山東專(zhuān)用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案72第十章統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例第二講用樣本估計(jì)總體含解析

PAGE6-[練案72]其次講用樣本估計(jì)總體A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·云南省昆明市質(zhì)檢)下圖是某商場(chǎng)2024年洗衣機(jī)、電視機(jī)和電冰箱三種電器各季度銷(xiāo)量的百分比積累圖(例如：第3季度內(nèi)，洗衣機(jī)銷(xiāo)量約占20%，電視機(jī)銷(xiāo)量約占50%，電冰箱銷(xiāo)量約占30%)．依據(jù)該圖，以下結(jié)論中肯定正確的是(C)A．電視機(jī)銷(xiāo)量最大的是第4季度B．電冰箱銷(xiāo)量最小的是第4季度C．電視機(jī)的全年銷(xiāo)量最大D．電冰箱的全年銷(xiāo)量最大2．(2024·遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校模擬)在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后，將參與考試的500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果制成頻率分布直方圖(如圖)，則在該次測(cè)驗(yàn)中成果不低于100分的學(xué)生數(shù)是(C)A．210 B．205C．200 D．195[解析]由頻率分布直方圖可知，低于100分的人數(shù)的頻率為(0.012＋0.018＋0.030)×10＝0.6，所以低于100分的人數(shù)為500×0.6＝300，則不低于100分的人數(shù)為500－300＝200，所以選C.3.(2024·云南昆明適應(yīng)性檢測(cè))AQI(AirQualityIndex，空氣質(zhì)量指數(shù))是報(bào)告每日空氣質(zhì)量的參數(shù)，描述了空氣清潔或污染的程度．AQI共分六級(jí)，從一級(jí)優(yōu)(0～50)，二級(jí)良(51～100)，三級(jí)輕度污染(101～150)，四級(jí)中度污染(151～200)，直至五級(jí)重度污染(201～300)，六級(jí)嚴(yán)峻污染(大于300)．如圖是昆明市2024年4月份隨機(jī)抽取10天的AQI莖葉圖，利用該樣本估計(jì)昆明市2024年4月份空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為(C)A．3 B．4C．12 D．21[解析]由莖葉圖知10天中有4天空氣質(zhì)量為優(yōu)，所以空氣質(zhì)量為優(yōu)的頻率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，所以估計(jì)昆明市2024年4月份空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為30×eq\f(2,5)＝12，故選C.4．(2024·甘肅張掖診斷)如圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計(jì)樣本重量的中位數(shù)為(C)A．11 B．11.5C．12 D．12.5[解析]由題意，0.06×5＋x×0.1＝0.5，所以x為2，所以由圖可估計(jì)樣本重量的中位數(shù)是12，故選：C.5．(2024·河北省石家莊市質(zhì)檢)甲、乙兩人8次測(cè)評(píng)成果的莖葉圖如圖，由莖葉圖知甲的成果的平均數(shù)和乙的成果的中位數(shù)分別是(D)A.2322 B．2322.5C．2122 D．2122.5[解析]由題甲8次測(cè)評(píng)成果為：10,11,14,21,23,23,32,34，所以甲的平均成果為eq\f(10＋11＋14＋21＋23＋23＋32＋34,8)＝21；乙8次測(cè)評(píng)成果為：12,16,21,22,23,23,33,34，所以乙的中位數(shù)為eq\f(22＋23,2)＝22.5.故選D.6．某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成果的頻率分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于a為優(yōu)秀，假如優(yōu)秀的人數(shù)為20人，則a的估計(jì)值是(C)A．130 B．140C．133 D．137[解析]由題意可知，分?jǐn)?shù)在140～150分的有10人，在130～140分的有15人，因?yàn)閮?yōu)秀的人數(shù)為20人，故取130～140分?jǐn)?shù)段的后10人，故eq\f(10,15)＝eq\f(140－a,10)，得a≈133，a的估計(jì)值為133.二、多選題7．(2024·濟(jì)南模擬改編)某老師任教高三A班、高三B班兩個(gè)班，兩個(gè)班各有50個(gè)學(xué)生，如圖反映的是兩個(gè)班在某學(xué)期5次數(shù)學(xué)測(cè)試中的班級(jí)平均分，依據(jù)圖表，下列結(jié)論正確的是(ABD)A．A班的數(shù)學(xué)成果平均水平高于B班B．B班的數(shù)學(xué)成果沒(méi)有A班穩(wěn)定C．下次考試B班的數(shù)學(xué)成果平均分要高于A班D．