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文檔簡介

第二節(jié)直線、平面平行的判定與性質

【要點歸納】

一、平面的概念及表示

1.平面的概念:平面是從現(xiàn)實世界中抽象出來的幾何概念.它沒有厚薄,是無限延展

的.

2.平面的表示方法

(1)圖形表示:平面通常用平行四邊形來表示,當平面水平放置的時候,一般用水平放

置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖(如圖所示).

(2)字母表示:平面通常用希臘字母夕,y,…表示,也可?以用平行四邊形的兩個相對

頂點的字母表示,如平面a、平面AC等.

3.點、線、面位置關系的符號表示

符號表

位置關系

點尸在直線A3上PSAB

點C不在直線A8上C牛AB

MW平面

點M在平面AC內

AC

A匠平面

點A]不在平面AC內

AC

直線A8與直線BC交于ABCiBC

點8=B

48U平

直線AB在平面4C內

面AC

M?平

直線AA]不在平面AC內

面AC

二、平面的基本事實

1.基本事實1:

(1)內容:經過不在一條直線上的3個點,有且只有一個平面。(如圖所示)

?A

/aB*?C/

(2)符號表示:4,B,。三點不共線=存在唯一的平面。使A,B,CEa

(3)作用:①確定一個平面;②證明點、線的共面問題;③判斷一圖形是否為平面圖形.對

于平面的確定問題,務必分清它們的條件,對于證明幾點(或幾條直線)共面問題,可先由其

中幾個點(或直線)確定一個平面后,再證明其他點(或直線)也在該平面內即可.

2.基本事實2:

(1)內容:如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內。(如圖

所示)

(2)符號表示:AG/,BGI,且BGanlua

(3)作用:①用直線檢驗平面;②判斷直線是否在平面內,要證明直線在平面內,我們

需要在直線上找到兩個點,這兩個點都在這個平面內,那么直線就在這個平面內.

3.基本事實3:

(1)內容:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共

直線。(如圖所示)

(2)符號表示:PRa,有PG歸aCB=l,且

(3)作用:①判斷兩平面是否相交;②證明點在直線上;③證明共線問題;④證明共點

問題.證明三點共線問題的常用方法有:方法一是首先找出兩個平面,然后證明這三個點都

是這兩個平面的公共點.

三、平面的基本事實的推論

推論1經過一條直線和直線外的一點,有且只有一個平面(圖①).

推論2經過兩條相交直線,有且只有一個平面(圖②).

推論3經過兩條平行直線,有且只有一個平面(圖③).

①③

四、平行直線

1.平行直線:

⑴平行公理:過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)平行線的傳遞性:

文字表述:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.這一性質稱為空間平行線的傳遞性.

a//b

符號表述:W=^b//c.

2.等角定理:如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行,并且方向相同,那

么這兩個角相等.

五、異面直線

1.異面直線的定義:異面直線是不同在任何一個平面內的兩條直線。既不相交又不平

行的直線.(畫法如圖所示)

2.異面直線的判定:與一個平面相交于一點的直線與這個平面內不經過交點的直線異

面.

3.空間兩條直線的位置關系

(共面|相交直線:同一平面內,有且只有一個公共點.

《直線[平行直線:同一平面內,沒有公共點.

〔異面直線:不同在任何一個平面內,沒有公共點.

六、空間四邊形

七、直線與平面的位置關系

位置關直線。在平面a直線。與平面。相直線a與平面a平

系內交行

有且只有一個公共

公共點有無數個公共點沒有公共點

符號表

acaaC\a=Aa//a

_____a

圖形表

示/\</4__/

八、直線與平面平行的判定定理及性質定理

1.直線與平面平行的判定定理

(1)內容:如果平面外一條直線和這個平面內的一條更線平行,那么這條直線和這個平

面平行。(如圖所示)

IQa,

(2)符號表示:wca,

l//m,

(3)對于直線與平面平行的判定定理的理解

①定理可簡記為“線線平行,則線面平行”.

②用該定理證明直線a與平面。平行時,三個條件:ada,bua,缺一不可.

2.直線與平面平行的性質定理

(1)內容:如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,那么

這條直線就和交線平行。(如圖所示)

l//a,

(2)符號表示:

(3)對于直線與平面平行的性質定理的理解

①定理可簡記為“線面平行,則線線平行

②定理中有三個條件:直線4〃平面直線4U平面夕,acp=b,這三個條件缺??不

可.

