2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之立體幾何初步

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之立體幾何初步一．選擇題（共10小題）1．（2024?泰安模擬）下列命題中，正確的是A．三點確定一個平面 B．垂直于同一直線的兩條直線平行 C．若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則 D．若、、是三條直線，且與都相交，則直線、、在同一平面上2．（2024?天津）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知，，．則該五面體的體積為A． B． C． D．3．（2024?河南模擬）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．4．（2024?吳忠模擬）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的表面積（單位：是A．24 B．28 C．32 D．365．（2024?四川模擬）如圖所示，在棱長為2的正方體中，直線平面，，是的中點，是線段上的動點，則直線與側(cè)面的交點的軌跡長為A． B． C． D．6．（2024?大連模擬）在正四棱臺中，，，，則該正四棱臺的體積為A． B． C． D．7．（2024?云南模擬）底面積是，側(cè)面積是的圓錐的體積是A． B． C． D．8．（2024?榆林三模）設，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，下面為真命題的是A．若，，，則 B．對于空間中的直線，若，，，，則 C．若直線上存在兩點到平面的距離相等，則 D．若，，則9．（2024?莆田三模）若制作一個容積為的圓錐形無蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，則該圓錐的高是A． B．2 C． D．410．（2024?咸陽模擬）已知平行六面體中，棱、、兩兩的夾角均為，，，為中點，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點，點是棱的中點，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長度為12．（2024?隨州模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點為正方形內(nèi)一點，當平面時，的最大值為 C．過點，，的平面截正方體所得的截面周長為 D．當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為13．（2024?鹽湖區(qū)一模）設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，，則14．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點，點是面的中心，則下列結論正確的是A．，，，四點共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面15．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點滿足，則A．當時，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為三．填空題（共5小題）16．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知圓錐的高為5，其頂點和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體積為．17．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．18．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點在正方形及其內(nèi)部運動，點在矩形及其內(nèi)部運動．設，，給出下列四個結論：①存在點，，使；②存在點，，使；③到直線和的距離相等的點有無數(shù)個；④若，則四面體體積的最大值為；其中所有正確結論的序號是．19．（2024?遼寧模擬）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點，距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足．若點在平面內(nèi)運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為；若點在長方體內(nèi)部運動，為棱的中點，為的中點，則三棱錐的體積的最小值為．20．（2024?甘肅模擬）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)．在一個“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為．四．解答題（共5小題）21．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點在邊上，且，為邊的中點．是平面外一點，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．22．（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體．可以驗證一共只有五種多面體．令，，，，均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時候某正多面體的所有頂點都可以和另一個正多面體的一些頂點重合，例如正面體的所有頂點可以與正面體的某些頂點重合，正面體的所有頂點可以與正面體的所有頂點重合，等等．（1）當正面體的所有頂點可以與正面體的某些頂點重合時，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；（2）當正面體在棱長為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點均為正面體各面的中心時，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；（3）已知正面體的每個面均為正五邊形，正面體的每個面均為正三角形．考生可在以下2問中選做1問．（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結果給分）第一問：求棱長為1的正面體的表面積；第二問：求棱長為1的正面體的體積．23．（2024?