高考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建全國(guó)版

題型01不等式相關(guān)解題技巧（基本不等式鏈、權(quán)方和不等式、兩類糖水不等式）技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧本題型通?？疾榛静坏仁郊捌浠静坏仁芥湹膽?yīng)用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數(shù)式的大小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.本題型通?？疾榛静坏仁郊捌浠静坏仁芥湹膽?yīng)用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數(shù)式的大小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.知識(shí)遷移知識(shí)遷移基本不等式鏈:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.其中分別為平方平均數(shù),算術(shù)平均數(shù),幾何平均數(shù),調(diào)和平均數(shù).可利用上述不等式鏈在各平均數(shù)間進(jìn)行放縮、轉(zhuǎn)化.例1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（

）A．B．C． D．由基本不等式鏈:,可得（R），對(duì)于AB，由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，【法一】由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確【法二】由,得,又因?yàn)?所以,即.【法三】,又因?yàn)?所以.【答案】：BC．1．（多選）若，，，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．【詳解】解：對(duì)A選項(xiàng)：，，，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)：，而成立，成立，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.2．（多選）若，則下列不等式對(duì)一切滿足條件恒成立的是（

）A．B．C． D．【詳解】對(duì)于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A正確；對(duì)于B，，，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以，則，并且時(shí)等號(hào)成立.，所以C正確；對(duì)于D，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以D正確.故選：ACD.3．（多選）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A． B． C． D．【詳解】對(duì)于A，由當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故B正確；對(duì)于C，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故C正確；對(duì)于D，由，得，即，即，故D正確.故選：BCD.技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧在條件等式求最值或在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式（鏈）來(lái)求最值，解題中往往會(huì)遇到思路繁瑣，計(jì)算量大的情況，學(xué)生不易求解，而此時(shí)的權(quán)方和不等式優(yōu)勢(shì)極其明顯，可以做到快速求解，常在小題中使用.知識(shí)遷移知識(shí)遷移權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用:若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問(wèn)題的秒殺)例2．已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．因?yàn)?，所以，由?quán)方和不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．【答案】C1．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.故答案為：.2．設(shè)且，則的最小值是．【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，所以由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述：的最小值是.3．已知正數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【詳解】已知正數(shù)滿足,所以,所以:則:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；要使恒成立,只需滿足即可,故.故答案為:.技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.知識(shí)遷移知識(shí)遷移糖水不等式定理:若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;2.糖水不等式的倒數(shù)形式:設(shè),則有:例3-1．已知實(shí)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C． D．【法一】由糖水不等式的倒數(shù)形式，,則有:【法二】，故B正確；因?yàn)?，所以有，故A錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確．【答案】BCD例3-2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【法一】,又，用排除法,選A?！痉ǘ?，若,但,，綜上所述，.【法三】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.【答案】A1．a(chǎn)克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假設(shè)全部溶于水），糖水會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式：，稱之為“糖水不等式”，則下列命題一定正確的是（

）A．若，，則與大小關(guān)系不隨m的變化而變化B．若，，則C．若，，則D．若，，則【詳解】解：對(duì)于A，根據(jù)“糖水不等式”，若，則，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，，所以，故，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，根據(jù)“糖水不等式”，，即，故C正確；對(duì)于D，若，則，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD若等比數(shù)列前項(xiàng)和為,比較與的大小【解析】，，故。技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)型糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)型糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.知識(shí)遷移知識(shí)遷移(1)設(shè),且,則有(2)設(shè),則有(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè),則有例4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【法一】對(duì)數(shù)型糖水不等式因?yàn)?所以.在上述推論中取,可得,且.所以,即,選A.【法二】普通型糖水不等式由已知條件,可得.同公式(2)的證明過(guò)程,可以得到,即.所以,即.,即,所以,即.綜上,,選A.比較的大??？【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)型糖水不等式得2.比較大小:與？【答案】，【法一】?！痉ǘ俊！痉ㄈ繉?duì)數(shù)型糖水不等式直接可得。3．下列不等式不正確的是（

）A．B． C． D．【詳解】要證，即證，兩邊平方得：，即證，即證，顯然成立，故，A正確；要證，兩邊取對(duì)數(shù)得：，即證，構(gòu)造，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，B正確；因?yàn)?，其中，要證，即證，即，構(gòu)造，，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增故，即，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩邊取對(duì)數(shù)得：，構(gòu)造，，，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，結(jié)論得證，D正確.故選：C題型02函數(shù)的4大基本性質(zhì)解題技巧（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）技法01技法01函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及解題技巧技法02函數(shù)奇偶性的應(yīng)用及解題技巧技法03函數(shù)周期性的應(yīng)用及解題技巧技法04函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用及解題技巧技法05函數(shù)4大性質(zhì)的綜合應(yīng)用及解題技巧技法01函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及解題技巧在考查函數(shù)單調(diào)性時(shí)，如果能掌握同一定義域內(nèi)，單調(diào)性的運(yùn)算，可以快速判斷函數(shù)的單調(diào)性；同時(shí)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)計(jì)算也是高考重點(diǎn)在考查函數(shù)單調(diào)性時(shí)，如果能掌握同一定義域內(nèi)，單調(diào)性的運(yùn)算，可以快速判斷函數(shù)的單調(diào)性；同時(shí)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)計(jì)算也是高考重點(diǎn)，常以小題形式考查.知識(shí)遷移同一定義域內(nèi)①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例1．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù),則（

