2024-2025學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高一下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】向量，，若，則有，解得.故選：D.2.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.5 D.【正確答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算復(fù)數(shù)的虛部定義即可得解..【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A3.若，則A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】分析：由公式可得結(jié)果.詳解：故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.4.在中，，則的最小內(nèi)角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由正弦定理可得是最小的角，設(shè)，再由余弦定理可得答案.【詳解】由正弦定理可得，可得是最小的角，設(shè)，則，由余弦定理得.故選：B.5.如圖，已知等腰直角三角形，是由斜二測(cè)畫(huà)法得到的一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A B.1 C. D.【正確答案】D【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法還原圖形可得答案.【詳解】∵，，，∴，由此可知平面圖形是如圖所示的，其中，，，∴．故選：D.6.已知銳角滿足，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由三角函數(shù)的定義可得，再利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】由題意可得，，==+.故選：A．7.在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由向量線性運(yùn)算結(jié)合圖形特征，求出的值即可.【詳解】在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，所以，.故選：B8.若，是一組基底，向量，則稱為向量在基底，下的坐標(biāo)．現(xiàn)已知向量在基底，下的坐標(biāo)為，則在另一組基底，下的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意可得，且，代入運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，，，可知，又因?yàn)橄蛄吭诨祝碌淖鴺?biāo)為，則，所以在基底，下的坐標(biāo)為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A. B.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C.z的虛部為 D.z的共軛復(fù)數(shù)為【正確答案】AB【分析】由復(fù)數(shù)的相關(guān)概念依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，因?yàn)閦＝1＋，所以|z|＝＝，其對(duì)應(yīng)的為在第一象限，且其虛部為1，其共軛復(fù)數(shù)為1－，所以選項(xiàng)A，B正確，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤，故選：AB.10.下列命題中正確的有（）A.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形B.空間內(nèi)三點(diǎn)確定一個(gè)平面C.分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交，則交點(diǎn)只可能在兩個(gè)平面的交線上D.一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi)【正確答案】AC【分析】利用平面的定義，棱柱的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由棱柱的定義可知，其側(cè)面一定是平行四邊形，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，要強(qiáng)調(diào)該三點(diǎn)不在同一直線上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，兩條直線的交點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)平面上，所以交點(diǎn)只可能在兩個(gè)平面的交線上，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，要強(qiáng)調(diào)該直線不經(jīng)過(guò)給定兩邊的交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.ΔABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量滿足,,則下列結(jié)論中正確的是A.為單位向量 B.為單位向量 C.a⊥b D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)與平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積分析即可.【詳解】∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,,∴,∴,故A正確；∵,∴,∴,故B錯(cuò)誤；由于,∴與的夾角為120°,故C錯(cuò)誤；又∵,∴,故D正確.故選:AD.本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算法則,屬于基礎(chǔ)題型.12.設(shè)，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，下列條件中，可以判定一定為等腰三角形的有（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】由已知結(jié)合正弦定理及三角恒等變換，檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可.【詳解】A：因?yàn)?，由正弦定理，得，即，所以或，所以或，為等腰三角形或直角三角形，故A不符題意；B：因?yàn)?，由正弦定理，得，即，所以，即一定為等腰三角形，故B符合題意；C：因?yàn)?，由正弦定理，得，即，所以，即一定為等腰三角形，故C符合題意；D：因?yàn)?，所以，有，即所以，即一定等腰三角形，故D符合題意.故選：BCD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.計(jì)算：______．【正確答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、模長(zhǎng)公式計(jì)算可得答案.【詳解】.故答案為.14.已知向量與的夾角為120°，且，那么的值為_(kāi)_____.【正確答案】－8【分析】先根據(jù)數(shù)量積的分配律將所求式子展開(kāi)，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】解.故-8.本題考查數(shù)量積的計(jì)算，此類(lèi)問(wèn)題一般利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義來(lái)處理，本題屬于基礎(chǔ)題.15.一船以的速度向正北航行，在處看燈塔在船的北偏東，1小時(shí)30分后航行到處，在處看燈塔在船的南偏東，則燈塔與之間的距離為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】根據(jù)題意連接可得如圖三角形，再由所給角度可得，利用正弦定理解即可得解.【詳解】如圖，，根據(jù)航速為，則，由正弦定理可得，所以，故60.16.銳角中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，，且，則面積的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】利用正弦定理、余弦定理可得出的值，可求得角的值，利用正弦定理、三角恒等變換思想可得出，求出角的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的取值范圍.【詳解】由正弦定理可得，所以，，可得，所以，，，，由正弦定理可得，，，，因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，，，則.因此，面積的取值范圍是.故答案為.方法點(diǎn)睛：求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍是一種常見(jiàn)的類(lèi)型，主要方法有兩類(lèi)：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來(lái)求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.四、解答題：（本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i是下列數(shù)？（1）實(shí)數(shù)；（2）0；（3）純虛數(shù).【正確答案】（1）m＝5或m＝－3；（2）m＝－3；（3）m＝－2.【分析】（1）根據(jù)虛部為求得.（2）根據(jù)實(shí)部和虛部都為求得.（3）根據(jù)實(shí)部為，虛部不為求得.【詳解】由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.（1）當(dāng)m2－2m－15＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，∴m＝5或m＝－3（2）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)z是0，∴m＝－3.（3）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴m＝－2.18.已知，．（1）當(dāng)為何值時(shí)，與共線？（2）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直？（3）當(dāng)為何值時(shí)，與的夾角為銳角【正確答案】（1）（2）（3）且【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，，再根據(jù)平面向量的平行，垂直，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算方法，即可解決.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c共線，所以，解得【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以，即，所以【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以且與不共線，解得且19.在中，角，，所對(duì)邊分別為，，，已知，，．（1）求和的值；（2）求的值．【正確答案】（1），．（2）【分析】（1）由余弦定理求，再由正弦定理求出即可；（2）由二倍角的正、余弦公式及兩角和的正弦公式得解.【小問(wèn)1詳解】在中，由，得．由已知及余弦定理，得，所以．由正弦定理，得．所以的值為，的值為．【小問(wèn)2詳解】由（1）及，得，所以，．所以．20.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（1）求角大??；（2）若，且，求的面積．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式，余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得的值，結(jié)合范圍，可得的值．（2）由已知利用余弦定理解得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】解：（1）因?yàn)樗?，可得：所以，整理可得，可得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，，且，所以由余弦定理，可得，解得，所?21.如圖，扇形鋼板POQ的半徑為1，圓心角為60°.現(xiàn)要從中截取一塊四邊形鋼板ABCO.其中頂點(diǎn)B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分別在半徑OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.（1）設(shè)∠AOB=θ，試用θ表示截取的四邊形鋼板ABCO的面積S（θ），并指出θ的取值范圍；（2）求當(dāng)θ為何值時(shí)，截取的四邊形鋼板ABCO的面積最大.【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)和半徑得到，，，的長(zhǎng)度，然后利用面積公式求面積，并用和差公式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)即可；（2）利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】利用正弦函數(shù)可得，，，，所以，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，四邊形鋼板的面積最大.22.如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，過(guò)中心O的直線l與兩邊分別交于交于點(diǎn)M、N．（1）求的值；（2）若Q是的中點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若P的平面上一點(diǎn)，且滿足，求的最小值．【正確答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將向量分解為，利用向量垂直和數(shù)量積的運(yùn)算即可求解；（2）由O為中點(diǎn)可得，再由和的范圍計(jì)算即可；（3）令，由