湖北模擬）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長為2的正三角形，，，分別是，的中點，記平面與平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）設點在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當為何值時，．24．（2024?揚州模擬）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大小．25．（2024?商洛模擬）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，，分別是和的中點，平面平面，．（1）證明：平面．（2）求三棱錐的體積．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之立體幾何初步參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?泰安模擬）下列命題中，正確的是A．三點確定一個平面 B．垂直于同一直線的兩條直線平行 C．若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則 D．若、、是三條直線，且與都相交，則直線、、在同一平面上【答案】【考點】命題的真假判斷與應用；直線與平面垂直【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；簡易邏輯；綜合法；邏輯推理；直觀想象；空間位置關系與距離【分析】利用平面的基本性質(zhì)及推論可知，錯誤，正確，再利用直線與平面垂直的判定定理可知選項錯誤．【解答】解：對于：不共線的三點確定一個平面，故錯誤，對于：由墻角模型可知，兩條直線可能是相交直線，也可能是異面直線，顯然錯誤，對于：根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不垂直，故錯誤，對于：因為，所以與唯一確定一個平面，設為平面，又與和都相交，所以也在平面內(nèi)，即直線、、共面，故選項正確，故選：．【點評】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論，考查了空間中線與線的位置關系，是基礎題．2．（2024?天津）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知，，．則該五面體的體積為A． B． C． D．【答案】【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關系與距離；立體幾何；數(shù)學運算【分析】根據(jù)題意，分別延長、到、，使、、平行且相等，得到三棱柱，根據(jù)四邊形與四邊形全等，利用錐體的體積公式得到，然后求出的體積，進而算出該五面體的體積，可得答案．【解答】解：延長到，使，延長到，使，連接、，可得，結合，可知為三棱柱，因為四邊形與四邊形全等，所以，由，且它們兩兩之間的距離為1．可知：當為正三棱柱時，底面邊長為1，高為3，此時．根據(jù)棱柱的性質(zhì)，若為斜三棱柱，體積也是，因此，，可得該五面體的體積．故選：．【點評】本題主要考查棱柱的定義與性質(zhì)、柱體與錐體的體積公式及其應用等知識，考查了計算能力、圖形的理解能力，屬于中檔題．3．（2024?河南模擬）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．【答案】【考點】圓錐的側(cè)面積和表面積【專題】三角函數(shù)的求值；綜合法；數(shù)學運算；整體思想【分析】根據(jù)半徑求出底面周長，由弧長公式可得母線長，再利用圓錐的側(cè)面積公式求解．【解答】解：因為底面半徑，所以底面周長為，又因為側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，所以圓錐的母線長，所以該圓錐的側(cè)面積．故選：．【點評】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬于基礎題．4．（2024?吳忠模擬）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的表面積（單位：是A．24 B．28 C．32 D．36【答案】【考點】由三視圖求面積、體積【專題】數(shù)學運算；立體幾何；轉(zhuǎn)化法；數(shù)形結合【分析】借助三視圖得到幾何體的直觀圖后計算即可得．【解答】解：該幾何體的直觀圖如圖所示，則幾何體的表面積為．故選：．【點評】本題考查了利用三視圖求幾何體的表面積問題，是基礎題．5．（2024?四川模擬）如圖所示，在棱長為2的正方體中，直線平面，，是的中點，是線段上的動點，則直線與側(cè)面的交點的軌跡長為A． B． C． D．【答案】【考點】棱柱的結構特征【專題】數(shù)學運算；向量法；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關系與距離；邏輯推理【分析】先建立空間直角坐標系，設出點的坐標，保證，，，四點共面，從而得到向量與平面的法向量垂直，進而分析得出的方程表示的軌跡是什么，求解即可．【解答】解：在棱長為2的正方體中，直線平面，，是的中點，是線段上的動點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖，則，2，，，2，，直線平面，，設，如圖，在矩形中，，△，，點滿足，，設平面的法向量為，且，，可得，即，不妨取，由于直線與側(cè)面的交點，設點，0，，可得，，，四點共面，且，顯然，得方程，顯然方程在平面內(nèi)表示一條直線，當時，點，0，，此時兩點，重合，當時，，點，0，，設線段的中點為，此時兩點，重合，直線與側(cè)面的交點的軌跡為線段，且．故選：．【點評】本題考查正方體結構特征、三角形相似、四點共面、點的軌跡等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．6．（2024?大連模擬）在正四棱臺中，，，，則該正四棱臺的體積為A． B． C． D．【答案】【考點】棱臺的體積【專題】綜合法；立體幾何；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)題意可得：該正四棱臺上下底面正方形的中心到相應正方形頂點的距離分別為，，從而可求出該正四棱臺的高，最后根據(jù)正四棱臺的體積公式，即可求解．【解答】解：正四棱臺中，，，上下底面正方形的中心到相應正方形頂點的距離分別為，，又側(cè)棱，該正四棱臺的高為，該正四棱臺的體積為．故選：．【點評】本題考查正四棱臺的體積的求解，屬基礎題．7．（2024?云南模擬）底面積是，側(cè)面積是的圓錐的體積是A． B． C． D．【答案】【考點】圓錐的體積【專題】數(shù)學運算；立體幾何；定義法；方程思想【分析】利用圓錐的底面積和側(cè)面積公式求出底面圓半徑和母線長，再求圓錐的高，即可計算圓錐的體積．【解答】解：設圓錐的母線長為，高為，半徑為，則，且，解得，，所以，所以圓錐的體積為．故選：．