2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一．選擇題（共10小題）1．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．2．（2024?濟(jì)南模擬）若，，，則A． B． C． D．3．（2024?紅橋區(qū)一模）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．4．（2024?武漢模擬）已知集合，，則A．， B． C． D．，5．（2024?北辰區(qū)三模）已知，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．6．（2024?浙江模擬）已知，，則A． B． C． D．7．（2024?濱海新區(qū)模擬）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為A． B． C． D．8．（2024?濱海新區(qū)模擬）已知，則A． B． C． D．9．（2024?石景山區(qū)一模）設(shè)，，，則A． B． C． D．10．（2024?順義區(qū)模擬）已知，，則A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?建鄴區(qū)校級(jí)模擬）已知，，則A． B． C． D．12．（2024?山東模擬）已知，，，則A．的最大值為 B．的最小值為8 C．的最小值為 D．的最小值為13．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，且（a）（b），則下列說(shuō)法正確的是A． B． C．的最小值為 D．14．（2024?撫州模擬）若實(shí)數(shù)，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．15．（2024?駐馬店三模）若表示集合和關(guān)系的圖如圖所示，則，可能是A．，2，4，， B．， C．， D．，三．填空題（共5小題）16．（2024?南岸區(qū)模擬）．17．（2024?崇明區(qū)二模）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（3）．18．（2024?浦東新區(qū)三模）已知實(shí)數(shù)、、、滿足，，，則．19．（2024?海淀區(qū)一模）已知，則．20．（2024?閔行區(qū)三模）方程的解集為．四．解答題（共5小題）21．（2023?城關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)是上的奇函數(shù)，求的值；（Ⅱ）若函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值的差不小于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（2023?廣西一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．23．（2023?南京二模）已知函數(shù)，．（1）若，求證：；（2）若關(guān)于的不等式的解集為集合，且，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．24．（2022?黃浦區(qū)二模）設(shè)為常數(shù)，函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的反函數(shù)；（2）若，根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．25．（2022?德陽(yáng)模擬）已知函數(shù)，的最大值為1．（1）求常數(shù)的值；（2）若，，求證：．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】先得到為偶函數(shù)，排除，再計(jì)算出（1），得到正確答案．【解答】解：定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，故，的定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，（1）（1），錯(cuò)誤，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性和圖像，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?濟(jì)南模擬）若，，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)思想【分析】利用正弦函數(shù)和正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．【解答】解：正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，即，正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，即，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)和正切函數(shù)的單調(diào)性，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?紅橋區(qū)一模）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值判定即可．【解答】解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，，又，所以，故，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?武漢模擬）已知集合，，則A．， B． C． D．，【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的值域；交集及其運(yùn)算；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；集合【分析】先求出集合，，再利用集合的交集運(yùn)算求解即可．【解答】解：集合，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?北辰區(qū)三模）已知，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，，，，即，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?浙江模擬）已知，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：，，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?濱海新區(qū)模擬）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象；余弦函數(shù)的對(duì)稱性【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象分析的性質(zhì)，由此分析選項(xiàng)，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象，的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上，函數(shù)圖象與軸存在交點(diǎn)，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于，，其定義域?yàn)?，有，為偶函?shù)，不符合題意；對(duì)于，，其定義域?yàn)?，有，為奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)圖象與軸存在交點(diǎn)，符合題意；對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，，，必有恒成立，該函數(shù)圖象在區(qū)間上與軸不存在交點(diǎn)，不符合題意；對(duì)于，，其定義域?yàn)?，有，為偶函?shù)，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)奇偶性和函數(shù)值的分析，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?濱海新區(qū)模擬）已知，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，，，則，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?石景山區(qū)一模）設(shè)，，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)思想；綜合題【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可比較得結(jié)果．【解答】解：，而，則，即，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小，屬于中檔題．10．（2024?順義區(qū)模擬）已知，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，，，綜上所述，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）11．（2024?建鄴區(qū)校級(jí)模擬）已知，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；對(duì)數(shù)值大小的比較；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】整體思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由已知結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化即對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，基本不等式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤；又，則，正確；由及可知，故，正確；因?yàn)?，由于，等?hào)無(wú)法取得，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024?山東模擬）已知，，，則A．的最大值為 B．的最小值為8 C．的最小值為 D．的最小值為【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】利用基本不等式判斷、、，由，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而判斷．【解答】解：因?yàn)?