2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之復(fù)數(shù)（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之復(fù)數(shù)（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．設(shè)z=1-i1+i+2iA．0 B．12 C．1 D．2．若a為實(shí)數(shù)，且2+ai1+i=3+A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．43．下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（）A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）4．設(shè)z=3-i1+2i，則A．2 B．3 C．2 D．15．已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）6．設(shè)（1+i）x＝1+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|＝（）A．1 B．2 C．3 D．27．若z＝4+3i，則z|A．1 B．﹣1 C．45+35i 8．若復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z＝|4+3i|，則z的虛部為（）A．﹣4 B．-45 C．4 D9．若復(fù)數(shù)（1﹣i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）10．設(shè)（1+2i）（a+i）的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3二．填空題（共5小題）11．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，則|z1﹣z2|＝12．i是虛數(shù)單位，則|5-i1+i|的值為13．已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若a-i2+i為實(shí)數(shù)，則a的值為14．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)6+7i1+2i=15．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1﹣2i）（a+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．三．解答題（共5小題）16．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，z2（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)z、z2、z﹣z2在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C，求△ABC的面積．17．已知復(fù)數(shù)z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）?z為純虛數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z及z；（2）若ω=z2+i，求復(fù)數(shù)ω的模|18．已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和z2-i均為實(shí)數(shù)，其中（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z；（Ⅱ）若復(fù)數(shù)（z+ai）2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．已知復(fù)數(shù)z1＝1﹣2i，z2＝3+4i，i為虛數(shù)單位．（1）若復(fù)數(shù)z1+az2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若z=z1z220．已知z是復(fù)數(shù)，z+2i與z2-（1）求復(fù)數(shù)z；（2）復(fù)數(shù)（z+ai）2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之復(fù)數(shù)（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．設(shè)z=1-i1+i+2iA．0 B．12 C．1 D．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算化簡后，然后求解復(fù)數(shù)的模．【解答】解：z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i則|z|＝1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力．2．若a為實(shí)數(shù)，且2+ai1+i=3+A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解即可．【解答】解：由2+ai1+i=3+i，得2+ai＝（1+i）（3+則a＝4，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．3．下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（）A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）【考點(diǎn)】純虛數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可判斷出結(jié)論．【解答】解：A．i（1+i）2＝i?2i＝﹣2，是實(shí)數(shù)．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是純虛數(shù)．C．（1+i）2＝2i為純虛數(shù)．D．i（1+i）＝i﹣1不是純虛數(shù)．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè)z=3-i1+2i，則A．2 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模．【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】C【分析】直接利用復(fù)數(shù)商的模等于模的商求解．【解答】解：由z=3-i1+2i，得|z|＝|故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．5．已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限，列出不等式組求解即可．【解答】解：z＝（m+3）+（m﹣1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，可得：m+3＞0m-1＜故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力．6．設(shè)（1+i）x＝1+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|＝（）A．1 B．2 C．3 D．2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即x=1y=x，解得x=1y=1，即|x+yi故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值是解決本題的關(guān)鍵．7．若z＝4+3i，則z|A．1 B．﹣1 C．45+35i 【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的?；喦蠼饧纯桑窘獯稹拷猓簔＝4+3i，則z|z故選：D．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，考查計(jì)算能力．8．若復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z＝|4+3i|，則z的虛部為（）A．﹣4 B．-45 C．4 D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】D【分析】由題意可得z=|4+3i|3-4i=5【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z=|4+3i故z的虛部等于45故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．若復(fù)數(shù)（1﹣i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】復(fù)數(shù)（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，可得a+1＜0【解答】解：復(fù)數(shù)（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴a+1＜01-a則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．