eθAθ+efAq=erAzcosθ－eθAzsinθ

(9-16)

將上式代入式(9-1)可求出電基本振子在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場(chǎng)由此可解得

Hr=0

(9-17a)

Hθ=0

(9-17b)(9-17c)將式(9-17)代入無(wú)源區(qū)中的麥克斯韋方程

可得電場(chǎng)強(qiáng)度的三個(gè)分量(9-18a)(9-18b)(9-18c)9.2.2電基本振子的電磁場(chǎng)分析

1.近區(qū)場(chǎng)

當(dāng)kr<<1或r<<λ/2π時(shí)，即場(chǎng)點(diǎn)P與源點(diǎn)的距離r遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)λ的區(qū)域稱為近區(qū)。在近區(qū)中有

故在式(9-17)和式(9-18)中，起主要作用的是1/kr的高次冪項(xiàng)，因而只保留這一高次冪項(xiàng)而忽略其他項(xiàng)，有(9-19a)(9-19b)(9-19c)

2.遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)

當(dāng)kr>>1時(shí)，r>>λ/2π時(shí)，即場(chǎng)點(diǎn)P與源點(diǎn)距離r遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)λ的區(qū)域稱為遠(yuǎn)區(qū)。在遠(yuǎn)區(qū)中有

故在式(9-17)和式(9-18)中，起主要作用的是含1/kr的低次冪項(xiàng)，且相位因子e－jkr必須考慮，基于此，遠(yuǎn)區(qū)電磁場(chǎng)表達(dá)式可簡(jiǎn)化為(9-20a)(9-20b)下面分析電基本振子的輻射功率和輻射電阻。如果以電基本振子天線為球心，用一個(gè)半徑為r的球面把它包圍起來(lái)，那么從電基本振子天線輻射出來(lái)的電磁能量必然全部通過(guò)這個(gè)球面，故平均坡印廷矢量在此球面上的積分值就是電基本振子天線輻射出來(lái)的功率Pr。因?yàn)殡娀菊褡犹炀€在遠(yuǎn)區(qū)任一點(diǎn)的平均坡印廷矢量為(9-21)所以輻射功率為(9-22a)

以空氣中的波阻抗代入，可得(9-22b)式中I的單位為A(安培)且是復(fù)振幅值，輻射功率Pr的單位為W(瓦)，空氣中的波長(zhǎng)λ0的單位為m(米)。電基本振子幅射出去的電磁能量既然不能返回波源，因此對(duì)波源而言也是一種損耗。利用電路理論的概念，引入一個(gè)等效電阻。設(shè)此電阻消耗的功率等于輻射功率，則有式中，Rr稱為輻射電阻。由式(9-22b)可得電基本振子的輻射電阻為(9-23)顯然，輻射電阻可以衡量天線的輻射能力，它僅僅取決于天線的結(jié)構(gòu)和工作波長(zhǎng)，是天線的一個(gè)重要參數(shù)。例9-1

已知電基本振子的輻射功率Pr，求遠(yuǎn)區(qū)中任意點(diǎn)P(r，θ，f)的電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅值。

解利用k=2π/λ，I=Imejf以及式(9-20a)，遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度振幅為由式(9-23)有

，將其代入上式得例9-2

計(jì)算長(zhǎng)度l=0.1λ0的電基本振子當(dāng)電流振幅值為

2mA時(shí)的輻射電阻和輻射功率。

解由式(9-23)知輻射電阻輻射功率為

9.3磁基本振子的輻射場(chǎng)

9.3.1磁基本振子

磁基本振子是一個(gè)半徑為a(a<<λ)的細(xì)導(dǎo)線小圓環(huán)，載有高頻時(shí)諧電流，i=Imcos(ωt+f)，其復(fù)振幅為I=Imejf，如圖9-4所示。當(dāng)細(xì)導(dǎo)線小圓環(huán)的周長(zhǎng)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)時(shí)可以認(rèn)為流過(guò)圓環(huán)的時(shí)諧電流的振幅和相位處處相同，所以磁基本振子也被稱為磁偶極子。現(xiàn)在采用與上節(jié)求解電偶極子場(chǎng)相類似方法求解磁偶極子的電磁場(chǎng)。圖9-4磁基本振子

取圖9-4所示的球坐標(biāo)系，借助式(9-13a)，并將其中的J(r′)dV′改為I′dl′，有(9-24)嚴(yán)格計(jì)算上式的積分比較困難，但因r′=a<<λ，所以其中的指數(shù)因子可以近似為其中已經(jīng)用到了并忽略了高次冪項(xiàng)。將上式代入式(9-24)，可得矢量位的近似表達(dá)式為

