2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一．選擇題（共10小題）1．（2024?宜賓三模）若曲線的一條切線方程是，則A． B．1 C． D．2．（2024?江西模擬）已知函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)，圖象分別如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是A．有3個(gè)極大值點(diǎn) B．有3個(gè)極小值點(diǎn) C．有1個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn) D．有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)3．（2024?江西一模）已知，則A． B． C． D．4．（2024?江西一模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，且，為偶函數(shù)，則（7）A．0 B．1 C．2 D．35．（2024?江西模擬）已知函數(shù)在處的切線斜率為，若在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為A． B． C．2 D．6．（2024?橋西區(qū)模擬）“”是“直線與曲線相切”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024?宿遷模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，已知兩圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則A．函數(shù)的最大值為1 B．函數(shù)的最小值為1 C．函數(shù)的最大值為1 D．函數(shù)的最小值為18．（2024?邢臺(tái)模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為A． B．1 C． D．9．（2024?宜賓三模）定義在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意的都有，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．，10．（2024?江蘇模擬）若命題：“，，使得”為假命題，則，的大小關(guān)系為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?建陽區(qū)一模）已知函數(shù)，，，是的導(dǎo)函數(shù)，則A．“”是“為奇函數(shù)”的充要條件 B．“”是“為增函數(shù)”的充要條件 C．若不等式的解集為且，則的極小值為 D．若，是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或12．（2024?回憶版）設(shè)函數(shù)，則A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，13．（2024?揚(yáng)州校級(jí)一模）若正數(shù)，滿足，則A． B． C． D．14．（2024?常德模擬）已知，，其中，則的取值可以是A． B． C． D．15．（2024?山西模擬）已知函數(shù)，則A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B． C． D．在區(qū)間上的極大值為三．填空題（共5小題）16．（2024?江西模擬）已知函數(shù)，，，則的取值范圍為．17．（2024?淄博一模）設(shè)方程，的根分別為，，函數(shù)，令，，，則，，的大小關(guān)系為．18．（2024?懷化二模）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為．19．（2024?重慶模擬）若直線為曲線的一條切線，則的最大值為．20．（2023秋?紅橋區(qū)期末）已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)．四．解答題（共5小題）21．（2024?貴州模擬）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個(gè)不同的點(diǎn)，判斷直線與曲線在點(diǎn)處的切線能否平行？請(qǐng)說明理由．22．（2024?江西一模）已知函數(shù)．（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，．①求的取值范圍；②求證：．23．（2024?榆林四模）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若，，，求的取值范圍．24．（2024?煙臺(tái)一模）已知曲線在處的切線與直線垂直．（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范圍．25．（2024?邢臺(tái)模擬）定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”．（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請(qǐng)說明理由；（2）已知函數(shù)，求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，，若，4，5，，，證明：．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?宜賓三模）若曲線的一條切線方程是，則A． B．1 C． D．【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)學(xué)模型法；方程思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率求解切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求值．【解答】解：由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，得，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題．2．（2024?江西模擬）已知函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)，圖象分別如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是A．有3個(gè)極大值點(diǎn) B．有3個(gè)極小值點(diǎn) C．有1個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn) D．有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件【專題】數(shù)形結(jié)合；整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系進(jìn)行分析即可求解．【解答】解：結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在，處取得極大值，在處取得極小值．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)極值的判斷，屬于基礎(chǔ)試題．3．（2024?江西一模）已知，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)線；對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)思想【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，利用導(dǎo)數(shù)可證不等式成立，故可判斷，故可得三者大小關(guān)系．【解答】解：，設(shè)，，則，所以在上為減函數(shù)，所以（1），即，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024?江西一模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，且，為偶函數(shù)，則（7）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【考點(diǎn)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的周期和偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，所以，對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，所以有，所以函數(shù)的周期為8，在中，令，所以（2），因此（2），因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以有（7）（1），（7）（2），由（1），（2）可得：（7），所以（7），故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．5．（2024?江西模擬）已知函數(shù)在處的切線斜率為，若在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為A． B． C．2 D．【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；函數(shù)思想【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求出，由的取值范圍求出的范圍，再根據(jù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)得到，即可求出的取值范圍，從而得解．