【八年級上冊數(shù)學(xué)滬教版】專題13 添加輔助線（知識精講+綜合訓(xùn)練）（解析版）

第第頁參考答案：1．C【分析】過作的平行線交于，通過證明≌，得，再由是等邊三角形，即可得出．【詳解】解：過作的平行線交于，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，∵CQ＝PA，∴在中和中，，≌，，于，是等邊三角形，，，，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】過作的平行線交于，通過證明≌，得，再由是等邊三角形，即可得出．【詳解】解：過作的平行線交于，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，在中和中，，≌，，于，是等邊三角形，，，，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】①如圖，過點分別作的垂線交及的延長線于點，證明，，即可得結(jié)論；②延長至，使，連接證明，取的中點，連接并延長至，使得，可得，證明，，則可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，則，由可得即可得【詳解】解：①如圖，過點分別作的垂線交及的延長線于點，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC同理可得又故①正確②如圖，延長至，使，連接，如圖，取的中點，連接并延長至，使得，是的中點，，，又③如圖，由①可知，故不一定等于故③不正確④如圖，由②可知，故④正確綜上所述，故正確的有①②④故選B【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．【分析】延長到E，使，連接，證，推出，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可．【詳解】解：延長到E，使，連接∵的中線，∴，在中，，∴，∴，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點的理解和掌握，能推出是解此題的關(guān)鍵．5．##【分析】如圖，延長至F，使得，交于點G，通過“邊角邊”證明，則，根據(jù)題意與三角形的外角性質(zhì)可得，進而可得，設(shè)，根據(jù)題意得到關(guān)于x的方程，然后求解方程即可．【詳解】解：如圖，延長至F，使得，交于點G，∵點E是的中點，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，

設(shè)，∵，∴，解得，即．故答案為：【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點，根據(jù)中點作出適當?shù)妮o助線．6．【分析】延長到E，使得，連接，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系定理解答即可．【詳解】解：延長到E，使得，連接，如圖，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練運用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．7．6【分析】延長至N，使，連接，證明，推出，，求出，再證明即可．【詳解】證明：延長AM至N，使，連接，∵點M為的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案為：6．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，延長至N，使，再證即可，這就是“倍長中線”，實質(zhì)是“補短法”．8．54°【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案【詳解】解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD=x，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=36°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-36°），∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x-（x-36°）-（x-36°）=72°，∴∠CAF=108°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，∴RtRt（HL），∴∠FAP=∠PAC=54°．故答案為：54°．【點睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵．9．##【分析】在上取一點T，使得，連接，在上取一點K，使得，連接．想辦法證明，推出，推出即可解決問題．【詳解】解：在上取一點T，使得，連接，在上取一點K，使得，連接．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．10．（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析【分析】（1）延長BE、AC交于點H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵．11．見解析【分析】在BC上截取BE＝BA，連接DE，證明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，則DE＝DC，從而得出AD＝CD即可證明．【詳解】證：如圖，在BC上截取BE＝BA，連接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴點D在線段AC的垂直平分線上．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定等，學(xué)會做輔助線找出全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．（1）證明見解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，（2）在BC上取一點G使BG=BD，構(gòu)造（SAS），再證明，即可得，由此求出答案；（3）延長BA到P，使AP=FC，構(gòu)造（SAS），得PC=BC，，再由三角形內(nèi)角和可求，，進而可得．【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，，，，（2）如解（2）圖，在BC上取一點G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在與中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）圖，延長BA到P，使AP=FC，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．AC+BD=AB，理由見見解析【分析】在BA上截取BF=BD，連接EF，先證得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，從而證得，可得AF=AC，即可求解．【詳解】解：AC+BD=AB，證明如下：在BA上截取BF=BD，連接EF，如圖所示：∵AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．（1）AB-BD=CB，證明見解析．（2）BD-AB=CB，證明見解析．【分析】（1）仿照圖（1）的解題過程即可解答．過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，根據(jù)同角（等角）的余角相等可證∠BCD=∠ACE及∠CAE=∠D，由ASA可證△ACE≌△DCB，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得：AE=DB，CE=CB，從而確定△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理可得：BE=CB，由BE=AB-AE，可得BE=AB-BD，即AB-BD=CB；（2）解題思路同（1），過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，根據(jù)等角的余角相等及等式的性質(zhì)可證∠BCD=∠ACE及∠CAE=∠D，由ASA可證△ACE≌△DCB，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得：AE=DB，CE=CB，從而確定△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理可得：BE=CB，由BE=AE-AB，可得BE=BD-AB，即BD-AB=CB．