由于上式的積分是對(duì)帶“′”的坐標(biāo)變量(源點(diǎn))進(jìn)行的，故可視r(shí)(場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo))是常量，所以上式可以改寫為(9-25)顯然，上式右邊第二項(xiàng)的積分是零。第一項(xiàng)方括號(hào)中的因子與“靜”磁偶極子(恒定電流環(huán))的矢量磁位表達(dá)式相同?，F(xiàn)將對(duì)此式的運(yùn)算結(jié)果用于式(9-25)，只要注意到對(duì)于現(xiàn)在討論的“時(shí)變”磁偶極子而言，該式中的m=ezπa2I=ezSI是復(fù)矢量即可。于是有

(9-26)將式(9-26)代入H=μ－1▽×A

，可得磁基本振子的磁場(chǎng)為(9-27a)(9-27b)(9-27c)再由E=(jωε)－1▽×H

，可得磁基本振子的電場(chǎng)為(9-28a)(9-28b)Er=0Eθ=0

(9-28c)由以上諸式可見，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量相互垂直，這一點(diǎn)與電基本振子的電磁場(chǎng)相同；但是，E、H的取向互換，即E在與赤道面平行的平面內(nèi)，而H則在子午面內(nèi)，這與電基本振子的電磁場(chǎng)取向比較，正好相反。磁基本振子的電磁場(chǎng)也可以分為近區(qū)和遠(yuǎn)區(qū)來(lái)研究。不難看出，前面對(duì)電基本振子電磁場(chǎng)性質(zhì)的討論也適用于磁基本振子。對(duì)遠(yuǎn)區(qū)(kr>>1)，只保留E、H表達(dá)式中含1/kr的項(xiàng)，可由式(9-27)和式(9-28)得到磁基本振子的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)為(9-29a)(9-29b)磁基本振子的平均坡印廷矢量可由式(9-29)獲得

輻射功率為(9-30a)以空氣的波阻抗代入上式，有(9-30b)輻射電阻為(9-31)例9-3

將周長(zhǎng)為0.1λ0的細(xì)導(dǎo)線繞成圓環(huán)，以構(gòu)造電基本振子，求此電基本振子的輻射電阻。

解此電基本振子的輻射電阻為將此結(jié)果與例9-2比較可見：長(zhǎng)度為此磁基本振子周長(zhǎng)的電基本振子的輻射電阻遠(yuǎn)比磁基本振子的輻射電阻大，即電基本振子的輻射能力大于磁基本振子的輻射能力。例9-4

沿z軸放置大小為I1l1的電基本振子，在xoy平面上放置大小為I1S1的磁基本振子，它們的取向和所載電流的頻率相同，中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，求它們的輻射電場(chǎng)強(qiáng)度。

解電基本振子和磁基本振子在空間任意點(diǎn)產(chǎn)生的合成輻射場(chǎng)為這是一橢圓極化波。當(dāng)時(shí)是右旋圓極化波?？梢娺@一組合形式能夠構(gòu)成一幅產(chǎn)生圓極化波的天線。9.3.2對(duì)偶原理

引入假想的磁荷和磁流概念之后，磁荷與磁流也產(chǎn)生電磁場(chǎng)，因此麥克斯韋方程組可修改為(9-32a)(9-32b)(9-32c)(9-32d)上式稱為廣義麥克斯韋方程組。式中下標(biāo)m表示磁量；Jm是磁流密度，其量綱為V/m2；ρm是磁荷密度，其量綱為Wb/m3(韋伯每立方米)。式(9-32a)的等號(hào)右邊用正號(hào)，表示電流與磁場(chǎng)之間有右手螺旋關(guān)系；式(9-32b)的等號(hào)右邊用負(fù)號(hào)，表示磁流與電場(chǎng)之間有左手螺旋關(guān)系。在無(wú)界的簡(jiǎn)單媒質(zhì)中，如果存在“電源”J、ρ，它們產(chǎn)生的電磁場(chǎng)用Ee、He表示，則其滿足的麥克斯韋方程組為

×He=J+jωεEe

(9-33a)

×Ee=－jωμHe

(9-33b)

·De=ρ

(9-33c)

·Be=0

(9-33d)

如果存在“磁源”Jm、ρm，它們產(chǎn)生的電磁場(chǎng)用Em、Hm表示，則其滿足的麥克斯韋方程組為

×Hm=jωεEm

(9-34a)

×Em=－Jm－jωμHm

(9-34b)

·Dm=0

(9-34c)

