2024數(shù)學(xué)核按鈕考點(diǎn)突破第八章 平面解析幾何

第八章平面解析幾何

8.1直線的傾斜角、斜率與方程

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,

掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.

3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜

式、兩點(diǎn)式及一般式）.

必備知識(shí)

【教材梳理】

1.直線的傾斜角

（1）定義：當(dāng)直線/與％軸相交時(shí)，我們以X軸為基準(zhǔn)，刀軸正向與直線1

向上的方向之間所成的角a叫做直線I的傾斜角.

（2）規(guī)定：當(dāng)直線/與X軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0°.

（3）范圍：直線傾斜角的取值范圍是［0°,180。）.

2.直線的斜率

（1）定義：我們把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜

率常用小寫字母k表示，即k=tana.

（2）過兩點(diǎn)直線的斜率公式：過兩點(diǎn)羊％2）的直

線的斜率公式為k=空.

X2-XI

（3）直線的方向向量坐標(biāo)：若「2（久2。2），則直線P$2的方向

向量哂的坐標(biāo)為（次-、1）.若直線，的斜率為左，它的一個(gè)方向向量的

坐標(biāo)為（%,y），則k=，，特別地，是1的一個(gè)方向向量.

3.直線方程的五種形式

名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)-=k(x—（%o，yo）是直線上一定點(diǎn)，不垂直于X軸（k存在）

k為斜率

斜截式y(tǒng)=/ex+Ak為斜率，b是直線的縱不垂直于x軸（k存在）

截距，是點(diǎn)斜式的特例

兩點(diǎn)式y(tǒng)-%_x-xi（%21），（%2，丫2）是直線上小巾;也:X:'和y「'Qi豐

yz-yix2-x1

兩個(gè)定點(diǎn)打,乃*y2)

x

截距式二十,y.=1a為橫截距，b為縱截不垂直于X軸和y軸，且

距，是兩點(diǎn)式的特例不過原點(diǎn)（abW0）

一般式Ax+By+C=OA,B,C為系數(shù)任何位置的直線

（摩+口2*0）

【常用結(jié)論】

4.斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖示

傾斜角（范圍）

斜率（范圍）

5.過點(diǎn)PiQiJi）,「2（尤2，為）的特殊直線方程

（1）若%1=力2，且yiHyz時(shí)，直線垂直于X軸，方程為x=與.

（2）若久1hx2,且y1=丫2時(shí)，直線垂直于y軸，方程為y=%.

（3）若=&=。，且%中丫2時(shí)，直線即為y軸，方程為％=0.

（4）若修。%2，且為=丫2=0時(shí)，直線即為x軸，方程為y=0.

自主評(píng)價(jià)牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”.

（1）傾斜角越小，斜率越小.（X）

（2）不是所有的直線都有斜率.（V）

（3）過點(diǎn)P（x（）,yo）的直線都可用方程y-y（）=k（x-%o）表示.（義）

（4）能用斜截式方程表示的直線都能用點(diǎn)斜式方程表示.（V）

（5）直線2kx+y+l-2k=0恒過定點(diǎn)（1,一1）.（V）

2.過點(diǎn)/（一2,1）,5（3,-3）的直線方程為（B）

A.4%—5y4-13=0B.4%+5y+3=0

C.5%+4y+5=0D.5%—4y+8=0

［解析］解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)（—2,1）和（3,-3）,所以鋁=老，所以q=當(dāng)，

—3—13+2—45

化簡得4x+5y+3=0.故選B.

3.（教材題改編）如果/C<0,且BC<0,那么直線/x+By+C=0不經(jīng)過

（C）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］解：由已知得，直線+By+C=0在％軸上的截距一：>0,在y軸上

的截距-推>0,故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.故選C.

D

4.(教材題改編)經(jīng)過4(0,1),8(-1,機(jī))兩點(diǎn)的直線1的方向向量為(1,一1),傾

斜角為a，則TH=Z,a=整.

［解析］解：由題意知，直線2的斜率k=三多=?.所以巾=2/=一1.又4=

0—(—1)1

tana,aG［0,TT),所以a=—.故填2；—.

L44

核心考點(diǎn)f精聯(lián)突破

考點(diǎn)一直線的傾斜角和斜率

例1

(1)【多選題】如圖，直線L%,匕的斜率分別為七，心，七，傾斜角分

別為的,a2,a3,則下列選項(xiàng)正確的是(AD)

A.kr<k3<k2B.k3<k2<krC.ax<a3<a2D.a3<a2<a］

［解析］解:由題圖知，k2>k3>0,h<0,則七<心<七.

a

故］>?2>3>°>且的為鈍角，則&3<a?<的.故選AD.

(2)直線/經(jīng)過點(diǎn)A(L2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率k

的取值范圍是(D)

A.

C.(-oo,-l)U(|,+oo)D.(-00,-1)U(|,+8)

［解析］解：設(shè)直線2的斜率為k,則直線2的方程為y-2=k(%-1),直線，在工

軸上的截距為1-9

令一3<1-|<3,解得k<一1或k>:.故選D.