【解答】解：由題意得，，則，即，又，解得，，由得，，，，又，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，，解得，的最大值為2．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．6．（2024?橋西區(qū)模擬）“”是“直線與曲線相切”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于3求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由切點(diǎn)處的函數(shù)值相等列式求解．然后判斷充要條件．【解答】解：由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，由，得，，解得．所以“”是“直線與曲線相切”的充分必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（2024?宿遷模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，已知兩圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則A．函數(shù)的最大值為1 B．函數(shù)的最小值為1 C．函數(shù)的最大值為1 D．函數(shù)的最小值為1【答案】【考點(diǎn)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；綜合題；函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定虛線部分為，再求函數(shù)的單調(diào)性可求出最值．【解答】解：由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，則，顯然錯(cuò)誤，對(duì)于，而言，，由圖像可知單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得最大值為1．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題．8．（2024?邢臺(tái)模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為A． B．1 C． D．【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；綜合題；構(gòu)造法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意可得恒成立，，分離參數(shù)，可得，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值，即可求出結(jié)果．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以恒成立，，即恒成立，，令，，，所以在上單調(diào)遞減，所以（1），所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬中檔題．9．（2024?宜賓三模）定義在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意的都有，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．，【答案】【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)【專題】數(shù)形結(jié)合；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】根據(jù)題意，由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得為定值，可以設(shè)，則，又由，即，解可得的值，可得的解析式，對(duì)其求導(dǎo)可得；將與代入，求出函數(shù)的最大值，即可得答案．【解答】解：是定義在上的單調(diào)函數(shù)，，為大于0的常數(shù)，設(shè)，則，又由，即，解得，，，，設(shè)，則，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)取得最大值1，其大致圖象如圖所示，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)是求出的解析式．10．（2024?江蘇模擬）若命題：“，，使得”為假命題，則，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】存在量詞和存在量詞命題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)抽象【分析】由題意得，，，使得，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可判斷．【解答】解：若命題：“，，使得”為假命題，則，，使得，即恒成立，令，，則，即在上單調(diào)遞增，由（a）（b），可得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含有量詞的命題真假關(guān)系的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系在不等式大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）11．（2024?建陽區(qū)一模）已知函數(shù)，，，是的導(dǎo)函數(shù)，則A．“”是“為奇函數(shù)”的充要條件 B．“”是“為增函數(shù)”的充要條件 C．若不等式的解集為且，則的極小值為 D．若，是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解；綜合法【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域與性質(zhì)及充分必要條件的定義可判斷；由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及充分必要條件的定義可判斷；由不等式的解集可得的單調(diào)性與極值及函數(shù)的零點(diǎn)，從而可得，，的值，求出解析式，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極小值，即可判斷；由△及根與系數(shù)的關(guān)系可求出的取值范圍，即可判斷．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，所以為奇函數(shù)，充分性成立；若為奇函數(shù)，則，則恒成立，所以，必要性成立，故項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，，所以為增函數(shù)；由題意得，當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，△，所以“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，故項(xiàng)錯(cuò)誤；，若不等式的解集為且，則在上先增后減再增，則，（1），解得，故，，令，解得或，所以在區(qū)間內(nèi)，，單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)，，單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，故項(xiàng)正確；，因?yàn)?，是方程的兩個(gè)不同的根，所以△，即①，，，由，得，所以，即②，由①②得，解得或，故項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷，充分必要條件的定義，考查邏輯推理與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．（2024?回憶版）設(shè)函數(shù)，則A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】對(duì)于，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而得到極值情況，可判斷；對(duì)于，由，結(jié)合單調(diào)性，可判斷；對(duì)于，直接計(jì)算以及與0的關(guān)系，可判斷；對(duì)于，利用作差法，可判斷．【解答】解：對(duì)于，，易知當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，時(shí)，，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，選項(xiàng)正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，且，又在上單調(diào)遞增，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，由于，一方面，，另一方面，，則，選項(xiàng)正確；對(duì)于，由于，則，即，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．13．（2024?揚(yáng)州校級(jí)一模）若正數(shù)，滿足，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】結(jié)合基本不等式可求的范圍，然后結(jié)合基本不等式及指數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)，，結(jié)合選項(xiàng)中不等式的特點(diǎn)，合理的構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系檢驗(yàn)選項(xiàng)，．