·Bm=ρm

(9-34d)例9-5

應(yīng)用對(duì)偶原理，求磁基本振子的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)。

解引入假想的磁荷與磁流概念之后，載流細(xì)導(dǎo)線小圓環(huán)可等效為相距dl，兩端磁荷分別為+qm和－qm的磁偶極子，其磁偶極距

pm=qmdl=ezqmdl=ez

μIS

由此可得磁基本振子的磁流其對(duì)應(yīng)的磁流復(fù)量為如果定義磁偶極子對(duì)應(yīng)的磁流元為Imdl，那么它與電流環(huán)的關(guān)系為

(9-36)或?qū)⑸鲜酱胧?9-29)，可將磁偶極子產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)重寫為(9-37a)(9-37b)式(9-37)也可以根據(jù)對(duì)偶原理，將式(9-20)經(jīng)過(guò)式(9-35)的變換得到。

9.4天線的基本電參數(shù)

1.方向性函數(shù)和方向圖

任何實(shí)際天線的輻射都具有方向性。離開天線一定距離處，描述天線輻射的電磁場(chǎng)強(qiáng)度在空間的任何相對(duì)分布情況的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為天線的方向性函數(shù)；把方向性函數(shù)用圖形表示出來(lái)，就是方向圖。因?yàn)樘炀€的輻射場(chǎng)分布于整個(gè)空間，所以天線的方向圖通常就是三維的立體方向圖。在球坐標(biāo)系中，場(chǎng)強(qiáng)隨θ和f兩個(gè)坐標(biāo)變量變化。雖然現(xiàn)在利用電子計(jì)算機(jī)可以繪制很復(fù)雜的天線的立體方向圖，但是常用的仍是所謂“主平面”上的方向圖。因?yàn)橛辛诉@樣兩個(gè)主平面上的方向圖，整個(gè)立體的方向性也就可以想見了。對(duì)于線天線，主平面指包含天線導(dǎo)線軸的平面(稱為E面)和垂直于天線導(dǎo)線軸的平面(稱為H面)；對(duì)于面天線，主平面指與天線口面上電場(chǎng)矢量相平行的平面(E面)和與天線口面上磁場(chǎng)矢量相平行的平面(H面)。這兩個(gè)平面上的方向圖分別稱為E面方向圖和H面方向圖。為便于繪制方向圖，定義場(chǎng)強(qiáng)振幅的歸一化方向性函數(shù)為(9-38)式中，|Emax|是|E(θ，f)|的最大值。例9-6

繪制電基本振子的方向圖。

解根據(jù)式(9-38)的方向性函數(shù)定義和電基本振子遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)的表示式(9-20a)知，電基本振子的方向性函數(shù)為

F(θ，f)=sinθ

由此方向性函數(shù)繪制的E面方向圖、H面方向圖和立體方向圖如圖9-5所示。

實(shí)際天線的方向圖通常要比圖9-5復(fù)雜，方向圖可能包含多個(gè)波瓣，分別稱為主瓣、副瓣和后瓣，如圖9-6所示，此圖表示某天線的極坐標(biāo)形式方向圖。圖9-5電基本振子的方向圖圖9-6天線方向圖的波瓣

2.方向性系數(shù)

為了定量地描述天線方向性的強(qiáng)弱，或比較不同天線的方向性，定義天線在最大輻射方向上遠(yuǎn)區(qū)某點(diǎn)的功率密度與輻射功率相同的理想無(wú)方向性天線在同一點(diǎn)的功率密度之比，稱為天線的方向性系數(shù)，表示為

(9-39a)或(9-39b)方向性系數(shù)也可定義為，在天線最大輻射方向上某點(diǎn)產(chǎn)生相等的電場(chǎng)強(qiáng)度的條件下，理想的無(wú)方向性天線的輻射功率Pr0與某天線的輻射功率Pr之比值，即

(9-40)根據(jù)上述定義，可導(dǎo)出天線方向性系數(shù)的計(jì)算公式。對(duì)于被研究的天線，其輻射功率等于在半徑為r的球面上對(duì)功率密度進(jìn)行面積分(9-41)對(duì)于理想的無(wú)方向性天線，因其在空間各個(gè)方向上具有相同的輻射，故其輻射功率為(9-42)

由式(9-41)和式(9-42)，再考慮條件——輻射功率相同，即Pr=Pr0，則根據(jù)式(9-39b)得(9-43)若F(θ，f)=F(θ)，即天線方向圖軸對(duì)稱(與f無(wú)關(guān))時(shí)，則(9-44)不同天線都取理想無(wú)方向性天線作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，因此能比較出不同天線最大輻射的相對(duì)大小，即方向性系數(shù)能比較不同天線方向性的強(qiáng)弱。公式(9-39a)中故因此(9-45a)對(duì)于理想的無(wú)方向性天線，因其方向性系數(shù)D=1，故有(9-45b)上式中|Emax|表示天線最大輻射方向上電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)振幅的模。例9-7

