2024年中考數(shù)學幾何模型歸納講練 01 雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型 教師與學生版

專題01雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型線段與角度是初中幾何的入門知識，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部分的線段雙中點模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。模型1.

線段的雙中點模型圖1圖21）雙中點模型（兩線段無公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.2）雙中點模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.例1．（2023·廣東七年級期中）如圖，是的中點，是的中點，若，，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是的中點，是的中點，分別求得，，，再根據(jù)線段的和與差，計算即可判斷．【詳解】解：∵是的中點，是的中點，且，，∴，，，∴，故選項A不符合題意；，故選項B符合題意；，故選項C不符合題意；，故選項D不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了兩點間的距離以及中點的定義，利用中點性質轉化線段之間的倍分關系，在不同情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解決問題．例2．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┤鐖D，線段，長度為2的線段在線段上運動，分別取線段、的中點、，則．【答案】7【分析】先求解，再證明，，再利用線段的和差可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵線段、的中點為、，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是線段中點的含義，線段的和差運算，理解線段的和差運算是解本題的關鍵．例3．（2022秋·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點是的中點，點是的中點，現(xiàn)給出下列等式：①，②，③，④．其中正確的等式序號是．【答案】①②③【分析】根據(jù)線段中點的性質，可得，再根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：①點是的中點，，，故①正確；②點是的中點，，又點是的中點，．故②正確；③點是的中點，．，故③正確；④，故④錯誤．故正確的有①②③．故答案為：①②③．【點睛】此題考查的是兩點間的距離的計算，掌握線段中點的概念和性質、靈活運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．例4．（2022秋·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）線段，是的中點，是的中點，是的中點，是的中點，依此類推……，線段的長為．【答案】【分析】先分別求出、、的值，根據(jù)求出的結果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：因為線段，是的中點，所以；因為是的中點，所以；因為是的中點，所以；，所以，所以，答案為：．【點睛】本題考查了線段中點的有關計算、求兩點之間的距離、數(shù)字類規(guī)律探究，能根據(jù)求出的結果得出規(guī)律是解此題的關鍵．例5．（2022秋·山東青島·七年級校考期末）直線l上有三點A、B、C，其中，，M、N分別是、的中點則的長是．【答案】或【分析】本題沒有給出圖形，在畫圖時，應考慮到A、B、C三點之間的位置關系的多種可能，再根據(jù)正確畫出的圖形解題．【詳解】解：第一種情況：B在線段上，如圖，則；第二種情況：B在身線上，在線段外，如圖，則．答：線段MN的長是或．故答案為：1或7【點睛】本題考查線段的和差，由于B的位置有兩種情況，所以本題的值就有兩種情況，做這類題時學生一定要思維細密．例6．（2023·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段上，點M是的中點，點N是的中點．(1)若，求的長；(2)若，，求的長；(3)若，求的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義可得，即可求出結果；（2）根據(jù)線段中點的定義可得，，即可求出結果；（2）根據(jù)線段中點的定義可得，即可求出結果．【詳解】（1）解：∵點M是的中點，點N是的中點，，，，，又，，．（2）解：∵點M是的中點，點N是的中點，，，，，，，．（3）解：∵點M是的中點，點N是的中點，，，，，又，，．【點睛】本題考查了線段中點的定義和求兩點間的距離，熟練掌握計算兩點間距離的方法是解題的關鍵．例7．（2022秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點在線段上，，，點、分別是、的中點．(1)求線段的長；(2)若點在線段的延長線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．【答案】(1)(2)，詳見解析【分析】（1）利用線段的和差，線段的中點的性質計算；（2）先畫出圖形，再利用線段的和差，線段的中點的性質計算．【詳解】（1）解：點在線段上，，，點、分別是、的中點，，，；（2）解：如圖所示，點在線段的延長線上，且滿足，又點、分別是、的中點，，，，的長度．【點睛】本題考查了兩點間的距離，解題的關鍵是掌握線段的和差，線段中點的性質．例8．（2022春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）材料閱讀：當點在線段上，且時，我們稱為點在線段上的點值，記作．如點是的中點時，則，記作；反過來，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點、分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，運動速度均為，當點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為，請用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關系．拓展運用：(3)已知線段，點、分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，若點、的運動速度分別為和，點到達點后立即以原速返回，點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為．則當為何值時，等式成立．【答案】(1)，(2)，，(3)存在和使等式成立【分析】（1）根據(jù)定義直接得出結果即可求解；（2）根據(jù)題意，得出，，相加即可求解；（3）分在點到達點之前，在點到達點返回之后，兩種情況分類討論即可求解．【詳解】（1）根據(jù)定義可得：∵，則；∵，∴,則；故答案為：．，；（2）∵∴∵∴∴∴（3）①在點到達點之前∵∴∵∴∴∵∴∴②在點到達點返回之后∵∴∵∴∴∵∴∴∴存在和使等式成立．【點睛】本題考查了幾何新定義，線段的和差，理解新定義，數(shù)形結合是解題的關鍵．例9．（2022·貴州銅仁·七年級期末）如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度．（2）根據(jù)第（1）題的計算過程和結果，設AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動．設點P的運動時間為t（s）．當C、P、Q三點中，有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，直接寫出時間t．【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求時間t為4或或．【分析】（1）（2）根據(jù)線段中點的定義、線段的和差，可得答案；（3）當C、P、Q三點中，有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，可分四種情況進行討論：①當0＜t≤5時，C是線段PQ的中點；②當5＜t≤時，P為線段CQ的中點；③當＜t≤6時，Q為線段PC的中點；④當6＜t≤8時，C為線段PQ的中點．根據(jù)線段中點的定義，可得方程，進而求解．【詳解】解：（1）∵線段AC=10厘米，BC=6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；（2）∵AC=a，BC=b，點M，N分別是AC，BC的中點，∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b；（3）①當點P在線段AC上，即0＜t≤5時，C是線段PQ的中點，得10-2t=6-t，解得t=4；②當點P在線段BC上，即5＜t≤時，P為線段CQ的中點，2t-10=16-3t，解得t=；③當點Q在線段BC上，即＜t≤6時，Q為線段PC的中點，6-t=3t-16，解得t=；④當點Q在線段AC上，即6＜t≤8時，C為線段PQ的中點，2t-10=t-6，解得t=4（舍），綜上所述：所求時間t為4或或．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，兩點間的距離，利用線段中點的定義得出關于t的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．模型2.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：.2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結論：.例3．（2022秋·陜西西安·七年級校考期末）如圖，是內(nèi)部的一條射線，、分別是、的角平分線．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)、分別是、的角平分線，可得，，根據(jù)，可得，再結合，可得，問題隨之得解．【詳解】∵、分別是、的角平分線，∴，，∵，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了有關角平分線的計算，明確題意，厘清圖中各角度之間的數(shù)量關系是解答本題的關鍵．例4．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（填序號）．

