2024年中考數學動點綜合問題及答案

動點綜合問題（33題）

一、單選題

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,腕ABCD中，BD為其對角線，一動點P從D出發(fā)，沿著D-B-C

的路徑行進，過點P作PQ_LCD,垂足為Q.設點P的運動路程為x,PQ-DQ^/y,y-tgx的函數圖

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在等腰RtAABC中，ZBAC=9。,AB=12,動點E,F同時從

點A出發(fā)，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨

之停止運動，連接EF,以EF為邊向下做正方形EFGH,設點E運動的路程為x0<x<12,正方形

EFGH和等腰RtZXABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（）

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E,F分別是邊AB,BC上的動點，

且滿足AE=BF,AF與DE交于點0,點M是DF的中點，G是邊AB上的點，AG=2GB,則0M+

：FG的最小值是（）

C.8D.10

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動點P從菱形ABCD的點A出發(fā)，沿邊AB—BC勻速運動，運動到點C

時停止.設點P的運動路程為x,P0的長為y,y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到BC中點

時，P0的長為（）

D.2用

5.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZB=30，點E是BC邊上的動點，連接

AE,DE,過點A作AF±DE于點P.設DE=x,AF=y,則y與x之間的函數解析式為（不考慮自變

量x的取值范圍）（）

二、填空題

6.（2024-江蘇揚州?中考真題）如圖，已知兩條平行線L、L，點A是L上的定點，AB，1于點B,點C、D分

別是L、L上的動點，且滿足AC=BD,雌CD交線段AB于點E,BH±CD于點H,則當NBAH最大

時，sinZBAH的值為.

2

7.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在nABCD中，AB=4,AD=5,ZABC=30，點M為直線BC上一

動點，則MA+MD的最小值為.

8.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，0M的圓心為M4,0,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,

過點P作。M的切線，切點為Q,則PQ的最小值為

9.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知NA0B=50，點P為NA0B內部一點，點M為射線0A、點N

為射線0B上的兩個動點，當aPIMN的周長最小時，則NMPN=.

10.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A3,0,B0,2，過點B作y軸的垂線

1,P為直線1上一動點，連接P0,PA,則P0+PA的最小值為.

11.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在4ABC中，ZABC=60,BC=8,E是BC邊上一點，且BE=2,點

I是AABC的內心，BI的延長線交AC于點D,P是BD上一動點，連接PE、PC,貝ljPE+PC的最小值

12.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在口ABCD中，ZC=120,AB=8,BC=10.E為邊CD的中點，F

為邊AD上的一動點，將4DEF沿EF翻折得EF,雌AD,BD，則4ABD面積的最小值為

13.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為1,M、N是邊BC、CD上的動點.若/MAN

=45，則MN的最小值為

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=4,E、F分別是邊CD、AD上

的動點，且CE=DF.當AE+CF的值最小時，則CE=.

三、解答題

15.（2024??蘇州?中考真題）如圖，Z^ABC中，AC=BC,ZACB=90,A-2,0,C6,0,反比例函數y

=1kW0,x>0的圖象與AB交于點Dm,4，與BC交于點E.

X

9

⑴求m,k的值；

⑵點P為反比例函數y=XkW0,x>0圖象上一動點(點P在D,E之間運動，不與D,E重合)，過點

X

P作PM〃AB,交y軸于點M,過點P作PN〃x軸，交BC于點N,連妾MN，求APNIN面積的最大值，

并求出此時點P的坐標.

16.(2024?四川自貢?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數丫=kx+b的圖象與反比例函數y=

匕的圖象交于A(-6,l),B(l,n)兩點.