計(jì)算電基本振子的方向性系數(shù)。

解電基本振子的方向性函數(shù)F(θ，f)=sinθ，故其方向性系數(shù)為9.4.2輻射效率

天線的輻射效率(RadiationEfficiency)表征天線能否有效地轉(zhuǎn)換能量，定義為天線的輻射功率與輸入到天線上的功率(輸入功率)之比式中的PL表示天線的總損耗功率。通常，發(fā)射天線的損耗功率包括：天線導(dǎo)體中的熱損耗、介質(zhì)材料的損耗、天線附近物體的感應(yīng)損耗等。如果把天線向外輻射的功率看做是被某個(gè)電阻Rr所吸收，該電阻稱為輻射電阻。與此相似，也把總損耗功率看做被某個(gè)損耗電阻RL所吸收，則有

故天線的輻射效率可表示為(9-46)可見，要提高天線效率，應(yīng)盡可能地提高輻射電阻和降低損耗電阻。對(duì)于頻率很低的長(zhǎng)、中波天線，由于波長(zhǎng)很長(zhǎng)，而天線的電長(zhǎng)度l/λ較小，故其輻射功率較低，天線輻射效率也很低。但是，大多數(shù)超高頻微波天線的損耗都很小，輻射效率可接近1。9.4.3增益系數(shù)

方向性系數(shù)表征天線輻射能量的集中程度，輻射效率則表征在轉(zhuǎn)換能量上的效能。將兩者結(jié)合起來(lái)，就可以得到表征天線總效能的一個(gè)指標(biāo)——增益系數(shù)，其定義為天線在其最大輻射方向上遠(yuǎn)區(qū)某點(diǎn)的功率密度與輸入功率相同的無(wú)方向性天線在同一點(diǎn)產(chǎn)生的功率密度之比，表示為(9-47a)或(9-47b)增益系數(shù)也可定義為：在天線最大輻射方向上某點(diǎn)產(chǎn)生相等電場(chǎng)強(qiáng)度的條件下，理想的無(wú)方向性天線所需要的輸入功率Pin0與某天線所需要的輸入功率Pin之比，即(9-48)比較式(9-48)和式(9-40)可見，增益系數(shù)和方向性系數(shù)的計(jì)算式是相似的，差別在于增益系數(shù)是用輸入功率計(jì)算，而方向性系數(shù)是用輻射功率計(jì)算的?？紤]到輻射功率的定義關(guān)系Pr=ηrPin，以及理想無(wú)方向性天線的效率ηr0一般被認(rèn)為是1，故(9-49)9.4.4輸入阻抗

天線與饋線相連接，欲使天線能從饋線獲得最大功率，就必須使天線和饋線良好匹配，即要使天線的輸入阻抗與饋線的特性阻抗相等。所謂天線的輸入阻抗，是指天線輸入端的高頻電壓與輸入端的高頻電流之比，可表示為(9-50)9.4.5極化形式

天線的極化特性是以天線輻射的電磁波在最大輻射方向上電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的空間取向來(lái)定義的，分為線極化、圓極化和橢圓極化。線極化又分為水平極化和垂直極化；圓極化又分為左旋圓極化和右旋圓極化。

9.5互易定理

假設(shè)空間區(qū)域V1中的電流源J1產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為E1和H1，空間區(qū)域V2中的電流源J2產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為E2和H2，兩電流源振蕩在同一頻率上，且空間區(qū)域V1和V2及它們之外的空間區(qū)域V3中的媒質(zhì)是線性的，根據(jù)矢量恒等式

有將上式帶入麥克斯韋方程得(9-52)同理，將上式的下標(biāo)1、2對(duì)調(diào)，可寫出(9-53)用式(9-52)減去式(9-53)，可得(9-54)將式(9-54)兩邊對(duì)體積V積分，并根據(jù)散度定理把左邊的體積分寫成面積分，可得(9-55)式中S為包圍空間區(qū)域V的封閉面，n為S的外法向單位矢量。上式是洛侖茲互易定理的積分形式，也就是互易定理的一般表達(dá)式。由此式可導(dǎo)出若干特殊情況下的簡(jiǎn)化形式。9.5.1洛侖茲互易定理

