江蘇省常州市五校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

1PAGE第1頁2024—2025學(xué)年第一學(xué)期五校高一年級(jí)聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題2024.12注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，使得”的否定是（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.或3.已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.8 B.16 C.32 D.644.設(shè)，則“且”是“”的（）A必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.在周長(zhǎng)為定值的扇形中，面積最大時(shí)扇形的半徑為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)滿足對(duì)，都有，且在上單調(diào)遞增，，，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)（且，若有最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．已知為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.10.已知，則下列說法正確是（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列判斷正確的是（

）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12求值：__________．13.已知，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．14.定義運(yùn)算：．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍．16.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且．（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明．17.已知，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)，若對(duì)任意的在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍．18.在國(guó)家大力推廣新能源汽車的背景下，各大車企紛紛加大對(duì)新能源汽車的研發(fā)投入，某車企研發(fā)部有100名研發(fā)人員，原年人均投入40萬元，現(xiàn)準(zhǔn)備將這100名研發(fā)人員分成兩部分：燃油車研發(fā)部和新能源車研發(fā)部，其中燃油車研發(fā)部有x名研究人員，調(diào)整后新能源車研發(fā)部的年人均投入比原來增加，而燃油車研發(fā)部的年人均投入調(diào)整為萬元.（1）若要使新能源車研發(fā)部的年總投入不低于調(diào)整前原100名研發(fā)人員的年總投入，求調(diào)整后新能源車研發(fā)人員最少為多少人？（2）若要使新能源車研發(fā)部的年總投入始終不低于燃油車研發(fā)部的年總投入，求正整數(shù)m的最大值.19.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為取整函數(shù)，例如，，．取整函數(shù)是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯最先使用的，所以也稱高斯函數(shù)．該函數(shù)具有以下性質(zhì)：①的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；②任意?shí)數(shù)都能表示成整數(shù)部分和純小數(shù)部分之和，即，其中為的整數(shù)部分，為的小數(shù)部分．（1）若，求關(guān)于的方程的解；（2）求關(guān)于不等式的解集；（3）若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．2024—2025學(xué)年第一學(xué)期五校高一年級(jí)聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題2024.12一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.【答案】ACD10.【答案】ACD11.【答案】D三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.【答案】13.【答案】14.【答案】四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.【解析】【分析】（1）先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合，再根據(jù)集合交并補(bǔ)求解；（2）由集合間基本關(guān)系可得：，對(duì)集合進(jìn)行討論，即可得到答案；【小問1詳解】由題意知：，解得：，即或，當(dāng)時(shí)，，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且，解得：，綜上所述：.16.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用奇偶性的定義求出解析式即可；（2）利用單調(diào)性定義證明即可.【小問1詳解】由是定義在上的奇函數(shù)，且，可得，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，，，故，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.17.【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析求解；（2）分析可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合單調(diào)性可得，換元令，根據(jù)恒成立問題結(jié)合二次函數(shù)最值運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，解得，所以不等式的解集為.【小問2詳解】若，則，可知的定義域?yàn)?，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知在上單調(diào)遞減，則，由題意可得：，則對(duì)任意的恒成立，令，則，因?yàn)榈膱D像開口向上，對(duì)稱軸為，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得，解得，所以的取值范圍為.18.【解析】【分析】（1）列出新能源車研發(fā)部的年總投表達(dá)式，建立不等式，求得的最大值，即可得到調(diào)整后新能源車研發(fā)人員最少人數(shù)；（2）列出燃油車研發(fā)部的年總投入，令恒大于0，求出m的取值范圍，從而找到最大值.【小問1詳解】令新能源車研發(fā)部的年總投入，則，令，則，∵，∴，故調(diào)整后新能源車研發(fā)人員最少為34人【小問2詳解】令燃油車研發(fā)部的年總投入則，即恒成立.令，即在上恒成立，，是開口向上的二次函數(shù)，∵①對(duì)稱軸時(shí)，即，時(shí)在上恒成立；②當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，即，，解得綜上所述：∴的最大值為：6.19.【解析】【分析】（1）分，，，三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合取整函數(shù)的定義求方程的解；（2）分，，，，四種情況進(jìn)行討論，結(jié)合取整函數(shù)的定義求不等式的解集；（3）分，兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合分離參數(shù)求最值和函數(shù)的單調(diào)性求最值確定的取值范圍.【小問1詳解】①，此時(shí)，，則方程可化為，解得，符合題意．②，此時(shí)，，則方程可化為，解得，符合題意．③，此時(shí)，，則方程可化為，解得，符合題意．綜上所述，若，關(guān)于的方程的解為或或．【小問2詳解】①，此時(shí)，，，此時(shí)不等式恒成立．②，此時(shí)，，則不等式可化為，解得，又，．③，此時(shí)，，則不等式可化為，解得，又，．④，此時(shí)，，，此時(shí)不等式無解．綜上所述，關(guān)于的不等式的解集為．【小問3詳解】①，此時(shí)，則不等式可化為，整理得：在上恒成立，設(shè)，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，．②，此時(shí)，則不等式可化為，整理得：在上恒成立，設(shè)，，令，，則，，且，則，又，則，，，，故在上單調(diào)遞減．即在