【點(diǎn)撥】①任一直線都有傾斜角，但斜率不一定都存在，直線傾斜角的范圍是

［0,-ri),斜率的取值范圍是R,同時(shí)要知道正切函數(shù)在pm上不單調(diào)；②求直

線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有

時(shí)要根據(jù)情況分類討論.

變式1.

(1)已知直線I的方程為%sina+V5y-1=0,a&R,則直線/的傾斜角的

取值范圍是(B)

人.叫陪,田B.［0申喈，4)C」O5)U償,11)D.呻U(xiǎn)［”

［解析］解：因?yàn)閥=-皆4+宏，即直線/的斜率左=一詈.由一1WsinaW

1,得-日Wk.又直線/的傾斜角的取值范圍為［0,IT),由正切函數(shù)的性質(zhì)

可得，直線1的傾斜角的取值范圍為［0/U［^,n).故選B.

(2)已知實(shí)數(shù)4,y滿足y=x2-x+2(-1<%<3),則鬻的取值范圍是

IT31.

［解析］解：鬻可看作點(diǎn)P(-3,-2)與曲線y=/一芯+2(-1工4<3)上的點(diǎn)

A(x,y)連線的斜率k.

如圖,當(dāng)點(diǎn)/為曲線左端點(diǎn)(-1,4)時(shí),k最大，為*=3;當(dāng)直線PA與曲線相切

—1+3

時(shí),k最小,此時(shí)設(shè)PA的方程為y+2=k(x+3)，與曲線方程y=——%+2聯(lián)

立，得/一(A+1)%+4-3k=0,其判別式/=(k+I)2-4(4-3/c)=0,解

得k=l(〃=-15舍去).易得切點(diǎn)為(1,2),在曲線上.所以譽(yù)的取值范圍為

［1,3］.故填［1,3］.

考點(diǎn)二求直線方程

例2

(1)求適合下列條件的直線方程.

(1)過點(diǎn)P(4,-2),傾斜角為150。；

［答案］解：因?yàn)閮A斜角a=150。，所以斜率/c=tanl50。=一?，所以直線的點(diǎn)

斜式方程為y+2=-y(%-4),

即y=_gX+竽_2.

(II)過兩點(diǎn)/(L3),5(2,5)；

［答案］解：因?yàn)樾甭蕬?合=2,所以直線的點(diǎn)斜式方程為y-3=2(%-1),

2—1

即y=2x+1.

(III)在％軸、y軸上的截距分別為—3,-1.

［答案］解：由題意，得直線的截距式方程為吃++=1,

即x+3y+3=0.

【點(diǎn)撥】選用直線方程時(shí)，注意其適用條件.同時(shí)注意截距相等包含截距為0,

截距不是距離等.

(2)設(shè)直線1的方程為(TH?—2m—3)%—(2m2+m—l)y4-6—2m=0.

(I)已知直線/在x軸上的截距為一3,則m=-9；

1解析］解：由題意知tn?一2m-3。0,即mK3且mH-1,令y=0,則％=

2m-6

m2-2m-3，

所以mz：-”2「m6-；3=-3,得m3=-|或m=3(舍去).

所以m.

(II)已知直線/的斜率為1,則m=二1.

［解析］解：由題意知，27n2+瓶一1。o,即且mH—1.

由直線/化為斜截式方程得y=2m-3%+612m,則空拜二=1,得小=

J2m2+m-l2m2+m-l2m2+m-l

一2或血二一1(舍去)?

所以m=—2.

故填(I)三；(II)-2.

【點(diǎn)撥】①若方程4%+By+C=0表示直線，則需滿足A,B不同時(shí)為0；②

令％=0可得在y軸上的截距，令y=0可得在％軸上的截距，若確定直線斜率

存在，可將一般式化為斜截式；③解分式方程要注意驗(yàn)根.

變式2.

(1)求適合下列條件的直線方程.

(I)過點(diǎn),傾斜角是直線y=-V3x的傾斜角的g；

［答案］解：因?yàn)閥=-百％的斜率為A=-g，其傾斜角為120。，所以所求直

線的傾斜角為60。，其斜率為百，

所以直線方程為y—3=百(％—1),即—y+3—V5=0.

(II)直線過點(diǎn)(-3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；

［答案］解：若截距不為0,設(shè)直線的方程為'+廿=1,

aa

因?yàn)橹本€過點(diǎn)(—3,4),所以子+3=1,解得a=l.

此時(shí)直線方程為％+y—1=0.

若截距為0,設(shè)直線方程為y=依，代入點(diǎn)(-3,4),

有4=—3k,解得k=—，此時(shí)直線方程為4x+3y=0.

綜上，所求直線方程為x+y-1=0或4%+3y=0.

(Ill)經(jīng)過點(diǎn)8(3,4),且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形.

［答案］解：由題意可知，所求直線的斜率為±1,又過點(diǎn)(3,4),得y-4=

士(%-3).

所求直線的方程為％-y+1=0或x+y-7=0.

