2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市汨羅一中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市汨羅一中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|1lnx<1}，B={x|?4<x<4}，則A∩B=A.(0,1) B.(e,4) C.(0,1)∪(e,4) D.(0,4)2.若a，b∈R，且a>|b|，則(

)A.a<?b B.a>b C.a2<b3.復(fù)數(shù)z滿足：z(1?2i)=3?i(其中i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知a>0，b>0，則“a+b>2”是“a2+b2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知離心率為2的雙曲線x2?y2m2=1A.21 B.19 C.13 D.116.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)在區(qū)間(0,π)恰有三個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則A.[53,136) B.(7.函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x+4)=f(x)，當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)=x，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=(

)A.0 B.1 C.112 D.1138.已知函數(shù)f(x)=ax+ex?(1+lna)x(a>0,a≠1)，對(duì)任意(x1,xA.[12,e] B.[e,2] C.[e,+∞)二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列等式恒成立的是(

)A.cos(π+x)=?cosx B.sin(x+π2)=?cosx

10.已知函數(shù)f(x)=ax和g(x)=logax(a>0且A.1 B.2 C.3 D.411.定義：μ=cos2(θ1?θ0)+cos2(θ2A.14 B.12 C.3412.設(shè)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為g(x)，若f(3x+1)是奇函數(shù)，且對(duì)于任意的x∈R，f(4?x)=f(x)，則對(duì)于任意的k∈Z，下列說法正確的是(

)A.4k都是g(x)的周期 B.曲線y=g(x)關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱

C.曲線y=g(x)關(guān)于直線x=2k+1對(duì)稱 D.g(x+4k)都是偶函數(shù)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.函數(shù)f(x)=x2+1x14.已知函數(shù)f(x)=3x+4,x<13x?2,x≥1，若m<n，且f(m)=f(n)，則15.若函數(shù)y=f(x)滿足在定義域內(nèi)的某個(gè)集合A上，對(duì)任意x∈A，都有ex[f(x)?ex]是一個(gè)常數(shù)a，則稱f(x)在A上具有M性質(zhì).設(shè)y=g(x)是在區(qū)間[?2,2]上具有M性質(zhì)的函數(shù)，且對(duì)于任意x1，x216.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0恒成立，則a2四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3=S5，a2a4=S4．

(Ⅰ)18.(本小題12分)

已知向量a=(3sinx,cosx)，b=(cosx,?cosx)，函數(shù)f(x)=a?b+32．

(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠ACB的角平分線交AB于點(diǎn)D19.(本小題12分)

如圖，在多面體ABCDEF中，正方形ABCD與梯形ADEF所在平面互相垂直，已知AF//DE，AD⊥AF，AF=AD=12DE=1．

(1)求證：EF⊥平面CDF；

(2)求平面CDF與平面BCE20.(本小題12分)

一個(gè)半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米.已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每6秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)算時(shí)間．

(1)以過點(diǎn)O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度?(單位：米)表示為時(shí)間t(單位：秒)的函數(shù)；

(2)在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的任意一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離水面的高度不低于221.(本小題12分)

對(duì)于函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y′=f′(x)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，t，使得f(x0+t)=(t+1)f′(x0)成立，則稱y=f(x)是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y=f(x)的“t躍點(diǎn)”．

(1)若m為實(shí)數(shù)，函數(shù)y=sinx?m，x∈R是“π2躍點(diǎn)”函數(shù)，求m的取值范圍；

(2)若a為非零實(shí)數(shù)，函數(shù)y=x3?2x2+ax?12，x∈R是“2躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“2躍點(diǎn)”，求a的值；

22.(本小題12分)

已知f(x)=ex?x?1，g(x)=ax2(a∈R)．

(Ⅰ)求f(x)的最小值．

(Ⅱ)設(shè)F(x)=f(x)?g(x)+2，若當(dāng)a∈(t,+∞)時(shí)，F(xiàn)(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求t的最小值．

(Ⅲ)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，[f(x)+x]參考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.B

6.B

7.B

8.C

9.AC

10.ABC

11.BC

12.BC

13.y=x+1

14.[?415.[?e16.1217.解：(Ⅰ)Sn是公差d不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3=S5，a2a4=S4．