【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和體積公式應用問題，是基礎題．8．（2024?榆林三模）設，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，下面為真命題的是A．若，，，則 B．對于空間中的直線，若，，，，則 C．若直線上存在兩點到平面的距離相等，則 D．若，，則【答案】【考點】空間中直線與直線之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系【專題】綜合法；整體思想；邏輯推理；空間位置關系與距離；直觀想象【分析】由空間中直線與直線、直線與平面的位置關系判定；直接證明正確．【解答】解：若，，，則或與異面，故錯誤；當，，，時，只有，相交時才有，故錯誤；若直線上存在兩點到平面的距離相等，則或與相交，故錯誤；如圖，，過作平面和平面交于，則，而，故，又，，故正確．故選：．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．9．（2024?莆田三模）若制作一個容積為的圓錐形無蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，則該圓錐的高是A． B．2 C． D．4【答案】【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；計算題；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算；綜合法；立體幾何【分析】根據(jù)題意，設圓錐的高與半徑，利用體積公式得出高與半徑的關系，再消元轉(zhuǎn)化得出側(cè)面積，利用導數(shù)計算單調(diào)性與最值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設該圓錐的高為，底面圓的半徑為，則，從而，變形可得，該圓錐的側(cè)面積．令，易知時，，，單調(diào)遞減，時，，，單調(diào)遞增，則當時，取得最小值；所以要使所用材料最省，則該圓錐的高是2．故選：．【點評】本題考查圓錐的體積、表面積計算，涉及導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，屬于中檔題．10．（2024?咸陽模擬）已知平行六面體中，棱、、兩兩的夾角均為，，，為中點，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】【考點】異面直線及其所成的角【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；綜合法；空間角；空間向量及應用；邏輯推理【分析】由題意求出異面直線的方向向量和方向向量的表達式，求出這兩個向量的余弦值，進而求出異面直線所成的角的余弦值．【解答】解：因為為的中點，棱、、兩兩的夾角均為，，，設，則，由平行六面體的性質(zhì)可得：，，可得，，所以，，可得，則，．所以異面直線與所成角的余弦值為，．故選：．【點評】本題考查空間向量的運算性質(zhì)的應用及用空間向量的方法求異面直線所成的角的余弦值，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點，點是棱的中點，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長度為【答案】【考點】直線與平面所成的角；棱柱的結構特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角【專題】轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想【分析】對于：利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值；對于：建立空間直角坐標系，設，，，得出，，利用向量夾角公式即可求解；對于：求出平面的法向量為，0，，利用向量夾角公式即可求解；對于：由可得，即可求解．【解答】解：對于，（定值），故正確；以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，1，，設，，，，則，對于，，與的夾角滿足，故錯誤；對于，平面的法向量為，0，，直線與平面所成的角的正弦值為，故正確；對于，，2，，，由可得，化簡可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，所以的軌跡的長度為，正確．故選：．【點評】本題考查等體積法求體積以及空間向量的應用，屬于中檔題．12．（2024?隨州模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點為正方形內(nèi)一點，當平面時，的最大值為 C．過點，，的平面截正方體所得的截面周長為 D．當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為【答案】【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面平行；異面直線及其所成的角；球的體積和表面積【專題】立體幾何；數(shù)學運算；空間角；對應思想；向量法【分析】對于：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在△中即為異面直線與所成的角，即可判定；對于：取的中點，的中點，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時取得最小值，即可判定；對于：過點、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設，，以為原點，分別以方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，得出，，，的坐標，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在△中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點、、的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對于：取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定．【解答】解：對于選項，，在△中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的余弦值為．故正確；對于選項，過點、、的平面截正方體，平面平面，則過點、、的平面必與與交于兩點，設過點、、的平面必與與分別交于、，過點、、的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過點、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點，分別以方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，設，，則，0，，，2，，，1，，，2，，，0，，，，，，，，，解得，，，，，在△中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過點、、的平面截正方體所得的截面周長為．