設(shè)兩個(gè)電流源J1和J2均在空間區(qū)域V外，則空間區(qū)域V內(nèi)為無(wú)源空間，因而式(9-55)右端的體積分等于零，故其左邊的封閉面積也等于零，即(9-56)上式是洛侖茲互易定理的簡(jiǎn)化形式。圖9-7卡森互易定理用圖9.5.2卡森互易定理

當(dāng)V表示整個(gè)空間區(qū)域時(shí)，S為無(wú)限大的封閉面S∞，且設(shè)兩個(gè)電流源J1和J2均在空間區(qū)域V內(nèi)，如圖9-7所示。由于空間區(qū)域V1中的電流源J1產(chǎn)生電磁場(chǎng)E1和H1，以及空間區(qū)域V2中的電流源J2產(chǎn)生電磁場(chǎng)E2和H2，且在包圍V的無(wú)限大的封閉面S∞上電磁場(chǎng)趨于零，所以式(9-55)左邊的面積分等于零。從而得

即當(dāng)兩個(gè)電流源均在V時(shí)，仍然有下式成立：(9-57)注意到空間區(qū)域V3為無(wú)源區(qū)，因此綜上可得，(9-58)如圖9-8所示，在圖(a)情況下，設(shè)天線1的輸入端以電壓源U1激勵(lì)，其上電流為I11，天線2輸入端短路，其上電流為I21，電流I11和I21(J1)在空間產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為E1和H1。在圖(b)情況下，將激勵(lì)源與短路對(duì)換，即設(shè)天線2的輸入端以電壓源U2激勵(lì)，其上電流為I22，天線1輸入端短路，其上電流為I12，電流I22和I12(J2)在空間產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為E2和H2。由卡森互易定理知，兩種情況下的源和場(chǎng)的關(guān)系為

當(dāng)天線為細(xì)導(dǎo)線時(shí)，對(duì)于線電流,JdV=Idl,從而上式變?yōu)榧磮D9-8天線互易性的說(shuō)明圖

9.6線形天線

9.6.1對(duì)稱振子天線

1.對(duì)稱振子的電流分布和遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)

對(duì)稱振子是最基本的線天線形式，如圖9-9所示。它是一對(duì)等長(zhǎng)度的直導(dǎo)線，其內(nèi)端與饋線相接。一臂長(zhǎng)度為l，全長(zhǎng)為2l，圓柱導(dǎo)體的半徑為a。這種結(jié)構(gòu)可以看成是一段終端開路的雙線傳輸線的兩根導(dǎo)線張開180°的張角所形成。

對(duì)稱振子是應(yīng)用非常廣泛的一種基本天線。它既可單獨(dú)使用，也可作為陣列天線的組成單元，還可以作為某些微波天線的饋源。這種看起來(lái)非常簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，即使認(rèn)為導(dǎo)線是理想導(dǎo)體，要確定導(dǎo)線上的正確電流分布，也是極其困難的電磁場(chǎng)邊值問題。所以，作為工程近似，通常假定電流沿導(dǎo)線按正弦分布。當(dāng)導(dǎo)線直徑約為0.01或更小時(shí)，這種假設(shè)是對(duì)電流實(shí)際分布的很好近似。圖9-9臂長(zhǎng)為l的對(duì)稱振子如圖9-9所示，設(shè)對(duì)稱振子沿z軸放置，振子中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則振子上的電流分布表示式為

I(z)=Imsin［k(l－|z|)］(9-60)

式中Im為電流駐波的波腹電流，即電流最大值；k為對(duì)稱振子上電流傳輸?shù)南嘁瞥?shù)，在此它就等于自由空間的相移常數(shù)，即k=2π/λ。

有了電流分布，便可以利用疊加原理來(lái)求出對(duì)稱振子的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)。由于對(duì)稱振子天線的長(zhǎng)度可以與波長(zhǎng)比擬，因而沿天線分布的電流不再是振幅和相位處處相同的均勻電流。此時(shí)盡管不能把整個(gè)天線看做電基本振子，但可以把對(duì)稱振子分解成許多小電流元，每個(gè)長(zhǎng)度為dz的小電流元Idz就是一個(gè)電基本振子，其遠(yuǎn)區(qū)輻射電場(chǎng)強(qiáng)度可由式(9-20a)給出

