2024年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)y=3x+1x(x>0)的最小值是A.4 B.5 C.32 2.已知點(diǎn)P(2,22)是拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d，M是x軸上一點(diǎn)，則“點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)Sn為是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且A.a1>0 B.q>0 C.|S4.如圖，已知直線y=kx+m與函數(shù)y=f(x)，x∈(a,b)的圖像相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)y=f(x)?kx有(

)A.2個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)

B.3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)

C.2個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)

D.3個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)二、填空題：本題共12小題，共54分。5.不等式|x?2|>1的解集為______．6.已知向量a=(?1,1)，b=(3,4)，則<a,7.已知復(fù)數(shù)z=5i1?i，則Imz=______．8.(x9.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,1)，若P(ξ<a?3)=P(ξ>1?2a)，則實(shí)數(shù)a=______．10.橢圓x2a2+y2=1(a>1)的離心率為11.已知直線l1的傾斜角比直線l2：y=xtan80°的傾斜角小20°，則l112.已知f(x)=lgx?1，g(x)=lgx?3，若|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|，則滿足條件的x的取值范圍是______．13.對(duì)于函數(shù)y=f(x)，其中f(x)=(x?1)3,0≤x<2,2x,x≥2，若關(guān)于x14.從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)字，設(shè)“取到的2個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件A，“取到的2個(gè)數(shù)字均為奇數(shù)”為事件B，則P(B|A)=______．15.如圖，某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm，上口寬6cm，若以30cm3/s的勻速往杯中注水，當(dāng)水深為4cm時(shí)，酒杯中水升高的瞬時(shí)變化率v=______cm/s16.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P、Q、R在棱AB、BC、BB1上，且PB=12,QB=13,RB=14，以三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，其中f(x)=2sinxcosx+23cos2x?3，x∈R．

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)在銳角三角形ABC中，若18.(本小題14分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1是所有棱長均為2的直三棱柱，D、E分別為棱AB和棱AA1的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：面B1CD⊥面AB19.(本小題14分)

垃圾分類能減少有害垃圾對(duì)環(huán)境的破壞，同時(shí)能提高資源循環(huán)利用的效率.目前上海社區(qū)的垃圾分類基本采用四類分類法，即干垃圾，濕垃圾，可回收垃圾與有害垃圾.某校為調(diào)查學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解程度，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，按照了解程度分為A等級(jí)和B等級(jí)，得到如下列聯(lián)表：男生女生總計(jì)A等級(jí)402060B等級(jí)202040總計(jì)6040100(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答：學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解程度是否與性別有關(guān)(規(guī)定：顯著性水平α=0.05)？

附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d，P(χ2≥3.841)≈0.05．

(2)為進(jìn)一步加強(qiáng)垃圾分類的宣傳力度，學(xué)校特舉辦垃圾分類知識(shí)問答比賽.每局比賽由二人參加，主持人A和B輪流提問，先贏3局者獲得獎(jiǎng)項(xiàng)并結(jié)束比賽.甲，乙兩人參加比賽，已知主持人A提問甲贏的概率為23，主持人B提問甲贏的概率為12，每局比賽互相獨(dú)立，且每局都分輸贏.現(xiàn)抽簽決定第一局由主持人A提問．

(i)求比賽只進(jìn)行320.(本小題18分)

已知雙曲線Γ：x24?y25=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)．

(1)求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)和雙曲線Γ的漸近線方程；

(2)如圖，P是雙曲線Γ右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，圓C是△PF1F2的內(nèi)切圓，設(shè)圓與PF1，PF2，F(xiàn)1F2分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，當(dāng)圓C的面積為21.(本小題18分)

若無窮數(shù)列{an}滿足：存在正整數(shù)T，使得an+T=an對(duì)一切正整數(shù)n成立，則稱{an}是周期為T的周期數(shù)列．

(1)若an=sin(πnm+π3)(其中正整數(shù)m為常數(shù)，n∈N，n≥1)，判斷數(shù)列{an}參考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.(?∞,1)∪(3,+∞)

6.arccos7.52

8.160

9.?6

10.2

11.312.(0,10]∪[1000,+∞)

13.(0,114.3415.403π16.18117.解：(1)f(x)=2sinxcosx+23cos2x?3=2sinxcosx+3(2cos2x?1)

=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3)，

由2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，得kπ?5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，

故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ?5π1218.解：(Ⅰ)證明：因?yàn)镈為棱AB中點(diǎn)，△ABC為正三角形，

所以AB⊥CD；

又因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1是直三棱柱，

所以AA1⊥面ABC，所以AA1⊥CD，

因?yàn)锳B∩AA1=A，

所以CD⊥面ABB1A1，

因?yàn)镃D?面B1CD，

所以面B1CD⊥面ABB1A1；

(Ⅱ)方法一：由(Ⅰ)得CD⊥面ABB1A1，所以CD⊥B1D，CD⊥ED，

所以∠B1DE是二面角B1?CD?E的平面角，

因?yàn)椤鰽BC中，DE=2,B1D=B1E=5，

所以cos∠B1DE=52+19.解：(1)提出原假設(shè)H0：學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)，

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得χ2=100×(40×20?20×20)260×40×60×40=259，

由P(χ2?3.841)≈0.05，且259<3.841，

所以接受原假設(shè)，學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)．

(2)(i)比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，甲贏得比賽的概率為p1=23×12×23=29

比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，乙贏得比賽的概率為p2=(1?23)×(1?12)×(1?23)=118，

故比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率為p1+p2=29+118=518；

(ii)X的可能取值為0，1，X0123P151337故數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×11820.解：(1)因?yàn)殡p曲線Γ：x24?y25=1，

所以a2=4，b2=5，

所以c2=a2+b2=9，即c=3，

即F1(?3,0)，F(xiàn)2(3,0)，

所以雙曲線Γ的漸近線方程是y=±52x．

(2)由題意可知|PD|=|PE|，|F1D|=|F1F|，|F2F|=|F2E|，

所以|PF1|?|PF2|=(|PD|+|DF1|?(|PE|+|EF2|)=|DF1|?|EF2|=|FF1|?|FF2|=2a=4,

∴F(2,0)，即F是橢圓右頂點(diǎn)，

設(shè)圓C的半徑為r(r>0)，

因?yàn)閳AC的面積為4π，則πr2=4π，即r=2，

∵CF⊥F1F2，

∴設(shè)直線PF2的斜率為k，則直線PF2的方程為y=k(x?3)，即kx?y?3k=0，

由圓心C到直線PF2的距離等于圓的半徑，可得|2k?2?3k|k2+1=2，

解得直線PF2的斜率為k=43．

(3)假設(shè)存在過點(diǎn)F2的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得∠F1AB=∠F1BA，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中點(diǎn)為M(21.解：(1)因?yàn)閍n+2m=sin(πm(n+2m)+π3)=sin(πnm+π3+2π)=sin(πnm+π3)=an，

所以{an}是為周期為2m的周期數(shù)列．

(2)①當(dāng)a1=a2時(shí)，sina1=0，a1=kπ(k∈Z)，

所以當(dāng)a1=kπ(k∈Z)時(shí)，{an}是周期為1的周期數(shù)列；

②當(dāng)a1≠kπ(k∈Z)時(shí)，記f(x)=x+sinx，則an+1=f(an)，

f′(x)=1+cosx≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k1+1)π(k1∈Z)時(shí)等號(hào)成立．

即f