【答案】①②④【分析】①根據(jù)平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結論；②根據(jù)角度之間的關系得出，得出，即可得出結論；③無法證明；④根據(jù)，得出，，即可得出結論．【詳解】解：①∵平分，平分，平分，∴，，，，，即，故①正確；②∵，，∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯誤；④根據(jù)解析②可知，，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題考查角平分線的有關計算，根據(jù)角度之間的關系得出是解題的關鍵．例5．（2023·河南·七年級校聯(lián)考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】由角平分線性質推理得，，，據(jù)此規(guī)律可解答．【詳解】解：，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，…，由此規(guī)律得：．故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的性質、圖形規(guī)律等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．例6．（2022秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請從A，B兩題中任選一題作答．A．當∠BOC＝30°時，∠EOD的度數(shù)為．B．當∠BOC＝α°時，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】110°或130°或【分析】A、根據(jù)角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類討論，當∠AOE=∠AOB=20°，②當∠BOE′=∠AOB=20°，根據(jù)角的和差即可得到結論；B、根據(jù)角的和差得到∠AOB，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類討論，當∠AOE=∠AOB，②當∠BOE′=∠AOB，根據(jù)角的和差即可得到結論．【詳解】解：A、如圖，∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，∵OE是∠AOB的一條三等分線，∴①當∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，②當∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，綜上所述，∠EOD的度數(shù)為130°或110°，故答案為：130°或110°；B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，∵OE是∠AOB的一條三等分線，∴①當∠AOE=∠AOB=30°-α°，∴∠BOE=90°-α-（30-α）°=60°-α°，∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-α°，②當∠BOE′=∠AOB=30°-α°，∴∠DOE′=90°+30°-α°=120°-α°，綜上所述，∠EOD的度數(shù)為150°-α°或120°-α°，故答案為：150°-α°或120°-α°；【點睛】本題考查了余角和補角的定義，角的倍分，熟練掌握余角和補角的性質是解題的關鍵．例7．（2023秋·江蘇無錫·七年級?？计谀┙獯痤}：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)所以當射線在的內(nèi)部時，；當射線在的外部時，．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，即可得出答案；（2）由于無法確定射線的位置，所以需要分類討論：若射線在的內(nèi)部時，根據(jù)角平分線定義得出，，求出；若射線在的外部時，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．【詳解】（1）∵，平分，∴∵分別平分，．∴∴．（2）若射線在的內(nèi)部，如圖2∵，，、分別平分、．∴∴．所以當射線在的內(nèi)部時，．若射線在外部時，如圖3∵，，、分別平分、．∴∴．所以當射線在的外部時，．【點睛】本題考查的是角平分線的定義和角的有關計算，利用角平分線的定義求解角的度數(shù)是解題的關鍵．例8．（2022秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，在的內(nèi)部畫射線，射線把分成兩個角，分別為和，若這兩個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數(shù)為__________．(2)如圖2，已知，過點O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數(shù)（）．【答案】(1)或(2)或或或【分析】（1）根據(jù)“3等分線”的定義分和兩種情況求解即可；（2）分為的“3等分線”和為的“3等分線”兩種情況求解即可．【詳解】（1）根據(jù)“3等分線”的定義可得，或∵∴或故答案為：或（2）①當OA在的內(nèi)部時，如圖，根據(jù)“3等分線”的定義可得，或②當OB在的內(nèi)部時，如圖，根據(jù)“3等分線”的定義可得，或此時，或綜上，的度數(shù)為或或或．【點睛】本題主要考查了角的和差倍分，熟練掌握“3等分線”的定義是解答本題的關鍵．例9．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點是直線上一點，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．【答案】（1）20°；（2）；（3），理由見解析【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；（2）解法與（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；（3）把∠APC的度數(shù)作為已知量，求得∠BPC的度數(shù)，然后根據(jù)角的平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可解決．【詳解】（1）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（2）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（3）結論：．理由如下：設，則，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了角度的計算，正確理解角平分線的定義，理解角度之間的和差關系是關鍵．課后專項訓練1．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）在直線上任取一點A，截取，再截取，則的中點與的中點之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況B，在點A同側時，B，在點A兩側時，分別畫出圖形，求出結果即可．【詳解】解：①B，在點A同側時，如圖所示：是的中點，是的中點，，，．②B，在點A兩側時，如圖，是的中點，是的中點，，，．綜上：與之間距離為或，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了線段中點的計算，解題的關鍵是分類討論，畫出圖形，數(shù)形結合．2．（2023秋·海南·七年級統(tǒng)考期末）已知線段，點是直線上一點，，若是的中點，是的中點，則線段的長度是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】分點在點右側與點在點左側兩種情況畫出圖形求解．【詳解】解：當點在點右側時，如圖所示．，，．是中點，是的中點，，，；當點在點左側時，如圖所示．，，．是中點，是的中點，，，．綜上所述：線段MN的長度為5cm．故選：B．【點睛】本題考查了線段和差，線段的中點等知識，分點在點右側與點在點左側兩種情況考慮是解題的關鍵．3．（2023秋·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上兩點，M、N分別是線段的中點，下列結論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)線段中點的定義與線段的和差結合圖形逐一進行分析即可．【詳解】解：如圖，∵M、N分別是線段的中點，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，故①符合題意；∵，∴，∴，∴，故②符合題意；∵，∴，故③符合題意；∵，，∴，∵，，∴，故④不符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了線段的和差運算，能夠利用中點的性質及線段的和差關系求解一些線段之間的關系是解本題的關鍵．4．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別為的中點，求出的長度，再由的長度求出的長度，找到的規(guī)律即可求出的值．【詳解】解：∵，分別為的中點，∴，∵分別為的中點，∴，∵分別為的中點，∴，……由此可得：，∴，故選C．【點睛】本題考查線段中點的有關計算，有理數(shù)的簡便運算，相對較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關鍵．5．（2023秋·廣西·七年級專題練習）如圖，在數(shù)軸上，O是原點，點A表示的數(shù)是4，線段（點B在點C的左側）在直線上運動，且．下列說法正確的是（）甲：當點B與點O重合時，；乙：當點C與點A重合時，若P是線段延長線上的點，則；丙：在線段運動過程中，若M，N為線段的中點，則線段的長度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：畫出圖形，利用線段的和差可判斷甲的說法；乙：畫出圖形，設點P表示的數(shù)為x，則，可判斷乙的說法；丙：設點B表示的數(shù)是m，則點C表示的數(shù)是，利用中點公式表示出M、N表示的數(shù)即可求解．【詳解】甲：如圖1，當點B與點O重合時，，故甲的說法錯誤；乙：如圖2，當點C與點A重合時，設點P表示的數(shù)為x，則，∴，故乙的說法正確；丙：點B表示的數(shù)是m，則點C表示的數(shù)是，∵O是原點，點A表示的數(shù)是4，M，N為線段的中點，∴點M表示的數(shù)是，點N表示的數(shù)是，∴，故丙的說法正確．故選D．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，線段中點的計算，整式的加減等知識，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．6．（2023秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角平分線的定義求出即可解決問題．【詳解】解：平分，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查角的和差定義，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．7．（2023秋·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關系，得出，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵，射線為的三等分線．∴或，∴，∴的度數(shù)為或．故選：C．【點睛】本題考查了角度的計算，理解題意，分類討論是解本題的關鍵．8．（2023秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平分，平分，可得，，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．故選：B【點睛】本題主要考查了有關角平分線的計算，根據(jù)題意得到是解題的關鍵．9．（2023吉林七年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列說法正確的是（

