Mathematica數(shù)學(xué)實驗學(xué)習(xí)指導(dǎo)

Mathematica數(shù)學(xué)實驗學(xué)習(xí)指導(dǎo)計算機科學(xué)的發(fā)展，為我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)提供了一個科學(xué)的現(xiàn)代化的手段.把計算機引入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，使用計算機進行數(shù)學(xué)運算，這種用計算機代替紙和筆以及部分腦力勞動進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的手段稱為數(shù)學(xué)實驗.數(shù)學(xué)實驗為從事與數(shù)學(xué)研究有關(guān)的人們提供了實驗手段和研究工具，有著非常重要的作用，代表著數(shù)學(xué)研究的方向，是未來科學(xué)研究中不可缺少的方法.本書中，我們主要選擇高等數(shù)學(xué)中的一些基本問題作為實驗內(nèi)容，并采用數(shù)學(xué)軟件Mathematica作為實驗平臺.Mathematica是由美國的Wolfram公司開發(fā)的一個功能強大的計算機數(shù)學(xué)系統(tǒng)，以符號演算見長，也具有高精度的數(shù)值計算功能和強大的繪圖功能.高等數(shù)學(xué)實驗的大部分計算和繪圖作業(yè)都需要使用Mathematica輔助完成.本書介紹的命令可以適用于Windows操作系統(tǒng)下的Mathematica4.0.一、Mathematica4.0的操作1.Mathematica4.0的進入與退出如果你的計算機已經(jīng)安裝了Mathematica4.0，系統(tǒng)會在Windows“開始”菜單的“程序”子菜單中加入啟動Mathematica4.0的菜單項，用鼠標(biāo)單擊它就可以啟動Mathematica4.0，進入Mathematica4.0的系統(tǒng)工作界面：圖1Mathematica4.0系統(tǒng)工作界面Mathematica4.0系統(tǒng)工作界面是Mathematica4.0與用戶的接口，是Mathematica4.0的工作屏幕.界面上方的主菜單類似于Windows中的Word軟件.其中的空白位置稱為Notebook用戶區(qū),在這里可以輸入文本、實際的Mathematica4.0命令和程序等來達到使用Mathematica4.0的目的.在用戶區(qū)輸入的內(nèi)容被Mathematica4.0用一個擴展名為“.nb”的文件來記錄，該文件名是退出Mathematica4.0時保存用戶區(qū)輸入內(nèi)容的默認文件名，一般是“Untitled-1.nb”.退出Mathematica4.0系統(tǒng)像關(guān)閉Word軟件一樣，只要用鼠標(biāo)點擊Mathematica4.0系統(tǒng)集成界面右上角的“關(guān)閉”按鈕即可.關(guān)閉前，屏幕會出現(xiàn)一個對話框，詢問是否保存用戶區(qū)的內(nèi)容，如果單擊對話框的“Save”按鈕，則出現(xiàn)“另存為”對話框，在對話框中填上合適的路徑及文件名后，單擊“保存”按鈕，用戶區(qū)中的內(nèi)容便以給定文件名存盤并退出Mathematica4.0系統(tǒng)；如果單擊對話框的“Don’tSave”按鈕，則不保存用戶區(qū)的內(nèi)容，直接退出Mathematica4.0系統(tǒng).2.表達式的輸入和計算向Notebook用戶區(qū)寫入文字和數(shù)學(xué)表達式的方式是用鍵盤直接輸入.[例1]計算18！和66+88解：在工作窗口中輸入18！66+88同時按下Shift鍵和回車鍵進行計算.系統(tǒng)完成計算后，會輸出結(jié)果并自動在輸入行加入顯示標(biāo)記“In[1]:=”，在輸出行加入顯示標(biāo)記“Out[1]=”、“Out[2]=”.如：In[1]:=18!66+88Out[1]=6402373705728000Out[2]=154二、常數(shù)、變量與函數(shù)1.Mathematica4.0中的數(shù)據(jù)類型整數(shù)型：可以表示任意長度的精確整數(shù).如：31558有理數(shù)型：可以表示任意的既約分數(shù).如：2/3實數(shù)型：可以表示任意精確度的近似實數(shù).