山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章不等式第二講一元二次不等式及其解法學(xué)案含解析

PAGE1-其次講一元二次不等式及其解法ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一一元二次不等式的解法(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)__大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)計(jì)算相應(yīng)的__判別式__.(3)當(dāng)__Δ≥0__時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根．(4)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的__交點(diǎn)__確定一元二次不等式的解集．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二三個(gè)二次之間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有__兩相異__實(shí)根x1，x2(x1<x2)有__兩相等__實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)__沒(méi)有__實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|__x>x2或x<x1__}{x|x∈R且__x≠x1__}__R__ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|__x1<x<x2__}__?____?__eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．a(chǎn)x2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R2．a(chǎn)x2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R留意：在題目中沒(méi)有指明不等式為二次不等式時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)，應(yīng)先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0的狀況進(jìn)行分析，檢驗(yàn)此時(shí)是否符合條件．3．二次不等式解集的“邊界值”是相應(yīng)二次方程的根．4．簡(jiǎn)潔分式不等式的解法(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≥0≤0,gx≠0)).5．簡(jiǎn)潔的指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式的解法(1)若a>1，af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)；若0<a<1，af(x)>ag(x)?f(x)<g(x)．(2)若a>1，logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0；若0<a<1，logaf(x)>logag(x)?0<f(x)<g(x)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列命題正確的是(AD)A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為RC．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4acD．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開(kāi)口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集肯定不是空集題組二走進(jìn)教材2．(必修5P80A組T4改編)已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，則?RAA．{x|－2<x<3} B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x<－2}∪{x|x>3} D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}[解析]∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在數(shù)軸上表示出集合A，如圖所示．由圖可得?RA＝{x|－2≤x≤3}．故選B．3．(必修5P80A組T2改編)y＝log2(3x2－2x－2)的定義域是__(－∞，eq\f(1－\r(7),3))∪(eq\f(1＋\r(7),3)，＋∞)__.[解析]由題意，得3x2－2x－2>0，令3x2－2x－2＝0，得x1＝eq\f(1－\r(7),3)，x2＝eq\f(1＋\r(7),3)，∴3x2－2x－2>0的解集為(－∞，eq\f(1－\r(7),3))∪(eq\f(1＋\r(7),3)，＋∞)．題組三考題再現(xiàn)4．(2024·天津高考)設(shè)x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范圍是__(－1，eq\f(2,3))__.[解析]3x2＋x－2<0?(x＋1)(3x－2)<0，?(x＋1)(x－eq\f(2,3))<0?－1<x<eq\f(2,3)，∴x的取值范圍是(－1，eq\f(2,3))．5．(2024·湖北黃岡元月調(diào)研)關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是(C)A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[解析]∵關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－eq\f(b,a)＝1，∴關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化為(x＋eq\f(b,a))(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集為{x|1<x<2}．故選C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一一元二次不等式的解法——多維探究角度1不含參數(shù)的不等式例1解下列不等式(1)－2x2＋x＋3<0；(2)x2－2x＋2>0；(3)eq\f(2x－1,3－4x)≥1.[分析](1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，變?yōu)?x2－x－3>0，求方程2x2－x－3＝0的根，若無(wú)根，則解集為R，若有根，則按“小于取中間，大于取兩邊”寫(xiě)出解集；(3)移項(xiàng)通分化為eq\f(fx,gx)>0的形式，進(jìn)而化為f(x)·g(x)>0求解．[解析](1)化－2x2＋x＋3<0為2x2－x－3>0，∴(x＋1)(2x－3)>0，即(x＋1)(x－eq\f(3,2))>0，∴x>eq\f(3,2)或x<－1，∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪(eq\f(3,2)，＋∞)．(2)因?yàn)棣?lt;0，所以方程x2－2x＋2＝0無(wú)實(shí)數(shù)解，而y＝x2－2x＋2的圖象開(kāi)口向上，可得原不等式x2－2x＋2>0的解集為R.