）A．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減在定義域內(nèi)是增函數(shù)，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，【答案】A1．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)且是增函數(shù) B．是偶函數(shù)且是減函數(shù)C．是奇函數(shù)且是增函數(shù) D．是奇函數(shù)且是減函數(shù)【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，AB錯(cuò)誤。因?yàn)楹瘮?shù)在R上遞增，則函數(shù)在R上遞減，所以函數(shù)是增函數(shù)，D錯(cuò)誤，C正確.故選：C2．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【詳解】由得：，定義域?yàn)?；又，為定義域內(nèi)的偶函數(shù)，可排除BD；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可排除A；為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的判斷的關(guān)鍵是能夠根據(jù)的范圍得到的解析式，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，即“同增異減”的方法確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)榱?，則是減函數(shù)，又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.技法02函數(shù)奇偶性的應(yīng)用及解題技巧縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運(yùn)算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運(yùn)算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識(shí)遷移①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對(duì)稱③奇偶性的運(yùn)算例2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則．由題知為偶函數(shù)，定義域?yàn)?，【法一】奇偶性的運(yùn)算只需即可【法二】尋找必要條件（特值法）所以，即，則，故1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.3．（2021·全國(guó)·高考）設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.4．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則，．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性若，則的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參，函數(shù)為奇函數(shù)，[方法三]：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)椋儆煽傻?，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．技法03函數(shù)周期性的應(yīng)用及解題技巧縱觀歷年考題，函數(shù)周期性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運(yùn)算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數(shù)周期性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運(yùn)算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識(shí)遷移①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問(wèn)題）④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問(wèn)題）例3．（全國(guó)·高考真題）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則（

）A． B． C． D．因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即，所以周期為4【答案】C1．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．0 C．3 D．6【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，因?yàn)椋?，則，所以，所以是以為周期的一個(gè)周期函數(shù)，所以.故選：A．2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)椋?，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則．【詳解】因?yàn)椋?，有，則或．若，則令，，有，得，與已知矛盾，所以．令，有，則，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，有，得，令，有，即，所以，故，所以的周期為12．又因?yàn)椋裕军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用賦值法推得的周期性，從而得解.技法04函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用及解題技巧縱觀歷年考題，函數(shù)對(duì)稱性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉對(duì)稱性的定義，若能熟悉對(duì)稱性的運(yùn)算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數(shù)對(duì)稱性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉對(duì)稱性的定義，若能熟悉對(duì)稱性的運(yùn)算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識(shí)遷移軸對(duì)稱①若，則的對(duì)稱軸為②若，則的對(duì)稱軸為點(diǎn)對(duì)稱①若，則的對(duì)稱中心為②若，則的對(duì)稱中心為例4-1．（全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的是A． B． C． D．【法一】函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，0），（1，0）關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)還是（1，0），只有過(guò)此點(diǎn)．故選項(xiàng)B正確，【法二】關(guān)于x=1對(duì)稱即，即例4-2．（2016·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為則（）A．0 B． C． D．【詳解】[方法一]：直接法.由得關(guān)于對(duì)稱，而也關(guān)于對(duì)稱，∴對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn)，∴，故選B．[方法二]：特值法.由得不妨設(shè)因?yàn)?，與函數(shù)的交點(diǎn)為∴當(dāng)時(shí)，，故選B．[方法三]：構(gòu)造法.設(shè)，則，故為奇函數(shù).設(shè)，則，故為奇函數(shù).∴對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn).將，代入，即得∴，故選B．[方法四]：由題意得,函數(shù)和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,所以兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱,對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn)和，都有.從而.故選B.例4-3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（

）A． B． C． D．因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋裕氲?，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以，因?yàn)椋?所以.1．）已知曲線與曲線交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【詳解】令，則，，，關(guān)于中心對(duì)稱；，關(guān)于中心對(duì)稱；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，極大值為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，；作出與在時(shí)的圖象如下圖所示，由圖象可知：與在上有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由對(duì)稱性可知：與在上有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的解析式，確定兩函數(shù)關(guān)于同一對(duì)稱中心對(duì)稱，結(jié)合兩函數(shù)圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)后，即可根據(jù)對(duì)稱性求得交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)有，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則（

