專題4-1 三角函數(shù)恒等變形-高考數(shù)學一輪復習熱點題型歸納與變式演練（解析版）

專題4-1三角函數(shù)恒等變形目錄一、熱點題型歸納TOC\o"1-3"\h\u【題型一】輔助角1：基礎（化正與化余） 1【題型二】輔助角2：非特殊角的輔助角 3【題型三】輔助角3：最值 4【題型四】恒等變形1：“互余與互補”拆角 7【題型五】恒等變形2：拆角（和與差） 8【題型六】恒等變形3：拆角（30，60等） 11【題型七】恒等變形4：拆角（分式型） 12【題型八】恒等變形5：正切 13【題型九】恒等變形6：求角 15【題型十】恒等變形7：二倍角與降冪 17【題型十一】恒等變形8：正余弦對偶式（平方） 18【題型十二】恒等變形9：正余弦對偶（和、差與積） 20二、真題再現(xiàn) 22三、模擬檢測 25【題型一】輔助角1：基礎（化正與化余）【典例分析】化簡：解：化正化余：【提分秘籍】基本規(guī)律特殊角的的輔助角，源于正余弦“兩角和與差”公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))正余余正sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))正余余正正角減余角cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))余余正正偶函數(shù)。誰減誰無所謂cos(α－β)=cos(β－α)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))【變式演練】1.化簡：答案：2化簡：答案：3.（2021·全國·高三課時練習）若，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將等式左邊用輔助角公式化簡得到左邊的取值范圍，則等式右邊也在這個范圍，最后解不等式即可.【詳解】∵，∴所以.故選：B.【題型二】輔助角2：非特殊角的輔助角【典例分析】（2022·全國·高三課時練習）當函數(shù)取得最大值時，的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用輔助角將函數(shù)利用兩角差的正弦公式進行化簡，求得函數(shù)取得最大值時的與的關系，從而求得，，可得結果.【詳解】，其中，，當時，函數(shù)取得最大值，此時，∴，，∴故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律非特殊角的輔助角應用，雖然可以用公式，但是處理拔高題，僅僅簡單的用此公式是遠遠不夠的，要學會推導過程。知其然知其所以然。并且，深層次應用，不僅僅會“化正”，更要會“化余”?！咀兪窖菥殹?.（2022·河南河南·模擬預測（理））已知函數(shù)在處取得最大值，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根輔助角公式和正弦函數(shù)最值求解即可.【詳解】，其中為銳角，.因為當處取得最大值，所以，，即，，所以.故選：A2.已知，則tana=3.（2020·全國·高三課時練習）若函數(shù)f（x）=2sinx+cosx在[0，α]上是增函數(shù)，當α取最大值時，sinα的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用輔助角公式把目標函數(shù)化簡，求出的值，從而可得sinα的值.【詳解】，設，則.由于在[0，α]上是增函數(shù)，所以，的最大值為，.故選B.【題型三】輔助角3：最值【典例分析】已知函數(shù)，周期，，且在處取得最大值，則使得不等式恒成立的實數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)三角恒等變換和三角形函數(shù)的性質，以及同角的三角函數(shù)的關系可得，①，再根據(jù)，可得，②，通過①②求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的性質可得，，求出，根據(jù)不等式恒成立，則，即可求出答案．【詳解】，其中，處取得最大值，，即，，，①，，，，，②，①②得，，即，解得，（舍去），由①得，，，在第一象限，取，，由，即，，，，，使最小，則，即，若不等式恒成立，則，故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律輔助角滿足：【變式演練】1.（2020·江西·南昌市八一中學高三開學考試）函數(shù)f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值是（）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先利用三角恒等變化公式將函數(shù)化成的形式，然后直接得出最值.【詳解】整理得，利用輔助角公式得，所以函數(shù)的最大值為，故選A.2..若，函數(shù)f(x)=3sinωx【答案】【解析】【分析】首先利用輔助角公式對化簡，可得f(x)=5sinωx+φ，再利用的值域，可求出π2≤π3ω+φ≤π?φ的范圍，即得0<π2【詳解】f=5sinωx+φ，其中sinφ=因為，所以φ≤ωx+φ≤π3令ωx+φ=t，則y=5sint的值域為，可得y=sint又因為sinφ=45即0<π2?φ≤因為cosπcosπ?2φ所以cosπ3ω的取值范圍是3.（2015·河北唐山·一模（文））函數(shù)的值域為A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的最小正周期，進而在一個周期內(nèi)分類討論去掉絕對值，分別求得各部分的值域后即可得到函數(shù)的值域【詳解】∵，∴為周期函數(shù)，其中一個周期為，故只需考慮在上的值域即可，當時，，（為銳角，且，，）由，為銳角，可得又，，，則當時，，（為銳角，且，，）由，為銳角，可得又，，，則綜上，的值域為.