故正確；對于選項，取的中點，的中點，取的中點，連接，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過作，此時取得最小值，在△中，，，，在△中，，，，在△中，，，，如圖，在中，，即的最小值為，而的最大值為．故錯誤；對于選項，如圖所示，取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，，．故項正確，故選：．【點評】本題考查線面角以及利用空間向量法解決球體相關問題，屬于中檔題．13．（2024?鹽湖區(qū)一模）設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，，則【答案】【考點】平面與平面之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系；空間中直線與直線之間的位置關系【專題】轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；空間位置關系與距離；綜合法【分析】根據(jù)空間中線線關系，線面關系，面面關系，即可分別求解．【解答】解：對選項，，，或與相交或與異面，選項錯誤；對選項，，，，選項正確；對選項，，，與內(nèi)的某條直線平行，也平行該直線，又，，選項正確；對選項，，，，，選項正確．故選：．【點評】本題考查空間中線線關系，線面關系，面面關系，屬基礎題．14．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點，點是面的中心，則下列結論正確的是A．，，，四點共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面【答案】【考點】平面與平面垂直；直線與平面平行；平面的基本性質(zhì)及推論；空間中直線與平面之間的位置關系【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】由題意可得過，，三點的平面為一個正六邊形，判斷出的真假；分別連接，和，，截面是等腰梯形，判斷出的真假；分別取，的中點，，易證顯然不平行平面，可判斷出的真假；平面，可判斷出的真假．【解答】解：對于：如圖經(jīng)過，，三點的平面為一個正六邊形，點在平面外，所以，，，四點不共面，所以選項錯誤；對于：分別連接，和，，則平面即平面，截面是等腰梯形，所以選項正確；對于：分別取，的中點，，則平面即為平面，由正六邊形，可知，所以不平行于，又，平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故選項錯誤；對于：因為，是等腰三角形，所以，所以，所以，因為，是，的中點，易證，由正方體可得平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，故選項正確．故選：．【點評】本題考查直線與平面平行的證法及平面與平面垂直的證法，屬于中檔題．15．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點滿足，則A．當時，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為【答案】【考點】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面所成的角；直線與平面垂直【專題】立體幾何；綜合法；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】根據(jù)三垂線定理及線面垂直的判定定理，三棱錐的體積公式，線面角的求法，坐標法求點面距，即可分別求解．【解答】解：對選項，當時，與重合，根據(jù)三垂線定理易證，，從而可得平面，即平面，選項正確；對選項，與相交，到平面的距離不是定值，又的面積為定值，對任意，，三棱錐的體積不是定值，選項錯誤；對選項，當時，與重合，此時易知平面，當時，與重合，如圖，設，連接，，易知平面，又平面，平面平面，且平面平面，在平面的射影為，與平面所成角為，又易知，存在，，使得與平面所成的角為，選項正確；對選項，正方體的外接球的球心為正方體的體心，且外接球的直徑為正方體的體對角線，，，當時，為靠近的三等分點，建系如圖，則，0，，，2，，，，，，1，，，，，設平面的法向量為，則，取，球心到平面的距離，平面截該正方體的外接球所得截面小圓半徑，平面截該正方體的外接球所得截面小圓的面積為，選項正確．故選：．【點評】本題考查線面垂直的證明，三棱錐的體積變化問題，線面角的變化問題，球的截面面積的求解，三垂線定理的應用，坐標法的應用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．三．填空題（共5小題）16．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知圓錐的高為5，其頂點和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體積為．【答案】．【考點】圓錐的體積【專題】整體思想；立體幾何；數(shù)學運算；綜合法【分析】求出圓錐的底面半徑，結合錐體的體積公式可求得該圓錐的體積．【解答】解：取圓錐的軸截面如下圖所示：設圓錐的外接球為球，易知，且，，則，故圓錐的底面半徑為，因此該圓錐的體積為．故答案為：．【點評】本題主要考查了圓錐的結構特征，考查了圓錐的體積公式，屬于基礎題．17．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．【答案】．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算【分析】根據(jù)題意易得，，，再作出底面圖形，根據(jù)向量共線定理，三棱錐的體積公式，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，作出底面圖形，延長，交于點，如圖所示：由，可得，設，又，，又，，三點共線，，，，又，，，又，且，，．故答案為：．【點評】本題考查四面體的體積問題，向量的線性運算，向量共線定理的應用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．18．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點在正方形及其內(nèi)部運動，點在矩形及其內(nèi)部運動．設，，給出下列四個結論：①存在點，，使；②存在點，，使；③到直線和的距離相等的點有無數(shù)個；④若，則四面體體積的最大值為；其中所有正確結論的序號是①③④．【答案】①③④．