專題46基本平面圖形（2大知識點5大考點18類題型）（全章知識梳理與題型分類講解）（北師大版）

專題4.6基本平面圖形（2大知識點5大考點18類題型）（全章知識梳理與題型分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點1】直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=ABBD。（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：【知識點2】角1．角的度量（1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°（5）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.3．方位角以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.考點與題型目錄【考點一】直線、射線、線段【題型1】直線、射線、線段的辨析.............................................3【題型2】直線、射線、線段的數(shù)量與直線相交的交點個數(shù).........................5【題型3】尺規(guī)作圖——畫線段、射線、直線.....................................7【題型4】直線、線段的基本性質(zhì)...............................................8【考點二】與線段有關(guān)的計算【題型5】線段和與差與線段中點的辨析.........................................9【題型6】線段和與差與線段中點的運算........................................11【題型7】探究線段間的數(shù)量關(guān)系..............................................14【題型8】與線段有關(guān)的動點問題..............................................17【題型9】兩點之間的距離....................................................21【考點三】角的概念【題型10】角的概念理解與表示方法...........................................24【題型11】鐘面角...........................................................26【題型12】方向角...........................................................28【考點四】角的比較與運算【題型13】角的比較.........................................................30【題型14】與角平分線有關(guān)計算...............................................31【題型15】三角板中角的計算.................................................35【題型16】旋轉(zhuǎn)圖形中角的計算...............................................37【考點五】多邊形和圓的初步認識【題型17】多邊形的截角.....................................................40【題型18】多邊形對角線條數(shù)及對角線分成三角形的個數(shù)規(guī)律.....................42第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】直線、射線、線段的辨析【例1】（2024七年級上·全國·專題練習）如圖各圖中，表示線段、射線的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查了線段，射線，直線的表示方法；根據(jù)線段，射線，直線的表示方法對各個選項逐一進行判斷即可得出答案．解：A．圖中是直線，射線，故選項A不符合題意；B．圖中是線段，射線，故選項B符合題意；C．圖中是射線，線段，故選項C不符合題意；D．圖中是線段，射線，故選項D不符合題意；故選：B．【變式1】（2024七年級上·山西·專題練習）如圖，下列說法正確的是（

）A．點在射線上B．直線比直線長C．線段與線段是同一條線段D．射線與射線是同一條射線【答案】C【分析】本題考查了直線、射線、線段的相關(guān)概念，熟練掌握直線、射線、線段的相關(guān)概念是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)直線、射線、線段的相關(guān)概念逐項分析即可得出答案；解：點在射線AB上，選項不正確，不符合題意；直線可以向兩端無限延長，無法比較大小，選項不正確，不符合題意；線段和線段是同一條線段，選項正確，符合題意；射線和射線是兩條不同的射線，選項不正確，不符合題意，故選：C．【變式2】（2024七年級上·山東·專題練習）觀察圖形，下列說法正確的有個．直線和直線AB是同一條直線；線段BD和線段DB是兩條不同的線段；射線和射線AD是同一條射線．【答案】【分析】本題主要考查了直線、射線、線段，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)直線、射線、線段的定義進行判斷．解：直線是向兩個方向無限延伸的，直線和直線AB是同一條直線，故正確；線段有兩個端點，不延伸，線段BD和線段DB是同一條線段，故不正確；射線有一個端點，向一個方向無限延伸，射線和射線AD的端點相同，延伸的方向相同，是同一條射線，故正確；說法正確的有個．故答案為：．【題型2】直線、射線、線段的數(shù)量與直線相交的交點個數(shù)【例2】（2324七年級上·安徽亳州·階段練習）在同一平面內(nèi)有四條直線，每兩條直線都相交，則這四條直線的交點共有（

）A．6個 B．1個或4個 C．6個或4個 D．1個或4個或6個【答案】D【分析】本題考查了直線相交問題，分成經(jīng)過一個交點和不經(jīng)過一個交點兩種情況進行討論求解即可．解：四條直線經(jīng)過同一個交點，這時只有一個交點，如圖所示：四條直線不經(jīng)過同一個交點，這時有4個交點，如圖所示：四條直線沒有公共交點，兩兩相交，這時有6個交點，如圖所示：故選：D．【變式1】（2425七年級上·廣西南寧·開學考試）在一條線段中間另有個點，則這個點可以構(gòu)成（