故選：D【題型四】恒等變形1：“互余與互補”拆角【典例分析】（2021·四川德陽·高三期末）已知點是軸上到距離和最小的點，且，則的值為______(用數(shù)據(jù)作答)．【答案】##-0.5【分析】求出點A關于y軸的對稱點，求出直線與y的交點即得m值，再利用誘導公式及二倍角公式計算作答.【詳解】依題意，點A關于y軸的對稱點，則經(jīng)過點，B的直線斜率，直線的方程為，于是得點，此時有，由兩點之間線段最短知，點是軸上到距離和最小的點，因此，，，則，所以的值為.故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律利用誘導公式來構造【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習（文））已知為銳角，且，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用誘導公式及二倍角的余弦公式，將化為，結合為銳角，即可求得答案.【詳解】解：因為，所以，所以或1，又因為為銳角，則，則，所以，所以.故選：C.2.（2021·廣東北江實驗學校高三階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用誘導公式和二倍角公式計算．【詳解】．故選：A．3.（2022·廣東·廣州市第四中學高三階段練習）已知，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用誘導公式化簡已知式和求值式，求值式變形有后用二倍角公式計算．【詳解】由題意，所以，所以．故選：B．【題型五】恒等變形2：拆角（和與差）【典例分析】（2022·四川·射洪中學高三階段練習）若都是銳角，且，，則A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】先計算出，再利用余弦的和與差公式，即可.【詳解】因為都是銳角，且，所以又，所以，所以，，故選A.【提分秘籍】基本規(guī)律拆角變形要注意：（1）角的范圍的判斷；（2）根據(jù)條件進行合理的拆角，如等；（，，，，，，等.（）3）盡量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范圍縮小.【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習）已知，則等于A． B． C． D．【答案】D【分析】利用拼湊法將表示成，再結合，可得，結合輔助角公式和誘導公式進一步化簡即可【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以，故選D.2.（2022·云南民族大學附屬中學模擬預測（理））已知，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結合的范圍可確定最終結果.【詳解】且，，.又，，.當時，，，，不合題意，舍去；當，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.3.3.（2023·全國·高三專題練習）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)待求式的結構，求解即可．【詳解】解：因為=-.，；，，所以，故．故選：D.【題型六】恒等變形3：拆角（30，60等）【典例分析】（2023·全國·高三專題練習）求的值（）A．1 B．3 C． D．【答案】D【分析】化切為弦，通分后變形，利用兩角和的正弦及余弦求解．【詳解】解：．故選：D．【提分秘籍】基本規(guī)律拆角時，可以拆為的加減關系【變式演練】1.（2019·重慶市綦江南州中學校高二階段練習（理））A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用同角三角函數(shù)關系式，將切化弦，之后利用誘導公式化簡，借助于正弦的差角公式化簡，最后應用輔助角公式求得結果.【詳解】，故選C.2.（2022·全國·高三專題練習）化簡所得的結果是（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先切化弦并整理得，再結合展開整理即可得答案.【詳解】解：.故選：B3.（2021·全國·高三專題練習）＝（

）A．－ B．－C． D．【答案】D【解析】先由誘導公式化為銳角的三角函數(shù)，然后利用結合兩角差的正弦公式可求解．【詳解】原式＝＝＝.故選：D.【題型七】恒等變形4：拆角（分式型）【典例分析】（2022·全國·高三專題練習）＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出，然后，利用，代入的值求解即可【詳解】，令，得，，，所以，，所以，故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律分式型最終目標是分別把分子分母化為積的形式，便于約分來化簡。【變式演練】1.（2022·江蘇揚州·高三開學考試）等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將拆成，利用兩角和的余弦公式展開，化簡可得答案。【詳解】,故選：B2.（2018·廣東·華南師大附中高三期末）A． B． C． D．1【答案】A【分析】分析：由題意結合切化弦公式和兩角和差正余弦公式整理計算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：.【題型八】恒等變形5：正切【典例分析】（2022·云南省下關第一中學高三開學考試）若，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角三角函數(shù)間的關系對化簡變形，用表示，從而可求出的值，再利用兩角和的正切公式化簡計算，然后將所求的值代入計算即可.【詳解】因為，所以，，所以．故選：D．【提分秘籍】基本規(guī)律正切有關的恒等變形與求值：主要運用【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩角和的正切公式可得出，再結合兩角和的正切公式化簡可得結果.【詳解】因為，所以，所以.故選：D.2,。2.（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，再代入計算可得答案.【詳解】.故選：A．3.（2023·全國·高三專題練習）已知，，則（