X

(1)求反比例函數和一次函數的解析式；

⑵P是直線X=-2上的一個動點，4PAB的面積為21,求點P坐標；

⑶點Q在反比例函數y=上位于第四象限的圖象上，AQAB的面積為21,請直接寫出Q點坐標.

x

17.(2024?四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經過點

A3,0，與y軸交于點B,且關于直線x=1對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

⑵當時，y的取值范圍是0<y〈2t-1,求t的值;

⑶點c是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線AB于點D,在y軸上是否存

在點E,使得以B,C,D,E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

18.（2024?四川南充?中考真題）已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A-1,0,B3,0.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,拋物線與y軸交于點C,點P為線段0C上一點（不與端點重合），殿PA,PB分別交拋物線

于點E,D,設4PAD面積為Si，Z\PBE面積為S2,求￡的值；

⑶如圖2,點K是拋物線對稱軸與x軸的交點，過點K的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點M,

N,過拋物線頂點G作直線l〃x軸，點Q是直線1上一動點.求QM+QN的最小值.

19.（2024?吉林?中考真題）如圖，在4ABC中，ZC=90,ZB=30,AC=3cm,AD是AABC的角平分線.

動點P從點A出發(fā)，以J3cm/s的速度沿折線AD-DB向終點B運動.過點P作PQ〃AB,交AC于

點Q,以PQ為邊作等邊三角形PQE,且點C,E在PQ同側，設點P的運動時間為tst>0,APQE

與AABC重合部分圖形的面積為Scm2.

⑴當點P在線段AD上運動時，判斷AAPQ的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長（用含t的代數式

表示）.

⑵當點E與點C重合時，求t的值.

⑶求S關于t的函數解析式，并寫出自變量t的取值范圍.

20.（2024?四川德陽?中考真題）如圖，拋物線y=x2-x+c與x軸交于點A-1,0和點B,與y軸交于點C.

6

（1）求拋物線的解析式；

（2）當0<xW2時，求y=x2-x+c的函數值的取值范圍；

⑶將拋物線的頂點向下平移!■個單位長度得到點M,點P為拋物線的對稱軸上一動點，求PA+

■PM的最小值.

21.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形0AB的邊0B在x軸上，

點A在第一象限，0A的長度是一元二次方程x2°、°的根，動庶從雨出發(fā)以每秒個單

管度的速度沿折線OA-AB運動，動點Q從點0出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線OB-BA運

動，P、Q兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動.設運動時間為t秒（0〈t〈3.6）,ZkOPQ的面積為S.

⑵求S與t的函數關系式；

（3）在⑵的條件下，當S=6/H時，點M在y軸上，坐標平面內是否存在點N,使得以點0、P、M、N為

頂點的四邊形是菱形.若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由.

22.（2024?江西?中考真題）綜合與實踐

如凰在RtZkABC中，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不重合），連妾CD,以CD為直角邊在CD

工m

的右側構造R&DE,NDCE=9。，連接BE,CA

CD

圖1圖2圖3

特例感知

(1)如圖1,當m=1時，BE與AD之間的位置關系是,數量關系是；

類比遷移

⑵如圖2,當mW1時，猜想BE與AD之間的位置關系和數量關系，并證明猜想.

拓展應用

⑶在⑴的條件下，點F與點C關于DE對稱，連接DF,EF,BF,如圖3.已知AC=6,設AD=x，四

邊形CDFE的面積為y.

①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值；

②當BF=2時，請直接寫出AD的長度.

23.(2024-黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y=4x-2與x軸

交于點A,與y軸交于點C,過A,C兩點的拋物線y=ax2'UA'c與軸的另一個交點為3(

身，0),點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線AC

于點E,點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D是x軸上的任意一點，若4ACD是以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；

⑶當EF=AC時，求點P的坐標；

(4)在⑶的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M,連妾NA,

MP,貝ljNA+MP的最小值為.

24(2024?四川廣元?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：y=-x2+bx+c經過點

A-3,-1，與y軸交于點B0,2.

8

（1）求拋物線的函數表達式;

⑵在直線AB上方拋物線上有一動點C,連妾0C交AB于點D,求的最大值及此時點C的坐標；

⑶作拋物線F關于直線y=T上一點的對稱圖象F，拋物線F與F只有一個公共點E（點E在y軸右

側），G為直線AB上一點，H為拋物線F對稱軸上一點，若以B,E,G,H為頂點的四邊形是平行四邊

形，求G點坐標.