，，，?duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故正確；對(duì)于，又，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故正確；對(duì)于，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，（b），則（b）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，（b），則（b）單調(diào)遞減，所以（b）（1），所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取等號(hào)，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．13．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，且（a）（b），則下列說(shuō)法正確的是A． B． C．的最小值為 D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】由已知結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的變化可得，即可判斷，，然后結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)，即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)，，且（a）（b），所以，且，所以，即，正確，錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，但顯然與已知矛盾，錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但顯然等號(hào)無(wú)法取得，故，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（2024?撫州模擬）若實(shí)數(shù)，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】等式與不等式的性質(zhì)；不等關(guān)系與不等式；對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】整體思想；數(shù)學(xué)抽象；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，則，正確；在上單調(diào)遞增，則，正確；當(dāng)，時(shí)，顯然錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞增，則，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性在不等式大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?駐馬店三模）若表示集合和關(guān)系的圖如圖所示，則，可能是A．，2，4，， B．， C．， D．，【答案】【考點(diǎn)】圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算；指數(shù)函數(shù)的值域；求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】分別解出各選項(xiàng)，再考查它們的關(guān)系，結(jié)合韋恩圖即可判斷．【解答】解：由題中韋恩圖可得，對(duì)于，，2，4，，，，故正確；對(duì)于，，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，故正確；對(duì)于，，或，，，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的含義、集合間的關(guān)系以及韋恩圖，較簡(jiǎn)單．三．填空題（共5小題）16．（2024?南岸區(qū)模擬）．【答案】．【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解．【解答】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?崇明區(qū)二模）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（3）9．【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)的解析式，再計(jì)算（3）的值．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得，；（3）．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求冪函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)的解析式求函數(shù)值的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．18．（2024?浦東新區(qū)三模）已知實(shí)數(shù)、、、滿足，，，則1．【答案】1．【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；三角函數(shù)的求值；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題【分析】由題意結(jié)合三角換元和三角恒等變換即可求解．【解答】解：實(shí)數(shù)、、、滿足，，可令，，，，則，可得，則．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角換元的運(yùn)用，三角恒等變換，是中檔題．19．（2024?海淀區(qū)一模）已知，則4．【答案】4．【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?閔行區(qū)三模）方程的解集為．【答案】．【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)方程求解【專題】整體思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】依題意得到，解得即可．【解答】解：因?yàn)椋瑒t，解得，所以方程的解集為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2023?城關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)是上的奇函數(shù)，求的值；（Ⅱ）若函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值的差不小于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)】：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】（Ⅰ）函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，解得的值；（Ⅱ）若函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)，恒成立．即恒成立，進(jìn)而可得答案；（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值的差不小于2，則，解得答案．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，求得．（2分）又此時(shí)是上的奇函數(shù)．所以為所求．（4分）（Ⅱ）函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)，則恒成立．即恒成立，由于．（6分）故只要即可（7分）（Ⅲ）由已知函數(shù)是減函數(shù)，故在區(qū)間，上的最大值是，最小值是．（8分）由題設(shè)（11分）故為所求．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．22．（2023?廣西一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）設(shè)，則．由此可知．（2）由題意知，的最小值為4，，由此可知的取值范圍．【解答】解：函數(shù)的定義域滿足，即，（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則．（3分），．（5分）（2）由知，的最小值為4，7分，的取值范圍是．（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．23．（2023?南京二模）已知函數(shù)，．（1）若，求證：；（2）若關(guān)于的不等式的解集為集合，且，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2），．【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解【分析】（1）先得到在上單調(diào)遞增，（1），再得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明即可；（2）先得到在上遞減，在，上遞增，再分類討論，求解即可．【解答】證明：（1）若，則，函數(shù)定義域?yàn)?，則在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，（1），當(dāng)時(shí)，（1），則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為（1），（1）；解：（2）為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，則存在，使，在上遞減，在，上遞增，又（1），由（1）可知，有，可得，滿足，；①若，有，存在，使，則，有（a），則，設(shè)（a），，則（a）為增函數(shù)，（1），（a）在上遞增，，，②若，有，存在，使，則，有，符合題意，綜上，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．24．（2022?黃浦區(qū)二模）設(shè)為常數(shù)，函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的反函數(shù)；（2）若，根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷；反函數(shù)【專題】計(jì)算題；分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）利用把表示出來(lái)即可求得結(jié)果；（2）對(duì)分情況討論，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由，得，于是，且．因此，所求反函數(shù)為．（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，．，故函?shù)是奇函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，，函?shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)的求解以及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題．25．（2022?德陽(yáng)模擬）已知函數(shù)，的最大值為1．