如：E復(fù)數(shù)型：可以表示復(fù)數(shù).如：2-3I2.系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)常數(shù)系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)常數(shù)見表1.表1系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)常數(shù)符號功能Pi圓周率πE自然對數(shù)的底eDegree度Infinity無窮大∞-Infinity負無窮大-∞I虛數(shù)單位i以上均為精確值，在近似計算時可用下式取任意精確度的近似值.格式1：N[表達式]功能：以系統(tǒng)默認的精確度輸出表達式的值.格式2：N[表達式,n]功能：以n位精確度輸出表達式的值.[例2]取圓周率π的前20位有效數(shù)字.解：鍵入：N[Pi,20]運行后得：3.14159265358979323853.變量與函數(shù)的命名規(guī)則=1\*GB3①變量名與函數(shù)名不能以數(shù)字開頭，可以是任意長度的字符串或數(shù)字串，但其中不能有空格及其它的運算符號.=2\*GB3②系統(tǒng)區(qū)分大小寫，在變量名中，字母大小寫的意義不同，一般規(guī)定系統(tǒng)變量名和系統(tǒng)函數(shù)名以大寫字母開頭，復(fù)合詞的每個字頭都大寫.為與系統(tǒng)變量和系統(tǒng)函數(shù)相區(qū)別，自定義的變量與函數(shù)名一般用小寫字母開頭.=3\*GB3③變量名與函數(shù)名一般采用完整的英語單詞.4.變量賦值與變量替換一個變量在參與表達式運算或輸出之前，必須先獲得確定的值，可通過變量賦值或變量替換來實現(xiàn).變量賦值就是把一個值賦予變量，賦值號為“=”.變量替換是在計算表達式時臨時用一個值替換變量，表達式求值完畢后變量保持原來的性態(tài)，替換形式為：“/.變量->”.舉例如表2.表2變量賦值與變量替換實例格式功能x=6賦值(將數(shù)值6賦予變量x)x=表達式賦值(將表達式的值賦予變量x)x=.取消賦值表達式/.x->6變量替換(計算時暫時用6替換表達式中的x)Clear[x]清除x的定義及其賦值5.四則運算(1)四則運算符號(表3)表3四則運算符號運算符號對應(yīng)函數(shù)加+Plus減-Minus乘*Times除/Divide乘方^Power(2)四則運算優(yōu)先級=1\*GB3①乘方>乘、除>加、減.=2\*GB3②同級運算從左到右.=3\*GB3③乘方運算從右到左.=4\*GB3④括號最優(yōu)先.6.Mathematica4.0常用數(shù)學(xué)函數(shù)表(表4)表4Mathematica4.0常用數(shù)學(xué)函數(shù)表函數(shù)功能Sqrt[x]x的算術(shù)平方根Log[x]x的自然對數(shù)lnxLog[b,x]以b為底x的對數(shù)logbxSin[x]x的正弦sinxCos[x]x的余弦cosxTan[x]x的正切tanxCot[x]x的余切cotxSec[x]x的正割secxCsc[x]x的余割cscxArcSin[x]x的反正弦arcsinxArcCos[x]x的反余弦arccosxArcTan[x]x的反正切arctanxArcCot[x]x的反余切arccotxAbs[x]x的絕對值|x|Exp[x]以e為底的指數(shù)函數(shù)exSign[x]符號函數(shù)sgnxRound[x]接近x的整數(shù)（四舍五入）Max[x1,x2,x3…]x1,x2,x3…中的最大值Min[x1,x2,x3…]x1,x2,x3…中的最小值GCD[n1,n2,n3…]n1,n2,n3…的最大公約數(shù)LCM[n1,n2,n3…]n1,n2,n3…的最小公倍數(shù)n!n的階乘n!!n的雙階乘Mod[m,n]m被n整除的余數(shù)，余數(shù)與n的符相同Quotient[m,n]m/n的整數(shù)部分Random[]產(chǎn)生0~1之間的隨機數(shù)Random[Real,x]產(chǎn)生0~x之間的隨機數(shù)Random[Real,{x1,x2}]產(chǎn)生x1~x2之間的隨機數(shù)Floor[x]不大于x的最大整數(shù)Ceiling[x]不小于x的最小整數(shù)7.