式中r為小電流元Idz與場(chǎng)點(diǎn)間的距離。將這些互不相同的小電流元Idz在空間同一點(diǎn)產(chǎn)生的輻射場(chǎng)疊加，就獲得了對(duì)稱振子的輻射場(chǎng)。為了便于計(jì)算，我們?cè)谡褡觾杀凵宵c(diǎn)|z|處各取小電流元Idz，如圖9-9。考慮到遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)，因r>>l，故可以認(rèn)為各小電流元Idz到場(chǎng)點(diǎn)的射線平行。在自由空間中，由式(9-20a)知，振子上、下臂上的小電流元的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)分別是(9-61a)(9-61b)在平行射線近似下，dEθ1、dEθ2的方向相同；且分母中的r1、r2用r代替，即可忽略對(duì)稱振子上各小電流元Idz到場(chǎng)點(diǎn)距離不同對(duì)遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)振幅的影響。但是，決定遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)的相位因子中的r1、r2卻必須用更精確的近似值。因?yàn)閳?chǎng)點(diǎn)雖然很遠(yuǎn)，但對(duì)稱振子天線上的各小電流元Idz到場(chǎng)點(diǎn)的距離差可達(dá)若干波長(zhǎng)，因此與波長(zhǎng)相比是不能忽略的，它將引起顯著的相位差。

由圖9-9可見

r1=r－|z|cosθ，r2=r+|z|cosθ

(9-62)

于是兩個(gè)小電流元的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)之和為

(9-63)將dEθ從0到l對(duì)z積分，便得對(duì)稱振子的輻射場(chǎng)(9-64)其遠(yuǎn)區(qū)磁場(chǎng)與電場(chǎng)的關(guān)系仍為可見，對(duì)稱振子的輻射場(chǎng)是一個(gè)球面波，其等相位面是以振子中心為球心、半徑為常數(shù)的球面。電廠只有Eθ分量，磁場(chǎng)只有Hf分量，是橫電磁波。在不同的θ方向上有不同的輻射場(chǎng)強(qiáng)值，即其具有方向性。

對(duì)稱振子最常見的長(zhǎng)度是l=λ/4，即振子全長(zhǎng)2l=λ/2，稱為半波振子。其遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)為(9-65)

2.對(duì)稱振子的電參數(shù)

1)對(duì)稱振子的方向圖

通常取式(9-64)中與方向有關(guān)的因子作為對(duì)稱振子的方向性函數(shù)，稱為未歸一化的方向性函數(shù)：

(9-66a)由其可得出按式(9-38)定義的歸一化方向性函數(shù)：(9-66b)式中fmax是f(θ，f)的最大值。對(duì)于半波振子，有(9-66c)由式(9-66a)可見，方向性函數(shù)僅與θ有關(guān)，而與無(wú)關(guān)。即H的方向圖是圓，與對(duì)稱振子的電長(zhǎng)度無(wú)關(guān)；E面方向圖總是關(guān)于θ=90°的平面對(duì)稱，且方向圖隨電長(zhǎng)度2l/λ變化。圖9-10畫出了四種不同電長(zhǎng)度的對(duì)稱振子的E面方向圖。圖9-10對(duì)稱振子的E面方向圖

2)對(duì)稱振子的輻射功率和輻射電阻

對(duì)稱振子的輻射功率，通常用平均坡印廷矢量在一個(gè)中心位于對(duì)稱振子中心、半徑足夠大(遠(yuǎn)區(qū))，并且包圍對(duì)稱振子天線的球面上的積分來(lái)表示

(9-67)半波振子的輻射功率為由于對(duì)稱振子天線的輻射功率與輻射電阻的關(guān)系為

因此輻射電阻為(9-68)此式積分可以用正弦積分和余弦積分表示，但更直接的計(jì)算是作數(shù)值積分。半波振子的輻射電阻對(duì)于半波振子，由式(9-56c)和式(9-43)得其方向性系數(shù)9.6.2引向天線

