2024數(shù)學(xué)核按鈕考點(diǎn)突破第二章 函數(shù)

第二章函數(shù)

2.1函數(shù)的概念及其表示

?有的放矢

1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系

刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中

的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.

2.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、

解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.

3.通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

?溫故知新

【教材梳理】

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)B是非空的實(shí)數(shù)集,如果對于集合/中的任意一個數(shù)支，按

照某種確定的對應(yīng)關(guān)系尸,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就

稱f:4TB為從集合4到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x）,%64.其中，%叫

做自變量,x的取值范圍/叫做函數(shù)的定義域;與％的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)

值，函數(shù)值的集合｛fQ）|xeA］叫做函數(shù)的值域.值域是集合B的子集.

2.函數(shù)的表示方法

（1）解析法：用數(shù)學(xué)我達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

（2）列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

（3）圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

3.函數(shù)的三要素

（1）函數(shù)的三要素是：定義域,對應(yīng)關(guān)系,值域.

（2）兩個函數(shù)相等：如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一

致，則稱這兩個函數(shù)相等（或稱它們是同一個函數(shù)）.

4.分段函數(shù)

如果一個函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應(yīng)

關(guān)系,則稱其為分段函數(shù).

5.幾個重要概念

常數(shù)函數(shù)：也稱常值函數(shù)，即值域是只含一個元素的集合的函數(shù).

有界函數(shù)、無界函數(shù)：值域是有界集的函數(shù)稱為有界函數(shù)，否則稱為無界

函數(shù).

抽象函數(shù)：沒有給出具體解析式的一類函數(shù).

基本初等函數(shù)與初等函數(shù)：一般地，常數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)

函數(shù)和三角函數(shù)這五類函數(shù)叫做基本初等函數(shù).以上五類函數(shù)以及由它們通過有

限次四則運(yùn)算（加、減、乘、除）及有限次復(fù)合得到的函數(shù)叫初等函數(shù).

函數(shù)方程：未知量是函數(shù)的方程稱為函數(shù)方程.使函數(shù)方程中的等號能夠成

立的函數(shù)，叫做這一函數(shù)方程的解.

【常用結(jié)論】

6.教材中的幾個重要函數(shù)

定義圖象

絕對值函數(shù)y=|"=佇

a>0,b>0a<0,b<0

j/X

取整函數(shù)y=4'耨?誓不超

過工的最大整數(shù)-3-2if。J23x

i1-2

?—0k-3

——

l,x>0,

符號函數(shù)y—sgnx=0,%=0,

—l,x<0

r1

4行?牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“V”，錯誤的畫“X”.

(1)若/=R,B={%|x>0},f:x^y=\x\,其對應(yīng)是從A到B的函

數(shù).(X)

(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等.(X)

(3)已知/(久)=3(xeR),則f(%2)=9.(X)

(4)函數(shù)/1(久)的圖象與直線％=0最多有一個交點(diǎn).(V)

(5)f(x)=。1+X"，1一%與g(t)=71-t2是相等函數(shù).(J)

2.已知函數(shù)f(%+1)的定義域?yàn)閇1,2],則+3)的定義域?yàn)?B)

A.[1,2]B.[0,|]C.[-1,1]D.[|,l]

[解析]解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇1,2],所以f(x)的定義域?yàn)閇2,3],

所以2<-2x+3<3,解得0<%<|,

故/'(-2X+3)的定義域?yàn)閇0，].故選B.

(x2-l,x>2,

3.設(shè)函數(shù)/(%)=若/'(m)=3,則實(shí)數(shù)m的值為(D)

(log2x,0<%<2,

A.-2B.8C.1D.2

1解析］解：當(dāng)m22時，由Hi?一1=3,得爪2=4,解得m=2；

當(dāng)0<m<2時，由log27n=3,解得m=23=8(舍去).

綜上所述，巾=2.故選。.

4.已知f—1)=%+2,則/(%)=(B)

A.x2+2x+3(%>0)B.x2+2x+3(%>—1)

C.x2—2x+3(x>0)D.x2—2x+3(%>—1)

［解析］解：令t=4一l(t2-1),則久=(t+1)2,

則原函數(shù)化為f(t)=(t+1)2+2=t2+2t+3,

所以f(%)=x2+2x+3(x>-1).故選B.

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一函數(shù)的概念

例1下列各曲線表示的y與％之間的關(guān)系中，y不是％的函數(shù)的是(C)

［解析］解：根據(jù)函數(shù)定義，對任意％值，y都有唯一值與之對應(yīng)，只有C不滿

足.故選C.

【點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的定義，直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=f(x)的圖象至

多有1個交點(diǎn).

變式1.下列圖形中可以表示以M={%|0<%<1}為定義域，N={y|0<y<

1}為值域的函數(shù)的圖象是(C)

［解析］解：A中的值域不滿足題意，B中的定義域不滿足題意，D項(xiàng)不是函數(shù)的

圖象，由函數(shù)的定義可知C正確.故選C.