(2)一次函數(shù)丫=一"K+工的圖象同時(shí)經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分

nn

條件是(B)

A.m>1月.n<1B.mn<0C.m>0fin<0D.m<0fin<0

［解析］解：因?yàn)閥=—"x+2的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故—”>0,且工

nnnn

<0,即m>0,且n<0為充要條件，因此nmVO是它的一個(gè)必要不充分條件.

故選B.

考點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用

例3

(1)設(shè)meR,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線％+my=0和過定點(diǎn)8的動(dòng)直線巾％-)/-

m+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則|PA|?\PB\的最大值是5.

1解析］解：由直線%+my=0求得定點(diǎn)4(0,0),直線mx-y-m+3=0,即

y-3=m(x-1),所以得定點(diǎn)8(1,3).當(dāng)?n=0時(shí)，兩條動(dòng)直線垂直，當(dāng)m#

0時(shí)，因?yàn)?一\"力=一1,所以兩條動(dòng)直線也垂直，因?yàn)镻為兩直線的交點(diǎn)，

所以|P/|2+|PB『=伊砌2=10,所以|P4|?|PB|W此竽此=5(當(dāng)且僅當(dāng)

|P*=|PB|=遙時(shí)，等號(hào)成立)，所以忸川?|PB|的最大值是5.故填5.

(2)直線/過點(diǎn)P(L4),分別交％軸的正半軸和y軸的正半軸于A,B兩點(diǎn).

(I)當(dāng)|PA|?|PB|最小時(shí),求2的方程;

［答案］解：依題意，E的斜率存在，且斜率為負(fù).

設(shè)1:y—4=k(x—l)(k<0).

令y=0,可得/(1一，0)；

令X=0,可得8(0,4-k).

\PA\■\PB\=J(J)2+16-V1+k2

=——(1+k?)=—4(—+k)28.(Y王意k<0)

所以當(dāng)且僅當(dāng)*=k月*<0,即k=一1時(shí)，|P/|?|PB|取最小值.此時(shí)/的方程

為x+y—5=0.

(II)當(dāng)|。川+|03|最小時(shí)，求/的方程.

［答案］|。川+|OB|=(1->+(4-幻=5-6+》29.所以當(dāng)且僅當(dāng)k=B且

k<0,即k=-2時(shí)，|。川+|。8|取最小值.此時(shí)1的方程為2%+y—6=0.

【點(diǎn)撥】①求解與直線方程有關(guān)的最值問題.先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，

再利用基本不等式求解最值；②求參數(shù)值或范圍，注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐

標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.

變式3.

(1)若直線ax+by=ab(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,1),則該直線在無軸、y軸上

的截距之和的最小值為(B)

A.1B.4C.2D.8

［解析］解：因?yàn)橹本€ax+by=ab過點(diǎn)(1,1)，所以a+b=ab,+1=1,因

為直線在％軸的截距為b,在y軸上的截距為a,所以直線在x軸、y軸上的截

距之和為a+b,a+b=(a+b)*(\+}=2+g+￡22+2J?.彳=4,所以

當(dāng)a=b=2時(shí)取最小值，最小值為4.故選B.

22

(2)已知直線QX-2y=2。-4,l2.2x+ay=2a+4,當(dāng)0VQV2

時(shí)，直線匕，。與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)

a=i

［解析］解：由題意知直線"，%恒過定點(diǎn)P(2,2),直線4的縱截距為2-a,直

線G的橫截距為a2+2,所以四邊形的面積S=1x2(2-a)+1x2(a2+2)=

a2—a+4=(a--)2+—,又0<a<2,所以當(dāng)a=工時(shí)，面積S取最小值.

242

故填葭

課時(shí)作業(yè)知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.【多選題】下列說法正確的是(BD)

A.截距相等的直線都可以用方程2+2=1表示

aa

B.方程％+my-2=0(mGR)能表示平行于y軸的直線

C.經(jīng)過點(diǎn)P(L1),傾斜角為。的直線方程為y-1=(%-l)tan0

D.經(jīng)過兩點(diǎn)Pi(%i，yD,P2(x2,y2)(x1。%2)的直線方程為y-yi=匕-

X2-X1

%1)

［解析］解：對(duì)于A,截距相等且為0的直線都不可以用方程：+：=1表示，故

錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)m=0時(shí)，方程x+my-2=0(meR)表示平行于y軸的直線汽=

2,故正確；

對(duì)于C,經(jīng)過點(diǎn)P(l,l),傾斜角為。=90。的直線方程不能寫成y-l=Q—

l)tan0,故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)椴?。?,所以直線的斜率存在，可寫成y—yi=4(x-xi),

X2—X1

故正確.故選BD.

2.過點(diǎn)(1,日)且與直線％-V3y=0所成角為60。的直線方程為(D)

A.%+V3y-2=0B.%+V3y+2=0

C.x=1D.%+V3y—2=0或％=1

［解析］解：因?yàn)椋?8y=0,即y=^x,斜率為七=乎，傾斜角為30。，所

以所求直線的傾斜角為150?；?0。,斜率為-/或不存在.又直線過點(diǎn)(1,?)，則

所求方程為％+V3y—2=0或%=1.故選D.