引向天線又稱波道天線或八木天線，它由一個(gè)有源振子和若干個(gè)無(wú)源振子組成，其結(jié)構(gòu)如圖9-11所示。有源振子一側(cè)的若干短無(wú)源振子形成引向器，另一側(cè)的一個(gè)長(zhǎng)無(wú)源振子形成反射器。作為無(wú)源振子的引向器和反射器的中心是不接電源的短路寄生振子。所有振子在一個(gè)平面內(nèi)相互平行，其中點(diǎn)固定于相垂直的金屬桿上。它具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、饋電方便、增益高，易于制作等優(yōu)點(diǎn)。常用于米波、分米波段的雷達(dá)、通信及其他無(wú)線電系統(tǒng)中。它的主要缺點(diǎn)是頻帶較窄。圖9-11引向天線引向天線的定向工作原理可由圖9-12所示的二元振子引向天線來(lái)說(shuō)明。假定振子1與振子2振幅相等，相距λ/4。若振子1為有源振子，由于輻射場(chǎng)的耦合作用，則振子2所感應(yīng)的電流滯后于振子1的π/2。也就是說(shuō)，振子1與振子2振幅之間在空間相位和時(shí)間相位上均相差π/2。當(dāng)振子1的輻射場(chǎng)經(jīng)過(guò)λ/4的空間程差到達(dá)場(chǎng)點(diǎn)P時(shí)，空間相位恰好比1滯后π/2，此時(shí)振子2在時(shí)間相位上比振子1滯后π/2，同時(shí)在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生輻射場(chǎng)，因此場(chǎng)點(diǎn)P的合成場(chǎng)是同相疊加而增強(qiáng)的；當(dāng)振子1的輻射場(chǎng)到達(dá)場(chǎng)點(diǎn)P′時(shí)，振子2的輻射場(chǎng)在空間上和時(shí)間上都要比振子1滯后π/2才能到達(dá)場(chǎng)點(diǎn)P′，總的滯后相位為π，因此場(chǎng)點(diǎn)P′的合成場(chǎng)是反相疊加而抵消。這樣，引向天線輻射場(chǎng)的方向性圖便指向場(chǎng)點(diǎn)P。所以若振子1為主振子，則振子2為引向器；反之，若振子2為主振子，則振子1為反射器。推而廣之，對(duì)于多元振子引向天線，只要對(duì)其中一個(gè)振子饋電，其余振子則依靠與有源振子之間的近場(chǎng)耦合所感應(yīng)的電流來(lái)激勵(lì)，而感應(yīng)電流的大小取決于各振子的長(zhǎng)度及其間距。因此，通過(guò)改變無(wú)源振子的尺寸即與有源振子的間距來(lái)調(diào)整彼此間的電流分配比，就可以達(dá)到控制引向天線方向圖的指向，從而達(dá)到定向輻射的目的。圖9-12引向天線的定向工作原理為了提高天線的輸入阻抗，引向天線的有源振子常采用折合振子，如圖9-13(b)所示。折合振子可看做是由饋電的λ/2短路雙線傳輸線變形而形成的，如圖9-13(a)中的傳輸線上的電流為反相分布，而在圖9-13(b)中的折合振子天線上的電流則為同相分布。這相當(dāng)于電流為2I0的單振子，在輸入功率Pin=(1/2)I20Rin與輻射功率Pr=(1/2)(2I0)2Rr等值的條件下,有Pin=4P。已知單振子的輸入電阻為73Ω，所以折合振子的輸入阻抗變?yōu)?00Ω，這足夠與具有特性阻抗為50~100Ω的同軸饋線進(jìn)行匹配。同時(shí)，折合振子相當(dāng)于加粗的振子，所以工作帶寬也比半波振子的寬。最后還要指出，折合振子的中心點(diǎn)為電壓波節(jié)點(diǎn)，因而可以接地，便于固定和避雷。這也是折合振子的三個(gè)優(yōu)點(diǎn)。圖9-13短路雙線傳輸線與折合振子的比較

9.7天線陣

9.7.1方向性相乘原理

線形天線是一種離散性天線陣，面形天線是一種連續(xù)性天線陣。我們以線形天線中最簡(jiǎn)單的二元陣為例來(lái)說(shuō)明天線陣的方向性相乘原理或方向性圖乘法規(guī)則。圖9-14表示兩個(gè)形式和取向一致、間距為d的天線組成的二元陣，它們至場(chǎng)點(diǎn)P的距離分別為r1和r2。在遠(yuǎn)區(qū)有(r1，r2>>d)，則r1和r2近似平行，元天線1和2的電流I1和I2產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E1和E2近似平行，場(chǎng)點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，二元天線陣的合成場(chǎng)可寫成如下標(biāo)量和:

E=E1+E2

(9-69)圖9-14二元天線陣(E面)式中，E1和E2隨r的函數(shù)變化因子為。

1.空間相差

由于在遠(yuǎn)區(qū)r1近似平行于r2，即知振幅因子中近似取r1≈r2，相位因子中取較精確的r2=r1－dsinθ，則由路程差引起的空間相位差由如下指數(shù)因子決定，即