）A． B． C．1 D．2或6【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正切公式求得，再利用，即可求得答案.【詳解】因為，所以，解得，又，所以.故選:A.【題型九】恒等變形6：求角【典例分析】（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)的符號確定角、、的范圍，再利用兩角差的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關系的商數(shù)關系得到關于和的方程組，再利用兩角和的正弦公式求出，進而結合角的范圍進行求解.【詳解】因為，，所以或；若，則，此時（舍）；若，則，此時（符合題意），所以，即；因為且，所以且，解得，，則，所以.故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律求角拆角技巧注意角的范圍【變式演練】1.（2022·江蘇省濱海中學模擬預測）已知cos(α－β)＝，cos2α＝，α∈(0，)，β∈(0，π)，且α＜β，則α＋β＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同角公式求出，，再根據(jù)以及兩角差的余(正)弦公式計算出，根據(jù)的范圍可得答案.【詳解】，且，，，，，.又.，.故選：B2.（2022·江蘇省江陰高級中學高三開學考試）已知且，則=（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用三角恒等變換求出的值，再判斷的范圍即可得解.【詳解】因，則，，因，，則，又，有，于是得，因此，，所以.故選：C3.（2020·全國·高三專題練習（理））設且，則（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】切化弦，再利用兩角差的正弦公式以及誘導公式可得，即求.【詳解】∵，，∴，∴，即，∵，∴，∴，即，故選：A.【題型十】恒等變形7：二倍角與降冪【典例分析】（2023·全國·高三專題練習）的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角正弦公式的變式結合誘導公式，化簡計算作答.【詳解】依題意，，所以的值為.故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律1.二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)2.降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，3.升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).【變式演練】1.（2022·全國·高三課時練習）已知，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．0或2【答案】D【分析】由，通過二倍角公式，得到或原式化簡為再分別求解.【詳解】因為所以所以解得或當時當時故選：D2.（2022·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得，化簡后可求出的值，然后對化簡可得，從而可求出其值【詳解】因為，所以，即，整理得，即，解得或．又，所以，則．故選：D．3.（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式和二倍角公式化簡即得解.【詳解】解：.故選：A.【題型十一】恒等變形8：正余弦對偶式（平方）【典例分析】（2021·江西南昌·高三階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，進而結合二倍角公式降冪求解即可.【詳解】解：因為所以所以，，所以，整理得：所以故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律對偶特征：正弦對應余弦，加和減對應【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A．- B．- C． D．【答案】C【分析】將已知兩式平方后相加，結合同角的三角函數(shù)關系，以及兩角差的余弦公式求得答案.【詳解】由，，兩邊平方后相加得，即,得，所以,故選:C.2.（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，兩式平方相加得到，根據(jù)，得到代入求解.【詳解】因為，，所以兩式平方相加得，即，又因為，所以，即，，將代入，得，即，所以，∴.故選：D.3.（2021·福建·廈門大學附屬科技中學高三階段練習）已知，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將題設中等式兩邊平方后相加可得，結合角的范圍可求，從而可得正確的選項.【詳解】由題意知，，，將兩式分別平方相加，得，，故選項AB錯誤；，，，又，，，故選項D正確，C錯誤．故選：D【題型十二】恒等變形9：正余弦對偶（和、差與積）【典例分析】（2021·全國·高三專題練習）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題要對命題所給信息的各種可能性一一進行分析，既要考慮題設條件，又要挖掘隱含條件，尤其是靈活應用同角三角函數(shù)關系式與和差公式，同時結合三角函數(shù)的性質求的取值范圍.【詳解】解法一：設，則，從而可得，即，①又由，得，所以，

