江蘇省“高中教育高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟”2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省“高中教育高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟”2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M=x∣x2?2x?3>0,N={?3,?2,1,2,3}A.{?3,?2} B.{2,3} C.{1,2,3} D.{?3,?2,3}2.若2?zz=i，則z=(

)A.1?2i B.1+2i C.1?i D.1+i3.已知向量a,b是單位向量，若(a+2bA.0 B.1 C.3 D.4.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a3=2，a1A.103 B.83 C.?85.設(shè)正三棱錐的一個(gè)側(cè)面三角形面積是底面面積的兩倍，則其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為(

)A.32 B.12 C.16.已知A?2,0、B2,0是x軸上兩定點(diǎn)，C0,m、D0,1m是y軸上兩動(dòng)點(diǎn)，則直線AC與BDA.x24?y2=1y≠0 B.7.若函數(shù)f(x)=sinωx?π6在0,π2內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)且和為πA.23 B.1 C.83 8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若Ax1,ex1A.x1x2 B.x1+x二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，M是線段A.三棱錐M?A1CC1 B.三棱錐M?BC1D10.有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，5，7，8，9，a，下列說法正確的是(

)A.若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，則a=5 B.若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為a，則a=5

C.當(dāng)a≤9時(shí)，該組數(shù)據(jù)的極差為8 D.當(dāng)a=5時(shí)，該組數(shù)據(jù)的方差最小11.已知三次函數(shù)f(x)=ax(x?b)2，則(

)A.函數(shù)f(x)一定有兩個(gè)極值點(diǎn)B.當(dāng)a<0<b時(shí)，f(a)>f(a+b)

C.當(dāng)ab>0時(shí)，f(x)的極小值為0D.?a,b∈R,f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇a,b]三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(1+x)x2?1x13.若α和β都為銳角，cos(α+β)=?22,sinα14.從集合A=xx=12n,n∈N?中選取s個(gè)數(shù)，從集合B=xx=34n四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)如圖，在直三棱柱ABC?A1B(1)證明：A1C⊥平面(2)求直線AC1與平面A16.(本小題15分)已知?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c，M是邊AB上一點(diǎn)，acos(1)證明：CM=b；(2)若CM=BM=2AM，且a=210，求?ABC17.(本小題15分)甲、乙兩人參加學(xué)校組織的航空航天知識(shí)競賽，規(guī)則如下：每輪比賽從題庫中隨機(jī)抽取兩個(gè)問題，先由甲回答第一題，然后乙回答第二題．答題者若答對則得1分，答錯(cuò)則對方得1分．當(dāng)某輪比賽結(jié)束后出現(xiàn)一人總分比另一人多2分，則比賽結(jié)束，得分多者獲勝．已知無論之前答題情況如何，甲每題回答正確的概率為23，乙每題回答正確的概率為1(1)記X為第一輪答題后甲的總分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲在這次競賽中獲勝的概率．18.(本小題17分)已知雙曲線C:x2a2?y2b2(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，直線AD,AE與直線x=8分別交于點(diǎn)G，H．①若?AGH的面積是?ADE的面積的6倍，求直線DE的方程；②證明：直線DE被以GH為直徑的圓截得的弦長小于20．19.(本小題17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，沿著平行于x軸的方向，按照一定的比例對圖形的每個(gè)點(diǎn)到x軸的有向距離進(jìn)行放縮得到的平面圖形，即將點(diǎn)x,y映射到點(diǎn)x+ky,y的操作(k為固定的參數(shù))，這種變換在數(shù)學(xué)上稱為水平錯(cuò)切．設(shè)fx是定義在R上的函數(shù)，記gx=fx+mfxm>0，則稱(1)設(shè)函數(shù)fx=x+e?x的“①求fx②若fx與gx的值域相同，求正數(shù)(2)已知fx是R上的增函數(shù)，gx是fx的“m?錯(cuò)切函數(shù)”，證明：x0是fx的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x參考答案1.A