(3)化eq\f(2x－1,3－4x)≥1為eq\f(6x－4,3－4x)≥0，即eq\f(3x－2,4x－3)≤0，∴(3x－2)(4x－3)≤0，且x≠eq\f(3,4)，即(x－eq\f(2,3))(x－eq\f(3,4))≤0(且x≠eq\f(3,4))∴原不等式的解集為{x|eq\f(2,3)≤x<eq\f(3,4)}．名師點(diǎn)撥?解一元二次不等式的一般步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或依據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根．(4)寫(xiě)：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集．角度2含參數(shù)的不等式例2解下列關(guān)于x的不等式：(1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)；(2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)；[分析](1)因二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，故需對(duì)其符號(hào)分類求解，即探討a與0的關(guān)系，并留意根的大小關(guān)系，即探討eq\f(1,a)與1的關(guān)系，故需分a<0，a＝0,0<a<1，a＝1，a>1五種狀況求解；(2)由于系數(shù)中含有字母，故需考慮對(duì)應(yīng)的方程有無(wú)實(shí)根，以及有根時(shí)根的大小關(guān)系；[解析](1)若a＝0，原不等式等價(jià)于－x＋1＜0，解得x＞1.若a＜0，則原不等式等價(jià)于(x－eq\f(1,a))(x－1)＞0，解得x＜eq\f(1,a)或x＞1.若a＞0，原不等式等價(jià)于(x－eq\f(1,a))(x－1)＜0.①當(dāng)a＝1時(shí)，eq\f(1,a)＝1，(x－eq\f(1,a))(x－1)＜0無(wú)解；②當(dāng)a＞1時(shí)，eq\f(1,a)＜1，解(x－eq\f(1,a))(x－1)＜0得eq\f(1,a)＜x＜1；③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，eq\f(1,a)＞1，解(x－eq\f(1,a))(x－1)＜0得1＜x＜eq\f(1,a).綜上所述：當(dāng)a＜0時(shí)，解集為{x|x＜eq\f(1,a)或x＞1}；當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x＞1}；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為{x|1＜x＜eq\f(1,a)}；當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)a＞1時(shí)，解集為{x|eq\f(1,a)＜x＜1}．(2)對(duì)于方程x2－2ax＋2＝0，因?yàn)棣ぃ?a2－8，所以當(dāng)Δ＜0，即－eq\r(2)＜a＜eq\r(2)時(shí)，x2－2ax＋2＝0無(wú)實(shí)根．又二次函數(shù)y＝x2－2ax＋2的圖象開(kāi)口向上，所以原不等式的解集為?；當(dāng)Δ＝0，即a＝±eq\r(2)時(shí)，x2－2ax＋2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，當(dāng)a＝eq\r(2)時(shí)，原不等式的解集為{x|x＝eq\r(2)}，當(dāng)a＝－eq\r(2)時(shí)，原不等式的解集為{x|x＝－eq\r(2)}；當(dāng)Δ＞0，即a＞eq\r(2)或a＜－eq\r(2)時(shí)，x2－2ax＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，分別為x1＝a－eq\r(a2－2)，x2＝a＋eq\r(a2－2)，且x1＜x2，所以原不等式的解集為{x|a－eq\r(a2－2)≤x≤a＋eq\r(a2－2)}．綜上，當(dāng)a＞eq\r(2)或a＜－eq\r(2)時(shí)，解集為{x|a－eq\r(a2－2)≤x≤a＋eq\r(a2－2)}；當(dāng)a＝eq\r(2)時(shí)，解集為{x|x＝eq\r(2)}；當(dāng)a＝－eq\r(2)時(shí)，解集為{x|x＝－eq\r(2)}；當(dāng)－eq\r(2)＜a＜eq\r(2)時(shí)，解集為?. 名師點(diǎn)撥?含參數(shù)的不等式的求解往往須要分類探討(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，若判別式Δ≥0，可先考慮分解因式，再對(duì)根的大小分類探討(分點(diǎn)由x1＝x2確定)；若不易分解因式，可考慮求根公式，以便寫(xiě)出解集，若Δ<0，則結(jié)合二次函數(shù)圖象寫(xiě)出解集，若判別式符號(hào)不能確定，則需對(duì)判別式分類探討(分點(diǎn)由Δ＝0確定)．(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后探討二次項(xiàng)系數(shù)大于零、小于零，以便確定解集形式．(3)解簡(jiǎn)潔分式不等式是通過(guò)移項(xiàng)、通分化為整式不等式求解，要留意分母不能為零．(4)解簡(jiǎn)潔的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，若底含有參數(shù)，則需對(duì)其是否大于1分類求解，留意對(duì)數(shù)的真數(shù)必需為正．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)(2024·河南南陽(yáng)期中)已知集合M＝{x|x2－x－6<0}，N＝{x|eq\f(6,x－2)<－1}，則M∩N＝(C)A．(－4,3) B．(－4，－2)C．(－2,2) D．(2,3)(2)(角度1)不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤1的解集為_(kāi)_{x|x>－eq\f(1,2)或x≤－2}__.(3)(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)[解析](1)x2－x－6<0?(x－3)(x＋2)<0?－2<x<3，∴M＝{x|－2<x<3}，eq\f(6,x－2)<－1?eq\f(x＋4,x－2)<0?(x＋4)(x－2)<0?－4<x<2，∴N＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故選C．(2)eq\f(x－1,2x＋1)≤1?eq\f(x－1,2x＋1)－1≤0?eq\f(－x－2,2x＋1)≤0?eq\f(x＋2,2x＋1)≥0.eq\f(x＋2,2x＋1)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋22x＋1≥0，,2x＋1≠0，))解得{x|x>－eq\f(1,2)或x≤－2}．(3)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①當(dāng)a>1時(shí)，x2－(a＋1)x＋a<0的解集為{x|1<x<a}，②當(dāng)a＝1時(shí)，x2－(a＋1)x＋a<0的解集為?，③當(dāng)a<1時(shí)，x2－(a＋1)x＋a<0的解集為{x|a<x<1}．考點(diǎn)二三個(gè)二次間的關(guān)系——師生共研例3(1)(2024·黑龍江大慶試驗(yàn)中學(xué)期末)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－eq\f(1,2)<x<－eq\f(1,3)}，則不等式x2－bx－a≥0的解集是(B)A．{x|2<x<3} B．{x|x≤2或x≥3}C．