（1）求常數(shù)的值；（2）若，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)綜合題【專題】方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由題可得，分類討論可得時(shí)，，即，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)可求；（2）由題可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即得．【解答】解：（1）由題意，．由于，所以若，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，不合題意；若，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，，所以，兩邊取自然對(duì)數(shù)得：，即，令，則，易知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，（1），即的根為1，所以，即；（2）由（1）知，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由，不妨設(shè)，則，令，于是，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，且，，從而，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了轉(zhuǎn)化思想求函數(shù)的最值及極限思想，第一問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)分類討論得到，通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求的值；第二問(wèn)關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即證，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．交集及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒(méi)有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問(wèn)題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無(wú)限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．2．Venn圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補(bǔ)律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．Venn圖表示N∩（?UM）為：．【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】如圖，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，則陰影部分表示的集合是（）解：由題意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，故陰影部分表示的集合是?R（M∪N）＝[0，8]．3．等式與不等式的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對(duì)稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?（n∈N，且n＞1）．4．不等關(guān)系與不等式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對(duì)于相等關(guān)系來(lái)說(shuō)的，比如與就是相等關(guān)系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個(gè)式子，比方說(shuō)a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①對(duì)任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集為{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．這個(gè)題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)，這個(gè)題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個(gè)周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當(dāng)ab＞0時(shí)，a＞b?．證明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，則∴a＞b．這個(gè)例題就是上面定理的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯(cuò)的，直接舉個(gè)反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．5．基本不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，＝，用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤，若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒(méi)有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問(wèn)題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）技巧四：換元對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．6．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒(méi)有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問(wèn)題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價(jià)條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價(jià)條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問(wèn)題：＞0?f（x）?g（x）＞0；＜0?f（x）?g（x）＜0；≥0?；≤0?．7．函數(shù)的奇偶性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．8．冪函數(shù)的概念【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】?jī)绾瘮?shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．解析式：y＝xa＝定義域：當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：1．如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；2．如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)．當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：1．在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)．2．在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)．而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域．由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的．9．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點(diǎn)撥】例1：下列計(jì)算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）分析：直接由有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正確；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正確；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正確．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，先分別判斷四個(gè)備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題時(shí)要熟練掌握基本的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．10．指數(shù)函數(shù)的值域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】指數(shù)函數(shù)的解析式、定義、定義域、值域1、指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+∞）．2、指數(shù)函數(shù)的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指數(shù)函數(shù)定義，需注意的幾個(gè)問(wèn)題：①因?yàn)閍＞0，x是任意一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，ax是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．②規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，ax恒等于0；當(dāng)x≤0時(shí)，ax無(wú)意義；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，這時(shí)對(duì)于x＝，x＝在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一個(gè)常量，對(duì)它就沒(méi)有研究的必要，為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a＞0且a≠1．11．