）A．2 B．1 C． D．【詳解】因?yàn)?，所以，從而可得，所以，所以函?shù)的一個(gè)周期為6．因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．又，，所以，所以，所以．由于23除以6余5，所以．故選：C．3．（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．的所有零點(diǎn)為D．是以為周期的函數(shù)【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，B錯(cuò)誤.對(duì)于C：因?yàn)?，注意到，令，得，即，故的所有零點(diǎn)為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋圆皇堑闹芷?，故D錯(cuò)誤；故選：AC.4．（多選）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．是函數(shù)的一個(gè)周期C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．當(dāng)時(shí)，的最小值為1【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B項(xiàng)知，由A項(xiàng)知，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，令，又，則，所以，即，所以，（），又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.技法05函數(shù)4大性質(zhì)的綜合應(yīng)用及解題技巧縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運(yùn)算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運(yùn)算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識(shí)遷移周期性對(duì)稱性綜合問(wèn)題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對(duì)稱性綜合問(wèn)題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：例5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.【答案】B1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．【詳解】[方法一]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)椋?，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．，所以．[方法二]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手，由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．2．已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．若，則（

）A． B．0 C．2 D．2024【詳解】由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且關(guān)于直線軸對(duì)稱，故，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，由．得，所以．故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）若函數(shù)的圖像同時(shí)關(guān)于直線與軸對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且．（2）若函數(shù)的圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)與點(diǎn)中心對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且．（3）若函數(shù)的圖像既關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，又關(guān)于直線軸對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且．3．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，若，則．【詳解】由為奇函數(shù)，可得，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又的定義域?yàn)椋瑒t有．由為偶函數(shù)得，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，從而，則，則，故是周期為4的偶函數(shù)，所以．而，所以，，故.答案：5.4．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，，所以，，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，，，，，，，，所以，，又因?yàn)?，所以?故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為.題型03“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解題技巧技法01技法01“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧技法02“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)解題技巧技法01“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧在模擬考試及高考考試中，會(huì)遇到在模擬考試及高考考試中，會(huì)遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”類型求解，如能掌握相關(guān)本質(zhì)結(jié)論和兩類指對(duì)函數(shù)的奇偶性，則最大值+最小值可秒解.知識(shí)遷移在定義域內(nèi)，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，則最大值，最小值有即倍常數(shù)（1）與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)，（，且）為偶函數(shù)，，（，且）為奇函數(shù)和，（，且）為其定義域上的奇函數(shù)和，（，且）為其定義域上的奇函數(shù)為偶函數(shù)（2）與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)，（且）為奇函數(shù)，，（且）為奇函數(shù)例1-1．已知分別是函數(shù)++1的最大值、最小值，則倍常數(shù)=2例1-2．已知函數(shù)，的最大值為M，最小值為m，則.【法一】倍常數(shù)=14，【法二】例1-3．函數(shù)，，記的最大值為，最小值為，則.，【法一】倍常數(shù)=4，【法二】1．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為最小值為，則.【詳解】設(shè)函數(shù)，則的最大值為，最小值為，，則，所以是奇函數(shù)，所以，所以．故答案為：.2．函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值為M，最小值為N，則．【詳解】由題意，在中，，函數(shù)是奇函數(shù)，，在中，當(dāng)時(shí)的最大值為M，最小值為N，，故答案為：.3．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為．【詳解】由，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上為奇函數(shù)，所以，由題意，得，所以.故答案為：8.4．設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則.【詳解】，設(shè)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，知函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)椋?，所?故答案為：4046.5．若關(guān)于x的函數(shù)的最大值和最小值之和為4，則．【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以的定義域?yàn)?又，設(shè)，則，∴?g(x)?為奇函數(shù)；設(shè)g(x)?的最大數(shù)值為M，最小值為N，則，則的最大數(shù)值為，最小值為，∴的最大值與最小值之和為，得．故答案為：2．6．函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則．【詳解】因?yàn)椋O(shè)，則，設(shè)，則，所以是上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，所以，由，得，故答案為：7．已知分別是函數(shù)的最大值、最小值，則．【詳解】由可得定義域?yàn)镽，，令，則，則函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)其最大值為，則其最小值為，所以，，從而．故答案為：2.8．已知函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間有最大值及最小值m，則.【詳解】令，其定義域?yàn)?，，即為奇函?shù)，即函數(shù)在區(qū)間上滿足，所以，即故答案為：技法02“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)解題技巧在模擬考試及高考考試中，會(huì)遇到在模擬考試及高考考試中，會(huì)遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”類型求解，如能掌握相關(guān)本質(zhì)結(jié)論和兩類指對(duì)函數(shù)的奇偶性，則f(a)+f(-a)可秒解.知識(shí)遷移知識(shí)遷移在定義域內(nèi)，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，有即倍常數(shù)例2-1．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，，則．在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，所以倍常數(shù)=2，解得【答案】－2例2-2．已知函數(shù)，則．，和在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，所以2倍常數(shù)=-2【答案】－21．函數(shù)，若，則．【詳解】由題得，∴，所以．故答案為：3.2．已知，若，則.【詳解】解：令，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：3．若定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)，且，則的值為．【詳解】由可得，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以的對(duì)稱中心為，則的對(duì)稱中心為，又，則.故答案為：-5.4．已知函數(shù)，若，則．【詳解】令，可得為奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，所以，則.故答案為：5.5．設(shè)（其中a?b?c為常數(shù)，），若.則.【詳解】（其中，，為常數(shù)，，，，，，．故答案為：31．6．函數(shù)，且，則的值為.【詳解】令，定義域?yàn)榛蚯遥P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，故為奇函數(shù)，又，故，解得.故答案為：0題型04函數(shù)圖象問(wèn)題解題技巧（奇偶性+特值法+極限法）技法01技法01已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧技法02已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧技法01已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，結(jié)合奇偶性的判斷，特值的輔助，極限思想的應(yīng)用可以快速求解，所以幾類特值需重點(diǎn)掌握.知識(shí)遷移函數(shù)的奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對(duì)稱③奇偶性的運(yùn)算特值與極限①②③④特別地：當(dāng)時(shí)例如：，當(dāng)時(shí)，例1-1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A．B．C．D．令，由奇偶性定義知為奇函數(shù)，排除BD；【法一】特值，，故選：A.【法二】極限法，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，故選：A.【法三】當(dāng)時(shí)，，所以【答案】A例1-2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A．B．C．D．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；【法一】特值，排除C，，，故選：D.【法二】極限，當(dāng)時(shí)，排除C，當(dāng)時(shí)，故選：D.【法三】當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；【答案】D1．函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【詳解】設(shè)，對(duì)任意，，所以，所以的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù).令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則，，所以，排除A選項(xiàng).故選：C2．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【詳解】解:由題知,定義域?yàn)?解得,所以,故為奇函數(shù),排除A,B;令可得,即,解得,當(dāng)時(shí),,,此時(shí),故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,選項(xiàng)C正確.故選:C3．函數(shù)的部分圖象是（