在第1次考試中，A，B兩個(gè)班的總平均分為98分[解析]A班的數(shù)學(xué)成果平均值為100＋eq\f(1－2＋1＋0＋5,5)＝101(分)，B班的數(shù)學(xué)成果平均值為100＋eq\f(－5－4＋5＋0＋0,5)＝99.2(分)，即A正確；A班平均成果的方差為eq\f(1,5)×(0＋9＋0＋1＋16)＝5.2，B班平均成果的方差為eq\f(1,5)×(4.22＋0.64＋3.22＋5.82＋0.64)＝12.56，即B正確；在第1次考試中，A，B兩個(gè)班的總平均分為eq\f(101＋95,2)＝98(分)，即D正確；無(wú)法依據(jù)圖表知下次考試成果的狀況，C不正確，故選A、B、D.8．(2024·山東棗莊期末)某特長(zhǎng)班有男生和女生各10人，統(tǒng)計(jì)他們的身高，其數(shù)據(jù)(單位：cm)如下面的莖葉圖所示，則下列結(jié)論正確的是(AB)A.女生身高的極差為12 B．男生身高的均值較大C．女生身高的中位數(shù)為165 D．男生身高的方差較小[解析]女生身高的極差為173－161＝12，A正確；B明顯正確，D明顯錯(cuò)誤；女生身中學(xué)位數(shù)eq\f(165＋167,2)＝166，C錯(cuò)，故選AB.9．在某次中學(xué)學(xué)科學(xué)問(wèn)競(jìng)賽中，對(duì)4000名考生的參賽成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，則下列說(shuō)法中正確的是(ABC)A．成果在[70,80)的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競(jìng)賽成果的平均分約為70.5分D．考生競(jìng)賽成果的中位數(shù)為75分[解析]由頻率分布直方圖可得，成果在[70,80)的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；成果在[40,60)的頻率為0.01×10＋0.015×10＝0.25，因此，不及格的人數(shù)為4000×0.25＝1000，故B正確；考生競(jìng)賽成果的平均分約為45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正確；因?yàn)槌晒赱40,70)的頻率為0.45，在[70,80)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67，故D錯(cuò)誤．故選ABC.10．(2024·山東模擬)下圖為某地區(qū)2006年～2024年地方財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入、城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額折線圖．依據(jù)該折線圖可知，該地區(qū)2006年～2024年(AD)A．財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入、城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額均呈增長(zhǎng)趨勢(shì)B．財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入、城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額的逐年增長(zhǎng)速度相同C．財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入年平均增長(zhǎng)量高于城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額年平均增長(zhǎng)量D．城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額與財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入的差額逐年增大[解析]由圖可以看出兩條曲線均在上升，從而選項(xiàng)A正確；圖中兩曲線間隔越來(lái)越大，說(shuō)明年增長(zhǎng)速度不同，差額逐年增大，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；又從圖中可以看出財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入年平均增長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)小于城鄉(xiāng)儲(chǔ)蓄年末余額年平均增長(zhǎng)量，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選AD.三、填空題11.(2024·湖南衡陽(yáng)模擬)如圖，莖葉圖表示甲、乙兩人在5次測(cè)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，其中有一個(gè)被污損，若乙的中位數(shù)恰好等于甲的平均數(shù)，則●的值為_(kāi)_6__.12．(2024·宜春調(diào)研)為了探討某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)．全部志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的依次分別編號(hào)為第一組，其次組，…，第五組．下圖是依據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與其次組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為_(kāi)_12__.