考點(diǎn)二求函數(shù)的定義域

命題角度1已知解析式求可數(shù)定義域

例2函數(shù)f(%)=yj4-\x\+廣二+6的定義域?yàn)?C)

A.(2,3)B.(2,4］C.(2,3)U(3,4］D.(-1,3)U(3,6］

(4—Ix|>0,(-4<%<4

［解析］解：函數(shù)/(%)的定義域應(yīng)滿足125%+6解得、1日一上&即函數(shù)

'X—3'

f(x)的定義域?yàn)?2,3)U(3,4］.故選C.

【點(diǎn)撥】求函數(shù)定義域的原則：用列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格中實(shí)

數(shù)》的集合；用圖象法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在％軸上的投影所對應(yīng)

的實(shí)數(shù)的集合；當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析法表示時，函數(shù)的定義域是指使解析式

有意義的實(shí)數(shù)》的集合，一般通過列不等式(組)求其解集.常見的限制條件

有：分式的分母不等于0,對數(shù)的真數(shù)大于0,偶次根式下的被開方數(shù)大于或等

于0等.

變式2.函數(shù)f(%)=了普+4的定義域是(A)

A.(0,1)U(1,4］B.(0,4］C.(0,1)D.(0,1)U［4,+oo)

-%2+3%+4>0,(-1<%<4,

［解析］解：由久>0,解得%>0,

In%。0,1%H1,

即0<久W4且％H1，所以函數(shù)fQ)的定義域是(0,1)U(1,4］.故選A.

命題角度2求抽象函數(shù)的定義域

例3若函數(shù)f(%)的定義域是［2,4］,則函數(shù)f(VFG)的定義域是［3,15］.

［解析］解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是［2,4］,

所以2<五不！<4,解得3<x<15,

所以函數(shù)7"(V74I)的定義域是［3,15］.

故填［3,15］.

【點(diǎn)撥】求抽象函數(shù)的定義域常用轉(zhuǎn)移法.若y=/(x)的定義域?yàn)?a,b),則解

不等式a<g(%)<b即可求出y=/(gQ))的定義域；若y=f(g(%))的定義域

為(a,b),則求出g(K)在(a,b)上的值域即得/(%)的定義域.

變式3.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,2］,則函數(shù)g(x)=/(2x)+(x-1)°的定

義域?yàn)椋?,1).

［解析］解：由題設(shè)可得W2%W2,解得［0WXW1

、%—1H0,1%W1,

所以g(x)的定義域?yàn)椋?,1).故填［0,1).

考點(diǎn)三求函數(shù)的值域

例4求下列函數(shù)的值域:

（1）Jy—1+X2;，

[答案]解：（方法一）反解法.

由y=773，解得/=會，

l+xz1+y

因?yàn)?>0，所以F>0，解得一1<y<1,

所以函數(shù)值域?yàn)椋?1,1].

（方法二）分離常數(shù)法.

1-x22

因?yàn)閥=1+x2=-1+l+x2'

又因?yàn)?+/21，所以°<會工2,所以一1<一1+2

x2+lW1,所以函數(shù)的值域

為（一1國.

2

(2)X-2X+5

y=x-1

[答案]（方法一）基本不等式法.

產(chǎn)-2%+5(%-1)2+4

因?yàn)閥=（%T）+三，

x-1x-1

又因?yàn)閤>1時，％—寸，%—1<0,

所以當(dāng)x>l時，y=（x-1）+^>2A/4=4,且當(dāng)x=3,等號成立；當(dāng)

x<l時，y=-[-（久-1）+二（二J）-4,且當(dāng)％=-1,等號成立.

所以函數(shù)的值域?yàn)椋ㄒ?,-4]U[4,+oo）.

（方法二）判別式法.

因?yàn)閥=爐-2：+5，所以％2.(y+2)%+(y+5)=0,

又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?一8,1)U(l,+8),

所以方程％2一(y+2)x+(y+5)=0有不等于1的實(shí)根.所以△=(y+2)2-

4(y+5)=y2—16>0,解得y<—4或y>4.

當(dāng)y=-4時，%=—1；y=4時，x=3.

故所求函數(shù)的值域?yàn)?-8,-4]U[4,4-00).

(3)y=2x+y/1—x;

[答案]代數(shù)換元法.

令￡=V1—%(t>0),所以％=1—t2,

所以y=2(1-t2)+t=-2t2+t+2=-2(t-+9.因?yàn)閠20,所以yW

故函數(shù)的值域?yàn)?一8,?］.

8o

(4)y=2x+V1—%2；

［答案］三角換元法.

令％=cost(0<t<TT)，所以y=2cost+sint=V5sin(t+<p)(其中cos(p=

至，=

因?yàn)?<t<IT，所以8<t+(p<ii+(p,

所以sin(7i+cp)<sin(t+<p)<1.

故函數(shù)的值域?yàn)椋?2,遙］.

(5)/(x)=\2x+1|-|x-4|；

［答案］圖象法.