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；數(shù)學運算【分析】建立適當空間直角坐標系后，借助空間向量研究位置關系，結合軌跡方程、三棱錐體積公式逐項判斷即可．【解答】解：建立如圖所示的坐標系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，設，，，，，，其中，，，，對于①，，，，則，當，，時，有，故①正確；對于②，，，，，，，若，則有，由，，，，得，，此時與重合，與重合，不符合題意，故②錯誤；對于③，點到直線的距離為，點到直線的距離為，則，即，，，，，故其軌跡為雙曲線的一部分，即點有無數(shù)個，③正確；對于④，，，，，，，又由，則，即，，又，故，故④正確．故答案為：①③④．【點評】考查向量法、向量坐標運算法則、向量平行的性質(zhì)、軌跡方程、體積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19．（2024?遼寧模擬）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點，距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足．若點在平面內(nèi)運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為；若點在長方體內(nèi)部運動，為棱的中點，為的中點，則三棱錐的體積的最小值為．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關系與距離；數(shù)學運算【分析】①若點在平面內(nèi)運動時，如圖以為原點建立平面直角坐標系，可得，．設，由可得．即，．即可②若點在長方體內(nèi)部運動，由①可得點在半徑為，球心為球上．如圖建立空間直角坐標系，求得到面的距離為，求得到面的距離的最小值，又到面的距離的最小值為，利用體積公式即可求解．【解答】解：①若點在平面內(nèi)運動時，如圖以為原點建立平面直角坐標系，可得，．設，由可得．即，．則點所形成的阿氏圓的半徑為，圓心為，②若點在長方體內(nèi)部運動，由①可得點在半徑為，球心為球上．如圖建立空間直角坐標系，可得，0，，，3，，，6，，，6，則，設面的法向量為，，可得．到面的距離為．則到面的距離的最小值為，為的中點，到面的距離的最小值為．則三棱錐的體積的最小值為．故答案為：，．【點評】本題考查了空間動點軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題．20．（2024?甘肅模擬）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)．在一個“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為．【考點】球的體積和表面積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積【專題】數(shù)學運算；立體幾何；對應思想；定義法【分析】借助球體體積公式及圓柱表面積公式計算即可得．【解答】解：設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長為，則球的體積為，所以，所以圓柱表面積為．故答案為：．【點評】本題考查了球體體積公式及圓柱表面積公式應用問題，是基礎題．四．解答題（共5小題）21．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點在邊上，且，為邊的中點．是平面外一點，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解答；（2）；．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運算求解【分析】（1）利用，得出，再根據(jù)，得出，進而得出平面，即可得證；（2）在△中，，，，由余弦定理得出，進而求出，利用三角形面積公式即可求解；利用等體積轉(zhuǎn)換法求三棱錐體積即可．【解答】解：（1）證明：因為為邊的中點，所以，又，故，即，如圖，設線段的中點為，連接，又，所以，，因為，所以，即，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以；（2）在△中，，，，由余弦定理得，所以，故△的面積為；設直線與平面所成角為，由題意可知，則，故，又因為平面，所以直線與平面所成的角為，于是，所以，如圖，連接，則三棱錐的體積為，設△，△的面積分別為，，點到平面的距離為，因為為邊的中點，，所以由平面幾何知識易得，則三棱錐的體積為．【點評】本題考查向量法在立體幾何中的應用，考查等體積法求三棱錐體積，屬于中檔題．22．（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體．可以驗證一共只有五種多面體．令，，，，均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時候某正多面體的所有頂點都可以和另一個正多面體的一些頂點重合，例如正面體的所有頂點可以與正面體的某些頂點重合，正面體的所有頂點可以與正面體的所有頂點重合，等等．（1）當正面體的所有頂點可以與正面體的某些頂點重合時，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；（2）當正面體在棱長為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點均為正面體各面的中心時，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；（3）已知正面體的每個面均為正五邊形，正面體的每個面均為正三角形．考生可在以下2問中選做1問．（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結果給分）第一問：求棱長為1的正面體的表面積；第二問：求棱長為1的正面體的體積．【答案】（1）；（2）；（3）第一問：；第二問：．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】（1）根據(jù)正面體特點求出，，，，，由此能求出結果；（2）推導出截面為邊長為2的正三角形，能求出結果；（3）第一問：根據(jù)正二十面體各面為正三角形即可求解；第二問：圖形可分為得到一個棱長相等的平行六面體和六個相同的立體圖形，由此能求出結果．【解答】解：（1）設正面體每個頂點出去的棱數(shù)相等為，每個面的邊的數(shù)量相等為，端點數(shù)量為，面的數(shù)量為，棱的數(shù)量為，每個棱有兩個端點，，每兩個相鄰的面共用一條棱，，，，代表多邊形的邊數(shù)，，要得到立體圖形，必須有，由題意易得，，，滿足條件的只有5組解，①，，，即正四面體；②，，，即正六面體；③，，，即正十二面體；④，，，即正八面體；⑤，，，即正二十面體．