）A．B．C． D．【詳解】函數(shù)得定義域?yàn)?，則，故該函數(shù)為奇函數(shù)，故可排除B選項(xiàng)；又，故可排除C選項(xiàng)；又，，可以排除D選項(xiàng).故符合的函數(shù)圖象為A.故選：A.4．函數(shù)在上的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且，故此時(shí)可排除AD,當(dāng)時(shí)，，因此排除C，故選：B5．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．B．C． D．【詳解】由，得，所以為偶函數(shù)，故排除BD.當(dāng)時(shí)，，排除A.故選：C.6．函數(shù)的部分圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【詳解】的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D不正確；當(dāng)時(shí)，，則，故B不正確；當(dāng)時(shí)，，故，故C不正確.故選：A7．函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【詳解】由函數(shù)，都可其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除A、B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，可得時(shí)，，可排除C選項(xiàng).故選：D.技法02已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，結(jié)合奇偶性的判斷，特值的輔助，極限思想的應(yīng)用可以快速求解，所以幾類特值需重點(diǎn)掌握.例2-1．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

） B． C．D．【法一】特值，由圖知：，對(duì)于A，，對(duì)于B，，對(duì)于C，，對(duì)于D，，排除BD，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)位置可選A【法二】猜測(cè)近似函數(shù)值，由圖知，分別計(jì)算四個(gè)函數(shù)值即可得到答案【法三】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.【答案】A例2-2．函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除?！敬鸢浮緿1．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A．B．C．D．【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對(duì)于C，，則，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.故選：D.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）

A．B．C．D．【詳解】從圖象可知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)．因?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，所以都是偶函數(shù)，可排除A，D．對(duì)于，對(duì)于C，，結(jié)合題圖可知選B．故選：B3．如圖是下列四個(gè)函數(shù)中某一個(gè)的部分圖象，則該函數(shù)為（

）A．B．C． D．【詳解】對(duì)于A，要使函數(shù)有意義，則，即，所以或或或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，A不正確；對(duì)于B，，而已知函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，B不正確；對(duì)于C，對(duì)于函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題中圖象，C不正確，對(duì)于D，對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，且，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合圖象，故D正確.故選：D.4．某個(gè)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)可能是（

）A．B．C．D．【詳解】4個(gè)選項(xiàng)函數(shù)定義域均為R，對(duì)于A,，故為奇函數(shù)，且對(duì)于B,故為奇函數(shù)，，對(duì)于C,,故為偶函數(shù)，對(duì)于D，故為奇函數(shù)，，由圖知為奇函數(shù)，故排除C；由，排除A,由，排除D,故選：B．5．已知的圖象如圖，則的解析式可能是（

）A．B．C．D．【詳解】由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的定義域?yàn)?，而選項(xiàng)B，的定義域?yàn)椋纱思纯膳懦x項(xiàng)；函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，而選項(xiàng)A,，，所以為偶函數(shù)，由此可排除選項(xiàng)A；根據(jù)圖象可知，而選項(xiàng)D,，,由此可排除D，選項(xiàng)C滿足圖象特征.故選：C.題型054類比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧（構(gòu)造函數(shù)、兩類經(jīng)典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放縮合集）技法01技法01構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧技法02兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧技法03泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧技法04不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧技法01構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用分析法找打構(gòu)造函數(shù)的本體是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.例1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【法一】分析法假設(shè)待證法比較大小→構(gòu)造函數(shù)假設(shè)成立，即令，則等價(jià)證明：，即證：（原式得證，略）假設(shè)成立，即令，則等價(jià)證明：，證明略所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即：，所以假設(shè)不成立，即，綜上所述：，故選：C【法二】構(gòu)造法，設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以，故選：C.1．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【詳解】因?yàn)椋?，，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，即，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，則，即，即，所以，綜上可得.故選：D2．，則（