[解析]全體志愿者共有：eq\f(20,0.24＋0.16×1)＝50(人)，所以第三組有志愿者：0.36×1×50＝18(人)，∵第三組中沒(méi)有療效的有6人，∴有療效的有18－6＝12(人)．13.(2024·南京六校聯(lián)合體聯(lián)考)如圖是甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)競(jìng)賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則在這五場(chǎng)競(jìng)賽中得分較為穩(wěn)定的那名運(yùn)動(dòng)員的得分的方差為_(kāi)_6.8__.[解析]在這五場(chǎng)競(jìng)賽中乙運(yùn)動(dòng)員的得分較為穩(wěn)定，其平均成果為eq\f(8＋9＋10＋13＋15,5)＝11，∴方差S2＝eq\f(11－82＋11－92＋11－102＋11－132＋11－152,5)＝6.8.四、解答題14．(2024·江西南昌一中、十中、南鐵一中聯(lián)考)某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成果(滿(mǎn)分為100分)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，可見(jiàn)部分如圖所示，據(jù)此解答下列問(wèn)題：(1)求分?jǐn)?shù)在[50,60]的頻率及全班人數(shù)；(2)求分?jǐn)?shù)在[80,90]的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中[80,90]的矩形的高．[解析](1)分?jǐn)?shù)在[50,60]的頻率為0.008×10＝0.08，全班人數(shù)為eq\f(2,0.08)＝25(人)(2)分?jǐn)?shù)在[80,90]的頻數(shù)25－21＝4，∴頻率直方圖中[80,90]的矩形的高為eq\f(4,10×25)＝0.016.15．(2024·四川省聯(lián)合診斷)我國(guó)是世界上嚴(yán)峻缺水的國(guó)家，城市缺水問(wèn)題較為突出，某市政府為了激勵(lì)居民節(jié)約用水，安排在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)：(單位：噸)，用水不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過(guò)x的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解全部市民用水量分布狀況，通過(guò)抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)依據(jù)[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)若該市政府期望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由．[解析](1)由直方圖，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)因?yàn)榍?組頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85.而前5組的頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85.所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)．16．(2024·青海西寧六校期末)某次有1000人參與的數(shù)學(xué)摸底考試，其成果的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀．(1)下表是這次考試成果的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a，b的值；區(qū)間[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]人數(shù)50a350300b(2)現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成果進(jìn)行分析，求其中成果為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；(3)在(2)中抽取的40名學(xué)生中，要隨機(jī)選取2名學(xué)生參座談會(huì)，記“其中成果為優(yōu)秀的人數(shù)”為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．[解析](1)依題意，a＝0.04×5×1000＝200，b＝0.02×5×1000＝100.(2)設(shè)其中成果為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為x，則eq\f(x,40)＝eq\f(350＋300＋100,1000)，解得：x＝30，即其中成果為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為30名．(3)依題意，X的取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,40))＝eq\f(3,52)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(5,13)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(29,52)，所以X的分布列為X012Peq\f(3,52)eq\f(5,13)eq\f(29,52)所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×eq\f(3,52)＋1×eq\f(5,13)＋2×eq\f(29,52)＝eq\f(3,2).B組實(shí)力提升1．