，，，，，為了滿足題意，只需找到正六面體的四個端點，端點距離全部相等，滿足題意的僅有一種，如圖，由題意得線面角只有或，當正面體的所有頂點可以與正面體的某些頂點重合時，正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值為；（2）當正面體在棱長為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點均為正面體各面的中心時，、、代表正六面體的中心，、、代表截面三角形，由題意得截面為邊長為的正三角形，正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積面積為；（3）第一問：正二十面體各面為正三角形，表面積為；第二問：正十二面體各面為正五邊形，圖形如下：按照圖示帶箭頭的虛線分割，得到一個棱長相等的平行六面體和六個相同的立體圖形，如圖，、長度為1，且，由，知，即正六面體邊長為，正六面體邊長為，則，沿著頂棱的兩個端點，分別作關于頂棱垂直的切面，立體圖形可以拆成兩個四面體，一個三棱柱，先算出綠色邊的長度，再用勾股定理易得立體圖形高為，，總體積為．【點評】本題考查正多面體的性質(zhì)、歐拉公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．23．（2024?湖北模擬）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長為2的正三角形，，，分別是，的中點，記平面與平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）設點在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當為何值時，．【答案】（1）證明見解析；（2）當時，．【考點】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直【專題】空間角；計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學運算【分析】（1）利用中位線，直線平面的平行問題得出，根據(jù)直線平面的垂直問題得出平面，即可得出直線平面．（2）建立坐標系得出平面的法向量，，，，，直線平面，直線的夾角的關系求解即可，，，．【解答】（1）證明：，分別為，中點，，又平面，平面，平面又平面，平面平面，．，，，，，平面平面，平面，直線平面，（2）如圖建立坐標系得出：，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，，，，0，為平面的法向量，，2，，，，，，，，設直線分別與平面、直線所成的角分別為，，，，，，即，求解，，，0，，存在，1，或，，，即當時，．【點評】本題綜合考查了空間直線，平面的位置關系，判斷方法，空間向量解決存在性問題，運用代數(shù)方法求解幾何問題，考查了學生的計算能力．24．（2024?揚州模擬）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）．【考點】直線與平面垂直；異面直線及其所成的角【專題】空間位置關系與距離；邏輯推理；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】（1）根據(jù)已知可推得，然后即可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得出線面垂直；（2）根據(jù)已知證明，建立空間直角坐標系，得出的坐標，即可根據(jù)向量法得出答案．【解答】解：（1）證明：由已知可得，，為中點，所以，．因為面底面，面底面，平面，所以，平面．（2）連接，因為，為中點，所以，．又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，，且．由已知，所以．如圖，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，，，，1，，所以，，，所以，，所以，異面直線與所成角的余弦值為，大小為．【點評】本題考查的知識要點：線面垂直的判定和性質(zhì)的應用，勾股定理的應用，三角函數(shù)的值的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．25．（2024?商洛模擬）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，，分別是和的中點，平面平面，．（1）證明：平面．（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解答；（2）．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學運算；立體幾何；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）取中點，連結，，推導出四邊形是矩形，從而四邊形是平行四邊形，進而，由此即可證明平面；（2）利用，即可求解．【解答】解：（1）取中點，連結，，，分別是，中點，在中，，且，又是中點，四邊形是矩形，，且，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）平面平面，且平面平面，過點作，垂足為，則平面，因為，所以，又四邊形是矩形，所以，因為是的中點，所以．【點評】本題考查線面平行的判定以及等體積法求三棱錐體積，屬于中檔題．

考點卡片1．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標準》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．棱柱的結構特征【知識點的認識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結構特征根據(jù)棱柱的結構特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積【知識點的認識】側(cè)面積和全面積的定義：（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側(cè)面積．（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，h為高，h′為斜高，l為母線）S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺表＝π（r2+rl+Rl+R2）4．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．5．棱臺的體積【知識點的認識】棱臺的體積可以通過兩個平行底面的面積B1和B2以及高度h計算．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為．﹣底面面積計算：兩個底面的面積B1和B2可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算．