【解答】解：因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，正確；因?yàn)?，，令，，則，即在上單調(diào)遞增，所以（1），即，所以，所以，正確；因?yàn)椋睿?，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及函數(shù)的性質(zhì)在不等關(guān)系的判斷中的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（2024?常德模擬）已知，，其中，則的取值可以是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由已知可得，不妨設(shè)，利用換元法令，將已知兩式相減化簡(jiǎn)可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷，可得，進(jìn)而可求得的取值范圍，從而可得答案．【解答】解：令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，，又，不妨設(shè)，令；兩式相減，可得，則，；令，，則，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ栽谏蠁握{(diào)遞增，因?yàn)椋?）在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則（1），即，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．15．（2024?山西模擬）已知函數(shù)，則A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B． C． D．在區(qū)間上的極大值為【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】對(duì)于選項(xiàng)，把軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為等式成立，結(jié)合誘導(dǎo)公式，從而可以得證；對(duì)于選項(xiàng)，先化簡(jiǎn)，然后結(jié)合基本不等式，即可求得最小值；對(duì)于選項(xiàng)，令，舉反例，可得錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，即可求解．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減．由，得，且，，，又，則，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合選項(xiàng)知在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，故的極大值為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)的對(duì)稱性，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?江西模擬）已知函數(shù)，，，則的取值范圍為．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】令，然后求導(dǎo)，找到最大值，當(dāng)恒成立時(shí)，最大值小于等于零，解出．【解答】解：令，有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最大值，若恒成立，則，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式恒成立求解參數(shù)范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．17．（2024?淄博一模）設(shè)方程，的根分別為，，函數(shù)，令，，，則，，的大小關(guān)系為．【答案】．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】先利用方程的根與圖象的交點(diǎn)的關(guān)系，及互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)系推得，由此得到，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解：由，得，由，得，因?yàn)榉匠痰母鶠椋院瘮?shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以兩函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，易知直線與直線互相垂直，所以，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，即，的中點(diǎn)一定落在，亦即點(diǎn)為與的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，即，所以，所以，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，而，又，，，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)與方程的綜合，函數(shù)值大小的比較，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．18．（2024?懷化二模）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；分析法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解結(jié)論．【解答】解：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，故的單調(diào)增區(qū)間為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19．（2024?重慶模擬）若直線為曲線的一條切線，則的最大值為．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】函數(shù)思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)，切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再結(jié)合題意求出，的關(guān)系，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可．【解答】解：設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，整理可得，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用導(dǎo)函數(shù)解決曲線上的切線問題，屬于中檔題．20．（2023秋?紅橋區(qū)期末）已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)．【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則即可得出答案．【解答】解：由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可知．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生應(yīng)熟練掌握特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是送分的題．四．解答題（共5小題）21．（2024?貴州模擬）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個(gè)不同的點(diǎn)，判斷直線與曲線在點(diǎn)處的切線能否平行？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）不能，詳見解答過程．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在條件即可求解；（2）由已知結(jié)合直線的斜率公式及等比數(shù)列的性質(zhì)可得關(guān)于的方程，結(jié)合等式特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）令，由題設(shè)知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)及時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，（1）且時(shí)．所以當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．（2）因?yàn)榍?，，成等比?shù)列，設(shè)公比為，則，，（8分）直線的斜率，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，假設(shè)直線與函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行，則，整理成，令，，則，所以在單調(diào)遞增，所以（1），所以在時(shí)無實(shí)數(shù)解，所以直線與函數(shù)在點(diǎn)處的切線不能平行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)在零點(diǎn)存在問題中的應(yīng)用，還考查了等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．22．（2024?江西一模）已知函數(shù)．（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，．①求的取值范圍；②求證：．【答案】（1）；（2）①；②證明見解析．