3.已知直線依-y+l-3k=0,當(dāng)k變化時(shí)，所有直線都恒過點(diǎn)(C)

A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)

［解析］解：kx-y+l-3k=0可化為y-1=k(x-3),所以直線過定點(diǎn)

(3,1).故選C.

4.在平面直角坐標(biāo)系％。y中，已知直線/上的一點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長度，再向

下平移4個(gè)單位長度后，仍在該直線上，則直線/的斜率為(A)

A.-2B,-|C.|D.2

［解析］解：根據(jù)題意，設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),將該點(diǎn)平移后的坐標(biāo)為(a+

2*-4),則直線I的斜率k="棄之=-2.故選A.

a-(a+2)

5.直線上%+ycos0+3=0(。eR)傾斜角的取值范圍是(C)

A-［0,IT)B」%)。覃手D.［盟)

［解析］解：當(dāng)cos。=0時(shí)，直線2的傾斜角為］;當(dāng)3$6*0時(shí),直線2的斜率k=

-熹e(-00,-1］U口+8)，此時(shí)直線/的傾斜角的取值范圍是［*)U.

故選C.

6.從點(diǎn)(2,3)出發(fā)的光線沿與向量a=(8,4)平行的方向照射到y(tǒng)軸上，經(jīng)y軸反

射,其反射光線所在直線的方程為(A)

A.x+2y—4=0B.2%+y—1=0C.%+6y—16=0D.6x+y-8=0

［解析］解：反射光線與入射光線的斜率互為相反數(shù).又入射光線的斜率k=9:,

所以反射光線的斜率又入射光線所在直線方程為y-3=-2),令

%=0，可得反射點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).所以反射光線所在直線方程為y-2=-jx,即

%+2y-4=0.故選A.

7.如果直線％-4y+b=0的縱截距為正，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積

為8,則b=g.

［解析］解：由題意知，直線的方程為y=；x+?(b>0),它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

44

為(0$和(一仇0),

所以它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為；X2Xb=8,解得b=8.故填8.

24

8.已知在△ABC中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,3),AB,AC邊上的中線所在直線的方程

分別為x—2y4-1=0和y—1=0,求4ABC各邊所在直線的方程.

［答案］解：由題意，設(shè)。(28-1/),則/8的中點(diǎn)(等,2)在中線4-

2y+1=0上，所以等-4+1=0,得a=5,所以8點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,1)./。的中

點(diǎn)(仇等)在中線y=1上,所以等=1，得b=-1,所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是

(-3,-1).故可得△ABC三邊48,BC,AC所在直線的方程分別為％+2y-

7=0,%—4y—1=0和x—y+2=0.

【綜合運(yùn)用】

9,直線ax+by+c=0同時(shí)要經(jīng)過第一、二、四象限，則a,b,c應(yīng)滿足(A)

A.ab>09be<0B.ab>0,be>0

C.ab<0,be>0D.ab<0,be<0

［解析］解：由于直線ax+by+c=0經(jīng)過第一、二、四象限，

所以直線存在斜率，將方程變形為y=-￡%-?

易知——<0且——>0,故ab>0,be<0.

bb

故選A.

10.過點(diǎn)4(2,1)的直線的傾斜角a的范圍是由爭，則實(shí)數(shù)小的取值范

圍是(D)

A.［0,2］B.(2,4］C.［0,2)U(2,4］D.［0,4］

［解析］解：當(dāng)血=2時(shí)，直線48的傾斜角為滿足題意；

1

當(dāng)mH2時(shí)，k>l或%B<-1，即土>1或三<-1，所以-20或

A"BABm-2m-2m-2

0,

m-2

所以2<mW4或0<m<2.

綜上，0WmW4.故選D.

11.設(shè)點(diǎn)/(一2,3),B(3,2),若直線ax+y+2=0與線段4B沒有交點(diǎn)，則a的

取值范圍是(B)

A.(-00,-|]u[p+°°)B.(-|/|)

C.[-|?|]D.(一8,一三(J停,+8)

[解析懈:直線ax+y+2=0恒過點(diǎn)M(0,-2),且斜率為一a,因?yàn)閗”力=

3-(-2)__5,_2_(-2)_4

-2-0-2*MB-3-0-3，

畫圖可知一a>—[且一a<]所以06(-3》.故選氏

12.若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線

的斜率分別為"二3.

[解析]解：正方形0ABC中，對(duì)角線0B所在直線的斜率為2,建立如圖直角坐

標(biāo)系，設(shè)對(duì)角線0B所在直線的傾斜角為。，則tan0=2,直線。4的傾斜角為

故％=tan(0-45。)=黑需黑=懸=9喙=tan(。+45。)=

tan04-tan45°_2+1—3.

l-tan^tan450-1-2

故填］;—3.

13.已知直線/:(2+m)x+(m—l)y—3m=0(mGR).

(1)直線/經(jīng)過定點(diǎn)嗎？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，說

明理由.

［答案］解：直線］:(2+m)x+(m-l)y-3m=0(mER),即+y-3)+

2x—y=0(m6R),

令2+y-3=o,解得『=i,

I2x—y=0,ly=2,

故直線，過定點(diǎn)P(L2).