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a3=S5=5a3，故a3=0，

根據(jù)a2a4=S4可得(a3?d)(a3+d)=(a3?2d)+(a3?d)+a3+(a3+d)，

整理得18.解：(1)向量a=(3sinx,cosx)，b=(cosx,?cosx)，

所以f(x)=a?b+32=3sinxcosx?cos2x+32=32sin2x?1+cos2x2+32=(32sin2x?12cos2x)+1=sin(2x?π6)+1，

所以函數(shù)y=f(x)的最小正周期T=2π2=π．

(2)由(1)可知f(x)=sin(2x?π6)+1，

當(dāng)2x?π6=π219.(1)證明：因?yàn)锳F/?/DE，AD⊥AF，

所以DE⊥AD，

又平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，DE?平面ADEF，

所以DE⊥平面ABCD，

因?yàn)锳D，CD?平面ABCD，

所以DE⊥AD，DE⊥CD，

由正方形ABCD知，AD⊥CD，

故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，C(0,1,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,1)，B(1,1,0)，

所以EF=(1,0,?1)，DC=(0,1,0)，DF=(1,0,1)，

設(shè)平面CDF的法向量為n=(x,y,z)，則n?DC=y=0n?DF=x+z=0，

取x=1，則y=0，z=?1，所以n=(1,0,?1)，

所以EF=n，

所以EF⊥平面CDF．

(2)解：由(1)得CB=(1,0,0)，CE=(0,?1,2)，

設(shè)平面BCE的法向量為m=(a,b,c)，則m?CB=a=0m?CE=?b+2c=0

取c=1，則a=0，b=2，所以m=(0,2,1)，

由(1)知平面CDF的法向量為n20.解：(1)設(shè)?=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π2)，

根據(jù)函數(shù)?=Asin(ωt+φ)+k的物理意義可知：A=OP0=2，k=1，

由題意可知當(dāng)t=0時(shí)，?=0，

則2sinφ+1=0，所以sinφ=?12，

則φ=?π6，

又因?yàn)楹瘮?shù)?=2sin(ωt?π6)+1的最小正周期為T=6，

所以ω=2πT=π3，

所以?=2sin(π3t?π6)+1(t≥0)；

(2)根據(jù)題意可知，?=2sin(π3t?π6)+1≥2，

即sin(π21.解：(1)函數(shù)y=sinx?m的導(dǎo)函數(shù)y′=cosx，

若函數(shù)y=sinx?m是“π2躍點(diǎn)“函數(shù)，則方程sin(x0+π2)?m=(π2+1)cosx0有解，

即?m=π2cosx0有解，

又cosx0∈[?1,1]，

所以?m∈[?π2,π2]，

所以m∈[?π2,π2].

(2)函數(shù)y=x3?2x2+ax?12的導(dǎo)函數(shù)y′=3x2?4x+a．

若該函數(shù)是“2躍點(diǎn)“函數(shù)，

則方程(x+2)3?2(x+2)2+a(x+2)?12=3(3x2?4x+a)①有解，

即x3?5x2+(a+16)x?a?12=0有解，

所以(x?1)(x2?4x+a+12)=0有解，

當(dāng)x=1時(shí)，方程(x?1)(x2?4x+a+12)=0成立，

所以x=1是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)x≠1時(shí)，x2?4x+a+12=0②，

當(dāng)a=?8時(shí)，方程②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2，

此時(shí)方程①的根為1，2，2，

所以函數(shù)有兩個(gè)不同的“2躍點(diǎn)“，

當(dāng)a>?8時(shí)，方程②無解，

此時(shí)方程①的根為1，則函數(shù)有一個(gè)“2躍點(diǎn)”，

當(dāng)a<?8時(shí)，方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

若函數(shù)有兩個(gè)不同的“2躍點(diǎn)”，則其中一個(gè)實(shí)數(shù)根為1，

則1?4+a+12=0，解得a=?9，

綜上所述，a的值為?8或?9．

(3)函數(shù)y=ex+bx的導(dǎo)函數(shù)為y′=ex+b，

若該函數(shù)是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“1躍點(diǎn)”，22.解：(Ⅰ)令f′(x)=ex?1=0得，x=0，

易知，當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴f(x)的最小值為f(0)=0；

(Ⅱ)依題意，F(xiàn)(x)=ex?x?1?ax2