25.（2024?母?中考真題）將一個平行四邊形紙片0ABC放置在平面直角坐標系中，點00,0，點A3,0,

（1）填空：如圖①，點C的坐標為，點B的坐標為；

⑵若P為x軸的正半軸上一動點，過點P作直線1x軸，沿直線1折疊該紙片，折疊后點0的對應點

0落在x軸的正半軸上，點C的對應點為C.設OP=t.

①如圖②，若直線1與邊CB相交于點Q,當折疊后四邊形POCQ與00ABC重疊部分為五邊形時，

0C與AB相交于點E.試用含有t的式子表示線段BE的長，并直接寫出t的取值范圍；

②設折疊后重疊部分的面積為S,當春WtW,時，求S的取值范圍（直接寫出結果即可）.

oq

26.（2024?湖南?中考真題）已知二次函數y=-x2+c的圖像經過點A-2,5，點P當，Qx2,y是此二

2

次函數的圖像上的兩個動點.

(1)求此二次函數的表達式；

(2)如圖1,此二次函數的圖像與x軸的正半軸交于點B,點P在直線AB的上方，過點P作PC，x軸于

點C,交AB于點D,連妾AC,DQ,PQ.若x?=X]+3,求正底上的值為定值；

ADC

⑶如圖2,點P在第二象限，握=-2可，若點M在直線PQ上，且橫坐標為5-1,過點M作MN軸

于點N,求線段MN長度的最大值.

27.(2024?廣東?中考真題)【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點B,D是直線y=axa>0上第一象限內的兩個動點OD>0B,癖

段BD為對角線作矩形ABCD,AD〃x軸.反比例函數y=乂的圖象經過點A.

X

【構建聯系】

⑴求證：函數y=乂的圖象必經過點C.

X

⑵如圖2,拇E形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E落在y軸上，且點B的坐標為12

時，求k的值.

【深入探究】

⑶如圖3,把碗ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E,A重合時，連接AC交BD于點P.

以點。為圓心，AC長為半徑作。0.若0P=司金，當。0與4ABC的邊有交點時，求k的取值范圍.

圖1圖2圖3

28.(2024-四川達州?中考真題)如圖1,拋物線y=ax2+kx-3與x軸交于點A-3,0和點B1,0，與y軸

10

交于點C.點D是拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連妾AC,DC,殿AC交拋物線的對稱軸于點M,若點P是直線AC上方拋物線上一點，且

SAPMC=2SADMC,求點P的坐標；

⑶若點N是拋物線對稱軸上位于點D上方的一動點，是否存在以點N,A,C為頂點的三角形是等腰三

角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

29.(2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數丫=ax2+bx+caWO的圖像

經過原點和點A4,0.經過點A的直線與該二次函數圖象交于點B1,3，與y軸交于點C.

(1)求二次函數的解析式及點C的坐標；

(2)點P是二次函數圖象上的一個動點，當點P在直線AB上方時，過點P作PE_Lx軸于點E,與直線

AB交于點D,設點P的橫坐標為m.

①m為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點P,彳螭△BPD與AAOC相似.若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由.

30.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，拋物線y=-1~x2+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點

A坐標為(-1,0),點B坐標為(3,0).

(1)求此拋物線的函數解析式.

⑵點P是直線BC上方拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線交直線BC于點D,過點P作y軸的垂

線，垂足為點E,請?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時P點的坐標；若沒有

最大值，請說明理由.

⑶點M為該拋物線上的點，當/MCB=45時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標.

31.(2024?山東煙臺?中考真題)如圖，拋物線yl=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,OC

=0A,AB=4,對稱軸為直線I1:x=-1,將拋物線工繞點0旋轉180后得到新拋物線”,拋物線％與y

軸交于點D,頂點為E,對稱軸為直線12.