(2)若直線/分別與X軸正半軸，y軸的正半軸交于B兩點(diǎn).

(I)當(dāng)AAOB面積最小時(shí)，求對(duì)應(yīng)的直線2的方程；

［答案］設(shè)點(diǎn)/,B的坐標(biāo)分別為A(a,0),8(0,b),因?yàn)锳,B分別在％軸，y軸的正

半軸，所以a>0,b>0,則可設(shè)直線好+(=l(a>0">0),因?yàn)橹本€/過

定點(diǎn)P(l,2),代入得3+看=l(a>0,b>0).

SMOB=：ab,由1=：+彳22,得ab28,所以N4,當(dāng)

乙exuau4

且僅當(dāng)工=：=工，即a=2,b=4時(shí)取等號(hào).

ab2

故AAOB面積最小時(shí)，直線上2x+y-4=0.

(II)當(dāng)|PA|?|PB|最小時(shí)，求對(duì)應(yīng)的直線/的方程.

［答案］設(shè)直線2的斜率為<0),則其方程為y-2=/c(x-1),即y=kx-

k+2,

所以/(1一：,0),B(0,2-k),所以|PA|=J.+4,\PB\=V1TP,\PA\.

\PB\=J(專+4)(1+M)=J4k2+^+8>V2V16+8=4,

當(dāng)且僅當(dāng)41=表，即左=一1時(shí)取等號(hào).

故當(dāng)|PA|?\PB\最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線］的方程為x+y-3=0.

【拓廣探索】

14.已知過定點(diǎn)(2,1)作直線Z,與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為4,這樣的直線有

(C)

A.1條B.2條C.3條D.4條

［解析］解：根據(jù)題意,直線/不過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不平行，可設(shè)截距式方程為

Ui.

ab

直線/經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，則有(+1=1.@

直線Z與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為4,則S=}x|a|X團(tuán)=］ab|=4,即

ab=±8.②

聯(lián)立①②可得,a?-8a+16=0或a?+8a-16=0.

方程a2-8a+16=0的解為a=4；

方程a?+8a-16=0的解為a=-4+4&或a=-4-4企.

可知有三組不同的實(shí)數(shù)解a和b滿足題意.故選C.

8.2兩條直線的位置關(guān)系

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.能根據(jù)直線的斜率判定兩條直線平行或垂直.

2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平

行直線間的距離.

必備知識(shí)

【教材梳理】

1.兩條直線的位置關(guān)系

（1）平行：對(duì)于兩條不重合的直線A,12,其斜率分別為七，k2,有

/J/%Q在=J,特別地，當(dāng)直線4,%的斜率都不存在時(shí)，h與I2的關(guān)系

為山4

（2）垂直：如果兩條直線匕，12的斜率都存在，且分別為七，k2,則有

k1卜Q4也=一1，特別地，若直線L：%=a,直線"：y=b,則匕與。的

關(guān)系為k-LI?.

2.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組"6+當(dāng)丫+的二?！舴匠?/p>

\,A2X+B2y+C2=0.

組有唯一解，則兩條直線相交,此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條

直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行.

3.距離公式

（1）兩點(diǎn)間的距離公式：點(diǎn)/?1（%1，丫1）/2（%2/2）兩點(diǎn)間的距離為伊止2|=

-Xi）’+出一.特別地,原點(diǎn)。（0,0）與任一點(diǎn)P（x,y）間的距離為

\OP\=Jx2+y2.

（2）點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)PoQo,y。）到直線/：/%+By+c=0的距離

d_l、％o+By（）+c|

（3）兩條平行直線間的距離：兩條平行直線Z/Ax+By+Ci=0與

I2：Ax+By+C2—O（GL。02）間的距離d=?

【常用結(jié)論】

4.兩條直線平行、垂直的充要條件

設(shè)直線k與G的方程分別為久久++G=0(&,B］不同時(shí)為0),

A2X+B2y+C2=0(4，B2不同時(shí)為0),則

(1)////(^152-

1//2Q他。2-B2clH0或/傳2-&G。0.

(2)=_!_==^1^2+8/2=0.

5.常見直線系方程

(1)過定點(diǎn)(*i，yi)的直線系方程：y-yi=kQ-％1)和%=%].

(2)平行于直線4%+By+C=0的直線系方程：Ax+By+A=0(AH

C).

(3)垂直于直線+By+C=0的直線系方程：Bx—Ay+X=0.

(4)過兩條已知直線為x++G=0與+B2y+C2=0的交點(diǎn)的

直線系方程：Arx+Bxy+Cr+X(A2X+B2y+C2)=0(不包括直線4%+

B2y+C2=0)和+B2y+C2=0.

6.對(duì)稱常用結(jié)論

(1)點(diǎn)(%,y)關(guān)于直線y=%的對(duì)稱點(diǎn)為(y,%)，關(guān)于直線y=-%的對(duì)稱

點(diǎn)為(一y,-x).