）條線段．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了線段的計數(shù)，掌握線段的定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的定義即可求解．解：這個點可以構(gòu)成：（條），故選：C．【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，是直線l上的三個點．（1）圖中以點B為端點的射線有條，分別是；（2）直線l還可以表示為．【答案】2射線、射線直線或直線或直線或直線或直線或直線【分析】本題考查了射線與直線的表示法，注意表示射線時必須把頂點字母寫在前．（1）根據(jù)射線的表示方法解答即可；（2）根據(jù)直線的表示方法解答即可．解：（1）圖中以點B為端點的射線有2條，射線、射線；故答案為：2，射線、射線；（2）直線l還可以表示為：直線或直線或直線或直線或直線或直線；故答案為：直線或直線或直線或直線或直線或直線．【題型3】尺規(guī)作圖——畫線段、射線、直線【例3】（2425七年級上·河北石家莊·期中）已知線段，，．小明利用尺規(guī)作圖畫出線段，則線段（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要查了尺規(guī)作圖—作一條線段等于已知線段．根據(jù)作圖可得，即可求解．解：根據(jù)題意得：．故選：C【變式1】（2324六年級下·全國·單元測試）下列說法錯誤的是（

）A．畫線段厘米 B．畫射線厘米C．在射線上截取厘米 D．延長線段到C，使得【答案】B【分析】本題主要考查了畫線段和射線，射線無法度量，線段可以度量，據(jù)此結(jié)合線段的畫法可得答案．解：A、線段可以度量，因此可以畫線段厘米，原說法正確，不符合題意；B、射線無法度量，因此不可以畫射線厘米，原說法錯誤，符合題意；C、在射線上可以截取厘米，原說法正確，不符合題意；D、延長線段到C，使得，原說法正確，不符合題意；故選：B．【變式2】（2324七年級上·浙江杭州·期末）如圖，在操作課上，同學們按老師的要求操作：①作射線；②在射線上順次截??；③在射線上截取；④在線段上截取，發(fā)現(xiàn)點B在線段上．由操作可知，線段（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了線段的和差及基本作圖知識，準確把握線段的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)即可求得．解：，，，，，，故選：D．【題型4】直線、線段的基本性質(zhì)【例4】（2024七年級上·全國·專題練習）下列4個現(xiàn)象中，可用事實“兩點之間，線段最短”來解釋的有（

）①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上．②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線．③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)．④把彎曲的公路改直就能縮短路程．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】D【分析】本題考查了線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短，認真分析題干，運用線段的性質(zhì)和直線的性質(zhì)判斷即可．解：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上可以用兩點確定一條直線來解釋．②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線可以用兩點確定一條直線來解釋．③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)可以用兩點之間，線段最短來解釋．④把彎曲的公路改直就能縮短路程可以用兩點之間，線段最短來解釋．所以可用事實“兩點之間，線段最短”來解釋的有③④，故選：D．【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習）下列事實可以用“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”來說明的是（