(1)分別求拋物線力和y2的表達式；

⑵如圖1,點F的坐標為-6,0,動點M在直線L上，過點M作MN〃*軸與直線L交于點N,睡

FM,DN.求FM+MN+DN的最小值；

⑶如圖2,點H的坐標為0,-2，動點P在拋物線丫2上，試探究是否存在點P,使NPEH=2NDHE?

若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

32.(2024?甘肅?中考真題)如圖1,拋物線y=ax-h2+k交x軸于0,A4,0兩點，頂點為B2,2/3?點

C為0B的中點.

12

(1)求拋物線y=a(x-h*+k的表達式；

⑵過點C作CH，0A,垂足為H,交拋物線于點E.求線段CE的長.

⑶點D為線段0A上一動點(0點除外)，在0C右側作平行四邊形0CFD.

①如圖2,當點F落在拋物線上時，求點F的坐標；

②如圖3,般BD,BF,求BD+BF的最小值.

(1)如圖1,若點D在點B的左側，連接CD,過點A作AE，CD交BC于點E.若點E是BC的中點，求

證：AC=2BD；

⑵如圖2,若點D在點B的右側，連接AD,點F是AD的中點，連接BF并延長交AC于點G,瞰CF.

過點F作FM，BG交AB于點M,CN平分NACB交BG于點N,求證：AM=CN+^BD；

⑶若點D在點B的右側，連接AD,點F是AD的中點，且AF=AC.點P是直線AC上一動點，連接

FP,將FP繞點F逆時針旋轉60得到FQ,峨BQ,點R是直線AD上一動點，連接BR,QR.在點P

的運動過程中，當BQ取得最小值時，在平面內將4BQR沿直線QR翻折得到ATQ%睡FT.在點

R的運動過程中，直接寫出黑］的最大值.

動點綜合問題（33題）

一、單選題

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,腕ABCD中，BD為其對角線，一動點P從D出發(fā)，沿著D-B-C

的路徑行進，過點P作PQ_LCD,垂足為Q.設點P的運動路程為x,PQ-DQ為y,y與x的函數圖

11

D.

4

【答案】B

【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，根據圖象得出信息是解題的關鍵.

根據函數的圖象與坐標的關系確定CD的長，再根據矩形性質及勾股定理列方程求解.

【詳解】解：由圖象得：CD=2,當BD+BP=4時，PQ=CD=2,此時點P在BC邊上,

設此時BP=a，貝l|BD=4-a,AD=BC=2+a,

部/ZkBCD中，BD2-D"一,

即：24-a2-a+22=22,

解得：a

AAD=a+2=y,

故選：B.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在等腰RtAABC中，ZBAC=9。,AB=12,動點E,F同時從

點A出發(fā)，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨

之停止運動，連接EF,以EF為邊向下做正方形EFGH,設點E運動的路程為x0<x<12，正方形

EFGH和等腰RtAABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（）

【答案】A

【分析】本題考查動態(tài)問題與函數圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數圖象之間的

關系，以及對應點是解題的關鍵，根據題意并結合選項分析當HG與BC重合時，及當xW4時圖象的走勢，和

當x>4時圖象的走勢即可得到答案.

【詳解】解：當HG與BC重合時，設AE=x,由題可得：

.\EF=EH=BE=12-x,

2-

在RtAEHB中，由勾股定理可得：BEon2cn2

V2x2+2=12-x2,

x=4,

???當0<xW4時，y=Qx2=2x2,

V2>0,

???圖象為開口向上的拋物線的一部分，

當HG在BC下方時，設AE=x,由題可得：

AEF=小，BE=12-x,

VZAEF=ZB=45,ZA=ZEOB=9（J,

AAFAE^AEOB,

?AE=E0

,x_E0

"%-x'

12-x

?.當4〈x〈12時，y=/2x12-xx=-x2+12x,

/-I<0,

,?圖象為開口向下的拋物線的一部分，

綜上所述：A正確,

故選：A.