）A．圖中只有兩個120°的角 B．圖中只有∠DOE是直角C．圖中∠AOC的補角有3個 D．圖中∠AOE的余角有2個【答案】C【詳解】解：∵射線OC、OD把平角∠AOB三等分，∴，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴，∴，故A選項不符合題意；，故B選項不符合題意；∠AOC與∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互為補角，故C選項符合題意；∠AOE與∠AOC、∠COD、∠BOD都是互為余角，故D選項不符合題意；故選：C【點睛】此題考查了角平分線的定義，余角與補角的定義，正確掌握角平分線的定義求出各角的度數(shù)是解題的關鍵．10．（2023秋·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結論個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】結合圖形根據(jù)題意正確進行角的和差計算即可判斷．【詳解】①如圖可得，所以平分，①正確；②當時，設，∵平分，∴，∴，，∴，當時，設，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故②正確；③時，時，時故③正確；④當時，當時，故④錯誤；綜上所述，正確的結論為①②③；故選：C．【點睛】本題主要考查了角的和差，角的平分線，旋轉的性質，關鍵根據(jù)題意正確進行角的和差計算．11．（2022秋·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點、、表示的數(shù)分別是，，1，且點為線段的中點，點為原點，點在數(shù)軸上，點為線段的中點．、為數(shù)軸上兩個動點，點從點向左運動，速度為每秒1個單位長度，點從點向左運動，速度為每秒3個單位長度，、同時運動，運動時間為．有下列結論：①若點表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點是線段的中點；其中正確的有．（填序號）【答案】①③/③①【分析】①根據(jù)線段的中點的定義以及點、可確定點、表示的數(shù)，進而得到的長度；②由，分兩種情況討論：點在點的右側時以及點在點的左側時，可得到點表示的數(shù)，由點為線段的中點可得點表示的數(shù)，進而得到的長度；③當時，可得到、的長，從而確定點、，即可得到的長；④當時，可得到、的長，從而確定點、，進而判斷．【詳解】①若點表示的數(shù)是3，∵點為線段的中點，表示的數(shù)是1，∴，，即表示的數(shù)是2，∴，故①正確；②若，當點在點的右側時，則點表示的數(shù)是4，∵點為線段的中點，∴，即表示的數(shù)是，∴，當點在點的左側時，則點表示的數(shù)是，∵點為線段的中點，∴，即表示的數(shù)是，∴，綜上，，故②不正確；③當時，，，∵、表示的數(shù)分別是，1，∴、表示的數(shù)分別是，，∴，故③正確；④當時，，，∴、表示的數(shù)分別是，，∵點在、的左側，不可能是線段的中點故④不正確；故答案為：①③【點睛】本題考查了數(shù)軸以及兩點間的距離、線段的中點，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．12．（2023秋·安徽六安·七年級?？计谀┤鐖D，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．【答案】120【分析】①利用角平分線的定義可得，，易得，利用，可得結果；②由角的加減可得，可得，再利用可得結果【詳解】解：①，，，，平分，平分，，，，，故答案為120；②，，，，，故答案為：【點睛】本題考查的是角平分線的定義有關知識，利用角平分線的定義找出角的數(shù)量關系是解決本題關鍵．13．（2023春·四川達州·七年級校考階段練習）已知點A、B、C都在直線l上，點C是線段的三等分點，D、E分別為線段中點，直線l上所有線段的長度之和為91，則．【答案】或13【分析】畫出圖形，分兩種情況討論①；②．設，根據(jù)直線l上所有線段的長度之和為91，列方程，先求出x，即可求出的長.【詳解】①當時，如圖1設，則，，，∵直線l上所有線段的長度之和為91