）A．從張莊去李莊走直線最近B．向遠方延伸的鐵路給人們一條直線的感覺C．數(shù)軸是一條特殊的直線D．一般地，射擊時要保證瞄準的目標在準星和缺口確定的直線上，這樣才能擊中目標【答案】D【分析】依據(jù)兩點之間線段最短，直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別，數(shù)軸的定義，兩點確定一條直線等知識點逐項分析判斷即可．解：A.從張莊去李莊走直線最近，屬于“兩點之間線段最短”的知識，故選項不符合題意；B.向遠方延伸的鐵路給人們一條直線的感覺，屬于“直線可以無限延長”的知識，故選項不符合題意；C.數(shù)軸是一條特殊的直線，屬于數(shù)軸的定義知識，即“數(shù)軸是一條有方向、有刻度的直線”，故選項不符合題意；D.一般地，射擊時要保證瞄準的目標在準星和缺口確定的直線上，這樣才能擊中目標，屬于“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”，故選項符合題意；故選：．【點撥】本題主要考查了兩點之間線段最短，直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別，數(shù)軸的定義，兩點確定一條直線等知識點，熟練掌握直線的相關(guān)特性是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習）在下列現(xiàn)象中，體現(xiàn)了數(shù)學原理“兩點確定一條直線”的是（填序號）．【答案】①②③【分析】本題考查了直線的性質(zhì)，根據(jù)直線的性質(zhì)，逐一判斷即可解答．解：①平板彈墨線，體現(xiàn)了基本事實“兩點確定一條直線”；②建筑工人砌墻，體現(xiàn)了基本事實“兩點確定一條直線”；③會場擺直茶杯，體現(xiàn)了基本事實“兩點確定一條直線”；④彎河道改直，體現(xiàn)了基本事實“兩點之間線段最短”；所以，在上列現(xiàn)象中，體現(xiàn)了基本事實“兩點確定一條直線”的有①②③，故答案為：①②③．【題型5】線段和與差與線段中點的辨析【例5】．（2324七年級上·河北石家莊·期末）點C是線段上任意一點，點分別是的中點，下列說法正確的是（

）

A． B．當點C為的中點時，C．如果，那么 D．如果，那么【答案】C【分析】本題主要考查了線段的中點性質(zhì)，根據(jù)線段的中點性質(zhì)可推出，，當時，，即可推出，進而即可得解，解題的關(guān)鍵是能正確表示線段的和差倍分．解：A：∵M、N分別是、的中點，∴，，∵C為上任意一點，∴不一定等于，∴不一定等于，∴A錯誤，不符合題意；B：當C為中點時，，∴，∴，∴B錯誤，不符合題意；C：∵，∴，∴，∴C正確，符合題意；D：∵，∴，∴，∴D錯誤，不符合題意；故選：C．【變式】（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，線段，為線段的中點，下列式子不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了線段的和差運算，線段中點的含義；由為線段的中點，得，再由，即可得，從而判定A；由，結(jié)合可判定B；由圖形易判定C；現(xiàn)有條件無法判斷D正確．解：因為為線段的中點，所以，因為，所以，即，故A正確；因為，，所以，故B正確；由圖形知，，故C正確；現(xiàn)有條件無法判斷，故D不正確．故選：D．【題型6】線段和與差與線段中點的運算【例6】（2324七年級上·山西晉城·階段練習）綜合與實踐【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，點，，都在線段上，，是的中點，則圖中共有線段__________條．【深入探究】（2）在（1）的條件下，若，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【拓展提高】（3）如圖2，在（2）的基礎(chǔ)上，是的中點，若，求的長．