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想；綜合法【分析】（1）利用切點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求解；（2）①令，由題意可知，在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理分類討論求解即可；②由①分析得，，令，可得在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，根?jù)不等式性質(zhì)計(jì)算即可得證．【解答】解：（1）若，則，所以，所以（1），又（1），所以的圖象在處的切線方程為，即．（2）①由題意知．令，則．因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)不等正實(shí)根，．若，，則在上單調(diào)遞增，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以時(shí)，取得極大值，即最大值為，所以，解得．當(dāng)時(shí)，，又，所以，由零點(diǎn)存在性定理知：存在唯一的，使得．又，令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，由零點(diǎn)存在性定理知：存在唯一的，使得．所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等正實(shí)根，．綜上，的取值范圍是．②證明：由①知，且，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，及（1），所以，又，所以．因?yàn)?，，所以，，所以，所以．令，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以．所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力，考查了函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．23．（2024?榆林四模）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若，，，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）的極小值為，極大值為；（Ⅱ），．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，，根據(jù)單調(diào)性可得極值．（Ⅱ）分別討論和，根據(jù)單調(diào)性和，，，可得結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ），則，令，解得或．所以當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，極大值為．（Ⅱ），①若，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，則，不符合題意．②若，令函數(shù)，則的圖象開口向下，且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，，因?yàn)?，且，，，所以不可能是函?shù)的極大值．則，即．當(dāng)，即時(shí)，若，，則，函數(shù)單調(diào)遞減；若，，則，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，符合題意．當(dāng)，即時(shí)，若，，則，函數(shù)單調(diào)遞減；若，則，函數(shù)單調(diào)遞增；若，則，函數(shù)單調(diào)遞減；又，故只需即可，解得，所以，綜上，的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．24．（2024?煙臺(tái)一模）已知曲線在處的切線與直線垂直．（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想；綜合法【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，求出曲線在處的切線斜率，由該切線與直線垂直，再由互相垂直的直線斜率之積等于即可求出的值；（2）由（1）的結(jié)論，恒成立，分離常數(shù)得，【解答】解：（1）因?yàn)?，則，所以（2），因?yàn)榍€在處的切線與直線垂直，所以，所以．（2）由（1）有，，定義域?yàn)?，所以不等式等價(jià)于，即，令，則恒成立等價(jià)于，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．25．（2024?邢臺(tái)模擬）定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”．（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請(qǐng)說明理由；（2）已知函數(shù)，求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，，若，4，5，，，證明：．【答案】（1）不是，理由見解答；（2）；（3）證明見解答．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)為1的切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出過兩切點(diǎn)的切線方程，比較可得；（2）求出導(dǎo)數(shù)，利用其單調(diào)性可設(shè)切點(diǎn)為，，，，且，寫出兩切線方程后由斜率相等，縱截距相等聯(lián)立，求得切點(diǎn)坐標(biāo)后可得切線方程；（3）設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，只需考慮，情形，在此條件下求得，，即，構(gòu)造函數(shù)，則，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，從而得出縮小的范圍，所以，證明則，再由不等式的性質(zhì)可證結(jié)論．【解答】解：（1）不是，理由如下：由已知，由解得，，又，不妨設(shè)切點(diǎn)為，在點(diǎn)處的切線的方程為，即，在點(diǎn)的切線方程為，即與直線不重合，所以直線不是曲線的“雙重切線”．（2）由題意，函數(shù)和都是單調(diào)函數(shù)，則可設(shè)切點(diǎn)為，，，，且，所以在點(diǎn)處的切線的方程為，在點(diǎn)的切線方程為，設(shè)，則，所以是減函數(shù)，又，所以在時(shí)只有一解，所以方程的解是，從而，在點(diǎn)處切線方程為，即，在點(diǎn)處的切線方程為，即，所以“雙重切線”方程為；（3）證明：設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，由于，所以，，由余弦函數(shù)的周期性，只要考慮的情形，又由余弦函數(shù)的圖象，只需考慮，情形．則，其中，所以，又，，即，時(shí)，，，令，則，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，此時(shí)，則，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．充分條件與必要條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對(duì)于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．存在量詞和存在量詞命題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞．符號(hào)：?特稱命題：含有存在量詞的命題．符號(hào)：“?”．存在量詞：對(duì)應(yīng)日常語言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有的”等詞，用符號(hào)“?”表示．特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡(jiǎn)記成“?x0∈M，p（x0）”．“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”叫做存在量詞．命題全稱命題?x∈M，p（x）特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②對(duì)一切x∈M，使p（x）成立②至少有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立③對(duì)每一個(gè)x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④對(duì)任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立④存在某一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，則p（x）成立⑤有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立【解題方法點(diǎn)撥】由于全稱量詞的否定是存在量詞，而存在量詞的否定又是全稱量詞；因此，全稱命題的否定一定是特稱命題；特稱命題的否定一定是全稱命題．命題的“否定”與一個(gè)命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念，對(duì)命題的否定是否定命題所作的判斷，而否命題是對(duì)“若p則q”形式的命題而言，既要否定條件，也要否定結(jié)論．