(廣，1

—x—5,%

f(x)=<3%-3,—%<4,

x+5,x>4,

作出其圖象，可知函數(shù)/Xx)的值域是［-；,+8).

(6…誓」叫和

［答案］(方法一)數(shù)形結(jié)合法.

函數(shù)y=空彳的值域可看作點(diǎn)/(x,sinx),B(l,-l)兩點(diǎn)連線的斜率，S(l,-1)

X—1

是定點(diǎn)，/(x,sinx)在曲線y=sin%,%e生記上.如圖所示，P(n,0),Q(pl).

所以MP<y<kBQ即±<y<-^.故函數(shù)的值域?yàn)椋邸?］.

yt

^1

（方法二）單調(diào)性法.

因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx+1在XG［pn］上單調(diào)遞減，y=x-1在Xe［pn］上單調(diào)

遞增，且均非負(fù)，所以函數(shù)y=^?在邑記上單調(diào)遞減.當(dāng)％=三時，取

最大值為自；當(dāng)％=n時，取最小值為三.故所求函數(shù)的值域?yàn)椋弁?W〕-

【點(diǎn)撥】求函數(shù)值域常用方法：（1）分離常數(shù)法；（2）反解法；（3）配方

法；（4）不等式法；（5）單調(diào)性法；（6）換元法；（7）數(shù)形結(jié)合法；（8）

導(dǎo)數(shù)法.

變式4.

（1）下列各函數(shù)中，值域?yàn)椋?,+8）的是（C）

2X

A.y=log2（x+2%—3）B.y=V1—2

C.y=2~2X+1D.y=3^+i

222

［解析］解:%+2%-3=（x+I）-4>-4，所以y=log2（x+2x-3）的值域

是R，不滿足題意；

因?yàn)?W1-2*<1，則y=VF苫的值域?yàn)椋?,1），不滿足題意；

y=2-2工+i>0，即函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8）,滿足題意；

y=3^+iG（0,1）U（1,4-00）,不滿足題意.

故選C.

（2）【多選題】（教材改編題）函數(shù)y=-j三的值域與下列哪些函數(shù)的值域

x2+l

交集非空（AC）

2=受B.y=2吐"+1

1

C.y=%-（1<%<3）D.y=ex+e~x

［解析］解：y=言=4-焉e［0,4）;

y=2411+1e[2,+oo）；

y=%—1(1W%W3)是增函數(shù)，故y€［0,§;

y=e*+e~x>2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號.

對于y=~z~，當(dāng)％=0時，y=0;當(dāng)％H0時，y=，而％+->2或％+-<

'X+1''x+X-xX

-2，故此時yG［-1,0)U(0,1］,即y=島的值域?yàn)椋垡?,1］.故選AC.

(3)函數(shù)f(%)=%+Vl-2x的值域?yàn)?

［解析］解：函數(shù)的定義域?yàn)?-8,芻，

令t=Vl-2x(t>0),則x=號.

所以y=?+t=-|(t-I)2+l(t>0),

故當(dāng)t=1(即x=0)時，y有最大值1,故函數(shù)f(%)的值域?yàn)?一8,1］.故填

(-8,1］?

(4)函數(shù)y=W當(dāng)?shù)闹涤蚴牵?,5］.

［解析］解：因?yàn)?+%+1>0恒成立，所以函數(shù)的定義域?yàn)槭?由、=

笠十二:，得(y—2)x2+(y+l)x+y-2=0.當(dāng)y—2=0,即y=2時，上式

化為3%+0=0,所以x=0G7?;當(dāng)丫—2H0,即yH2時，因?yàn)楫?dāng)％GR

時，方程(y—2)x2+(y+l)x+y—2=0恒有實(shí)根.

所以A=(y+l)2-4x(y-2)2>0,所以1WyW5且y去2.故函數(shù)的值域

為［1,5］.故填［1,5］.

(5)已知函數(shù)f(%)=2工，則函數(shù)f(f(x))的值域是(B)

A.(0,+00)B.(l,+oo)C.［l,+oo)D.R

［解析］解：函數(shù)f。)=2X的值域?yàn)?0,+8),

令t=2',則t>0,所以/?(/(%))=f(t)=2t>2°=l,即所求函數(shù)的值域

為(1,+8).故選B.

考點(diǎn)四求函數(shù)的解析式

例5

(1)己知f(%)是一次函數(shù)，且3/(%+1)-2f(x-1)=2%+17,則/1(X)=

2%+7.

［解析］解：待定系數(shù)法.因?yàn)閒(x)是一次函數(shù)，

可設(shè)f(%)=ax+b(aH0),

所以3[a(%+1)+6]—2[ct(x-1)+b]—2x+17,

即ax+(5a+b)=2%+17,

所以尸2，解得卜=2，

、5a+b=17,lb=7.

所以f(x)的解析式是f。)=2x+7.故填2x+7.

(2)已知f(1—sinx)=cos?%,則f(x)=2%—%€[0,2].