{x|eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)} D．{x|x≤eq\f(1,3)或x≥eq\f(1,2)}(2)若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是(A)A．(－eq\f(23,5)，＋∞) B．(－eq\f(23,5)，1]C．(1，＋∞) D．(－∞，－eq\f(23,5)][分析](1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．(2)令f(x)＝x2＋ax－2，Δ＝a2＋8>0恒成立，又兩根之積為負(fù)值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正難則反”，求x2＋ax－2≤0在區(qū)間[1,5]上恒成立的a的取值集合，只需f(5)≤0，再求其補(bǔ)集即可；思路三：分別參數(shù)．[解析](1)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－eq\f(1,2)<x<－eq\f(1,3)}，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－eq\f(1,2)和x2＝－eq\f(1,3)，且a<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,3)＝\f(b,a)，,－\f(1,2)×－\f(1,3)＝－\f(1,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝5.))則不等式x2－bx－a≥0即為x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.故選B．(2)令f(x)＝x2＋ax－2，則Δ＝a2＋8>0，∴方程f(x)＝0，有兩個(gè)不等實(shí)根，又兩根之積為負(fù)，∴方程有一正根和一負(fù)根．解法一：不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，只要f(1)≥0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1<0，,f5>0.))解得a≥1或－eq\f(23,5)<a<1.∴a的取值范圍是(－eq\f(23,5)，＋∞)，故選A．解法二：不等式x2＋ax－2≤0在[1,5]上恒成立，只要f(5)≤0，即25＋5a－2≤0，解得a≤－eq\f(23,5)，∴不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間(1,5]上有解的a的取值范圍是(－eq\f(23,5)，＋∞)．解法三：x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解?a>eq\f(2,x)－x在[1,5]上有解?a>f(x)min(記f(x)＝eq\f(2,x)－x，x∈[1,5])，明顯f(x)為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(5)＝－eq\f(23,5)，∴a>－eq\f(23,5).[引申]若不等式x2＋ax－2<0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是__(－∞，1)__.[解析]由例3(2)的解析知，不等式x2＋ax－2<0在區(qū)間[1,5]上有解，a<eq\f(2,x)－x，x∈[1,5]有解，明顯g(x)＝eq\f(2,x)－x在[1,5]上遞減，gmax(x)＝g(1)＝1，∴a<1.名師點(diǎn)撥?已知不等式的解集，等于知道了與之對(duì)應(yīng)方程的根，此時(shí)利用韋達(dá)定理或判別式即可求出參數(shù)的值或范圍，為簡(jiǎn)化探討留意數(shù)形結(jié)合，如本例(2)中對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0，－2)．〔變式訓(xùn)練2〕(1)關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則aA．eq\f(5,2) B．eq\f(7,2)C．eq\f(15,4) D．eq\f(15,2)(2)(2024·九江模擬)若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)[解析](1)解法一：由題意知x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又x2－x1＝15，∴(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝152.∵a>0，∴a＝eq\f(15,6)＝eq\f(5,2)，故選A．解法二：由x2－2ax－8a2＝(x＋2a)(x－4a)<0，∵a>0，∴不等式的解集為(－2又不等式的解集為(x1，x2)，∴x1＝－2a，x2＝4a.∴x2－x1＝4a－(－2a)＝6a＝15，∴a＝eq\f(5,(2)解法一：由函數(shù)f(x)＝x2－4x－2－a圖象的對(duì)稱軸為x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解?f(4)>0，即a<－2，故選A．解法二：(分別參數(shù)法)不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故選A．考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問(wèn)題——師生共研例4已知f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對(duì)于x∈R，f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若對(duì)于|m|≤1，f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．[分析](1)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母m，應(yīng)分m＝0和m≠0探討求解；(2)數(shù)形結(jié)合，分類探討；(3)把二次不等式轉(zhuǎn)化為含m的一次不等式，依據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解．[解析](1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，明顯－1<0；若m≠0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))?－4<m<0.所以m的取值范圍為(－4,0]．(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1,3])，又因?yàn)閤2－x＋1＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，所以m<eq\f(6,x2－x＋1).令y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,x－\f(1,2)2＋\f(3,4)).因?yàn)閠＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)在[1,3]上是增函數(shù)，所以y＝eq\f(6,x2－x＋1)在[1,3]上是減函數(shù)．因此函數(shù)的最小值ymin＝eq\f(6,7).所以m的取值范圍是(－∞，eq\f(6,7))．(3)將不等式f(x)<0整理成關(guān)于m的不等式為(x2－x)m－1<0.令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1,1]．