(2)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線％=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,y),關(guān)于直線y=b的對(duì)

稱點(diǎn)為(x,2b—y).

(3)點(diǎn)(%,y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-2b—y).

自主評(píng)價(jià)牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”.

(1)當(dāng)直線4和1斜率都存在時(shí)，匕=k2nlj/l2.(X)

(2)已知兩條直線+Bry+Ci=0與G：4%+82y+C2=0不重合，

則4遇2+8/2=0是直線k112的充要條件.(V)

(3)點(diǎn)到直線y=kx+b的距離為第翳.(X)

(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.(V)

(5)若點(diǎn)4,B關(guān)于直線2。=心:+〃4=0)對(duì)稱，則直線的斜率等于

-7K，且線段的中點(diǎn)在直線2上.(V)

2.（教材習(xí)題改編）過點(diǎn)（2,2）且平行于直線x-2y+3=0的直線方程為（A）

A.%—2y+2=0B.2%+y+1=0C.x—2y+7=0D.2x+y-1=0

［解析］解：設(shè)所求直線方程為久-2y+c=0.把點(diǎn)(2,2)代入可得2-2x2+

c=0,所以c=2,所求直線的方程為％-2y+2=0.故選A.

3.圓(％++y2=2的圓心到直線y=%+3的距離為(C)

A.1B.2C.V2D.2V2

［解析］解：圓（％++y2=2的圓心坐標(biāo)為（一1,0）.由y=%+3得％-y+3=

0,則圓心到直線的距離4=粵粵=e.故選C.

4.（教材題改編）以｛L2）,B（3,4）,C（9,0）為頂點(diǎn)的三角形的面積為K.

［解析］解：（方法一）由題意，S^ABC=^\AB\h"為AB邊上的高）.

\AB\=］（3—+（4-2-=2V2.

AB邊所在的直線方程為％-y+1=0.

點(diǎn)C（9,0）到直線％-y+1=0的距離九=~^===祟所以工謝=；x2近X

yjlZ+（-1）^722

*10.

V2

（方法二）如圖過點(diǎn)B作x軸的垂線，交4c于點(diǎn)D.

易得/C邊所在的直線方程為x+4y-9=0,令4=3,得y=『即。(31).

則SAABC=3B0|(%C—4)

=|x(4-|)x(9-l)=10.

故填10.

核心考點(diǎn)】精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一兩條直線的平行

例1已知兩條直線（a—1）%+2y+1=0,辦：％+ay+3=0平行，則。=

(D)

A.-1B.2C.0或一2D.—1或2

［解析］解：(方法一)因?yàn)橹本€A：(a-1)%+2y+1=0的斜率存在，且

，1〃，2，所以W=-十，

所以a=-l或a=2,又兩條直線在y軸上的截距不相等，

所以當(dāng)a=-1或a=2時(shí)滿足兩條直線平行.

(方法二)由-A2B1=0得(a-l)a-1X2=0,

解得a=—1或a=2,

由/也2-42cl豐0得(a—1)x3-1x100.

所以a=—1或a=2.故選D.

【點(diǎn)撥】①當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要

考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注

意％,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.②在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也

可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.③?=臺(tái)。及保證了平行的同時(shí)

又去掉了重合的情形.

變式1.已知三條直線2x—3y+1=0,4%+3y+5=0,mx—y—1=0不

能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為(D)

4242442422

A?｛一5卓B.｛一/卓C七,D.

［解析］解：由題意得直線mx-y-1=0與另外兩條直線中的一條平行，或者

過另外兩條直線的交點(diǎn).當(dāng)直線7nx-y-1=0與2%-3y+1=0,4x+3y+

5=0分別平行時(shí)，771=1或—；；當(dāng)直線mx-y-1=0過2%-3y+1=0與

4%4-3y+5=0的交點(diǎn)時(shí)，m=-|.所以實(shí)數(shù)力的取值集合為｛一.故

選D.

考點(diǎn)二兩條直線的垂直

例2

(1)已知直線4：(a+2)x+(1—a)y—3=0與直線以(a—l)x+(2a+

3)y+2=0,則“a=1”是J.l2”的(A)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］解：\112的充要條件是(a+2)(a-1)4-(1-a)-(2a+3)=0,即

a2—1=0,解得a=±1.

顯然“a=1”是"a=±1”的充分不必要條件，故“a=1”是“匕112”

的充分不必要條件.故選A.

(2)設(shè)a,b,c分別是△ABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的邊長，則直線

xsinA+ay+c=0與b%—ysinB+sinC=0的位置關(guān)系是(C)

A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直

［解析］解：由正弦定理-三=-二，得bsinA-asinB=0,

smAs\nB

所以兩直線垂直.故選C.

【點(diǎn)撥】判定兩直線垂直的方法：①判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可

先化成斜截式，若向心=-1,則兩直線垂直；若一條直線的斜率不存在，另

一條直線的斜率為0,則兩直線也垂直.②直接用以下方法，可避免對(duì)斜率是否

存在進(jìn)行討論.設(shè)直線，1：4逐+Bty+Ci=0,l2'-A2x+B2y+C2=0,

k-L0=414+B1B2=0.