e－jk(r2－r1)=ejkdsinθ

這表示r2超前r1的空間相差為kdsinθ。

2.時(shí)間相差

相同形式元天線的電流分布也相同，它們的絕對(duì)值之比為I2/I1=m，其時(shí)間相差可由如下指數(shù)因子決定，即

I2/I1=me－jα

這表示I2滯后I1的時(shí)間相差為α。9.7.2常見二元陣天線

為簡(jiǎn)化分析，取m=1，式(9-72)變?yōu)?9-74)將上式代入式(9-71)，得(9-75)α取不同值，可得到不同的二元天線陣。

1.等幅同相二元陣天線

當(dāng)α=0時(shí)，由式(9-74)得

當(dāng)d/λ取不同值時(shí)，可得不同的陣因子方向性圖。圖9-15(a)表示d/λ=0.5時(shí)的方向性圖。

2.等幅反相二元陣天線當(dāng)α=π時(shí)，由式(9-74)得圖9-15(b)表示d/λ=0.5時(shí)的方向性圖。

3.等幅正交相二元陣天線

當(dāng)α=π/2時(shí)，由式(9-74)得

圖9-15(c)表示d/λ=0.25時(shí)的方向性圖。需要指出的是，圖9-14中所示二元天線陣至輻射場(chǎng)場(chǎng)點(diǎn)射線與z軸的夾角為極角θ，其陣因子F12(ψ)=F12(θ)可以描述E面上的方向性圖。圖9-15表示二元天線陣至輻射場(chǎng)場(chǎng)點(diǎn)射線與x軸的夾角為方位角j，其陣因子F12(ψ)=F12(j)可以描述H面上的方向性圖。比較由路徑差引起的空間相位差可知，圖9-14中的dsinθ已轉(zhuǎn)換為圖9-16中的dcosj。因此，只需將F12中的sinθ代換為cosj，即可將E面方向性圖代換為H面方向性圖。圖9-15二元陣天線的陣因子(a,d/λ取不同值)圖9-16二元天線陣(H面)9.7.3直線陣天線

1.側(cè)射式天線陣

天線陣具有最大輻射的方向稱為主射方向。主射方向是輻射場(chǎng)方向圖的主瓣方向。天線陣的主射方向垂直于天線陣軸線或指向其軸線兩側(cè)，這樣的天線陣稱為側(cè)射式天線陣。

由式(9-74)知，在主射方向要求天線陣因子為最大值F(0)|max=2，得知|E|=2|E1|，亦即獲得最大輻射的條件為ψ=0。此時(shí)要求式(9-70)滿足θ=0(取sinθ)和α=0(在E面中)或j=

±π/2(取cosj)和α=0(在H面中)。這表明在垂直于陣軸的方向上，各陣元天線到場(chǎng)點(diǎn)沒有波程差。所以各元天線電流不需要有時(shí)間相位差。

2.端射式天線陣

天線陣的主射方向沿天線陣軸線。這樣的天線陣稱為端射式天線陣。為了滿足最大輻射條件j=0，要求式(9-70)滿足θ=π/2(取sinθ)和α=kd(在E面中)或j=0，π(取cosj)和α=±kd(在H面中)。這表明場(chǎng)強(qiáng)E的空間相位差kd恰好抵消了電流I的時(shí)間相位差。因此，各元天線產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)相位相同，同相疊加的結(jié)果使合成場(chǎng)強(qiáng)達(dá)到最大值。而且可以判斷，若各陣元天線電流沿天線陣軸線方向使場(chǎng)強(qiáng)的空間相位依次超前(或滯后)kd，則要求相應(yīng)電流的時(shí)間相位一次滯后(或超前)同樣值，才能確保沿軸線方向各天線元的場(chǎng)強(qiáng)相位相同。這表明天線陣的主射方向是從電流相位超前(或滯后)的陣元天線指向電流相位滯后(或超前)的陣元天線，正好是沿著其軸線的端射式天線陣。在式(9-70)中，若只考慮H

面，則將sinθ代換為cosj得

ψ=kdcosj－α

陣因子達(dá)到最大值的條件為ψ=0，由上式可知(9-76a)可見陣因子達(dá)到最大值的角度jm為(9-76b)式(9-76)表明陣因子的主射方向取決于陣元天線之間的電流相位差及其間距。由于天線的方向性主要取決于陣因子，所以通過(guò)連續(xù)改變相鄰陣元天線之間的電流相位差，即可達(dá)到連續(xù)改變天線陣主射方向的目的。

9.8面天線基本理論

1.感應(yīng)電流法

這種方法是先求出天線的金屬導(dǎo)體面在初級(jí)輻射器照射下產(chǎn)生的感應(yīng)面電流分布，然后計(jì)算此電流在外部空間產(chǎn)生的輻射場(chǎng)。

2.口面場(chǎng)法

這種方法包括兩部分，先作一個(gè)包圍天線的封閉面，求出此封閉面上的場(chǎng)(稱為界內(nèi)場(chǎng)問題)；然后根據(jù)惠更斯原理，利用該封閉面上的場(chǎng)求出空間的輻射場(chǎng)(稱為解外場(chǎng)的問題)。由