）A．B．C． D．【詳解】令，，則，所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即，令，則，在時(shí)，，則為減函數(shù)，∴，即；令，，則，故在為減函數(shù)，∴，即；∴，令，則，即，∴，所以．故選：D．3．設(shè)，則（

）A．B．C． D．【詳解】，又，所以令，，則，令，則，當(dāng)時(shí),,，所以，故,故在上是增函數(shù)，又∵，∴當(dāng)時(shí),,故在上是增函數(shù)，故,即，故.故選:A.技法02兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用兩類超越不等式是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.知識(shí)遷移，，，例2．已知,則的大小關(guān)系為()A.B.C.D.，，【答案】1．已知，，，則（

）A． B． C． D．【詳解】令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以，即，令，則有，所以，即，又由，可得，所以，即，又因?yàn)椋?，綜上可得，故選：D.2．已知，，，則（

）A．B．C． D．【詳解】，，，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.所以，即.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.所以，即.所以.故選:C.3．已知，，，則（

）A． B． C． D．【詳解】令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，則，所以，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，證明，令，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以，因此.故選：D.技法03泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展開(kāi)是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.知識(shí)遷移常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式：結(jié)論1．結(jié)論2．結(jié)論3（）．結(jié)論4．結(jié)論5；；．結(jié)論6；結(jié)論7；結(jié)論8；結(jié)論9．例3．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因?yàn)椋?，所以因?yàn)樗?，綜上所述：，故選：C1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．泰勒展開(kāi)設(shè)，則，，，計(jì)算得，故選A.2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．[方法一]：由泰勒公式,可知將,分別相應(yīng)代入估算,得.由此可知.[方法二]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于，所以當(dāng)0<x<2時(shí)，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時(shí)，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法三]：令，，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減，令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增，，綜上，，故選：B.3．已知，，，則（

）A．B．C． D．【詳解】先比較和的大?。簶?gòu)造，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，則；構(gòu)造，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，則；構(gòu)造，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，則；則，；下面比較b和c的大?。涸O(shè)，，，設(shè)，，，易知在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞減，，即在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，由，則，即，則.綜上，故選：B技法04不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用不等式來(lái)放縮是解決此類問(wèn)題的突破口，需重點(diǎn)掌握.知識(shí)遷移，，，，，，放縮程度綜合，例4-1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．放縮法：因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，所以，即綜上所述：，故選：C例4-2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【法一】：不等式放縮一，因?yàn)楫?dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時(shí)，，及，此時(shí)，故，故，所以，所以，故選A【法二】不等式放縮二因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．故選：A．1．設(shè)，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【詳解】先來(lái)證明當(dāng)時(shí)，.令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，由，因?yàn)?，所以，則，所以，又，所以，所以.故選：D.2．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【詳解】令，則，，有.故函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即，所以，即，令，則，，有.故函數(shù)在單調(diào)遞減，故，即，所以，即.綜上：.故選：D3．設(shè)，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【詳解】對(duì)，因?yàn)椋瑒t，即函數(shù)在單調(diào)遞減，且時(shí)，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，且當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，先考慮函數(shù)，，則.故，從而.再考慮函數(shù)，，則.故，即，故.綜上，，故選：B.題型065類函數(shù)選填壓軸題解題技巧（對(duì)稱性、解不等式（含分段函數(shù)）、整數(shù)解、零點(diǎn)、切線與公切線）技法01技法01函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用及解題技巧技法02解不等式（含分段函數(shù)）的應(yīng)用及解題技巧技法03整數(shù)解的應(yīng)用及解題技巧技法04零點(diǎn)的應(yīng)用及解題技巧技法05切線與公切線的應(yīng)用及解題技巧技法01函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用及解題技巧本題型通常本題型通常由對(duì)稱性考查參數(shù)值及解析式的求解，靈活運(yùn)用對(duì)稱性反解函數(shù)是解題的關(guān)鍵，常以小題形式考查.例1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）A． B． C． D．反解的解析式，可得，即，因?yàn)?，所以，解得解得，故選C1．已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且滿足，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【詳解】函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，所以，所以，所以，又，所以，所以.故選：B2．若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【詳解】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由得，∴，把互換得：，即，因?yàn)椋裕蔬x：B．3．已知函數(shù)和的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】作出函數(shù)和的圖象以及直線的圖象，如圖，