②當時，如圖2,故答案為：或13【點睛】本題主要考查了線段的和差，解題的關鍵是要弄清楚直線l上的線段的條數(shù)，及要進行分類討論.14．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎€段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，M為的中點，N為的中點，線段的長為b，則線段的長為（用a，b的式子表示）．【答案】/【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段的長度即可．【詳解】解：∵M為的中點，N為的中點，∴，．∵線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，∴分以下5種情況說明：①當在左側時，如圖1，即，，，；②當點D與點A重合時，如圖2，即，；③當在內(nèi)部時，如圖3，即，；④當點C在點B右側時，同理可得：；⑤當在右側時，同理可得：；綜上所述：線段的長為．故答案為：．【點睛】本題考查線段的和差，根據(jù)題意畫出對應情況的圖形是解題的關鍵，注意分類討論思想的運用．15．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C，D在線段上，P，Q分別是的中點，若，則．【答案】1【分析】先由線段中點定義得出，，又因為，利用線段和差即可求得，，代入即可求解．【詳解】解∶∵，P，Q分別是，的中點，∴，，∵，∴，，∴，故答案為∶1．【點睛】本題考查線段和差倍分，熟練掌握線段和差倍分的運算是解題的關鍵．16．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點O是原點，點A所對應的數(shù)是a，線段在直線上運動（點B在點C的左側），．下列結論：①；②當點B與點O重合時，；③當點C與點A重合時，若點P是線段BC延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，則線段的長度不變．所有結論正確的序號是．【答案】①③④【分析】①根據(jù)非負數(shù)的性質可得a和b的值，可判斷；②如圖1，根據(jù)數(shù)軸可直觀得出；③如圖2，分別計算，的值可判斷；④分四種情況，根據(jù)圖形分別計算的長即可可判斷．【詳解】解：①∵，∵，∴，∴；故①正確；②如圖1，當點B與點O重合時，；故②不正確；③如圖2，當點C與點A重合時，若點P是線段延長線上的點，∴，∴；故③正確；④∵M為線段的中點，N為線段的中點，∴分四種情況：1）當C在O的左側時，如圖3，；2）當B，C在O的兩側時，如圖4，；3）當B，C在線段上時，如圖5，；4）當B和C都在A的右邊時，如圖6，；∴在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，線段的長度不變．故④正確；故答案為：①③④．【點睛】本題考查了絕對值和平方的非負性，數(shù)軸和線段的中點，線段的和差，熟練掌握線段中點的定義是解題的關鍵．17．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點O是原點，點A所對應的數(shù)是a，線段在直線上運動（點B在點C的左側），．下列結論：①；②當點B與點O重合時，；③當點C與點A重合時，若點P是線段BC延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，則線段的長度不變．所有結論正確的序號是．【答案】①③④【分析】①根據(jù)非負數(shù)的性質可得a和b的值，可判斷；②如圖1，根據(jù)數(shù)軸可直觀得出；③如圖2，分別計算，的值可判斷；④分四種情況，根據(jù)圖形分別計算的長即可可判斷．【詳解】解：①∵，∵，∴，∴；故①正確；②如圖1，當點B與點O重合時，；故②不正確；③如圖2，當點C與點A重合時，若點P是線段延長線上的點，∴，∴；故③正確；④∵M為線段的中點，N為線段的中點，∴分四種情況：1）當C在O的左側時，如圖3，；2）當B，C在O的兩側時，如圖4，；3）當B，C在線段上時，如圖5，；4）當B和C都在A的右邊時，如圖6，；∴在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，線段的長度不變．故④正確；故答案為：①③④．【點睛】本題考查了絕對值和平方的非負性，數(shù)軸和線段的中點，線段的和差，熟練掌握線段中點的定義是解題的關鍵．18．（2023秋·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線上，線段，動點從出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線上運動，為的中點，為的中點，設點的運動時間為秒．(1)若點在線段上運動，當時，；(2)若點在射線上運動，當時，求點的運動時間的值；(3)當點在線段的反向延長線上運動時，線段、、有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．【答案】(1)3；(2)或20；(3)，理由見解析．【分析】（1）由中點的含義先求解，證明，再求解，從而可得答案；（2）①當點P在線段上，，②當點P在線段的延長線上，，再建立方程求解即可；（3）先證明，，可得，從而可得結論．【詳解】（1）解：∵為的中點，為的中點，，∴，，∴，∵線段，∴，∴．（2）①當點P在線段上，，如圖，∵，為的中點，∴，解得②當點P在線段的延長線上，，如圖，同理：，解得綜上所述，當時，點P的運動時間t的值為或20．（3）當點P在線段的反向延長線上時，，理由如下：如圖，∵，為的中點，為的中點，∴，，，．