[解析]解：換元法.設(shè)1-sin%=t,tE[0,2],

則sin%=1—t,因?yàn)閒(1—sinx)=cos2%=1—sin2x,

所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,te[0,2].

即/(%)=2x—x2,xG[0,2].故填2%—x2,xE[0,2].

(3)已知f(%+>=/+9，則/'(x)=，-2(|%|22).

[解析]解：配湊法./(%+》=%2+妥=(%2+2+9)_t(X+；)2_2,所以

/,(X)=x2-2(|x|>2).故填尤2-2(|x|>2).

(4)已知函數(shù)f。)的定義域?yàn)?0,+8),且/(%)=2/(》.百一1,則f(%)=

［解析］解：消去法.在f㈤=2/(》?近一1中，將》換成］,則!換成刀,得

心=2及)$-1，

(7。)=2〃1五一1,

由《1r解得f。)=［?+［故填!《+：.

優(yōu))=2f(%).《-1,

(5)已知函數(shù)〃%)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意％CR,都有/?(/'(%)-

3、)=4,則/(2)的值是(C)

A.4B.8C.10D.12

［解析］解：根據(jù)題意，f(%)是單調(diào)函數(shù)，且f(f(%)-3位=4,則為

定值.設(shè)/-3丫=t,t為常數(shù)，則/(%)=3》+t且/"(t)=4,即有"+t=

4,得t=1,則/(x)=3*+1,故f(2)=10.故選C.

【點(diǎn)撥】函數(shù)解析式的求法：①待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、

二次函數(shù)等)，可用待定系數(shù)法;②換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，

可用換元法，此時要注意新元的取值范圍;③配湊法：由已知條件/"(gO))=

PQ),可將口>)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x),便得f(%)的

解析式;④消去法(即函數(shù)方程法)：已知/(%)與或f(-x)之間的關(guān)系式，

可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式，兩等式組成方程組，通過解方程組求

出/Q).

變式5.

(1)設(shè)f(%)是二次函數(shù),f(0)=2,/(%+2)-/(%)=2%+4,則/(%)=

*23

-2x+x+2.

［解析］解：設(shè)/(%)=ax2+bx+C(Q00)，由/'(0)=2=c=2,/(x+2)-

/(%)=a(x+2)2+b(x+2)+2—(ax2+bx+2)=4ax+4Q+2b=2%+4,

故雷霆=4,則忙；故填如+』?

(2)若函數(shù)+1)=x—1,則f(%)=x2-2(x>0).

解：換元法.令t=解+1>0,則％=t2-1,所以f(t)=t2-l-l=t2-

2,所以函數(shù)f(x)的解析式為f(%)=x2-2(x>0).故填/—2(x>0).

(3)己知f(%—：)=+*，則f(%)=+2.

［解析］解：f(x一：)=%2+妥=(%_42+2,所以/(%)=X2+2,故填/+2.

(4)已知/'(%)+2/(-％)=3%+1,則f(x)=(A)

11

A.-3%H—B.-3%C.—3%+1D.-xH—

33

［解析］解：因?yàn)閒(久)+2/(-%)=3%+1,①

所以f(-%)+2/(%)=-3x+1,②

聯(lián)立①②解得/(%)=-3x+1.故選A.

(5)已知函數(shù)f(%)滿足3fo-1)+2/(1-％)=2%,則/(%)的解析式為(D)

Q2

A./(%)=2%B./(%)=x+1C./(%)=x+-D./(%)=2x+-

［解析］解：令t=久一1，得3f(t)+2/(-t)=2(t+1),①

將t用T代替，可得3f(—t)+2f(t)=2(-t+1),②

聯(lián)立①②可得f(t)=2t+|,

所以f(%)=2%+|.故選D.

(6)已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，且V%e(o,+8),都有

/■(/(%)+：)=-1，則/'(1)=(C)

A.-4B.-3C.-1D.0

［解析］解：由題得，設(shè)f(玲+：=k,k是一個正數(shù)，

因?yàn)椋?=/W=T，所以/(￡)=""=T，解得左=1(負(fù)值舍)，

所以f(l)=一1.故選C.

考點(diǎn)五分段函數(shù)

命題角度1求分段函數(shù)的函數(shù)值和值域

_(2X-l,x<0,

例6已知函數(shù)/'(%)=,1若/'(zn)=3,則ni的值為(C)

>0,

A.V3B.2C.9D.2或9

1

［解析］解：由題意得〔27,=3,或加=3,解得7n=9.故選C.

【點(diǎn)撥】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然

后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)形如/(/(&)的求值問題時，應(yīng)從內(nèi)到外依

次求值.求值域問題同樣分段求解，再取其并集.

變式6.函數(shù)/Xx)=\eX~1,X70,若f(比)=1，則&的值為±1，/(%)的值域

為(0,+8).

x-1

［解析］解：當(dāng)％02o時，/(XO)=e°=1,得%o=1；

當(dāng)&<0時，/(%0)=以=1,得%。=-1.

綜上，%0=±1?

當(dāng)x20時，ex-1>|；當(dāng)為<0時，X2>0.故f(x)6(0,+8).故填

±l;(0,+oo).

命題角度2分段函數(shù)與方程

例7［2022屆廣西模擬預(yù)測］已知/"(%)=『二3,”40,若價-3)=f(a+

(Vx,%>0,

2),則/(a)=(B)

A.2B.V2C.1D.0

［解析］解：因?yàn)閒(x)在(一8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞增且a—3<a+2,所以

CL—3<0,a+2>0,即一2<aW3,

且a-3+3=VaT2,解得a=2,所以/(a)=/(2)=V2.故選B.

【點(diǎn)撥】此類分段函數(shù)與方程交匯問題，關(guān)鍵點(diǎn)是抓住“分段問題、分段解

決”的核心思想，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及參數(shù)的特點(diǎn)分區(qū)間討論，最后將結(jié)果合并

起來.

變式7.［2022屆江西二模］已知函數(shù)/'(%)=產(chǎn)10,若/(G=仲+3),

(XI3,X<U,

則g(x)=ax2+%的單調(diào)遞增區(qū)間為(D)

A.質(zhì)+8)B.(-00,bC.專+8)D.(-oo,|)

［解析］解：依題意有『+：二9+：)'-2,解得a=一1,

la<0<a+3,

故9(%)=-/+%,可知g(x)在(一84)上單調(diào)遞增.故選D.

命題角度3分段函數(shù)與不等式

支2+2xY>0

2二一;若/(2-。2)>fQ)，則實(shí)數(shù)Q的取值

(一%’+2x,x<0,

范圍是(C)

A.U(2,+8)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(-8,-2)UQ+8)

［解析］解：因?yàn)閥=/+2x在［0,+8)上單調(diào)遞增，y=-x2+2xi￡(-oo,0)±

單調(diào)遞增，且f(%)在％=0處連續(xù)，

所以，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，

則/'(2-a2)>/(a)等價于2-a?>a,解得一2<a<1,所以實(shí)數(shù)a的取值

范圍是(-2,1).故選C.

【點(diǎn)撥】解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題，要注意“通觀全局”，即對于分段函數(shù)在

R上單調(diào)，需滿足每一段具有相同的單調(diào)性,還需要分段點(diǎn)兩側(cè)的值也符合該單

調(diào)性.

q(xYx<1,

變式8.設(shè)函數(shù)/(x)=(工則當(dāng)9(芯)=鏟-1時，使得/'(x)W2成立的

X3,x>1,

x的取值范圍是(-8,8］；當(dāng)g(x)=1時，使得f(%+1)>/(2x)成立的％的取

值范圍是(0,1).

1解析］解：若g(%)=e久t,當(dāng)x<1時，ex-1<2,解得％<1+ln2,所以

%<1.

當(dāng)工21時，%3<2,解得％W8,所以

綜上可知》的取值范圍是(-8,8］.

若g(x)=1，則顯然％+1與2久均小于等于1不可能.當(dāng)％+1>1且2%21時，

111

由f(%+1)>/(2x)得(％+1)5>(2x)5,x+l>2x=>-<x<l;當(dāng)％+1>1

且2久<1時，由/'(%+1)>f(2久)得，(x+l)3>l=x>0=0<x<］.綜

上，0<%<1.故填(-8,8］;(0,1).

命題角度4已知分段函數(shù)的值域(最值)求參數(shù)

例9已知函數(shù)f(%)=>0)的值域?yàn)榭?+8),則a的最小值為

(A)

A.1B.2C.3D.4

1解析］解：當(dāng)％>0時，/(%)=x2-2x+2=(%-I)2+1,值域?yàn)椋跮+8)；

當(dāng)％W0時，/(%)=-x+a,值域?yàn)椋踑,+oo).因?yàn)楹瘮?shù)f(%)的值域?yàn)?/p>

［L+8),所以aZl,則a的最小值為1.故選A.

【點(diǎn)撥】已知分段函數(shù)的值域或最值求參數(shù)范圍，可先求函數(shù)在各區(qū)間段的值

域或最值，再結(jié)合已知條件建立不等式(組)求解.必要時可先分析函數(shù)性質(zhì)，

再畫圖數(shù)形結(jié)合.

變式9.已知/(%)=f(1_2a)X+3a，%<1'的值域?yàn)镽,那么實(shí)數(shù)a的取值范

llnx,%>1

圍是(C)

111

A.(-oo,-l］B.(-1,-)C.［-1,-)D.(0,-)

［解析］解：當(dāng)時，ln%20,故要使函數(shù)f。)的值域?yàn)镽,如圖所示，需

使［1-2。>°，所以一1工a<,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是［—L?.故選

Uni<l-2a+3a,22

命題角度5絕對值函數(shù)

例10畫出函數(shù)y=\x-2\的圖象，并求函數(shù)y=|x-2|+x2-4x的值域.