(多選題)(2024·遼寧大連雙基測(cè)試改編)已知某中學(xué)的一次測(cè)驗(yàn)中，甲、乙兩個(gè)班級(jí)的九科平均分的雷達(dá)圖如圖所示，下列推斷正確的是(ABC)A．乙班的理科綜合成果強(qiáng)于甲班B．甲班的文科綜合成果強(qiáng)于乙班C．兩班的英語(yǔ)平均分分差最大D．兩班的語(yǔ)文平均分分差最小[解析]由甲、乙兩個(gè)班級(jí)的九科平均分的雷達(dá)圖可得：乙班的理科綜合成果強(qiáng)于甲班，即選項(xiàng)A正確；甲班的文科綜合成果強(qiáng)于乙班，即選項(xiàng)B正確；兩班的英語(yǔ)平均分分差最大，即選項(xiàng)C正確；兩班地理平均分分差最小，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選A、B、C.2.(2024·河南新鄉(xiāng)模擬)某地有兩個(gè)國(guó)家AAAA組旅游景區(qū)——甲景區(qū)和乙景區(qū)．相關(guān)部分統(tǒng)計(jì)了這兩個(gè)景區(qū)2024年1月至6月的客流量(單位：百人)，得到如圖所示的莖葉圖關(guān)于2024年1月至6月這兩個(gè)景區(qū)的客流量，以下結(jié)論正確的是(D)A．甲景區(qū)客流量的中位數(shù)為13000B．乙景區(qū)客流量的中位數(shù)為13000C．甲景區(qū)客流量的平均值比乙景區(qū)客流量的平均值小D．甲景區(qū)客流量的極差比乙景區(qū)客流量的極差大[解析]甲景區(qū)客流量的中位數(shù)為12950，乙景區(qū)客流量的中位數(shù)為12450.依據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，可知甲景區(qū)客流量的平均值比乙景區(qū)客流量的平均值大，甲景區(qū)客流量的極差為3200，乙景區(qū)客流量的極差為3000，故選D.3．(2024·湖南省永州市模擬)“遠(yuǎn)離毒品，珍愛(ài)生命”，某校為強(qiáng)化禁毒教化，駕馭學(xué)生對(duì)禁毒宣揚(yáng)資料的了解程度，隨機(jī)抽取30名學(xué)生參與禁毒學(xué)問(wèn)測(cè)試，得分狀況如圖所示，若全部得分的中位數(shù)為M，眾數(shù)為N，平均數(shù)為eq\x\to(x)，則(A)A．N<M<eq\o(x,\s\up6(－)) B．N<eq\o(x,\s\up6(－))<MC．M<N<eq\o(x,\s\up6(－)) D．M＝N＝eq\o(x,\s\up6(－))[解析]由中位數(shù)的定義，得M＝eq\f(5＋6,2)＝5.5，眾數(shù)為N＝5，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)＝5.96，所以N<M<eq\o(x,\s\up6(－))，故選A.4．(2024·安徽馬鞍山質(zhì)檢)某公司新研發(fā)了一款手機(jī)應(yīng)用APP，投入市場(chǎng)三個(gè)月后，公司對(duì)部分用戶(hù)做了調(diào)研：抽取了400位運(yùn)用者，每人填寫(xiě)一份綜合評(píng)分表(滿(mǎn)分為100分)．現(xiàn)從400份評(píng)分表中，隨機(jī)抽取40份(其中男、女運(yùn)用者的評(píng)分表各20份)作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的莖葉圖：記該樣本的中位數(shù)為M，按評(píng)分狀況將運(yùn)用者對(duì)該APP的看法分為三種類(lèi)型：評(píng)分不小于M的稱(chēng)為“滿(mǎn)足型”，評(píng)分不大于M－10的稱(chēng)為“不滿(mǎn)足型”，其余的都稱(chēng)為“須改進(jìn)型”．(1)求M的值，并估計(jì)這400名運(yùn)用者中“須改進(jìn)型”運(yùn)用者的個(gè)數(shù)；(2)為了改進(jìn)服務(wù)，公司對(duì)“不滿(mǎn)足型”運(yùn)用者進(jìn)行了回訪，依據(jù)回訪看法改進(jìn)后，再?gòu)摹安粷M(mǎn)足型”運(yùn)用者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行其次次調(diào)查，記這3人中的女性運(yùn)用者人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)中位數(shù)等于eq\f(80＋82,2)＝81，所以M＝81,40個(gè)樣本數(shù)據(jù)中共有13人是“須改進(jìn)型”，從而可得400名運(yùn)用者中約eq\f(13,40)×400＝130人是“須改進(jìn)型”運(yùn)用者；(2)不滿(mǎn)足型運(yùn)用者共7人，其中男性5人，女性2人，故X的全部可能的取值為0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(2,7)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,7).故X的分布列為X012Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝eq