2025高考數(shù)學一輪復習-10.7-離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征-專項訓練【含答案】

2025高考數(shù)學一輪復習-10.7-離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征-專項訓練【A級基礎(chǔ)鞏固】1.已知下列隨機變量:①10件產(chǎn)品中有2件次品,從中任選3件,取到次品的件數(shù)X;②一名射擊選手對目標進行射擊,擊中目標得1分,未擊中目標得0分,該射擊選手在一次射擊中的得分X;③一天內(nèi)的溫度X;④在體育彩票的抽獎中,一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)X.其中X是離散型隨機變量的是()A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④2.若隨機變量X的分布列為X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X<a)=0.8時,實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,2] B.[1,2]C.(1,2] D.(1,2)3.隨機變量Y的分布列如表,且E(Y)=3,則D(3Y-5)等于()Y02aP1m1A.10 B.15 C.40 D.454.一袋中裝有5個球,編號分別為1,2,3,4,5,在袋中同時取出3個,以ξ表示取出的三個球中的最小號碼,則隨機變量ξ的分布列為()A.ξ123P111B.ξ1234P1132C.ξ123P331D.ξ123P1335.已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時間互不影響,經(jīng)統(tǒng)計,甲、乙一個月內(nèi)從家中到工作單位所用時間在各個時間段內(nèi)的頻率如表所示,時間/分鐘10～2020～3030～4040～50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1某日工作單位接到一項任務,需要甲在30分鐘內(nèi)到達,乙在40分鐘內(nèi)到達,用X表示甲、乙兩人在要求時間內(nèi)從家中到達單位的人數(shù),用頻率估計概率,則X的數(shù)學期望和方差分別是()A.E(X)=1.5,D(X)=0.36B.E(X)=1.4,D(X)=0.36C.E(X)=1.5,D(X)=0.34D.E(X)=1.4,D(X)=0.346.已知離散型隨機變量X的分布列如表所示.若E(X)=0,D(X)=1,則a-b的值為.

X-1012Pabc17.現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票,其中中獎金額為2元的彩票1000張,10元的彩票300張,50元的彩票100張,100元的彩票50張,1000元的彩票5張.1張彩票中獎金額的均值是元.8.用數(shù)字1,2,3,4,5給3名男生和2名女生隨機地編學號.(1)男生和女生的學號都不相鄰的編法有種(用數(shù)字作答);(2)記隨機變量ξ=X-Y,其中X,Y分別為男生、女生的學號之和,則隨機變量ξ的數(shù)學期望E(ξ)=.

9.甲、乙兩個學校進行體育比賽,比賽共設三個項目,每個項目勝方得10分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后,總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.(1)求甲學校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學校的總得分,求X的分布列與期望.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】10.(多選題)隨機變量ξ的分布列如表所示,其中xy≠0,下列說法正確的是()ξ012Pxy2yA.x+y=1B.E(ξ)=5C.D(ξ)有最大值D.D(ξ)隨y的增大而減小11.某次國際象棋比賽規(guī)定,勝一局得3分,平一局得1分,負一局得0分,某參賽隊員比賽一局勝的概率為a,平局的概率為b,負的概率為c(a,b,c∈[0,1)),已知他比賽一局得分的均值為1,則ab的最大值為()A.13 B.1C.12 D.12.據(jù)統(tǒng)計,一年中一個家庭萬元以上的財產(chǎn)被竊的概率為0.005,保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產(chǎn)保險,交保險費100元,若一年內(nèi)萬元以上財產(chǎn)被竊,保險公司賠償a元(a>1000),為確保保險公司有可能獲益,則a的取值范圍是.