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E,F分別是邊AB,BC上的動點，

且滿足AE=BF,AF與DE交于點。，點M是DF的中點，G是邊AB上的點，AG=2GB,則0M+

2

：FG的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，直角三角形的性質，勾股定理等等，先證明

△ADE^ABAFSAS得至！J/ADE=NBAE,進而得到NDOF=9O,則由直角三角形的性質可得0M=

：DF,如圖標，在AB延長線上截取BH=BG,9FH,易證明△FBGgAFBHSAS，貝。FH=FG,可

得當H、D、F三點共線時，DF+HF有最小值，即此時OM+1FG有最小值，最小值即為DH的長的一半,

求出AH=8,在RtAADH中，由勾股定理得DH=JAD?丁八口2-iU,+~PG的最小值為5.

備解】解：：四邊形ABCD是正方形，

AD=AB,ZDAB=ZABC=90,

又；AE=BF,

.?.△ADE義ABAFSAS,

Z.ZADE=ZBAF,

.\ZD0F=ZAD0+ZDA0=ZBAF+ZDA0=ZDAB=90,

,:點、M是DF的中點，

/.0M=-j-DF；

如圖所示，在AB延長線上截取BH=BG,9FH,

VZFBG=ZFBH=90,FB=FB,BG=BH,

.?.△FBGgAFBHSAS,

.*.FH=FG,

OM+；FG=：DF+：HF=gDF+HF,

...當H、D、F三點共線時，DF+HF有最小值，即此時OM+XFG有最小值，最小值即為DH的長的一半,

VAG=2GB,AB=6,

；.BH=BG=2,

AAH=8,

J^RtAADH中，由勾股定理得DH=代型丁八口2一

AOM+:FG的最小值為5,

故選：B.

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動點P從菱形ABCD的點A出發(fā)，沿邊AB-BC勻速運動，運動到點C

時停止.設點P的運動路程為X,P0的長為y,y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到BC中點

時，P0的長為（）

D.2V2

【答案】C

【分析】結合圖象，得到當x=0時，P0=A0=4,當點P運動到點B時，P0=B0=2,根據菱形的性質，得

ZAOB=ZBOC=90,繼而得到AB=BC=〃0A2+OB?=2/5,當點P運動到BC中點時，P0的長為

C=e，解得即可.

本題考查了菱形的性質，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握菱形的性質，勾股定理，直角三

角形的性質是解題的關鍵.

【詳解】結合圖象，得到當x=0時，P0=A0=4,

當點P運動到點B時，P0=B0=2,

根據菱形的性質，得/AOB=ZB0C=90,

,AB=BC=VOA2'UD2丁，

當點P運動到BC中點時，P0的長為：BC=JE,

故選C.

5.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZB=3G，點E是BC邊上的動點，連接

AE,DE,過點A作AF±DE于點P.設DE=x,AF=y,則y與x之間的函數解析式為（不考慮自變

量x的取值范圍）（）

18D.yi

Cr.y=——

XX

【答案】C

【分析】本題考查菱形的性質、含30度角的直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的

性質求解x、y的關系式是解答的關鍵.過D作DH，BC,交BC延長線于H,則NDHE=90,木雕菱形的

性質和平行線的性質得到CD=AD=AB=6,ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30,蜥利用含30度角的

直角三角形的性質DH=-1CD=3,證明AAFD-ADHE得到*=普，然后代值整理即可求解.

乙1）nDE

【詳解】解：如圖，過D作DH，BC,交BC延長線于H,則NDHE=90,AD

:在菱形ABCD中，AB=6,ZB=30°,^7\

AB〃CD,AD〃BC,CD=AD=AB=6,

B

.\ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30,gc'......"

9

在RtACDH中，DH=^-CD=3,

VAF_LDE,

AZAFD=ZDHE=90，又NADF=NDEH,

:?△AFDSADHE,

.AFAD

VDE=x,AF=y,

.y=6

?丁丁

?

??y_—18—9

x

故選：c.

二、填空題

6.（2024-的揚州?中考真題）如圖，已知兩條平行線L、L，點A是L上的定點,AB1于點B,點C、D分

別是L、12上的動點，且滿足AC=BD,?CD交線段AB于點E,BH±CD于點H,則當NBAH最大

時，sinZBAH的值為.