【詳解】解：（1）AB-BD=CB．證明：如圖（2）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AB-AE，∴BE=AB-BD，∴AB-BD=CB．（2）BD-AB=CB．如圖（3）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE-AB，∴BE=BD-AB，∴BD-AB=CB．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等．注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．15．（1）見解析；（2）∠DCF＝45°．【分析】（1）由垂直定義可得∠CAD=∠ACB=90°，再根據(jù)題意得∠EAF=∠DAF，即可證得結(jié)論；（2）過點F作FM⊥FA交AC于點M，由“AAS”可證△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可證△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．【詳解】證明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，∴∠EAF＝∠DAF，在△EAF和△DAF中，，∴△EAF≌△DAF（SAS）；（2）如圖2，過點F作FM⊥FA交AC于點M，∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，∴∠FMA＝45°＝∠FAM，∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，∵EF＝FC，∴∠FEM＝∠FCA，在△AEF和△MCF中，，∴△AEF≌△MCF（AAS），∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，∵△EAF≌△DAF，∴∠EFA＝∠DFA，∴∠DFA＝∠MFC，∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∵DF＝EF＝CF，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠DCF＝45°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（1）；（2），見解析；（3）44°或104°；詳見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，由此即可解題；（2）在AC邊上取一點M使AM=AB，構(gòu)造，根據(jù)即可得出答案；（3）畫出圖形，根據(jù)點E的位置分四種情況，當點E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，可得，設(shè)，則；根據(jù)∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，可得，可證（SAS），得出，利用還有，列方程；當點E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，得出，設(shè)，則；∠BAC＝24°，根據(jù)AD為△ABC的角平分線，得出，證明（SAS），得出，利用三角形內(nèi)角和列方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD為△ABC的角平分線，即，∴；∴（2）如圖2，在AC邊上取一點M使AM=AB，連接MP，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如圖，點E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；當點E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；如圖，點E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∵∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度數(shù)為44°或104°．【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．17．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）過點分別作于點，交的延長線于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件HL證明，繼而可得，根據(jù)平角的定義以及等量代換即可證明；（2）過點分別作于點，交的延長線于點，過點作，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三線合一，可得，進而可得，根據(jù)角平分線的判定定理可推出，進而即可證明；（3）先證明四邊形是矩形，證明，進而證明四邊形是正方形，設(shè)，根據(jù)（2）的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理，求得，進而求得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得，進而在中，勾股定理即可求得的長．【詳解】（1）如圖，過點分別作于點，交的延長線于點，平分，，在與中（HL）即（2）如圖，過點作交的延長線于點，過點作，，即（3）如圖，過點分別作于點，交的延長線于點，，四邊形是矩形在與中，四邊形是正方形設(shè)在中在中，【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（1）1＜AD＜5；（2）見解析；（3）AF+EC=EF，見解析【分析】（1）證明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三邊關(guān)系解決問題即可．（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)H．證明，推出BE=CH，再證明EF=FH，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題．（3）結(jié)論：AF+EC=EF．延長BC到H，使得CH=AF．提供兩次全等證明AF=CE，EF=EH即可解決問題．【詳解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴(SAS)，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴(SAS)，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，F(xiàn)H=EF，∴BE+CF＞EF；（3）結(jié)論：AF+EC=EF．理由：延長BC到H，使得CH=AF．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴(SAS)，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，∵DE=DE，∴(SAS)，∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會倍長中線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．19．（1）∠DEF＝∠ACE，證明見解析；（2）見解析；（3）k【分析】（1）由三角形外角的性質(zhì)可得出答案；（2）連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，證明△DEF≌△