【答案】（1）10；（2），理由見解析；（3）【分析】本題考查了兩點間的距離，掌握線段中點的定義，線段之間的倍分關(guān)系是關(guān)鍵．（1）圖中的線段有、、、、、、、、、這10條，據(jù)此回答即可；（2）設(shè)，先列方程求得求得，，可得答案；（3）設(shè)，先列方程求得，再求得的長即可．解：（1）圖中的線段有、、、、、、、、、這10條，故答案為：10；（2）設(shè)，∵，∴，∵是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（3）設(shè)，∵，∴由（2）得，，∴，∴，∵是的中點，∴，∴．【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，C是線段上一點，D為的中點，且．若點E在直線上，且，則的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題主要考查線段中點的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段中點的性質(zhì)及和差關(guān)系；由題意易得，則有，然后分當點E在點A右側(cè)時和當點E在點A左側(cè)時，進而求解即可解：因為D為的中點，，所以．因為，所以．如圖①，當點E在點A右側(cè)時．因為，所以，所以；如圖②，當點E在點A左側(cè)時因為，所以．綜上所述，的長為或；故選D．【變式2】（2425七年級上·吉林長春·期中）如圖，已知點C是線段上一點，點M是線段的中點，點N是線段的中點，給出下面4個結(jié)論：①③若，則；④若，則上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【分析】本題主要考查了與線段中點有關(guān)的線段和差計算，根據(jù)線段中點的定義得到，再由線段的和差關(guān)系即可判斷①②；求出，進而可得，據(jù)此可判斷③；求出，則可求出，據(jù)此可判斷④．解：∵點M是線段的中點，點N是線段的中點，∴，∴，，故①②正確；∵，∴，∵，∴，故③錯誤；∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確；∴正確的有①②④，故答案為：①②④．【題型7】探究線段間的數(shù)量關(guān)系【例7】（2223七年級上·河南許昌·期末）如圖，點C在線段上，線段，，M，N分別在線段，上，且，．(1)求線段的長度．(2)若點C為線段上任意一點，且，其他條件不變，則線段的長度為．(3)若題中的條件變?yōu)椤包cC在線段的延長線上”，其他條件不變，則的長度會有變化嗎？若有變化，請求出結(jié)果．【答案】(1)16(2)(3)有變化，4【分析】本題主要考查了線段間的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握線段間的數(shù)量關(guān)系．（1）根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，求出，，然后求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系進行解答即可；（3）先求出，再求出，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，即可得出答案．解：（1）∵，，，，∴，，∴；（2）∵，，∴，故答案為：；（3）有變化．理由如下：當C點在的延長線時，∵，，∴，∵，∴，∴的長度有變化．【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習）若線段，在線段的延長線上取一點，使是的中點；在線段的延長線上取一點，使是的中點；在線段的延長線上取一點，使是的中點；……這樣操作下去，則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了線段中點的定義，找出題目中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段中點的定義，找出題目中的規(guī)律求出，因此，進而中點的定義即可解答．解：∵，是的中點，∴．∵，是的中點，∴．∵，是的中點，∴，．．．∴，∴．∵是的中點，∴．故選：B．【變式2】（2223七年級上·廣東東莞·期末）如圖，將一根繩子對折一次后用線段表示，點在上，且，現(xiàn)從處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最短的一段為，則這條繩子的原長為．【答案】或/或【分析】本題主要考查了線段的和差，分兩種情況：當點為折點時，當點為折點時，結(jié)合圖形，分別求出各段繩子的長度，即可得出答案，熟練掌握線段的和差計算，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．解：①如圖1，當點為折點時，，∴剪開的三段分別為，；②如圖2，當點為折點時，，∴剪開的三段分別為，，，，綜上所述，這條繩子的原長為或，故答案為：或．