變式2.

(1)已知a>0,b>0,直線匕:(a—1)%+y—1=0,l2：x+2by+1=

o,且及_U2，則;+1的最小值為(C)

A.2B.4C.8D.9

［解析］解：因?yàn)?112，所以(a-l)xl+lx2b=0,即a+2b=1,

因?yàn)閍>0,b>0,所以：+*=(|+》(a+2b)=2+2+?+藍(lán)24+

2陣|=8,當(dāng)且僅當(dāng)竺=f,即a=；,b時(shí)等號(hào)成立，所以2+9的最

abab24ab

小值為8.故選C.

(2)已知點(diǎn)4(5,2),B(-1,4),則AB的垂直平分線方程為(B)

A.x—3y+7=0B.3x—y—3=0C.3x+y—7=0D.3x—y—7=0

［解析］解：設(shè)線段/B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(久,y),

則x==2,y=等=3,中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).

直線的斜率憶=三=—

-1-53

所以AB的垂直平分線的斜率為3,

則的垂直平分線方程為y-3=3(x-2),

即3x-y-3=0.故選B.

考點(diǎn)三兩條直線的相交、距離問題

例3

(1)直線2%+3丫一k=0和%-/^+12=0的交點(diǎn)在丫軸上，則k的值為

(C)

A.-24B.6C.±6D.-6

［解析］解：因?yàn)閮蓷l直線2%+3y-k=Q和％-ky+12=0的交點(diǎn)在y軸上，

所以設(shè)交點(diǎn)為(0/)，

2h-k=0

~消去b,可得k=±6.故選C.

(—kb+12=0,

(2)若三條直線％+y—3=0,x—y+1=0,mx+ny—5=0相交于同

一點(diǎn)，則點(diǎn)(初九)到原點(diǎn)的距離的最小值為(A)

A.V5B.V6C.2V3D.2V5

［解析］解：聯(lián)立f+y-3=°，解得卜=1，

U-y+1=o,ly=2.

因?yàn)槿龡l直線％+y—3=0,x—y+1=0,mx+ny—5=0相交于同一

點(diǎn)，所以m+2n=5.

則點(diǎn)(zn,n)到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到直線%+2y=5的距離d=熹弄=

V5.故選A.

(3)若兩平行直線3%—2y—l=0,6x+ay+c=0之間的距離為等，則

c的值是2或-6.

［解析］解：依題意知，：=三。三，解得。=一4,CW—2,即直線6%+ay+

c=0可化為3%—2y+1=0,

c

又兩平行線之間的距離為空，所以/?：12=萼，解得c=2或-6.故填2

13y/32+(-2)213

或-6.

【點(diǎn)撥】求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般思路就是解由這兩條直線方程組成的方

程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn).距離的求法：①點(diǎn)到直線的距離，可

直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式.②兩

平行直線間的距離，利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上

任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；或利用兩平行線間的距離公式4=粵雪.

變式3.

(1)經(jīng)過兩條直線X+y-3=0和x-2y+3=0的交點(diǎn)，且與直線2%+y-

7=0平行的直線方程為2尤+y—4=0.

%-J_v——q—0

［解析］解：聯(lián)立?y一’得交點(diǎn)為(1,2).又由題知，所求直線斜率為

-2y+3=0,

-2，則其方程為y-2=一2(%-1)，即為2x+y-4=0.故填2x+y-4=0.

(2)直線/過點(diǎn)P(—l,2)且到點(diǎn)做2,3)和點(diǎn)8(-4,5)的距離相等，則直線2的

方程為％+3y-5=0或x=-1.

［解析］解：(方法一)當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線1的方程為y-2=kQ+

1),即依一y+k+2=0.

由題意知|2k—3+k+2|_4k—5+k+2|

yJk2+l迎2+i

即|3k—l|=|-3k—3],所以k=—,.

所以直線/的方程為丁一2=-1*+1),

即％+3y-5=0.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線I的方程為％=-1,也符合題意.

(方法二)當(dāng)AB〃l時(shí)，直線I的斜率k=JB=-彳，直線/的方程為y-2=

-1

-i(x+1),即x+3y-5=0.

當(dāng)I過的中點(diǎn)(-1,4)時(shí)，由直線Z過點(diǎn)P(-l,2)知，

直線/的方程為為=-1.

故所求直線/的方程為x+3y—5=0或久=—1.

故填x+3y—5=0或尤=—1.

(3)直線k,%分別過點(diǎn)M(L4),N(3,l),它們分別繞點(diǎn)M和N旋轉(zhuǎn)，但必

須保持平行，那么它們之間的距離d的最大值是(C)

A.5B.4C.V13D.3

［解析］解：當(dāng)直線4,%都與MN垂直時(shí)，它們之間的距離取得最大值，且為

d=\MN\=J(1-3)2+(4-1尸=V13.故選C.

考點(diǎn)四對(duì)稱問題

例4

(1)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線%+y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-6,-3).