【點睛】本題考查的是一元一次方程的應用，線段中點的含義，線段的和差運算，理解題意，清晰的分類討論是解本題的關鍵．19．（2023秋·福建泉州·七年級?？计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】當點C在線段AB上，時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作．例如，點C是AB的中點時，即，則；反之，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．(1)【理解與應用】如圖，點C在線段AB上．若，，則________；若，則________．(2)【拓展與延伸】已知線段，點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發(fā)，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設運動時間為t（單位：s）．①小王同學發(fā)現(xiàn)，當點Q從點B向點A方向運動時，的值是個定值，求m的值；②t為何值時，．【答案】(1)，(2)①；②1或8【分析】（1）根據(jù)“點值”的定義得出答案；（2）①設運動時間為，再根據(jù)的值是個定值即可求出的值；②分點從點向點方向運動時和點從點向點方向運動兩種情況分析即可．【詳解】（1）解：，，，，，，∴，∴故答案為：，；（2）①設運動時間為，則，，根據(jù)“點值”的定義得：，，的值是個定值，的值是個定值，；②當點從點向點方向運動時，，，；當點從點向點方向運動時，，，，的值為1或8．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，理解新定義并能運用是本題的關鍵．20．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點在線段上，，分別是，的中點．若，，求的長．(1)根據(jù)題意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)的長度具有一個特殊性質，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設，是線段上任意一點（不與點，重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．①如圖1，，分別是，的中點，則______．②如圖2，，分別是，的三等分點，即，，求的長．③若，分別是，的等分點，即，，則______．【答案】(1)3(2)①；②；③【分析】（1）由，，得，根據(jù)，分別是，的中點，即得，，故；（2）①由，分別是，的中點，知，，即得，故；②由，，知，，即得，故；③由，，知，，即得，故．【詳解】（1）解：，，，，分別是，的中點，，，；故答案為：；（2）解：①，分別是，的中點，，，，，；故答案為：；②，，，，，，；③，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了線段的中點、線段的和差，解題的關鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．21．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）已知：射線在內(nèi)部，平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作平分，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，當時，作射線的反向延長線，在的下方，且，反向延長射線得到射線，射線在內(nèi)部，是的平分線，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）通過角平分線的定義計算即可證明；（2）通過角平分線的定義計算即可證明；（3）設，，通過角平分線的定義以及垂直的定義求得，，計算得出，等，再求得，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∴；（2）證明：∵平分，∴，∴=；（3）解：設，，∵平分，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，即，，，∵，平分，∴，，∵，∴，∵是的平分線，∴，∵反向延長射線得到射線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查的是角平分線的含義，垂直的定義，角的和差運算，一元一次方程的應用，理解題意，利用方程思想解決問題是解本題的關鍵．22．（2023秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）若將（1）中的條件“平分，平分”改為“，”，且，求的度數(shù)；（3）如圖2，若、在的外部時，平分，平分，當，時，猜想：與的大小有關系嗎？如果沒有，指出結論并說明理由．【答案】（1）（2）（3）沒有關系，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線性質可求，根據(jù)即可解答；（2）由題意可得進而求出；（3）根據(jù)角平分線性質可得，，進而求出．【詳解】解：（1）∵平分，平分，∴，，∴，；（2）∵，，，∴，∴；（3）與的大小無關．理由：∵，，∴，∵是的平分線，是的平分線，∴，，∴，即．【點睛】此題考查了角的計算，以及角平分線，解決本題的關鍵是利用角的和與差．23．（2023秋·河北邢臺·七年級校聯(lián)考期末）已知，平分，平分．