【題型8】與線段有關(guān)的動點問題【例8】（1920七年級上·江蘇南通·階段練習）已知：如圖1，M是定長線段上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）(1)若，當點C、D運動了，求的值．(2)若點C、D運動時，總有，直接填空：___________．(3)在（2）的條件下，N是直線上一點，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或1【分析】（1）本題考查線段的和與差，以及動點問題，根據(jù)題意算出，，再由，即可解題．（2）本題考查線段的和與差，以及動點問題，設(shè)運動時間為t，則，，根據(jù)，，結(jié)合，即可解題．（3）本題考查線段的和與差，以及動點問題，根據(jù)N是直線上一點，且，可分為以下兩種情況討論，當點N在線段上時和當點N在線段的延長線上時，結(jié)合線段之間的和差關(guān)系，得出與的數(shù)量關(guān)系，即可解題．解：（1）（1）當點C、D運動了時，，，，，，．（2）設(shè)運動時間為t，則，，，，又，，即，，，，故答案為：．（3）當點N在線段上時，如圖，又，，，即．當點N在線段的延長線上時，如圖：，又，，即．綜上所述的值為或．【變式1】（2021七年級上·云南昆明·期末）如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點的距離為8，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1O的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動后的點與A1A的中點的距離是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可以寫出前幾個點表示的數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，然后即可得到2023次跳動后的點與A1A的中點的距離，本題得以解決．解：由題意可得，點A1表示的數(shù)為8×＝4，點A2表示的數(shù)為8××＝2，點A3表示的數(shù)為8××＝1，…，點An表示的數(shù)為8×（）n，∵A1A的中點表示的數(shù)為（8+4）÷2＝6，∴2023次跳動后的點與A1A的中點的距離是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣，故選：D．【點撥】本題考查數(shù)字的變化類、數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點．【變式2】（1920七年級上·湖北武漢·期末）已知線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，M為的中點，N為的中點，線段的長為b，則線段的長為（用a，b的式子表示）．【答案】/【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段的長度即可．解：∵M為的中點，N為的中點，∴，．∵線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，∴分以下5種情況說明：①當在左側(cè)時，如圖1，即，，，；②當點D與點A重合時，如圖2，即，；③當在內(nèi)部時，如圖3，即，；④當點C在點B右側(cè)時，同理可得：；⑤當在右側(cè)時，同理可得：；綜上所述：線段的長為．故答案為：．【點撥】本題考查線段的和差，根據(jù)題意畫出對應(yīng)情況的圖形是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的運用．【題型9】兩點之間距離【例9】（2425七年級上·河北石家莊·期中）閱讀感悟：數(shù)學課上，老師給出了如下問題：如圖1，一條直線上有A、B、C、D四點，線段，點C為線段的中點，線段，請你補全圖形，并求的長度．以下是小華的解答過程：解：如圖2，因為線段，點C為線段的中點，所以____________．因為，所以______．小斌說：我覺得這個題應(yīng)該有兩種情況，小華只考慮了點D在線段上，事實上，點D還可以在線段的延長線上．完成以下問題：(1)請?zhí)羁眨簩⑿∪A的解答過程補充完整；(2)根據(jù)小斌的想法，請你在備用圖中畫出另一種情況對應(yīng)的示意圖，并求出此時的長度．【答案】(1)；；(2)【分析】本題考查了線段的性質(zhì)、線段的和差等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，分情況討論．（1）根據(jù)點C為的中點，即可得到與的數(shù)量關(guān)系，若在線段上時，根據(jù)和的長即可求得的長；（2）根據(jù)點C為的中點，即可得到與的數(shù)量關(guān)系，若在射線上時，根據(jù)和的長即可求得的長．解：（1）線段，點為線段的中點，，，當在線段上時，，故答案為：；；（2）如圖，當點在射線上時，線段，點為線段的中點，，，【變式1】（2425七年級上·廣東佛山·階段練習）已知線段，點為的中點，是直線上的一點，且，，則（