指數(shù)函數(shù)綜合題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象和性質(zhì)：0＜a＜1a＞1y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域（0，+∞）性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)（0，1）當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；x＜0時(shí)，0＜y＜1當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1；x＜0時(shí)，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)2、底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)的影響：①在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作函數(shù)的圖象，易看出：當(dāng)a＞l時(shí)，底數(shù)越大，函數(shù)圖象在第一象限越靠近y軸；同樣地，當(dāng)0＜a＜l時(shí)，底數(shù)越小，函數(shù)圖象在第一象限越靠近x軸．②底數(shù)對(duì)函數(shù)值的影響如圖．③當(dāng)a＞0，且a≠l時(shí)，函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小：若底數(shù)相同而指數(shù)不同，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較：若底數(shù)不同而指數(shù)相同，用作商法比較；若底數(shù)、指數(shù)均不同，借助中間量，同時(shí)要注意結(jié)合圖象及特殊值．12．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】ab＝N?logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程主要有以下幾種類型：（1）af（x）＝b?f（x）＝logab；logaf（x）＝b?f（x）＝ab（定義法）（2）af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）?f（x）logma＝g（x）logmb；（兩邊取對(duì)數(shù)法）（4）logaf（x）＝logbg（x）?logaf（x）＝；（換底法）（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（設(shè)t＝logax或t＝ax）（換元法）13．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．14．對(duì)數(shù)方程求解【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則，將對(duì)數(shù)方程化簡(jiǎn)為指數(shù)方程或代數(shù)方程．﹣當(dāng)兩邊都有對(duì)數(shù)時(shí)，利用對(duì)數(shù)等式logax＝logay得到x＝y(tǒng)．﹣逐步化簡(jiǎn)方程，求解未知數(shù)．﹣驗(yàn)證解是否滿足原方程．【命題方向】常見題型包括簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)方程、復(fù)合對(duì)數(shù)方程、涉及實(shí)際應(yīng)用的對(duì)數(shù)方程．方程ln（log2x）＝0的解是_____．解：∵ln（log2x）＝0，∴l(xiāng)og2x＝1，解得x＝2，15．求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是使對(duì)數(shù)有意義的自變量取值范圍，對(duì)于y＝logax，定義域?yàn)閤＞0．【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，確定自變量x的取值范圍．﹣確保對(duì)數(shù)運(yùn)算中底數(shù)a滿足a＞0且a≠1．﹣驗(yàn)證定義域的準(zhǔn)確性．【命題方向】常見題型包括直接求解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、結(jié)合具體題目條件分析定義域．函數(shù)y＝lg（x﹣1）的定義域?yàn)開____．解：∵x﹣1＞0，∴x＞1，（1，+∞）16．對(duì)數(shù)函數(shù)的值域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，我們把函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域是R．定點(diǎn)：函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）17．求對(duì)數(shù)函數(shù)的值域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，我們把函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域是R．定點(diǎn)：函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，確定其值域．﹣利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證值域的準(zhǔn)確性．【命題方向】常見題型包括直接求解對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，結(jié)合具體函數(shù)形式分析其值域．已知函數(shù)f（x）＝（2x﹣1）．（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域；（2）若x∈[1，]，求函數(shù)f（x）的值域．解：（1）要使函數(shù)有意義，則2x﹣1＞0，解得x＞，所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?∞），由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽．（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）＝（2x﹣1）在[1，]上為減函數(shù)，又f（1）＝1＝0，f（）＝（2×﹣1）＝8＝﹣3，所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣3，0]．18．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】19．對(duì)數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特征與其底數(shù)a有關(guān)，不同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象形態(tài)不同．0＜a＜1a＞1圖像【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式，確定其圖象形態(tài)．﹣對(duì)于復(fù)合函數(shù)，先分析內(nèi)層函數(shù)的圖象，再結(jié)合外層對(duì)數(shù)函數(shù)，確定復(fù)合函數(shù)的整體圖象．﹣利用圖象分析函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用．【命題方向】常見題型包括對(duì)數(shù)函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)的圖象分析，結(jié)合解析式和具體問(wèn)題確定函數(shù)圖象及其應(yīng)用．已知函數(shù)y＝loga（x+b）的圖象如圖．（1）求實(shí)數(shù)a與b的值；（2）函數(shù)y＝loga（x+b）與y＝logax的圖象有何關(guān)系？．解：（1）由圖象可知，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）與點(diǎn)（0，2），所以loga（﹣3+b）＝0，logab＝2，解得a＝2，b＝4，故實(shí)數(shù)a的值為2，b的值為4；（2）函數(shù)y＝loga（x+4）的圖象可以由y＝logax的圖象向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到．20．由對(duì)數(shù)函數(shù)的最值求解參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】通過(guò)已知對(duì)數(shù)函數(shù)的最值，反向求解函數(shù)的參數(shù)值，要求學(xué)生理解最值與參數(shù)的關(guān)系．【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析已知最值條件，設(shè)定對(duì)數(shù)函數(shù)的形式．﹣利用最值條件，求解對(duì)數(shù)函數(shù)的參數(shù)．﹣驗(yàn)證求解結(jié)果的正確性．【命題方向】常見題型包括通過(guò)最值反求對(duì)數(shù)函數(shù)的參數(shù)，結(jié)合解析式和實(shí)際問(wèn)題分析最值及其應(yīng)用．已知函數(shù)f（x）＝loga（x2﹣x+1）（a＞0且a≠1）若f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為2，求a的值．解：令u＝x2﹣x+1，y＝logau，則二次函數(shù)u＝x2﹣x+2在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由于外層函數(shù)y＝logau為減函數(shù)，所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在x＝處取得最大值，即，即，解得滿足題意；②當(dāng)a＞1時(shí)，由于外層函數(shù)y＝logau為增函數(shù)，所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在x＝0或x＝2處取得最大值，但f（0）＝0，則必有f（2）＝loga3＝2，即a2＝3，解得，合乎題意，綜上所述，a的值為或．21．對(duì)數(shù)值大小的比較【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、若兩對(duì)數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較．2、若兩對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進(jìn)行比較3、若兩對(duì)數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進(jìn)行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）22．反函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】定義一般地，設(shè)函數(shù)y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x，y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若對(duì)于y在中的任何一個(gè)值，通過(guò)x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么