【命題方向】﹣棱臺的體積計算：考查如何根據(jù)兩個底面面積和高度計算棱臺的體積．﹣實際應用：如何在實際問題中應用棱臺體積計算．6．圓錐的側(cè)面積和表面積【知識點的認識】圓錐的側(cè)面積和表面積依賴于底面圓的半徑r、母線長度l和底面圓的面積．【解題方法點撥】﹣側(cè)面積：計算公式為．﹣表面積：包括底面圓的面積和側(cè)面的面積，計算公式為．【命題方向】﹣圓錐的表面積計算：考查如何計算圓錐的側(cè)面積和表面積．﹣實際應用：如何在實際問題中應用圓錐的表面積計算．7．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積【知識點的認識】旋轉(zhuǎn)體的結構特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認識圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設圓柱底面的半徑為r，高為h：2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認識圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線．母線長l與底面半徑r和高h的關系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：3．圓臺①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．②認識圓臺③圓臺的特征及性質(zhì)平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺的體積和表面積公式設圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：．8．圓錐的體積【知識點的認識】圓錐的體積計算依賴于底面圓的半徑r和圓錐的高度h．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為．﹣實際應用：如何根據(jù)實際問題中的圓錐尺寸進行體積計算．【命題方向】﹣圓錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計算圓錐的體積．﹣實際應用：如何在實際問題中應用圓錐的體積計算．9．球的體積和表面積【知識點的認識】1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．2．球體的體積公式設球體的半徑為R，V球體＝3．球體的表面積公式設球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關鍵．10．由三視圖求面積、體積【知識點的認識】1．三視圖：觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形，包括：（1）主視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和長度；（2）左視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖，反映物體的長度和寬度．2．三視圖的畫圖規(guī)則：（1）高平齊：主視圖和左視圖的高保持平齊；（2）長對正：主視圖和俯視圖的長相對應；（3）寬相等：俯視圖和左視圖的寬度相等．3．常見空間幾何體表面積、體積公式（1）表面積公式：（2）體積公式：【解題思路點撥】1．解題步驟：（1）由三視圖定對應幾何體形狀（柱、錐、球）（2）選對應公式（3）定公式中的基本量（一般看俯視圖定底面積，看主、左視圖定高）（4）代公式計算2．求面積、體積常用思想方法：（1）截面法：尤其是關于旋轉(zhuǎn)體及與旋轉(zhuǎn)體有關的組合體問題，常用軸截面進行分析求解；（2）割補法：求不規(guī)則圖形的面積或幾何體的體積時常用割補法；（3）等體積轉(zhuǎn)化：充分利用三棱錐的任意一個面都可以作為底面的特點，靈活求解三棱錐的體積；（4）還臺為錐的思想：這是處理臺體時常用的思想方法．【命題方向】三視圖是新課標新增內(nèi)容之一，是新課程高考重點考查的內(nèi)容．解答此類問題，必須熟練掌握三視圖的概念，弄清視圖之間的數(shù)量關系：正視圖、俯視圖之間長相等，左視圖、俯視圖之間寬相等，正視圖、左視圖之間高相等（正俯長對正，正左高平齊，左俯寬相等），要善于將三視圖還原成空間幾何體，熟記各類幾何體的表面積和體積公式，正確選用，準確計算．例：某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣分析：幾何體是正方體切去兩個圓柱，根據(jù)三視圖判斷正方體的棱長及切去的圓柱的底面半徑和高，把數(shù)據(jù)代入正方體與圓柱的體積公式計算．解答：由三視圖知：幾何體是正方體切去兩個圓柱，正方體的棱長為2，切去的圓柱的底面半徑為1，高為2，∴幾何體的體積V＝23﹣2××π×12×2＝8﹣π．故選：B．點評：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應的幾何量是解題的關鍵．11．平面的基本性質(zhì)及推論【知識點的認識】平面的基本性質(zhì)及推論：1．公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，則這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．2．公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面．①推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．②推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．③推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．【解題方法點撥】1．公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．3．公理3是判定兩個平面相交的依據(jù)．12．異面直線及其所成的角【知識點的認識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：13．空間中直線與直線之間的位置關系【知識點的認識】空間兩條直線的位置關系：位置關系共面情況公共點個數(shù)圖示相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個平行直線在同一平面內(nèi)無異面直線不同時在任何一個平面內(nèi)無14．空間中直線與平面之間的位置關系【知識點的認識】空間中直線與平面之間的位置關系：位置關系公共點個數(shù)符號表示圖示直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點a?α直線和平面相交有且只有一個公共點a∩α＝A直線和平面平行無a∥α