(1)如圖1，當，重合時，求的度數(shù)；(2)如圖2，當在內(nèi)部時，若，求的度數(shù)；(3)當和的位置如圖3時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求解，，可得答案；（2）先求解，，再證明，，結合角的和差運算可得答案；（3）設，可得，證明，，再利用角的和差關系可得答案．【詳解】（1）解：∵，，重合，平分，平分．∴，，∴；（2）∵在內(nèi)部，，，∴，，∵平分，平分．∴，，∴．（3）設，，∴，∵平分，平分．，∴，，∴．【點睛】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，熟練利用角的和差運算進行計算是解本題的關鍵．24．（2023·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究【背景知識】如圖甲，已知線段，，線段在線段上運動，E，F(xiàn)分別是，的中點．(1)若，則

；(2)當線段在線段上運動時，試判斷的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出的長度，如果變化，請說明理由；【類比探究】(3)對于角，也有和線段類似的規(guī)律．如圖乙，已知在內(nèi)部轉動，，分別平分和，若度，度，求．【答案】(1)(2)不變，．(3)．【分析】（1）根據(jù)線段中點分別求解，，從而可得的長度；（2）根據(jù)，再根據(jù)中點進行推導即可；（3）根據(jù)再結合角平分線進行計算．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵E，F(xiàn)分別是，的中點，∴，．∴．（2）EF的長度不變．理由如下：E，F(xiàn)分別是，的中點，∴，．∴（3）∵，分別平分和∴，．∴∵∴．【點睛】本題主要考查線段中點的含義，線段的和差，角平分線的定義，角的和差運算，熟練掌握線段中點以及角平分線的定義是解決本題的關鍵．25．（2023·江蘇七年級課時練習）（理解新知）如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“奇妙點”，（1）線段的中點這條線段的“奇妙點”（填“是”或“不是”）（2）（初步應用）如圖②，若，點N是線段CD的“奇妙點”，則；（3）（解決問題）如圖③，已知，動點P從點A出發(fā)，以速度沿AB向點B勻速移動，點從點B出發(fā)，以的速度沿BA向點A勻速移動，點P、同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止．設移動的時間為t，請求出為何值時，A、P、三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的“奇妙點”．【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）當點P為AQ的“奇妙點”時，或4或；當點Q為AP的“奇妙點”時，或6或．【分析】（1）根據(jù)線段的中點平分線段長的性質，以及題目中所給的“奇妙點”的定義，進行判斷即可．（2）由“奇妙點”定義，此題分為三種情況，情況1：，即N為CD的中點；情況2：，即N為靠近C點的三等分點；情況3：，即N為靠近D點的三等分點，根據(jù)以上三種情況，分別求出CN的長度．（3）由題意可知，A不可能是“奇妙點”，故此題分兩大類情況，情況1：當P、Q未相遇之前，P是“奇妙點”時，根據(jù)第（2）題的思路，又可以分為3種情況，根據(jù)每種情況，利用線段長度關系列方程，分別求出對應時間；情況2：當P、Q相遇之后，Q是“奇妙點”時，同樣根據(jù)第（2）題的思路，又分成3種情況討論，利用線段長度關系列方程，求出每種情況對應的時間．【詳解】（1）由線段中點的性質可知：被中點平分的兩條線段長度是線段總長的一半，根據(jù)“奇妙點”定義可知：線段的中點是“奇妙點”．故答案是：是；（2）是線段CD的“奇妙點”根據(jù)定義，此題共分為三種情況．當，即N為CD的中點時，有CN=12cm．當，即N為靠近C點的三等分點時，有CN=8cm．當，即N為靠近D點的三等分點時，有CN=16cm．故答案為：8或12或16．（3）解：由題意可知，A點不可能是“奇妙點”，故P或Q點是“奇妙點”．t秒后，，．當P點是“奇妙點”時，．由“奇妙點”定義可分三種情況．當時，有解得當時，有解得當時，有解得當Q點是“奇妙點”時，．當時，有解得當時，有解得當時，有解得綜上所述：當點P為AQ的“奇妙點”時，或4或；當點Q為AP的“奇妙點”時，或6或．【點睛】本題屬于新定義題，主要是考察了線段中點、線段長度、列方程等知識點，本題討論情況較多，從側面考察了數(shù)學中比較重要的分類討論思想，根據(jù)題意，能夠正確地進行分類討論，把每一種情況列舉完全，是解決該題的關鍵．