由函數(shù)和的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，由題意知，也即,由于函數(shù)和互為反函數(shù)，二者圖像關(guān)于直線對(duì)稱，而為和的圖象與直線的交點(diǎn),故關(guān)于對(duì)稱，故.故選：B.4．若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【詳解】由題意，故有，故和是直線和曲線、曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo).根據(jù)函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故曲線和曲線的圖象交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.即點(diǎn)（x1，5﹣x1）和點(diǎn)（x2，5﹣x2）構(gòu)成的線段的中點(diǎn)在直線y=x上，即，求得x1+x2=5，故選：D.技法02解不等式（含分段函數(shù)）的應(yīng)用及解題技巧在已知函數(shù)解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小題要學(xué)會(huì)特值法的使用來(lái)快速求解在已知函數(shù)解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小題要學(xué)會(huì)特值法的使用來(lái)快速求解例2．（全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù),則使成立的的取值范圍是A．B．C． D．【特值法】當(dāng)時(shí)，不成立，排除D，當(dāng)時(shí)，則判斷是否成立，計(jì)算，，不成立，故排除B、C,【答案】A1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A．B．C．D．詳解：將函數(shù)的圖像畫出來(lái)，觀察圖像可知會(huì)有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D.2．已知函數(shù)，則的解集是（

）A．B．C．D．【詳解】根據(jù)題意當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),,作出函數(shù)的圖象如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，由圖象可得不等式解集為，故選：C3．已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．C． D．【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，又時(shí)，，單調(diào)遞增，故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，所以，所以關(guān)于直線對(duì)稱，且在單調(diào)遞增．所以，兩邊平方，化簡(jiǎn)得，解得．故選：C．技法03整數(shù)解的應(yīng)用及解題技巧在在整數(shù)解問(wèn)題中，通常我們用猜根法比較快，先找到臨界條件得到端點(diǎn)值，再利用整數(shù)解區(qū)間為一開(kāi)一閉，能做到快速求解.例3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【猜根法，尋找臨界條件】由題知整數(shù)解不可能為1，若整數(shù)解為2，則整數(shù)解3不可取，代入有，，根據(jù)整數(shù)解問(wèn)題區(qū)間為一開(kāi)一閉，則選D.1．若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】原不等式可化簡(jiǎn)為，設(shè)，，由得，，令可得，時(shí)，，時(shí)，，易知函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，作出的圖象如下圖所示，而函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)，要使關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則函數(shù)的圖象應(yīng)介于直線與直線之間（可以為直線），又，，∴，，∴，∴．故選：A．2．已知函數(shù)，若不等式有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．C． D．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?，則不等式有3個(gè)整數(shù)解．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，易知的圖象恒過(guò)點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出與函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖象可知，要使不等式有3個(gè)整數(shù)解，則，解得，故選：A．3．已知函數(shù)，若恰有3個(gè)正整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A．B．C． D．【詳解】解：由題意，恰有3個(gè)正整數(shù)解，轉(zhuǎn)換為的圖象與的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，作出和的圖象，如圖：要使恰有3個(gè)正整數(shù)解，則需滿足：，解得：，故選：A．4．偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，不等式在上有且只有100個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以是周期函數(shù)，且周期為，且關(guān)于對(duì)稱，又由在上含有50個(gè)周期，且在每個(gè)周期內(nèi)都是對(duì)稱圖形，關(guān)于的不等式在上有且只有100個(gè)整數(shù)解，所以關(guān)于不等式在上有且只有1個(gè)整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，，，所以當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，在上有且只有3個(gè)整數(shù)解，不合題意；所以，由，可得或，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，且在為增函數(shù)，所以在上無(wú)整數(shù)解，所以在上有一個(gè)整數(shù)解，因?yàn)椋栽谏嫌幸粋€(gè)整數(shù)解，這個(gè)整數(shù)解只能為，從而有且，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C技法04零點(diǎn)的應(yīng)用及解題技巧零點(diǎn)問(wèn)題是高考中常考內(nèi)容，解決唯一零點(diǎn)問(wèn)題在于觀察發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)的具體值零點(diǎn)問(wèn)題是高考中常考內(nèi)容，解決唯一零點(diǎn)問(wèn)題在于觀察發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)的具體值，多個(gè)零點(diǎn)數(shù)形結(jié)合能做到快速求解.例4-1．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則A． B． C． D．1通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)關(guān)于對(duì)稱，也關(guān)于對(duì)稱，則唯一零點(diǎn)為1，解得解得.故選：C.例4-2．已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【詳解】