常見詞語的否定如下表所示：詞語是一定是都是大于小于詞語的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于詞語且必有一個(gè)至少有n個(gè)至多有一個(gè)所有x成立詞語的否定或一個(gè)也沒有至多有n﹣1個(gè)至少有兩個(gè)存在一個(gè)x不成立【命題方向】本考點(diǎn)通常與全稱命題的否定，多以小題出現(xiàn)在填空題，選擇題中．3．函數(shù)的奇偶性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．4．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．5．對(duì)數(shù)值大小的比較【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、若兩對(duì)數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較．2、若兩對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進(jìn)行比較3、若兩對(duì)數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進(jìn)行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）6．三角函數(shù)線【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】幾何表示三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線．【命題方向】若，則（）A．sinα＞cosα＞tanαB．cosα＞tanα＞sinαC．sinα＞tanα＞cosαD．tanα＞sinα＞cosα分析：根據(jù)題意在坐標(biāo)系畫出單位圓，并且作出角α得正弦線、余弦線和正切線，再由α的范圍比較出三角函數(shù)線的大?。猓河扇呛瘮?shù)線的定義作出下圖：OP是角α的終邊，圓O是單位圓，則AT＝tanα＞1，OM＝cosα，MP＝sinα，∵，∴OM＜MP＜1，即tanα＞sinα＞cosα，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用角的三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值大小，關(guān)鍵是正確作圖，利用角的范圍比較出三角函數(shù)線的大小．7．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′＝*（logae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差積商的導(dǎo)數(shù)①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點(diǎn)撥】1．由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用．在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導(dǎo)數(shù)典例1：已知函數(shù)f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數(shù)；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2xD．（）′＝解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于選項(xiàng)A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，成立，故D正確．故選C．8．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，∴對(duì)任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；（Ⅲ）求證：．解：（Ⅰ）（2分）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴由題意知：對(duì)于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此時(shí)f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴∴9．由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)（導(dǎo)數(shù)法）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；（Ⅲ）求證：．解：（Ⅰ）（2分）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴由題意知：對(duì)于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此時(shí)f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴∴10．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點(diǎn)；（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點(diǎn)．2、極值的性質(zhì)：（1）極值是一個(gè)局部概念，由定義知道，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小；（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)；（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f（x）的極值點(diǎn)，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點(diǎn)，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點(diǎn)，f（x0）是極小值．4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無極值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．11．函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】極值的判斷首先要求：1、該處函數(shù)值有意義，2、該處函數(shù)連續(xù)．求極值的時(shí)候F'（X）＝0是首先考慮的，但是對(duì)于F'（X）無意義的點(diǎn)也要討論，只要該點(diǎn)有函數(shù)值且函數(shù)連續(xù)、兩邊導(dǎo)函數(shù)值異號(hào)，就可以確定該點(diǎn)是極值點(diǎn)．具備了這些條件，我們進(jìn)一步判定極大值和極小值：當(dāng)這個(gè)點(diǎn)左邊的導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)，即左邊單調(diào)遞增，右邊的導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)，即右邊單調(diào)遞減，此時(shí)這個(gè)點(diǎn)就是極大值，你可以把他理解成波峰的那個(gè)點(diǎn)；那么波谷的那個(gè)點(diǎn)就是極小值，情況相反．【解題方法點(diǎn)撥】這也是導(dǎo)數(shù)里面很重要的一個(gè)點(diǎn)，可以單獨(dú)出題，也可以作為大題的一個(gè)小問，還可以隱含在條件中作為隱含信息，大家務(wù)必理解，并靈活運(yùn)用．【命題方向】例1：求函數(shù)f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：∵函數(shù)f（x）＝3x5﹣5x3﹣9∴f'（x）＝15x4﹣15x2令f'（x）＝0則x＝﹣1，x＝0或x＝1又∵當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0故函數(shù)f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)．這個(gè)例題中首先判斷的是其是否連續(xù)，然后在求導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)有幾個(gè)，即它的極值點(diǎn)有幾個(gè)．例2：已知實(shí)數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y＝3x﹣x3的極大值點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，c），則ad等于．解：已知實(shí)數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad＝bc，∵y′＝3﹣3x2＝0，則x＝±1，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1是極大值點(diǎn)．極大值為2．∴b＝1，c＝2由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：ad＝bc＝2．這個(gè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，但要求的是極大值，這個(gè)時(shí)候我們可以聯(lián)想到波峰，即在這個(gè)點(diǎn)的左邊必須要大于0，要是單調(diào)遞增的，右邊必須小于0，既是單調(diào)遞減的，這樣這個(gè)點(diǎn)才處于波峰的位置，這個(gè)時(shí)候就是極大值，這里的驗(yàn)證其實(shí)就是做這個(gè)工作．12．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)