26．（2022·廣東茂名·七年級期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分別平分∠AOC、∠BOD．（1）如圖1，OC在∠AOB內(nèi)部時，∠AOD+∠BOC＝，∠BOD﹣∠AOC＝；（2）如圖2，OC在∠AOB內(nèi)部時，求∠MON的度數(shù)；（3）如圖3，∠AOB，∠COD的邊OA、OD在同一直線上，將∠AOB繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉直至OB邊第一次與OD邊重合為止，整個運動過程時間記為t秒．若∠MON＝5∠BOC時，求出對應的t值及∠AOD的度數(shù)．【答案】（1）150°，30°；（2）135°；（3）或【分析】（1）根據(jù)角平分線定義計算（2）根據(jù)角平分線定義和角的和差運算．（3）根據(jù)角的旋轉變化列式計算即可．【詳解】解：（1）∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°，∠BOD﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°；（2）∵OM、ON分別平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC，∠BOD．∴∠MON＝（∠AOB﹣∠BOC+∠COD﹣∠BOC）+∠BOC＝．（3）當∠AOB，∠COD的邊OA、OD在同一直線上時，∠AOD為平角，∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∠BOD＝90°+30°＝120°．30÷3＝10（秒），120÷3＝40（秒）．當0≤t≤10時，，由(2)可知．∴5（30﹣3t）＝75時t＝5．∠AOD＝180﹣3t＝165°．當10＜t≤30時，∠BOC＝3（t﹣10）°，，∴75＝5×3（t﹣10），t＝15，此時∠AOD＝180﹣3t＝135°．【點睛】本題考查了角平分線相關知識及角的計算，掌握角的和差關系，注意分類討論是解題的關鍵．27．（2023·江蘇·七年級專題練習）如圖1，射線OC在的內(nèi)部，圖中共有3個角：、、，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是的“定分線”．（1）一個角的平分線_________這個角的“定分線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，若，且射線PQ是的“定分線”，則________(用含a的代數(shù)式表示出所有可能的結果）；（3）如圖2，若=48°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒8°的速度逆時針旋轉，當PQ與PN成90°時停止旋轉，旋轉的時間為t秒；同時射線PM繞點P以每秒4°的速度逆時針旋轉，并與PQ同時停止．當PQ是的“定分線”時，求t的值．【答案】（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根據(jù)“定分線”定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”即可求解；（3）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”列出方程求解即可．【詳解】解：（1）當OC是角∠AOB的平分線時，∵∠AOB=2∠AOC，∴一個角的平分線是這個角的“定分線”；故答案為：是；（2）∵∠MPN=分三種情況①∵射線PQ是的“定分線”，∴=2=，∴=，②∵射線PQ是的“定分線”，∴=2，∵∠QPN+∠QPM=，∴3=，∴=，③∵射線PQ是的“定分線”，∴2=，∵∠QPN+∠QPM=，∴3∠QPN=，∴∠QPN=，∴∠QPM=，∴∠MPQ=或或；故答案為：或或；（3）依題意有三種情況：①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=2.4(秒)；②∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=4(秒)；③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+45），解得：t=6(秒)，故t為2.4秒或4秒或6秒時，PQ是∠MPN的“定分線”．【點睛】本題考查了一元一次方程的幾何應用，“定分線”定義，學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“定分線”的定義并分情況討論是解題的關鍵．