）A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2【答案】A【分析】此題主要考查了兩點之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握線段的中點平分線段，正確畫出圖形．首先根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況：①在上，②在的延長線上，然后利用方程思想設(shè)出未知數(shù)，表示出、、和的長即可解決問題．解：如圖1，設(shè)，則，，點為的中點，，，，，解得：，；如圖2，設(shè)，則，，點為的中點，，，，，解得：，．綜上所述，線段的長為或．故選：A．【變式2】（2223六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，線段，點分別是線段和線段的中點，則線段的長為．【答案】【分析】本題考查了兩點間的距離，線段中點的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，可得，，然后根據(jù)，求得，故求出，，再根據(jù)中點的定義計算即可．解：設(shè)，，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴，，∴，又∵點分別是線段和線段的中點，∴，，∴，故答案為．【題型10】角的概念理解與表示方法【例10】（2024七年級上·全國·專題練習）下列關(guān)于角的說法中，正確的個數(shù)為（

）①兩條有公共點的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個端點引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線，它們的端點重合時，可以形成角；④角的大小與邊的長短有關(guān)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題主要考查角的知識，首先正確理解角的概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，注意不要忽略“公共端點”，還應(yīng)注意角的大小與邊的長短無關(guān)，與度數(shù)的大小一致；然后結(jié)合角的定義的理解，對選項進行一一分析，排除錯誤答案即可．解：角是由有公共端點的兩條射線所構(gòu)成的圖形，故①②③正確；角的大小與邊的長短無關(guān)，只與兩條邊張開的角度有關(guān)，故④錯誤．故選D．【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習）下列選項中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查角的表示方法，解決這類問題的關(guān)鍵是要熟練掌握角的幾種表示方法．根據(jù)角的表示方法對各選項逐一分析即可作出判斷．解：A．頂點O處有四個角，這四個角均不能用表示，故本選項錯誤；B．頂點O處只有一個角，這個角能用，，表示，故本選項正確；C．頂點O處有三個角，這三個角均不能用表示，故本選項錯誤；D．頂點O處有3個角，這3個角均不能用表示，故本選項錯誤；故選：B．【變式2】（2024七年級上·河南·專題練習）（1）圖中可以用一個大寫字母表示的角有；（2）以A為頂點的角有；（3）圖中一共個角（不包括平角）．【答案】7【分析】本題主要考查了角的表示方法，角的個數(shù)問題：（1）頂點處只有一個角的可以用一個大寫字母表示即可；（2）以為頂點的角有三個，逐一寫出即可；（3）把圖中所有角（不包括平角）寫出數(shù)一數(shù)即可．解：（1）圖中可以用一個大寫字母表示的角有故答案為：．（2）以A為頂點的角有；故答案為：．（3）圖中的角為：，，共7個．故答案為：．【題型11】鐘面角【例11】（2324七年級上·河南平頂山·期末）如圖所示，鐘表上顯示的時間是時分，此時，時針和分針的夾角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了鐘面角問題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握時針和分針每分鐘所轉(zhuǎn)過的角度．時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，由此即可算出時分鐘時，時針、分針與12時的夾角，即得答案．解：∵時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，∴鐘表上時分鐘時，時針從時轉(zhuǎn)過分鐘轉(zhuǎn)了，此時時針與垂直線的夾角為，分針從的位置順時針轉(zhuǎn)了，∴時分鐘時分針與時針的夾角．故選C．【變式1】（2425七年級上·重慶·階段練習）下午四點多，小李潛心鉆研桃李杯的思維題，開始時時針與分針的夾角是，結(jié)束時發(fā)現(xiàn)時間還不到當天下午五點，且時針與分針的夾角還是，小李鉆研了分鐘．【答案】/【分析】本題考查應(yīng)用類問題，鐘表時針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關(guān)系：分針每分鐘走，時針每分鐘走，并且利用起點時間時針和分針的位置關(guān)系建立方程求解．解：分針每分鐘走，時針每分鐘走，四點整時，時針和分針之間的夾角是，設(shè)小李開始鉆研時是4點分，則由題意可得：，解得，即：下午4點10分時，小李開始鉆研，設(shè)結(jié)束時是4點分，則由題意可得：，解得，即：下午4點分時，小李結(jié)束鉆研，∴小李鉆研了分，故答案為：．【變式2】（2024七年級·全國·競賽）1點到3點之間（包括1點和3點）鐘表的時針和分針成的時刻有（

）次．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】時針走一圈(360度)要12小時，即速度為，分針走一圈(360度)要1小時，即速度為，鐘面(360度)被平均分成了12等份，所以每份(相鄰兩個數(shù)字之間)是，所以分鐘后，時針走過的角度為，分針走過的角度為，列方程可得.這道題考查的是鐘面角，理解分針每分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)，時針每分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)，根據(jù)分針與時針轉(zhuǎn)的度數(shù)之間的關(guān)系，得到一元一次方程，求出答案即可.解：由題意可知，1點整的時刻，時針與分針正好成角；(1)設(shè)1點分的時刻，時針與分針成角，則應(yīng)該是分針在前，得，解得，故1點分的時刻，時針與分針成角；(2)設(shè)1點分的時刻，時針與分針成角，則應(yīng)該是分針在前，得，解得，故1點分的時刻，時針與分針成角；當恰好是2點時，時針與分針正好成角；(3)設(shè)2點分的時刻，時針與分針成角，則應(yīng)該是分針在前，得，解得，故2點分的時刻，時針與分針成角；(4)設(shè)2點分的時刻，時針與分針成角，則應(yīng)該是分針在前，得，解得，故2點分即3點正時，時針與分針成角；故選：B.【題型12】方向角【例12】（2324七年級上·江蘇南京·期末），兩個海上觀測站的位置如圖所示，在燈塔北偏東方向上，，則在燈塔的方向．【答案】南偏東【分析】本題考查了方位角有關(guān)的計算，由根據(jù)即可求解，理解“從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，叫做方位角”是解題的關(guān)鍵．解：如圖，∵觀測站在燈塔北偏東方向上，∴，∵，∴，∴觀測站在燈塔的是南偏東，故答案為：南偏東．【變式1】（2324六年級下·山東淄博·期末）點B看點A是北偏西58度，則由點A看點B是（