［答案］解：對于y=|x-2|的圖象：

（方法一）由絕對值的概念，知曠=所以函數(shù)y=|%—2|的圖象

如圖所示.

（方法二）（翻折法）先畫出y=%-2的圖象，然后把圖象中位于％軸下方的

部分沿％軸翻折到％軸上方，其他不變.

對于y=\X-2\+X2-4X的值域，可通過將其寫成分段函數(shù)的形式y(tǒng)=

儼:-3x-2,x>2,求得￡［_4,+8）.也可借助圖象知其圖象關(guān)于x=2對

稱，左減右增，故ye［―4,+8）.

【點(diǎn)撥】分類討論去絕對值，進(jìn)而畫出函數(shù)圖象，或者利用翻折法畫含絕對值

的函數(shù)圖象.求值域可借助圖象特點(diǎn)，或直接用求分段函數(shù)值域的方法求解.

變式10.函數(shù)y=|x+l|+\x-2\的值域?yàn)椋?,4-00).

，一2%+1,x<—1,

［解析］解：函數(shù)y=3,—'作出函數(shù)的圖象如圖所示.

2x—1,%>2,

根據(jù)圖象可知，函數(shù)y=|%+1|+氏一2|的值域?yàn)椋?,+8）.故填［3,+8）.

課時作業(yè)?知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.下列函數(shù)為同一函數(shù)的是(C)

A.f。)=y與9(%)=,；V<0

B./(%)=Vx?V%+1與g(%)=1x(x+1)

C./(%)=x*23—2%—1與g(t)=t2—2t—1

D./(%)=1與g(%)=”(%=0)

ii(1,x>0,

1解析］解：對于A,f(x)=^r=/八定義域是(-8,0)U(0,+8),

{1r>n

‘一’定義域?yàn)镽,兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

—1,%<0,

對于B,/(%)=V%?Vx+1=Jx(x+1),定義域是［0,+8),g(x)=

y/X(X+1),定義域?yàn)?一8,-1］U［0,+8),兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函

數(shù)；

對于C,/'(%)=x2-2x-l,定義域是R,g(t)=t2-2t-l，定義域?yàn)镽,

兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；

對于D,/(%)=1,定義域是R,g(x)=x°=1,定義域?yàn)?一8,0)u

(0,+8),兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).故選C.

2.［2020年北京卷］函數(shù)f。)=W+In%的定義域是(C)

A.B.(0,1)C.(0,+8)D.(e,+8)

［解析］解:要使函數(shù)f(%)有意義，則即％>0,所以定義域?yàn)?/p>

(0,+8).故選C.

3.［2021年浙江卷］已知aGR,函數(shù)f(%)=j2若響)=

X3Ii~CLfXS

3,則a=(D)

A.-3B.OC.1D.2

［解析］解：/(/(遍))=f(6-4)=f(2)=|2-3|+a=3,故a=2.故選D.

4.已知函數(shù)={翳;2,若"a)=1則實(shí)數(shù)a=(A)

A.-1B.-V2C.-1或V2D.1或一四

［解析］解：當(dāng)a>2時，/'(a)=log2a=g,所以a=&(舍去)；當(dāng)aW2

時，/(a)=2a=|,所以a=-1,符合題意.故選A.

5.若f(1一2%)=三。0),那么/($=(A)

A.8B.3C.1D.30

11-(—S2-

［解析］解：(方法一)令1-2%=t,得％=.(tHl),則f(t)=12=

2(―)

4-(l-t)2

(1-02

4一(1一§2

則fG)=

(1-界=8.

（方法二）令1一2%=1，得%=|，故f=8.故選A.

6.已知f(%)是(0,+8)上的增函數(shù)，若/?(/(%)-In%)=1,則f(e)=2.

［解析］解：根據(jù)題意，f(x)是(0,+8)上的增函數(shù)，且fS(x)-Inx)=1,則

f(x)-Inx為定值.設(shè)/'(%)-\nx=t,t為常數(shù)，則/(%)=Inx+t且f(t)=

1,即有Int+t=1,得t=1,則/(%)=In%+1,故f(e)=Ine+1=2.故填

2.

7.求下列函數(shù)的值域:

⑴y=W，Xe［0,2］；

［答案］解：y=W=3-*，y=x+l在［0,2］上恒正且單調(diào)遞增，故丫=含

在［0,2］上單調(diào)遞增，故原函數(shù)值域?yàn)椋?,2］.

(2)y=V—x2+4%+5;

［答案］令―產(chǎn)+4x+5>0，得一1<%<5,

2

又y=-x+4x+5圖象對稱軸為x=2，故當(dāng)x=2時，ymax=9.從而原函數(shù)

值域?yàn)椋?,3］.

(3)y=-7——;

'x2+x+l

［答案］當(dāng)x=0時，y=0；當(dāng)x不0時?=―1—，易知》+三+1€(—8,—1］u

x+—+1X

x

［3,+8),故原函數(shù)值域?yàn)椋?3,0)U{0}U(0,1］,EP［-3,1］.