依題意，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即有四個(gè)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A1．若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．4 D．1【詳解】由，得，即函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，要使函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則，即，得．故選：A．2．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，，由于函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，由，解得，所以，，令，其中，，，則，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，從而可得，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.3．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【詳解】有零點(diǎn)，則，令，則上式可化為，因?yàn)楹愠闪?，所以，令，則，故為偶函數(shù)，因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與有唯一交點(diǎn)，結(jié)合為偶函數(shù)，可得此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，故.故選：D4．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解，則，等價(jià)于函數(shù)與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).令，，則函數(shù)與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，且趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮，所以，解得.故選：A.5．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）詳解：畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫出直線，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足，即，故選C.6．已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間內(nèi)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】由函數(shù)，其中，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，函數(shù)在內(nèi)最多有1個(gè)零點(diǎn)，不符題意，所以，當(dāng)時(shí)，，由可得或，則在上，有一個(gè)零點(diǎn)，所以在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，，所以，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.技法05切線與公切線的應(yīng)用及解題技巧對(duì)于切線及公切線問(wèn)題，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，能做到基本題型求解，熟練解方程也有助于快速解題對(duì)于切線及公切線問(wèn)題，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，能做到基本題型求解，熟練解方程也有助于快速解題.例5-1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A．B．C． D．畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.例5-2．（全國(guó)·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，則，由點(diǎn)在切線上得，由點(diǎn)在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【詳解】由題可知，，，設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為，與相切的切點(diǎn)為，則有公共切線斜率為，則，，又，，可得，即有，即，可得，，設(shè)，，，可得時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，,可得處取得極大值，且為最大值，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍，故答案為：2．若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【詳解】因?yàn)?，，所以，，設(shè)公切線與切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，，所以，所以，所以，所以或，因?yàn)?，所以，所以，所以，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A3．若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A．B．C． D．【詳解】設(shè)是曲線的切點(diǎn)，設(shè)是曲線的切點(diǎn)，對(duì)于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，所以切線方程分別為：，，兩切線重合，對(duì)照斜率和縱截距可得：，解得（），令（），，得：，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴且當(dāng)x趨于時(shí)，，趨于；當(dāng)趨于時(shí)，趨于；∴，∴；故選：D．4．若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，，切線的斜率為，則切線方程為，即設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，，切線的斜率為，則切線方程為，即，所以有因?yàn)椋?，可得，，即，由可得：，所以，令，則，，設(shè)，則，所以在上為減函數(shù)，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B．題型073類導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題解題技巧（端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）、函數(shù)的凹凸性、洛必達(dá)法則）技法01技法01端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧技法02函數(shù)凹凸性解題技巧技法03洛必達(dá)法則解題技巧技法01端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧導(dǎo)數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問(wèn)題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，是熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，方法靈活多樣，常見(jiàn)的方法有:導(dǎo)數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問(wèn)題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，是熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，方法靈活多樣，常見(jiàn)的方法有:①分離參數(shù)（全分離或半分離）＋函數(shù)最值;②直接（或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化）求導(dǎo)＋分類討論.但以上兩種方法都有缺陷，首先對(duì)于方法①可能會(huì)出現(xiàn)參數(shù)分離困難或是無(wú)法分離，抑或函數(shù)最值點(diǎn)無(wú)法取到，即無(wú)定義，這時(shí)就需要用到超綱的方法：洛必達(dá)法則。其次，對(duì)于方法②直接分類討論可能會(huì)出現(xiàn)在某些區(qū)間無(wú)法討論下去，或是無(wú)法排除原問(wèn)題在該區(qū)間是否恒成立，即討論界點(diǎn)不明?；谝陨蟽牲c(diǎn)，我們今天這講就來(lái)解決這兩個(gè)不足之處，基本對(duì)策就是先必要后充分的思想。該思想就是當(dāng)參變分離較為困難、帶參討論界點(diǎn)不明時(shí)，含參不等式問(wèn)題還可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些關(guān)鍵點(diǎn)（區(qū)間端點(diǎn)，可使不等式部分等于零的特殊值等），將關(guān)鍵點(diǎn)代入不等式解出參數(shù)的范圍，獲得結(jié)論成立的必要條件，再論證充分性，從而解決問(wèn)題.知識(shí)遷移端點(diǎn)效應(yīng)的類型1.如果函數(shù)在區(qū)間上,恒成立,則或.2.如果函數(shù)在區(qū)問(wèn)上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數(shù)在區(qū)問(wèn)上,恒成立,且(或,則或.例1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【法一】端點(diǎn)效應(yīng)一令，得，且在上恒成立畫出草圖：根據(jù)端點(diǎn)效應(yīng),需要滿足，而則,令,得當(dāng)時(shí),由于,只需證即可而含有參數(shù),故可對(duì)進(jìn)行放縮即令,其中，設(shè)，則令，則,故在上遞減,得則,得在上單調(diào)遞增,則即,滿足成立，當(dāng)時(shí)，故存在,使得在上,所以在上單調(diào)遞增,則,不成立，綜上所述:.【法二】端點(diǎn)效應(yīng)二(2)由于,且,注意到當(dāng),即時(shí),使在成立,故此時(shí)單調(diào)遞減,不成立.另一方面,當(dāng)時(shí),,下證它小于等于0.單調(diào)遞減,.特上所述:.【法三】設(shè)設(shè)，，所以.若,，即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若，當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)?，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當(dāng)時(shí)，恒成立．只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當(dāng)時(shí)，恒成立，記，，①.當(dāng)即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；②.若即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時(shí)，成立；③當(dāng)即時(shí)，，又由②可知時(shí)，成立，所以時(shí)，恒成立，所以時(shí)，滿足題意.綜上，.【整體點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢(shì)在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險(xiǎn)性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性！3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.技法02函數(shù)凹凸性解題技巧函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來(lái),以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見(jiàn)不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒(méi)有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識(shí),可以函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來(lái),以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見(jiàn)不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒(méi)有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識(shí),可以“登高望遠(yuǎn)”,便于找到問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑.知識(shí)遷移凹函數(shù)：對(duì)于某區(qū)間內(nèi),都有.凸函數(shù)：對(duì)于某區(qū)間內(nèi),都有.例2-1．在中,求的最大值.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是上凸函數(shù),則即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),取等號(hào).上述例題是三角形中一個(gè)重要的不等式:在中,例2-2（2021·黑龍江模擬）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．因?yàn)椋?，，因?yàn)樵谏蠟椤巴购瘮?shù)”，所以對(duì)于恒成立，可得對(duì)于恒成立，令，則，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，所以，所以，【答案】C1．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.試題解析：（Ⅰ）．（Ⅰ）設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)．（Ⅱ）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)．（Ⅲ）設(shè)，由得或．若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，的取值范圍為．（Ⅱ）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，，在單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即．由于，而，所以．設(shè)，則．所以當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．從而，故．2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化，由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②，由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．3．（陜西·高考真題）已知函數(shù).(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實(shí)數(shù)k的值;(2)設(shè)x>0,討論曲線y＝f(x)與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)設(shè)a<b,比較與的大小,并說(shuō)明理由.【詳解】函數(shù)(1)函數(shù)，的反函數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為則，.