）A．南偏東58度 B．南偏東32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度【答案】A【分析】本題主要考查了方向角，在敘述方向角時一定要注意以哪個圖形為參照物．點A看點B的方向是北偏東，是以A為標準，反之B看A的方向是A相對于B的方向與位置．解：從點B看點A的方向為北偏西，那么從點A看點B的方向為南偏東．故選：A．【變式2】（2324七年級上·山東濟寧·期末）如圖，是北偏東方向的一條射線，若射線與射線成角，則的方位角是（

）A．東偏南 B．南偏東 C．東偏南 D．南偏東【答案】D【分析】本題主要考查了與方位角有關(guān)的計算，正確求出是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意得到，再由方位角的定義求出，即可得到答案．解：如圖所示：∵射線與射線成角，∴，∵是北偏東方向的一條射線，∴，∴，∴，即的方位角是南偏東方向，故選：D．【題型13】角的比較【例13】（2324七年級上·遼寧葫蘆島·期末）比較大?。骸敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查角度大小的比較，熟練掌握度分秒之間的換算即可得到答案．解：，．故答案為：．【變式1】（2324七年級·全國·假期作業(yè)）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D，O是網(wǎng)格線交點，那么與的大小關(guān)系是．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞【分析】如圖：連接，則，又，即．解：如圖：連接，由題意得：，∵，∴．故答案為：＞．【點撥】本題主要考查了角的大小比較，根據(jù)方格作出是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2018七年級上·全國·專題練習）已知，，則．（填“大于、小于或等于”）【答案】小于【分析】本題主要考查了角的大小比較，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握角度的單位度、分之間的轉(zhuǎn)換進率，將角度不同單位轉(zhuǎn)化成相同單位，即可求解．解：根據(jù)，可得：；又∵，∴．故答案為：小于．【題型14】與角平分線有關(guān)計算【例14】（2324七年級上·黑龍江綏化·期末）在一節(jié)綜合實踐課上，老師與同學們以“同一平面內(nèi)，點在直線上，用三角尺畫，使；用直尺畫射線，使平分．”為問題背景，展開研究．(1)提出問題：如下圖，若，求的度數(shù)；

(2)探索發(fā)現(xiàn)：如下圖，的值是__________；

(3)拓展探究：若點在直線的同側(cè)，利用下圖探索與之間的數(shù)量關(guān)系．請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)；(2)(3)與之間的數(shù)量關(guān)系為或．【分析】本題考查了角的計算以及角平分線定義；弄清各個角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）利用鄰補角的性質(zhì)、余角的性質(zhì)求得，，再利用角平分線的定義求得的度數(shù)，據(jù)此即可求解；（2）設(shè)，則，同（1）求得，據(jù)此即可求解；（3）分點C靠近點B和點C靠近點A時，同（1）的方法即可求解．解：（1）∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）設(shè)，則，∵，∴，∵平分，∴，∴；∴，故答案為：；（3）如圖，當點C靠近點B時，