另外，也可用判別式法求.

(4)y=2x—\x+1\,xE［—2,2］.

［答案］y=2X-\X+l|=

I人.LfX人Ni,

丫=%一1與丫=3%+1均為增函數(shù)，且一1一1=3x(-1)+1=-2.故原函數(shù)

值域?yàn)椋垡?,1］.

8.求函數(shù)f(%)的解析式：

(1)/(%)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,/(%+1)-f(%)=2x;

［答案］解：設(shè)所求的二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c(aH0).

因?yàn)?(0)=c=1，則/'(%)=ax2+bx+1.

又/(x+1)-/(x)=2x,

所以a(x+l)2+b(x+1)+1—(ax2+bx+1)=2x,

即2ax+a+b=2x,

由恒等式性質(zhì)，得所以6=1，

la+D=0,lb=—1.

所以/(x)=%2—%+1.

(2)/(X)滿足2/(%)+=3%.

［答案］因?yàn)?f(x)+fC)=3K,①

所以26)+/?(%)=：，②

①X2-②得3f(x)=6%-,

故f(%)=2x—(x0).

【綜合運(yùn)用】

9.函數(shù)+財*)=(C)

I-LX-rO,XZ,a

A.0B.1C.2D.4

［解析］解：由％22時f(x)=-2x+8是減函數(shù)可知，若a22,則f(a)Hf(a+

2),所以0<a<2,2<a+2<4，由f(a)=/(a+2)得a?+a=-2(a+

2)+8,解得a=l(負(fù)值舍去)，則f(*=f(l)=M+i=2.故選C.

fY2+2x+1Xv0

I。.【多選題】已知函數(shù)中)=一?！敢弧瘽M足〃⑷)=一］的a的

值可以為(AD)

A.0B.1C.-1D.-2

1解析］解：設(shè)t=f(a),則f(t)=-1,

若t>0,則一產(chǎn)=一1,解得上=1或「=一1(舍去)，所以f(a)=1,當(dāng)a>

0時，-a?=1,方程無解；當(dāng)aWO時，a2+2a+1=1,解得a=0或。=

-2,滿足條件；

若tW0,貝股2+2t+1=-1,即/+2t+2=0,A=22-4X2=-4<

0,方程無解.故選AD.

<1,

11.若函數(shù)/?(%)={2的值域?yàn)?a,+8),則a的取值范圍為(B)

［a+(ir，x>l

A.［5+8)

［解析］解：當(dāng)％<1時，/(%)=?尸eC，+8),

當(dāng)x21時，/(%)=a+(1)%C(a,a+0.

因?yàn)楹瘮?shù)f(%)的值域?yàn)?a,+8),

(a+->-,

所以彳：2即ae?,工故選B.

［小，42

12.(教材習(xí)題改編)函數(shù)/?(%)=［汨的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例

如：［一5.1］=-6,［記=3.已知函數(shù)g(x)=,則函數(shù)y=f(g(x))的值域

為(B)

A.{-1}B.{-l,0}C.{1}D.{0,1}

［解析］解：因?yàn)椋R,g(-x)=-g(%)，

所以g(%)是R上的奇函數(shù).

4>0時，o<^(x)=^<￡=l,

所以當(dāng)％wR時,g(%)E［―|,|］,

從而y=/(gQ))的值域?yàn)閧-L0}.故選B.

13.設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/(4)=0,則不等式塔戶<0

的解集是(D)

A.(-4,4)B.(-4,0)U(0,4)

C.(—4,0)U(4,+8)D.(—8,—4)U(0,4)

［解析］解：因?yàn)椤?)是偶函數(shù)，所以竺戶<0等價于竽<0.又/(%)在

(0,+oo)上單調(diào)遞增，所以/Xx)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

由/<0,得吃*0或優(yōu)上0

又/(4)=0,解得0<%<4或％<-4.故選D.

【拓廣探索】

14」2023屆湖北重點(diǎn)中學(xué)高三上二聯(lián)］【多選題】華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)

家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和

社會學(xué)等領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個關(guān)鍵概念，定

義如下：設(shè)f(%)是定義在R上的函數(shù)，對于％eR,令%。=1T)(九=

1,2,3,...)，若存在正整數(shù)k使得%k=x0,且當(dāng)0</<k時，Xjx0,則稱%o

(2xx<-

是f(x)的一個周期為k的周期點(diǎn).若/'0)=1'2)］下列各值是/(%)

(2(1-%),%>-,

周期為1的周期點(diǎn)的有(AC)

A.0B.|C.|D.l

［解析］解：對于A,%o=O時，與=f(0)=0=%。，符合題意，故A正確.

對于B,時,xt=/(1)=|,%2=/(|)=|,△=3=&=|'所以:

不是/(%)的周期點(diǎn)，故B錯誤.

對于C,%0=|時，同B中有=%2=…=%n=|=%o，符合題意，故C正

確.