（2）令即，設(shè)有，當(dāng)，，當(dāng)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，兩曲線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩曲線有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩曲線沒(méi)有交點(diǎn).（3），令，上式令，則恒成立，，而，，故【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、參數(shù)等問(wèn)題，屬于難題.第二問(wèn)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，能夠比較清晰的分類，做到不吃不漏.最后一問(wèn),考查函數(shù)的凹凸性，富有明顯的幾何意義,為考生探索結(jié)論提供了明確的方向,對(duì)代數(shù)手段的解決起到導(dǎo)航作用.技法03洛必達(dá)法則解題技巧洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說(shuō)明，能備考使用即可.洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說(shuō)明，能備考使用即可.知識(shí)遷移洛必達(dá)法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達(dá)法則也成立。2.洛必達(dá)法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí),就不能用洛必達(dá)法則,這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用,應(yīng)從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。例3．（全國(guó)高考）已知恒成立,求的取值范圍。解:記,則則，所以,在單調(diào)遞增,且所以時(shí),時(shí),即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以所以分析：上式中求用了洛必達(dá)法則當(dāng)時(shí),分子,分母,符合不定形式,所以1．（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍解:，記,則，記則，所以,在單調(diào)遞增,所以所以,在單調(diào)遞增,所以即在上,所以在上單調(diào)遞增，所以，所以2．（天津高考）恒成立,求的取值范圍解:記,則，則，所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以即所以，所以所以3．已知函數(shù)（I）求證（II）若取值范圍.試題解析：（1）要證時(shí)，，只需證明.記，則，當(dāng)時(shí)，，因此在上是增函數(shù)，故，所以.要證時(shí)，，只需證明，記，則，當(dāng)時(shí)，，因此在上是增函數(shù)，故，所以，.綜上，，.（2）（解法一）.設(shè)，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，于是在上是減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)，于是，從而，所以，當(dāng)時(shí)，在上恒成立.下面證明，當(dāng)時(shí)，在上不恒成立，.記，則，當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù).于是在上的值域?yàn)?因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以存在，使得此時(shí)，即在上不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（解法二）先證當(dāng)時(shí)，.記，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，于是在上是增函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，，從而在上是增函數(shù)，因此.所以當(dāng)時(shí)，.同理可證，當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立.下面證明，當(dāng)時(shí)，在上不恒成立，因?yàn)?所以存在（例如取和中的較小值）滿足.即在上不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型084類函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)極值最值（單調(diào)性、含參函數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、極值最值）技法01技法01具體函數(shù)的單調(diào)性技法02含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)可分解型函數(shù)的單調(diào)性技法03含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)不可分解型函數(shù)的單調(diào)性技法04二階導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性技法05函數(shù)的極值最值技法01具體函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說(shuō)在高考導(dǎo)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說(shuō)在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問(wèn)題是繞不開(kāi)的一個(gè)問(wèn)題.這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問(wèn)題的關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖象、比較函數(shù)值大小、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點(diǎn)、而具體函數(shù)的單調(diào)性是要掌握的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)遷移導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減例1-1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)椋傻茫?，令，則，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，例1-2．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．若，求的單調(diào)區(qū)間【詳解】當(dāng)a=3時(shí)，，．令解得x=或x=．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性【詳解】因?yàn)?，所以，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間?！驹斀狻浚?dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間【詳解】當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；5．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.技法02含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)可分解型函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說(shuō)在高考導(dǎo)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說(shuō)在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問(wèn)題是繞不開(kāi)的一個(gè)問(wèn)題.這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問(wèn)題的關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖像、比較函數(shù)值大小、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點(diǎn)、而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用更是高考中的難點(diǎn)例2-1．（2023·河北唐山模擬）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.例2-2．（2023·全