∵平分，∴，設(shè)，，∴，，∴；如圖，當點C靠近點A時，

∵平分，∴，設(shè)，∴，，∴；綜上，與之間的數(shù)量關(guān)系為或．【變式1】已知，其角平分線為，，其角平分線為，則的大小為（

）A． B． C．或 D．30°或【答案】C【分析】本題主要考查角平分線定義的運用能力，能考慮到在外部和內(nèi)部兩種情況是關(guān)鍵．分在外部和內(nèi)部兩種情況，由、分別平分、可得、度數(shù)，在根據(jù)兩種位置分別求之．解：①如圖，當在外部時，∵，平分，∴，又∵，平分，∴，∴；②如圖，當在內(nèi)部時，∵，平分，∴，又∵，平分，∴，∴，綜上所述：為或．故選C．【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，從頂點任意作一條射線，若是的平分線，是的平分線，，則的度數(shù)為【答案】【分析】本題考查了角的計算，角平分線的定義，掌握各角之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可求得，即可解得．解：是的平分線，是的平分線，，，，故答案為：．【題型15】三角板中角的計算【例15】（2024七年級上·全國·專題練習）將一副三角尺疊放在一起．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，若，求的度數(shù)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了幾何圖形中角的計算，三角尺中角的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形板中角的度數(shù)．（1）根據(jù)，，求出．根據(jù)，得出．（2）根據(jù)，，求出，根據(jù)，求出，最后求出結(jié)果即可．解：（1）因為，所以，因為，所以，所以．因為，所以，所以．（2）由題圖可知，，所以．又因為，所以，所以．【變式1】（2324七年級下·甘肅酒泉·期末）如圖，將一塊含有角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果，那么的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查三角板中角的計算、平行線的性質(zhì)，由題意得，，，，由平行線的性質(zhì)可得，即可求解．解：由題意得，，，，則，∴，故選：B．【變式2】（2425七年級上·四川成都·階段練習）如圖，平分，平分，若，則．【答案】【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，設(shè)，則，由角平分線的定義可得，，進而可得，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)，則，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案為：．【題型16】旋轉(zhuǎn)圖形中角的計算【例16】（2425七年級上·河北石家莊·期中）把一副三角尺與按如圖所示那樣拼在一起，其中A、B、D三點在同一直線上，BM為的平分線．(1)求和的度數(shù)；(2)若為的平分線，求的度數(shù)．(3)若將圖中三角尺逆時針旋轉(zhuǎn)20度，則大小變化嗎？（選填不變、增大或縮小多少度）請直接寫出結(jié)論．【答案】(1)，(2)(3)不變【分析】本題考查角的和差和角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）由三角板的內(nèi)角，利用角的和差求出的度數(shù)，然后利用角平分線的定義得到的度數(shù)，然后利用交的和差解題即可；（2）先求出的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義得到的度數(shù)，然后根據(jù)解題即可；（3）根據(jù)（1）（2）的計算方法解題即可．解：（1）∵A、B、D三點在同一直線上，∴，又∵BM為的平分線，∴，∴；（2），∵為的平分線，∴，∴；（3）不變，理由為：三角尺逆時針旋轉(zhuǎn)20度時，∴，，又∵BM為的平分線，為的平分線，∴，，∴；【變式1】（2324七年級上·浙江寧波·期末）如圖，將一副三角尺角和角的頂點疊放在一起，將三角板繞點旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中三角板的邊始終在的內(nèi)部，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】本題考查三角板中角度的計算．根據(jù)題意可得，從而得到，，即可求解．解：根據(jù)題意得：，∴，，∴．故選：A【變式2】（2024七年級上·甘肅蘭州·專題練習）如圖，是的平分線，是內(nèi)部一條射線，過點O作射線，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉(zhuǎn)動，使得，若，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，由是的平分線得，進而求得，結(jié)合得，再分兩種情況：當在下方時，當在上方時，分別討論即可求解解：∵，是的平分線，∴，又∵，∴，而，∴，如圖，當在下方時，此時，；如圖，當在上方時，此時，；即或．故答案為：或．【題型17】多邊形的截角【例17】（2021七年級下·全國·課后作業(yè)）一個多邊形截去一個角后，變成16邊形，那么原來的多邊形的邊數(shù)為（

）A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18【答案】A【分析】分三種情況討論，當截線不經(jīng)過多邊形的頂點時，當截線經(jīng)過多邊形的一個頂點時，當截線經(jīng)過多邊形的兩個頂點時，再利用數(shù)形結(jié)合的方法可得答案.解：如圖，當截線不經(jīng)過多邊形的頂點時，被截后的多邊形比原多邊形增加一條邊，所以當被截后的多邊形為16邊形，則原多邊形為15邊形，如圖，當截線經(jīng)過多邊形的一個頂點時，被截后的多邊形與原多邊形邊數(shù)相同，所以當被截后的多邊形為16邊形，則原多邊形為16邊形，如圖，當截線經(jīng)過多邊形的兩個頂點時，被截后的多邊形比原多邊形少一條邊，所以當被截后的多邊形為16邊形，則原多邊形為17邊形，故選：【點撥】本題考查的是用直線截多邊形的一個角后，被截后的多邊形的邊數(shù)與原多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是清晰的分類討論.【變式1】（2324八年級上·湖