對于D,與=1時，xi=f(l)=0，結(jié)合A可知1不是/1(x)周期為1的周期

點(diǎn)，故D錯誤,故選AC.

2.2函數(shù)的基本性質(zhì)

第1課時函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

課程標(biāo)準(zhǔn)?有的放矢

借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解

它們的作用和實(shí)際意義.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)與減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)

定義一般地，設(shè)函數(shù)了。)的定義域?yàn)?,區(qū)間。C/：如果V/,X2ED,

當(dāng)對<%2時，都者fOi)<f(X<，那當(dāng)X1<%2時，都有/(%1)>/(%2)，那

么就稱函數(shù)f(X)在區(qū)間0上單調(diào)遞增.么就稱函數(shù)f(X)在區(qū)間。上單調(diào)遞減.

特別地，當(dāng)函數(shù)/(X)在它的定義域上單特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單

調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間:如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增或

單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間。

叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最大(小)值

最大值最小值

條件一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：vxe/,都有

f(x)WM/(x)>M

3x0G/-使得/(Xo)="

結(jié)論稱M是函數(shù)y=的最大值稱M是函數(shù)y=/(%)的最小值

幾何意義y=/(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)

【常用結(jié)論】

3.判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法(結(jié)論)

(1)定義法

教材習(xí)題中給出了其常見的兩種等價形式：

設(shè),x2E(a,b),且%i豐x2,記=%!-%2，△丫=f(尤1)-/(x2)，那么

①鬃>0<=>/(x)在(a,b)內(nèi)是增函數(shù)；

竽<00/(%)在(a,b)內(nèi)是減函數(shù).

上式的幾何意義：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(%14(%))，(%2，/(￡2))連

線的斜率恒大于(或小于)零.

②Ax-Ay>0<=>/(%)在?b)內(nèi)是增函數(shù)；Ax-Ay<0<=>/(%)在(a,b)內(nèi)

是減函數(shù).

(2)性質(zhì)法

①當(dāng)常數(shù)c>0時，y=c?f(x)與y=f(x)的單調(diào)性相同；當(dāng)常數(shù)c<0

時，y=c-/(x)與y=/(%)的單調(diào)性相反，特別地，函數(shù)y=-/(%)與y=

/(%)的單調(diào)性相反.

②當(dāng)y=/(%)恒為正或恒為負(fù)時，y=六與y=/(%)的單調(diào)性相反.

③若c為常數(shù)，則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=/(%)+c的單調(diào)性相同.

④若f。)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則/(%)+g(K)仍是增(減)函數(shù).

⑤若/'(久)>0且g(x)>0,/(%)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(%)?g(x)

也是增(減函數(shù))；若/(%)<0且g(x)<0,f(%)與g(%)都是增(減)函

數(shù)，則fQA9。)是減(增)函數(shù).

⑥奇(偶)函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同(相反).

(3)同增異減法

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：如果y=和〃=g(x)的單調(diào)性相同，那么y=

/(g(%))是增函數(shù)；如果y=f(u)和"=g(%)的單調(diào)性相反，那么y=f(g(%))

是減函數(shù).在應(yīng)用這一結(jié)論時，必須注意：函數(shù)it=g(x)的值域必須是y=f(a)

的單調(diào)區(qū)間的子集.

(4)導(dǎo)數(shù)法

對于函數(shù)y=f(%),如果在某個區(qū)間上/''(%)>0,那么f(x)在該區(qū)間上單

調(diào)遞增；如果在某個區(qū)間上f'(%)<0,那么f(%)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

(5)圖象法.

4.函數(shù)最值的重要結(jié)論

(1)設(shè)f(X)在某個集合。上有最小值，m為常數(shù)，則f(%)27n在0上恒

成立的充要條件是/(x)min>m.

(2)設(shè)f(x)在某個集合0上有最大值，m為常數(shù)，則f(x)Wm在D上恒

成立的充要條件是f(x)max<m.

5.常見抽象函數(shù)及其原型

(1)+y)=/(%)+f(y)4-m,原型為一次函數(shù)f(%)=kx+b.

(2)f(%y)=以及fg)=怒，原型為幕函數(shù)f(%)=xn.

(3)/(%+y)=/(%)"(y)以及-y)=怒，原型為指數(shù)函數(shù)f(%)=

ax(a>0,且aHl).

(4)/(xy)=/(%)+f(y)以及=f(x)-f(y)，原型為對數(shù)函數(shù)

/(%)=logax(a>0,且a。1).

(5)f(x+y)+/(%-y)=2/(x)/(y)(/(0)豐0),原型為余弦函數(shù)

f(%)=cosx.

自主評價牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“J”，錯誤的畫“義”

(1)若定義在R上的函數(shù)f。)，有;'(一1)<f(3),則函數(shù)/'(%)在R上為增函

數(shù).(x)

(2)函數(shù)y=§的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)u(0,+8).(X)

(3)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.(X)

(4)如果一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個