自定義函數(shù)格式1：f[x_]:=表達式功能：定義一元函數(shù)f(x)格式2：f[x_,y_]:=表達式功能：定義二元函數(shù)f(x,y)格式3：Clear[f]功能：取消對f的定義注意：=1\*GB3①函數(shù)定義中只能使用方括號，如：f[x_]；不能使用圓括號，如：f(x_).=2\*GB3②在定義函數(shù)中f[x_]與f[x]意義不同，f[x_]中x_稱為形式參數(shù)，當(dāng)x_取一參數(shù)時，其右端表達式中的x將會隨所取參數(shù)而變化.而f[x]的定義僅對對象x起作用，當(dāng)x改變時，其右端表達式中的x不會改變.=3\*GB3③自定義函數(shù)定義之后，程序執(zhí)行該語句時不產(chǎn)生任何實際操作，也不計算函數(shù)值，僅僅表明該函數(shù)代表某一表達式.調(diào)用時，只需用實際參數(shù)(變量或數(shù)值)代替形式參數(shù)x_即可.[例3]比較f[x_]與f[x]的用法：鍵入：f[x_]:=3x+1(用形式參數(shù)x_定義函數(shù)f(x))f[1](計算f(1))f[x](計算f(x))f[y](計算f(y))f[Sin[y]](計算f(siny))g[x]=3x+1(用變量x定義函數(shù)g(x))g[1]+g[x]+g[y]運行后分別得：41+3x1+3y1+3Sin[y]1+3x1+3x+g[1]+g[y]8.關(guān)系表達式與邏輯表達式(表5，表6)表5關(guān)系表達式關(guān)系表達式功能x==yx等于yx!=yx不等于yx>yx大于yx<yx小于yx>=yx大于等于yx<=yx小于等于yx==y==zx,y,z都相等x!=y!=zx,y,z都不相等表6邏輯表達式邏輯運算符功能邏輯表達式舉例Not非Not[x==1]And或&&與x!=0&&y<3或And[x!=0,y<3]Or或||或x==0||y==0或Or[x==0,y==0]9.定義分段函數(shù)定義分段函數(shù)的方法有以下兩種：(1)在函數(shù)定義表達式的后面加寫符號“/;”，指定自變量的范圍.[例4]定義分段函數(shù)并求x=4和x=-4時的值.解：鍵入：y[x_]:=x+Sqrt[x]/;x>=0y[x_]:=x^2/;x<0y[4]y[-4]運行后得：616(2)使用函數(shù)Which或If將在分支結(jié)構(gòu)介紹.三、表的使用方法1.表的概念表代表特定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu).它是將若干表達式用{}括起來，構(gòu)成的一個整體對象.表的數(shù)據(jù)類型是List.表可以用來表示各種對象，如：數(shù)據(jù)表{1,5,9,3.6,3.14}、變量表{x,y,z,t,u,v}、3╳3矩陣{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}、解集{{x->2,y->3}}.表的成員稱為元素，表中元素的個數(shù)稱為表的長度.若表中的元素還是表，稱其為子表，子表的元素稱為第二層元素.類似地，可以定義第三層、第四層元素…2.表的元素的表示(表7)表7表的元素的表示格式功能t[[n]]表t中的第n個元素t[[-n]]表t中的倒數(shù)第n個元素First[t]表t中的第1個元素Last[t]表t中的最后一個元素t[[i,j]]表t中第i個子表的第j個元素t[[{n1,n2,…}]]或Part[t,{n1,n2,…}]由t中的第n1,n2,…等元素組成的新表3.表的構(gòu)造方法(1)直接法當(dāng)表中的元素較少時，可采用直接向表中鍵入各個元素的方法建造表，格式為：表名={元素1，元素2，…}如：data={張，{1，2，3，4}，5678}(2)利用表的生成函數(shù)Table當(dāng)表中的元素較多時，可用表的生成函數(shù)Table來建造表.表的建造使用循環(huán)描述方式來實現(xiàn)，循環(huán)描述的調(diào)用格式為：格式：{k,k0,k1,d}功能：k為循環(huán)變量，k0為循環(huán)初值，k1為循環(huán)終值，d為步長增量；循環(huán)初值、循環(huán)終值、步長增量可以取整數(shù)、有理數(shù)或?qū)崝?shù)；當(dāng)步長為1時可以省略，當(dāng)循環(huán)初值為1時也可以省略.