［解析］解：設(shè)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線尢+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q(a,b),

(―.(-1)=_1_

則，％b+5］解得｛，［二;'即P(2,5)關(guān)于直線x+y+l=°對(duì)稱的點(diǎn)

(2+2+1-。,

的坐標(biāo)為(―6,-3).

故填(—6,—3).

(2)已知直線上2%-3y+1=0,點(diǎn)/(一1,一2),則直線/關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直

線的方程為2x—3y—9=0.

［解析懈:(方法一)在2:2比一3y+1=0上任取兩點(diǎn),如N(4,3)，則

P,N關(guān)于點(diǎn)/的對(duì)稱點(diǎn)P',N'均在直線廠上.

易知P'(—3,-5),N'(-6,—7),由兩點(diǎn)式可得〃的方程為2x—3y—9=0.

(方法二)設(shè)Q(%,y)為「上任意一點(diǎn)，則Q?y)關(guān)于點(diǎn)/(一1,一2)的對(duì)稱點(diǎn)為

Q'(—2—x,—4—y),

因?yàn)椤Ｔ谥本€/上，所以2(-2—％)-3(—4一丫)+1=0,即2x—3y—9=0.

故填2%-3y-9=0.

(3)直線七2%+y-4=0關(guān)于直線上x-y+2=0對(duì)稱的直線。的方程為

x+2y—6=0.

［解析懈：解方程組仁:*、1):。'得直線’1與直線’的交點(diǎn)/(!，$?在直線L

上取一點(diǎn)B(2,0),設(shè)點(diǎn)8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為C(%,y),

（x+2

--+2=0,x=-2,

22

則y解得y=4,即C（T4）?

\%-2=-1,

又直線G過和C(-2,4)兩點(diǎn)，故由兩點(diǎn)式得直線。的方程為仁=詈，

333~43+2

即％+2y—6=0.故填x+2y—6=0.

【點(diǎn)撥】關(guān)于中心對(duì)稱問題的處理方法：①若點(diǎn)MQi，yi)及NQ,y)關(guān)于

P(a,b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得卜=2：-久1'②求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線

ly=2b-yr

的方程，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)

于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn),

再利用兩直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程，當(dāng)然，斜率必須存在.

關(guān)于軸對(duì)稱問題的處理方法：①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱.若兩點(diǎn)P1Q1,%)與

22。2，丫2)關(guān)于直線/：4%+8丫+。=0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在I上，且連接

+8(^121)+C=0,

2

P1P2的直線垂直于/，由方程組［yz-y：A可得到點(diǎn)p1關(guān)

(許(中=-1，

于E對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(%2/2)(其中B豐0,占牛%2).②直線關(guān)于直線的對(duì)稱.

此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決，有兩種情況：一是已知直

線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行.

變式4.

(1)點(diǎn)4(-2,a)與點(diǎn)8(與一3)關(guān)于直線上％+2y-a=0對(duì)稱,則a+3b=j_.

［解析］解：由題意知點(diǎn)A與點(diǎn)8的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(等,等)，因?yàn)镻在直線/

上，所以+2,—j——a=0,得b=8.又/B-LI)所以AAB,(—1)=—1,即

—=2,得。=-23,所以a+3b=-23+3X8=1.故填I(lǐng).

-2—8

(2)直線A：y=2x+3關(guān)于直線上y=x+1對(duì)稱的直線"的方程為冗一2y=

0.

［解析］解：由,v一—*7y-LQ得直線'與/的交點(diǎn)坐標(biāo)為(—2,-1),

y=x+1,

所以可設(shè)直線，2的方程為y+1=k。+2),

即kx—y+2/c—1=0.

在直線I上任取一點(diǎn)(1,2),由題設(shè)知點(diǎn)(1,2)到直線二，%的距離相等，則

比簪包=與等，解得k=；(k=2舍去)，

Vfc2+1V224-l2

所以直線%的方程為％-2y=0.故填X-2y=0.

考點(diǎn)五直線系及其應(yīng)用

例5求證：動(dòng)直線(機(jī)？+2m+3)x+(14-m—m2)y4-3m2+1=0(其中zn6

R)恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

［答案］證明：(方法一)令6=0,則直線方程為3%+y+1=0,①

再令m=1時(shí)，直線方程為6x+y+4=0,②

聯(lián)立①②，得方程組產(chǎn)+，+1="解得卜：丁

、6%+y+4=0,1y—2.

將點(diǎn)4(一1,2)代入動(dòng)直線(Hi?+2m+3)x+(l+m-m2)y+3m2+1=0中，

(m2+2m+3)x(—1)+(1+m—m2)x2+3m2+1

=(3—1—2)7712+(-2+2)ni+2+1—3=0,

故點(diǎn)4(-1,2)的坐標(biāo)恒滿足動(dòng)直線方程，所以動(dòng)直線(巾2+2m+3)%+(1+

m-m2)y+3m2+1=0恒過定點(diǎn)A.

(方法二)將動(dòng)直線方程按小降幕排列整理得，

m2(x-y+3)+m(2x+y)+3x+y+l=0,①

不論m為何實(shí)數(shù)，①式恒為零，

%—y+3=0,

所以有?2x+y=0