13.有甲、乙兩家公司都需要招聘求職者,這兩家公司的聘用信息如表所示.甲公司乙公司職位ABCD職位ABCD月薪/千元5678月薪/千元46810獲得相應職位的概率0.40.30.20.1獲得相應職位的概率0.40.30.20.1(1)若一人去應聘甲公司的C職位,另一人去應聘乙公司的C職位,記這兩人被錄用的人數(shù)為η,求η的分布列;(2)若丙和丁分別被甲、乙兩家公司錄用,求丙月薪高于丁月薪的概率;(3)根據(jù)甲、乙兩家公司的聘用信息,如果你是求職者,你會選擇哪一家公司?說明理由.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【C級應用創(chuàng)新練】14.已知投資甲、乙兩個項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2.經(jīng)統(tǒng)計分析,X1和X2的分布列分別為表1X10.30.180.1P0.20.50.3表2X20.250.15P0.20.8(1)若在甲、乙兩個項目上各投資100萬元,Y1和Y2分別表示投資甲、乙兩項目所獲得的利潤,求Y1和Y2的數(shù)學期望和方差,并由此分析投資甲、乙兩項目的利弊;(2)若在甲、乙兩個項目總共投資100萬元,求在甲、乙兩個項目上分別投資多少萬元時,可使所獲利潤的方差和最小?注:利潤率=利潤投資額參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1.解析:①中,X的所有可能取值為0,1,2,符合要求;②中,X的所有可能取值為0,1,符合要求;③中,一天的溫度變化是連續(xù)的,所以X不是離散型隨機變量;④中,在體育彩票的抽獎中,一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)是離散,且隨機的,符合要求.故選B.2.解析:由隨機變量X的分布列知,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故當P(X<a)=0.8時,實數(shù)a的取值范圍是(1,2].故選C.3.解析:由題意得16+m+13=1,得m=所以E(Y)=0×16+2×12+所以D(Y)=(0-3)2×16+(2-3)2×12+(6-3)2×所以D(3Y-5)=32D(Y)=9×5=45.故選D.4.解析:隨機變量ξ的所有可能取值為1,2,3,P(ξ=1)=C42C53=35,P(ξ=2)=C35.解析:設事件A表示“甲在規(guī)定的時間內(nèi)到達”,B表示“乙在規(guī)定的時間內(nèi)到達”,P(A)=0.5,P(B)=0.9,A,B相互獨立,所以P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.9)=0.05,P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.9+0.5×(1-0.9)=0.5,P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.9=0.45,所以E(X)=0×0.05+1×0.5+2×0.45=1.4,D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.34.故選D.6.解析:由題知a+b+c=1112,-a+c+1(-1-0)2·a+(1-0)2·c+(2-0)2×112所以a=512,b=14,則a-b=512-1答案:17.解析:設每張彩票的中獎金額為隨機變量X,則X的所有可能取值為0,2,10,50,100,1000.由題意可知,P(X=2)=10001010010P(X=100)=50100001-0.1-0.03-0.01-0.005-0.0005=0.8545.所以X的分布列為X0210501001000P0.85450.10.030.010.0050.0005所以E(X)=0+2×0.1+10×0.03+50×0.01+100×0.005+1000×0.0005=2.答案:28.解析:(1)由已知男生的學號為1,3,5,女生的學號為2,4,用1,3,5給男生編號有A33種編法,用2,4給女生編號有所以滿足條件的編法有A3(2)用(x,y)表示可能的結(jié)果,其中x表示一名女生的學號,y表示另一名女生的學號,兩名女生學號有可能為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),所以Y3456567789X12111091098876ξ97535311-1-3所以隨機變量ξ的所有可能取值有-3,-1,1,3,5,7,9,P(ξ=-3)=110,P(ξ=-1)=110,P(ξ=1)=210P(ξ=3)=210=15,P(ξ=5)=210=15,P(ξ=7)=所以E(ξ)=(-3)×110+(-1)×110+1×15+3×15+5×15+7×答案:(1)12(2)39.解:(1)設“甲學校獲得冠軍”為事件A,則甲學校必須獲勝2場或者3場.P(A)=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.6.故甲學校獲得冠軍的概率為0.6.(2)X的所有可能取值為0,10,20,30.P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.44,P(X=20)=(1-0.5)×(1-0.4)×0.8+0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34,P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.所以X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】10.解析:由題意可知x+y3+2E(ξ)=0·x+1·y3+2·2y3D(ξ)=x(0-5y3)2+y3(1-5y3)2+2y3(2-5y3)2=(1-y)(0-52y3(2-5y3)2=-因為xy≠0,x+y=1,易得0<y<1,f(y)=-259y2+3y在(0,2750)上單調(diào)遞增,在[故f(y)在y=2750所以D(ξ)隨著y的增大先增大后減小,當y=2750故選ABC.11.解析:由題意得,比賽一局得分的均值為3·a+1·b+0·c=1,故3a+b=1,又a,b,c∈[0,1),且a+b+c=1,故3a+b≥23ab解得ab≤112,當且僅當3a=b,即a=16,b=1212.解析:設保險公司的收益為X,則X的所有可能取值有100,100-a(a>1000),由已知P(X=100)=0.995,P(X=100-a)=0.005.所以隨機變量X的分布列為X100100-aP0.9950.005所以E(X)=100×0.995+(100-a)0.005=100-0.005a,令100-0.005a>0,解得a<20000,故1000<a<20000,所以為確保保險公司有可能獲益,a的取值范圍是(1000,20000).答案:(1000,20000)13.解:(1)隨機變量η的所有可能取值為0,1,2.P(η=0)=0.8×0.8=0.64,P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32,P(η=2)=0.2×0.2=0.04.所以隨機變量η的分布列為η012P0.640.320.04(2)丙月薪高于丁月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49.(3)記隨機變量X為入職甲公司的月薪,Y為入職乙公司的月薪.入職甲公司,月薪的期望為E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6,方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1.入職乙公司,月薪的期望為E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6,方差D(Y)=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4.乙公司月薪高于甲公司的概率為P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4,即E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),0.4<0.49.所以兩家公司月薪的期望相同,但甲公司月薪的波動性小,乙公司月薪的波動性更大,且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大,故選甲公司.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【C級應用創(chuàng)新練】14.解:(1)由題意得E(X1)=0.3×0.2+0.18×0.5+0.1×0.3=0.18,D(X1)=(0.3-0.18)2×0.2+(0.18-0.18)2×0.5+(0.1-0.18)2×0.3=0.0048,E(X2)=0.25×0.2+0.15×0.8=0.17,D(X2)=(0.25-0.17)2×0.2+(0.15-0.17)2×0.8=0.0016,又Y1=100X1,Y2=100X2,所以E(Y1)=100×0.18=18,D(Y1)=1002×0.0048=48.E(Y2)=100×0.17=17,D(Y2)=1002×0.0016=16.因此投資甲所獲利潤的期望18萬元大于投資乙所獲利潤的期望17萬元,但投資甲的方差48也遠大于投資乙的