【分析】證明AACE之ABDEASA，酬BE=AE=JAB,全叫BH_LCD,得出NBHE=90,說明點H在

以BE為直徑的圓上運動，取線段BE的中點0,以點0為圓心，0B為半徑畫圓，則點H在。。上運動，說明

當AH與。0相切時/BAH最大，得出OHJ_AH,1矚AO=AE+0E=30E,利用sinNBAH=—=

A0

黑_=I.,即可求出結果.

30E3

【詳解】解：???兩條平行線1、1,點A是1上的定點，AB，21于點B,

???點B為定點，AB的長度為定值，

”〃12，

AZACE=ZBDE,ZCAE二ZDBE,

VAC=BD,

:?△ACE也ABDEASA,

ABE=AE=yAB,

VBH_LCD,

AZBHE=90,

???點H在以BE為直徑的圓上運動，

如圖，取線段BE的中點0,以點0為圓心，0B為半徑畫圓,

則點H在。。上運動,

???當AH與。0相切時NBAH最大,

AOH_LAH,

VAE二OB=2OE,

AAO=AE+OE=3OE,

VOH=0E,

OH_OE_1

二?sinNBAH=

TO--3OE-豆

故答案為：

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質和判定，平行線的性質，切線的性質，解直角三角形等

知識點，解題的關鍵是確定點H的運動軌跡.

7.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在nABCD中，AB=4,AD=5,ZABC=30，點M為直線BC上一

動點，則MA+MD的最小值為.

【答案】@

【分析】如圖，作A關于直線BC的對稱點A,原AD交BC于M，則AH=AH,AH±BC,AM=AM,

當M,M重合時，MA+MD最小，最小值為AD,再進一步結合勾股定理求解即可.

【怖】解：如圖，作A關于直線BC的對稱點A,雌AD交BC于M，則AH=AH,AH，BC,AM=

AM,

...當M,M重合時，MA+MD最小，最小值為AD,

VAB=4,ZABC=3ff，在口ABCD中，

.".AH=yAB=2,AD〃BC,

AAA=2AH=4,AA±AD,

VAD=5,

A

AD=J42+5Z=內,

故答案為：、何

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，求最小值問題，正確理解各性質及掌握各知

識點是解題的關鍵.

8.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，OM的圓心為M4,0，半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,

過點P作。M的切線，切點為Q,則PQ的最小值為

【答案】2/7

【分析】記直線y=x+4與x,y軸分別交于點A,K,連接QM,PM,KM；由直線解析式可求得點A、K的坐

標，從而得△0AK,40KM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=JPM）-Q,由QM=2,則

___________6

當PM最小時，PQ最小，點P與點K重合，此時PM最小值為KM，由勾股定理求得PM的最小值，從而求得

結果.

【詳解】解：記直線y=x+4與x,y軸分別交于點A,K,峨QM,PM,KM,

當x=0,y=4,當y=0,即x+4=0,

解得：x=-4,

即K(0,4),A(-4,0)；

而M4,0,

AOA=OK=0M=4,

.,.△OAK.AOKM均是等腰直角三角形，

.\ZAK0=ZMK0=45,

AZAKM=90,

：QP與。M相切，

AZPQM=90,

/.PQ=JPM'z-Q曠,

VQM=2,

...當PQ最小時即PM最小，

.?.當PM，AK時,取得最小值，

即點P與點K重合，此時PM最小值為KM,

在RtZkOKM中，由勾股定理得：KM0MZ+0K2=

PQ=〃32-4=2。,'

；?、最小值為2〃.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線

是解題的關鍵.

9.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知NA0B=50，點P為NA0B內部一點，點M為射線0A、點N

為射線0B上的兩個動點，當APNIN的周長最小時，則/MPN=.

【答案】80月0度

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質，三角形內角和定理的應用；作點P關于0A,

0B的對稱點Pj,P2.連接0P”0P*則當M,N是PR2與0A,0B的交點時，MN的周長最短，根據對

稱的性質結合等腰三角形的性質即可求解.