九、兩個平面的位置關系

兩個平面的位置關系

十、平面與平面平行的判定定理及性質定理

1.平面與平面平行的判定定理

⑴內容:如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面,那么這兩個平面平

行。(如圖所示)

/xz

a

lua,mud\

⑵符號表示:〉=a〃4

l〃B,m//p\

(3)作用:證明兩平面平行.

2.平面與平面平行的性質定理

(1)內容:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行。(如圖所示)

a//p、

(2)符號表示:?Ay=/>=a〃6

pC\y=m

(3)作用:證明兩直線平行.

(4)推論:兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.

【夯實基礎練】

1.(2022?云南師大附中模擬)若a,夕是兩個不同平面,〃i,〃是兩條不同直線,則下

列4個推斷中正確的是()

A.m//a,tn//P,nua,nu00ni〃n

B.mua,〃u/,a〃/=>/w〃〃

C.tn//a?nilamu。,〃u£na〃£

D.,〃ua,〃u/7,6〃〃〃/7

【解析】對于A,如圖,〃ua,nu0=acp=n,結合m\,可知

m//n,故A正確;

對于B,如圖,in,n

對于C,如圖,a,/可能相交,故C錯誤;

對于D,如圖,a,夕可能相交,故D錯誤.

故選:A.

【答案】A

2.(2022?廣東廣州三模)一幾何體的平面展開圖如圖所示,其中四邊形ABCD為正方形,

瓦F分別為PRPC的中點,在此幾何體中,下面結論錯誤的是()

A.直線AE與直線8/異面

B.直線AE與直線。歹異面

C.直線所,平面尸4。

D.宜線所〃平面A3CO

【解析】由題意知:該幾何體是底面為正方形的四棱錐,如圖所示,連接

AE,EF,BF,DF,易得EF//BC,8C〃AO,則成〃A£>,故EF,AD共面,則AE,DF

共面,故B錯誤;又尸£面AEED,32面AEFZ),尸不在直線AE上,則直線4E1與

直線8尸異面,A正確:

由E尸〃A。,石產仁平面PAO,AOu平面尸AO,則直線即/平面尸AO,C正

EF<z平面ABCD,"><=平面48。。,則直線所,平面A3CD,D正確.

故選:B.

F

【答案】B

3.(2022?四川內江模擬)如圖,在直三棱柱ABC-44G中,次7_1_面476;4,

CA=CC,=2CB,則直線與直線夾角的余弦值為()

5GAB}

2五非有3

\?B.C-D?一

5355

【解析】連接C4交BG于。,若E是AC的中點,連接由43。一4出£

為直棱柱,各側面四邊形為矩形,易知:力是。與的中點,所以故直線8G與

直線從用夾角,即為EO與3G的夾角NBZ組或補角,若3C=1,則CE=1,

BD=CD=$,BC_L面ACGA,ECu面ACGA,則C3_LCE,而EC_LCG,

又BCriCG=C,BC,CGu面BCCM,故ECJL面5CG用,乂CDu面旦,

所以CE_LC£>.所以ED=JCD2+CE2=」,BE=」CS+CE=垃,在△BOE中

2

59

BD2+ED2-BE24+42

cosZ.BDE=--------------------------=—―^=r—.故選:C

2BDED^755

2x——

2

Bfl

【答案】C

4.(2022?黑龍江哈師大附中高三期末)如圖,在正三棱柱A8O48G中,48=44產2,

M、N分別是58和SG的中點,則直線AM與CN所成角的余弦值等于()

.2

【解析】作8C的中點E,連接用E,作BE的中點尸,連接M/、A.F,即

為異面直線AM與CN所成的角,由已知條件得4七="77=石,則乎,

4M=亞仔=有,由余弦定理得從/=j22+(」]-2x2xlxcos600=—,在

VUj22

△AMF中,有余弦定理可知4尸=AM2+MF2-lAMMFcosZAMF,即

—=5+--2x^/5x^xcosZAMF,解得cosNAM/故選:D.

【答案】D

5.(2022?河南省杞縣高中模擬)如圖,在三棱柱ABC—A4G中,平面ABC,

ZACB=90°,BC=AA,=百,AC=1,則異面直線AC】與所成角的余弦值為()

V25/6八62石

I.----B.----C.----D.------

342

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