例如：{k,10}表示k的取值范圍是1到10的整數(shù){k,3,9}表示k的取值范圍是3，4，5，6，7，8，9{k,8,6}表示k的取值范圍是空集用表的生成函數(shù)建造表的格式為：格式1：Table[通項公式f(n),{n,n0,n1,d}]功能：按照通項公式生成表中的元素，元素的個數(shù)由循環(huán)描述確定.格式2：Table[f(m,n),{m,m0,m1,d1},{n,n0,n1,d2}]功能：生成二重嵌套表.[例5]構(gòu)造1到10的立方表，步長為2.解：鍵入：Table[n^3,{n,1,10,2}]運行后得：{1,27,125,343,729}[例6]構(gòu)造到之間的余弦函數(shù)表，間隔取為.解：鍵入：Table[N[Cos[xDegree]],{x,30,40}]運行后得：{0.866025,0.857167,0.848048,0.838671,0.829038,0.819152,0.809017,0.798636,0.788011,0.777146,0.766044}4.對表中元素的調(diào)整在使用表的過程中，調(diào)整表中元素的系統(tǒng)函數(shù)見表8.表8調(diào)整表中元素的系統(tǒng)函數(shù)格式功能Rest[表名]從給定的表中去掉第一個元素Prepend[表名,a]將元素a加到該表的第一位Append[表名,a]將元素a加到該表的末尾Insert[表名,a,k]將元素a加到該表的第k位ReplacePart[表名,a,k]用元素a替換該表的第k個元素Take[表名,{m,n}]從給定的表中取出從m位到n位的元素Drop[表名,{m,n}]從給定的表中去掉從m位到n位的元素Apply[f,表名]將函數(shù)f作用到該表的每一位元素[例7]生成1到10的整數(shù)表，取名a，從a中取出第3位到第9位的元素，計算它們的和.解：鍵入：a=Table[n,{n,10}]a39=Take[a,{3,9}]Apply[Plus,a39]運行后得：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}{3,4,5,6,7,8,9}42四、程序設(shè)計在進行較復(fù)雜的操作時，一般要把一系列Mathematica命令組合起來，稱為批命令或程序.一個程序為了完成其既定的任務(wù)必須有效地控制其流程，下面主要介紹程序設(shè)計中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和分支結(jié)構(gòu).1.循環(huán)結(jié)構(gòu)當(dāng)反復(fù)進行同一類操作時可使用循環(huán)結(jié)構(gòu).這里主要介紹三種方式.(1)函數(shù)Do格式1：Do[循環(huán)體,[k,k0,k1,d]]功能：重復(fù)執(zhí)行循環(huán)體，循環(huán)次數(shù)由循環(huán)變量k決定，循環(huán)變量k從k0變化到k1，步長為d.格式2：Do[循環(huán)體,[k,k0,k1],[m,m0,m1]]功能：二重循環(huán).在使用循環(huán)結(jié)構(gòu)時，若要中斷循環(huán)，可使用“Break”命令進行中斷，跳出循環(huán)體.使用格式為“Break[]”.[例8]已知數(shù)列{an}滿足求a3.解：鍵入：a=x;Do[a=1/(1+n*a),{n,1,3}];Print[“a3=”,a]運行后得：注：若命令后面有分號“；”時不顯示該命令的執(zhí)行結(jié)果，繼續(xù)執(zhí)行下一命令.(2)函數(shù)While格式：While[條件表達式,循環(huán)體]功能：對條件表達式進行檢驗，若為真時則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，否則終止循環(huán).其中循環(huán)體可以是一條命令，也可以是若干條命令.[例9]已知給定ε=10-4，求N，使當(dāng)n>N時，解：鍵入：n=1;While[1/n^2>=10^-4,n=n+1];Print[“n=”,n]運行后得：n=101(3)函數(shù)For格式：For[k=k0,條件表達式,k++,循環(huán)體]功能：對條件表達式進行檢驗，若為真時則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，否則終止循環(huán).k的初始值為k0，k++表示循環(huán)控制變量k的值加1.[例10]輸出不大于3的自然數(shù).解：鍵入：For[k=1,k