【詳解】解：作P關于0A,0B的對稱點R,b連接OP-0P2.則當M,N是BP?與0A,0B的交點時，

△PMN的周長最短，連接PF、P2P,

VP,Pl關于0A對稱，

.\ZPjOP=2ZM0P,OPj=OP,PjM=PM,ZOPjM=/OPM,

A

//必2

同理，NgOP=2NN0P,OP=OR,NORN=NOPN,

；./PiOP2=ZROP+ZP20P=2(ZM0P+ZNOP)=2ZA0B=100,OPj=0P2=OP,

.?.△PQP2是等腰三角形.

.\Z0P2N=ZOPxM=40,

Z.ZMPN=ZMPO+ZNPO=Z0P2N+NOP1M=80

故答案為：80.

10.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A3,0,B0,2，過成B作y軸的垂線

1,P為直線1上一動點，連接P0,PA,則P0+PA的最小值為

【答案】5

【分析】本題考查軸對稱-最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質.先取點A關于直線1的對稱點A,

連A0交直線1于點C,連AC,德UAC=AC,AA±1,再由軸對稱圖形的性質和兩點之間線段最短，得至U

當0,P,A三點共線時，P0+PA的最小值為A0,再利用勾股定理求A0即可.

【詳解】解：取點A關于直線1的對稱點A，連A0交直線1于點C,連AC,

則可知AC=AC,AA±1,

Z.PO+PA=P0+PA2A0,

即當0,P,A三點共線時，P0+PA的最小值為A0,

.直線1垂直于y軸，

；.AA_Lx軸，

VA3,0,B0,2,

A0=3,AA=4,

.?.在RtZkAA0中，

A0=J0A：+AA2K32+42=5,

故答案為：5

11.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在4ABC中，ZABC=60,BC=8,E是BC邊上一點，且BE=2,點

I是AABC的內心，BI的延長線交AC于點D,P是BD上一動點，連接PE、PC,則PE+PC的最小值

為.

8

A

【答案】2/13

【分析】在AB取點F,使BF=BE=2,雌PF,CF,過點F作FH，BC于H,利用三角形內心的定義可得

出/ABD=ZCBD,禾幃SAS證明△BFPg/kBEP,彳融PF=PE,貝I]PE+PC=PF+PC》CF,當C、

P、F三點共線時，PE+PC最小，最小值為CF,利用含30的直角三角形的性質求出BH,利用勾股定理求

出FH,CF即可.

【詳解】解：在AB取點F,使BF=BE=2,峨PF,CF,過點F作FH，BC于H,

VI>AABC的內心，

...BI平分ZABC,

Z.ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

.?.△BFPgABEPSAS,

APF=PE,

APE+PC=PF+PC》CF,

當C、P、F三點共線時，PE+PC最小，最小值為CF,

VFH_LBC,ZABC=60,

.\ZBFH=30,

ABH=；BF=1,

AFH=VBF2-BH-=F，CH=BC-BH=7,

CF=JCH2+FH2=2W，

APE+PC的最小值為2g.

故答案為：QB.

【點睛】本題考查了三角形的內心，全等三角形的判定與性質，含30的直角三角形的性質，勾股定理等知識,

明確題意，添加合適輔助線，構造全等三角形和含30的直角三角形是解題的關鍵.

12.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在口ABCD中，NC=120,AB=8,BC=10.E為邊CD的中點，F

為邊AD上的一動點，將4DEF沿EF翻折得EF,雌AD,BD,KJAABD面積的最小值為

【答案】20/3-16/-16+20/3

【分析】根據平行四邊形的性質得到CD=AB=8,AB〃CD,ZABC=60,由折疊性質得到ED=DE=4,

進而得到點D在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作EM_LAB交AB延長線于M,交圓E于

D，止的D到邊AB的距離最短，最小值為DM的長，即此時AVBD面積的最小，過C作CNLAB于N,根

據平行線間的距離處處相等得到E