②綜合①②得.故選：D.解法二：由，得，而，.故選：D.【變式演練】1.（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習（文））已知，均為銳角，且滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可根據(jù)已知條件，先求解出，然后結合使用余弦的和差公式構造出，然后根據(jù)條件給的，的范圍排除增根，即可完成求解.【詳解】，所以，，因為，均為銳角.所以，故選：D.2.（2022·浙江·高三專題練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知求出，，兩式相除即得解.【詳解】由題得，（1），（2）（1）+（2）得，（3）（2）-（1）得，（4）（3）÷（4）得9.故選：D1．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可得解.【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：C2．（2021·全國·高考真題（文））（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.3．（2021·全國·高考真題（文））若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.4．（2021·全國·高考真題（文））函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡，結合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．5．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．6．（山東·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)余弦二倍角公式計算即可得到答案.【詳解】.故選：D【點睛】本題主要考查余弦二倍角公式，屬于簡單題.7．（陜西·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先由求出，再由同角三角函數(shù)基本關系，以及二倍角的正弦公式，將所求式子化簡，即可得出結果.【詳解】因為，所以，因此.故選：A.【點睛】本題主要考查由同角三角函數(shù)基本關系化簡求值，涉及二倍角的正弦公式，屬于基礎題型.8．（2020·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應用，屬于中等題.9．（2020·全國·高考真題（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用兩角和的正切公式，結合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.10．（2019·全國·高考真題（文））已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關鍵，切記不能憑感覺．11．（2018·全國·高考真題（理））若，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由公式可得結果.詳解：故選B.點睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎題.12.（2022·浙江·高考真題）若，則__________，_________．【答案】

【分析】先通過誘導公式變形，得到的同角等式關系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來再求．【詳解】，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則．故答案為：；．.1.2022·江西上饒·高三期末）已知函數(shù)的圖象關于對稱，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對函數(shù)化簡變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導公式和二倍角公式可求得結果【詳解】因為，其中，，由于函數(shù)的圖象關于對稱，所以，即，化簡得，所以，即，所以，故選：C.2.（2020·全國·高三課時練習）若函數(shù)f（x）=2sinx+cosx在[0，α]上是增函數(shù)，當α取最大值時，sinα的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用輔助角公式把目標函數(shù)化簡，求出的值，從而可得sinα的值.【詳解】，設，則.由于在[0，α]上是增函數(shù)，所以，的最大值為，.故選B.3.已知當時，函數(shù)取到最大值，則是（）A．奇函數(shù)，在時取到最小值； B．偶函數(shù)，在時取到最小值；C．奇函數(shù)，在時取到最小值； D．偶函數(shù)，在時取到最小值；浙江省紹興市諸暨市海亮高級中學2021-2022學年高三上學期12月選考數(shù)學試題【答案】B【分析】由輔助角公式可得，根據(jù)時有最大值可得，求出，再根據(jù)奇偶性并計算、可得答案.【詳