專題01.雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型線段與角度是初中幾何的入門知識，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部分的線段雙中點模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。模型1.

線段的雙中點模型圖1圖21）雙中點模型（兩線段無公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.2）雙中點模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.例1．（2023·廣東七年級期中）如圖，是的中點，是的中點，若，，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┤鐖D，線段，長度為2的線段在線段上運動，分別取線段、的中點、，則．例3．（2022秋·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點是的中點，點是的中點，現(xiàn)給出下列等式：①，②，③，④．其中正確的等式序號是．例4．（2022秋·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）線段，是的中點，是的中點，是的中點，是的中點，依此類推……，線段的長為．例5．（2022秋·山東青島·七年級?？计谀┲本€l上有三點A、B、C，其中，，M、N分別是、的中點則的長是．例6．（2023·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段上，點M是的中點，點N是的中點．(1)若，求的長；(2)若，，求的長；(3)若，求的長．例7．（2022秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點在線段上，，，點、分別是、的中點．(1)求線段的長；(2)若點在線段的延長線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．例8．（2022春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）材料閱讀：當點在線段上，且時，我們稱為點在線段上的點值，記作．如點是的中點時，則，記作；反過來，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點、分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，運動速度均為，當點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為，請用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關系．拓展運用：(3)已知線段，點、分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，若點、的運動速度分別為和，點到達點后立即以原速返回，點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為．則當為何值時，等式成立．例9．（2022·貴州銅仁·七年級期末）如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度．（2）根據(jù)第（1）題的計算過程和結果，設AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動．設點P的運動時間為t（s）．當C、P、Q三點中，有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，直接寫出時間t．模型2.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：.2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結論：.例1．（2022秋·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，是內(nèi)部的一條射線，、分別是、的角平分線．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（填序號）．

例3．（2023·河南·七年級校聯(lián)考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數(shù)是．

例4．（2022秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請從A，B兩題中任選一題作答．A．當∠BOC＝30°時，∠EOD的度數(shù)為．B．當∠BOC＝α°時，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．例5．（2023·江蘇無錫·七年級?？计谀┙獯痤}：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）例6．（2022秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，在的內(nèi)部畫射線，射線把分成兩個角，分別為和，若這兩個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數(shù)為__________．(2)如圖2，已知，過點O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數(shù)（）．例9．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點是直線上一點，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．課后專項訓練1．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）在直線上任取一點A，截取，再截取，則的中點與的中點之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或2．（2023秋·海南·七年級統(tǒng)考期末）已知線段，點是直線上一點，，若是的中點，是的中點，則線段的長度是（

）A． B． C．或 D．或3．（2023秋·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上兩點，M、N分別是線段的中點，下列結論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④4．（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀┤鐖D，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．5．（2023秋·廣西·七年級專題練習）如圖，在數(shù)軸上，O是原點，點A表示的數(shù)是4，線段（點B在點C的左側）在直線上運動，且．下列說法正確的是（）甲：當點B與點O重合時，；乙：當點C與點A重合時，若P是線段延長線上的點，則；丙：在線段運動過程中，若M，N為線段的中點，則線段的長度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙6．（2023秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（

）．

A． B． C． D．7．（2023秋·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或8．（2023秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．9．（2023吉林七年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列說法正確的是（

）A．圖中只有兩個120°的角 B．圖中只有∠DOE是直角C．圖中∠AOC的補角有3個 D．圖中∠AOE的余角有2個10．（2023秋·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結論個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．（2022秋·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點、、表示的數(shù)分別是，，1，且點為線段的中點，點為原點，點在數(shù)軸上，點為線段的中點．、為數(shù)軸上兩個動點，點從點向左運動，速度為每秒1個單位長度，點從點向左運動，速度為每秒3個單位長度，、同時運動，運動時間為．有下列結論：①若點表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點是線段的中點；其中正確的有．（填序號）12．（2023秋·安徽六安·七年級?？计谀┤鐖D，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．13．（2023春·四川達州·七年級校考階段練習）已知點A、B、C都在直線l上，點C是線段的三等分點，D、E分別為線段中點，直線l上所有線段的長度之和為91，則．14．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎€段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，M為的中點，N為的中點，線段的長為b，則線段的長為（用a，b的式子表示）．15．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C，D在線段上，P，Q分別是的中點，若，則．16．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知有理數(shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點O是原點，點A所對應的數(shù)是a，線段在直線上運動（點B在點C的左側），