設(shè)（1+2i）（a+i）的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，通過復(fù)數(shù)相等的充要條件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）＝a﹣2+（2a+1）i的實(shí)部與虛部相等，可得：a﹣2＝2a+1，解得a＝﹣3．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的相等的充要條件的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力．二．填空題（共5小題）11．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，則|z1﹣z2|＝23【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，所以|z1+z2|＝∴|z1∴8+z1z∴|z1﹣z2|2＝8﹣（z1z2又|z1﹣z2|＞0，故|z1﹣z2|＝23．故答案為：23．【點(diǎn)評】熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．12．i是虛數(shù)單位，則|5-i1+i|的值為【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模．【專題】計(jì)算題；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】本題可根據(jù)復(fù)數(shù)定義及模的概念及基本運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：由題意，可知：5-i1+i=(5-∴|5-i1+i|＝|2﹣3i故答案為：13．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)定義及模的概念及基本運(yùn)算．本題屬基礎(chǔ)題．13．已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若a-i2+i為實(shí)數(shù)，則a的值為【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)，化簡a-i2+【解答】解：a∈R，i為虛數(shù)單位，a-由a-可得-2+a解得a＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，注意運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)，同時(shí)考查復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件：虛部為0，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)6+7i1+2i=4【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：6+7i1+2i=故答案為：4﹣i【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．15．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1﹣2i）（a+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為﹣2．【考點(diǎn)】純虛數(shù)；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部等于0且虛部不等于0求得a的值．【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）＝（a+2）+（1﹣2a）i為純虛數(shù)，得a+2=01-2a≠0，解得：故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件，是基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題）16．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，z2（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)z、z2、z﹣z2在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的模．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），由已知列關(guān)于a，b的方程組，求解可得復(fù)數(shù)z；（2）分類求得A、B、C的坐標(biāo)，再由三角形面積公式求解．【解答】解：（1）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），由已知可得：a2+b解得a=1b=1∴z＝1+i或z＝﹣1﹣i；（2）當(dāng)z＝1+i時(shí)，z2＝2i，z﹣z2＝1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面積S=12×2×1當(dāng)z＝﹣1﹣i時(shí)，z2＝2i，z﹣z2＝﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面積S=12×2×1∴△ABC的面積為1．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的乘方和加減運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件和復(fù)數(shù)的幾何意義，以及三角形的面積的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．17．已知復(fù)數(shù)z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）?z為純虛數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z及z；（2）若ω=z2+i，求復(fù)數(shù)ω的模|【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）把z＝3+bi（b∈R）代入（1+3i）?z，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡結(jié)合已知條件即可求出復(fù)數(shù)z及z；（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡ω=z【解答】解：（1）∵z＝3+bi（b∈R），∴（1+3i）?z＝（1+3i）?（3+bi）＝（3﹣3b）+（9+b）i又∵（1+3i）?z是純虛數(shù)，∴3﹣3b＝0，且9+b≠0，∴b＝1，∴z＝3+i，z=3-（2）ω==7-∴|ω|=(【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)模的求法，是中檔題．18．已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和z2-i均為實(shí)數(shù)，其中（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z；（Ⅱ）若復(fù)數(shù)（z+ai）2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（I）設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，整理出z+2i和z2-i，根據(jù)兩個都是實(shí)數(shù)虛部都等于（II）根據(jù)上一問做出的復(fù)數(shù)的結(jié)果，代入復(fù)數(shù)（z+ai）2，利用復(fù)數(shù)的加減和乘方運(yùn)算，寫出代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，寫出關(guān)于實(shí)部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R），由題意，z+2i＝a+bi+2i＝a+（b+2）i∈R，∴b+2＝0，即b＝﹣2．又z2-∴2b+a＝0，即a＝﹣2b＝4．∴z＝4﹣2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z＝4﹣2i，∵（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝[4+（a﹣2）i]2＝16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第一象限，∴16解得a的取值范圍為2＜a＜6．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義，考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)，考查解決實(shí)際問題的能力，是一個綜合題．19．已知復(fù)數(shù)z1＝1﹣2i，z2＝3+4i，i為虛數(shù)單位．（1）若復(fù)數(shù)z1+az2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若z=z1z2【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-13，（2）z=-1