2.C

3.C

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.?21

13.?14.8

15.解：(1)由題知AA1⊥面ABC，又AB?面ABC又AB⊥AC，AA1∩AC=A，AA1,AC?面又A1C?面ACC又AC=AA1=2，所以四邊形AC又AB∩AC1=A，AB,AC1?面(2)如圖，

建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B=1,AC=AA1則A(0,0,2)，A1得到A1B=(1,0,2)，A直線AC1與平面A1設(shè)平面A1BC則n?A1B=x+2z=0所以平面A1BC則sinθ=直線AC1與平面A1

16.解：(1)由acosB+bcos整理得到sinBcos∠AMC=cosA又∠AMC,A∈0,π，所以∠AMC=A，得到CM=AC，即CM=b(2)因?yàn)镃M=BM=2AM，所以CM=BM=2AM=b，在△BMC中，由余弦定理得cosB=在?ABC中，由余弦定理得到cosB=94整理得到60=54b2+40，解得b=4，所以AB=6故?ABC的面積為S=1

17.解：(1)第一輪答題后甲的總分X可取2,1,0，PX=2PX=1PX=0X的分布列為X210P111EX(2)記甲在這次競賽中獲勝為事件D，因?yàn)榧撰@勝發(fā)生至少經(jīng)過一輪答題，由(1)知，一輪回答后有X=0,X=1,X=2三種情形，由全概率公式得：PDPD|X=0是指一輪答題后甲得0分的條件下甲獲勝的概率，為0(乙獲勝，比賽結(jié)束)PD|X=1是指一輪答題后甲得1分的條件下甲獲勝的概率為PPD|X=2是指一輪答題后甲得2分的條件下甲獲勝的概率為1所以P解得PD

求甲在這次競賽中獲勝的概率PD

18.解：(1)由雙曲線的離心率為32，則c又AF=a+c=5②，聯(lián)立①②解得，則b2故所求C的方程為x2(2)由題意，DE不與y軸垂直，右焦點(diǎn)F(3,0)，設(shè)直線DE方程為x=my+3，聯(lián)立x=my+3x24?y由直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則5m2?4≠0設(shè)D(x則y1+y且y1設(shè)G(x由點(diǎn)A(?2,0),D(x1,y1令x=8，得y3=10y1同理H8,則y==?8m?y=100故y3①S?ADE=若?AGH的面積是?ADE的面積的6倍，則5×10則5m2?4=6，解得m2故所求直線DE的方程為x?2y?3=0②設(shè)GH中點(diǎn)M，則M8,y3+y半徑r=y點(diǎn)M到直線x=my+3即x?my?3=0的距離d=8?5由r2當(dāng)m=0時(shí)，以GH為直徑的圓與直線DE相切，可看作所截弦長為0；當(dāng)m≠0時(shí)，以GH為直徑的圓與直線DE相交，故直線DE被截得的弦長l=2由m≠0，則l=2011則l=2011m綜上所述，直線DE被以GH為直徑的圓截得的弦長小于20．

19.解：(1)①因?yàn)楹瘮?shù)fx=x+e?x的定義域?yàn)橛蒮’(x)<0可得x<0，由所以，函數(shù)fx的減區(qū)間為?∞,0，增區(qū)間為(0所以，函數(shù)fx的最小值為f②由①可知，函數(shù)fx的值域?yàn)?,+∞，由題意可知，函數(shù)gx因?yàn)閙>0，且gx令u=x+mfxu′=m+1?me?x=m+1e當(dāng)x<lnmm+1時(shí)，u′<0當(dāng)x>lnmm+1時(shí)，u′>0所以，umin所以，函數(shù)u=m+1x+m要使得函數(shù)gx=f則0,+∞所以，m+11+lnmm+1≤0，即1+因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是0,1(2)“?”：若x0為函數(shù)fx的零點(diǎn)，則所