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1<0，,g1<0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x－1<0，,x2－x－1<0，))解得eq\f(1－\r(5),2)<x<eq\f(1＋\r(5),2)，即x的取值范圍為(eq\f(1－\r(5),2)，eq\f(1＋\r(5),2))．名師點(diǎn)撥?一元二次不等式恒成立問(wèn)題1．在R上恒成立(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)對(duì)于一切x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0或≤0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(或≤0)對(duì)于一切x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝b2－4ac<0或≤0.))2．在給定某區(qū)間上恒成立(1)當(dāng)x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，結(jié)合圖象，只需f(x)min≥0即可；(2)當(dāng)x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．3．解決恒成立問(wèn)題肯定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是自變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．4．“不等式f(x)≥0有解(或解集不空)的參數(shù)m的取值集合”是“f(x)<0恒成立的參數(shù)m取值集合”的補(bǔ)集；“f(x)>0的解集為?”即“f(x)≤0恒成立．”留意：ax2＋bx＋c>0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ＝b2－4ac<0))；ax2＋bx＋c<0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ＝b2－4ac<0)).〔變式訓(xùn)練3〕(1)若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a取值的集合為(D)A．(－∞，3) B．(－1,3)C．[－1,3] D．(－1,3](2)(2024·山西忻州第一中學(xué)模擬)已知關(guān)于x的不等式x2－4x≥m對(duì)隨意的x∈(0,1]恒成立，則有(A)A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4(3)已知對(duì)于隨意的a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于0，則xA．{x|1<x<3} B．{x|x<1或x>3}C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2}[解析](1)當(dāng)a＝3時(shí)，－4<0恒成立；當(dāng)a≠3時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,Δ＝4a－32＋16a－3<0，))解得－1<a<3.所以－1<a≤3.故選D．(2)令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故選A．(3)記g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1,1]，依題意，只須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,g－1>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2>0，,x2－5x＋6>0))?x<1或x>3，故選B．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升一元二次方程根的分布設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，記f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)方程無(wú)根Δ＝b2－4ac(2)方程有兩等根Δ＝b2－4ac(3)方程有兩不等實(shí)根Δ＝b2－4ac>0，記其根為x1，x2且x1<x2①x1>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac>0，,x1＋x2＝－\f(b,a)>0，,x1x2＝\f(c,a)>0.))或x1>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,af0>0，,－\f(b,2a)>0；))②x1<0<x2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac>0,x1x2＝\f(c,a)<0))或x1<0<x2?af(0)<0；③x1<x2<0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac>0，,x1＋x2＝－\f(b,a)<0，,x1x2＝\f(c,a)>0，))或x1<x2<0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,af0>0，,－\f(b,2a)<0.))④x2>x1>k?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,afk>0，,－\f(b,2a)>k，))⑤x1<k<x2?af(k)<0；⑥x1<x2<k?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,afk>0，,－\f(b,2a)<k.))⑦m<x1<n<x2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(afm>0，,afn<0；))x1<m<x2<n?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(afm<0，,afn>0；))m<x1<x2<n?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(afm>0，,afn>0，,m<－\f(b,2a)<n，,Δ>0.))x1<m<n<x2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(afm<0，,afn<0.))⑧m<x1<n<x2<p?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm·fn<0，,fn·fp<0.))例5若關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分別滿意下列條件時(shí)，求m的取值范圍(1)一根在(1,2)內(nèi)，另一根在(－1,0)內(nèi)，(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)內(nèi)(3)一根小于1，另一根大于2(4)一根大于－1，另一根小于－1(5)兩根都在區(qū)間(－1,3)(6)兩根都大于0(7)兩根都小于1(8)在(1,2)內(nèi)有解[解析]設(shè)f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝4((1)一根在(1,2)內(nèi)，另一根在(－1,0)內(nèi)應(yīng)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1f2<0,f0f－1<0))即eq