2023學年石家莊二中高一數(shù)學上學期期末考試卷附答案解析

學年石家莊二中高一數(shù)學上學期期末考試卷（時間120分鐘，分值150分）一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.2.若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.3.已知，且，則的值是A. B. C. D.4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù)，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.6.設，則（）A. B.C D.7.定義：如果函數(shù)y＝f（x）在定義域內給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足，則稱函數(shù)y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個均值點，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點，現(xiàn)有函數(shù)f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若的最小值為0，則（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.C.的最小值是2 D.10.設函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結論正確的是（）A. B.點是函數(shù)的一個對稱中心C.在上為增函數(shù) D.方程僅有6個實數(shù)根11.已知函數(shù)，下列四個命題正確的是（）A.函數(shù)的單調遞增區(qū)間是B.若，其中，則C.若值域為R，則D.若，則12.已知函數(shù)將的圖象上所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則下列說法正確的是（）A.的圖象關于對稱B.在上單調遞減C.的解集為D.方程上有且只有兩個相異實根三、填空題：本題4個小題，每小題5分（16第一空2分，第二空3分），共20分．13.函數(shù)（，且）的圖象過定點A，則點A的坐標是________．14.函數(shù)的最小正周期是______．15.已知，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則取值范圍是________．16.已知函數(shù)在區(qū)間上單調，且滿足______；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則取值范圍為______．四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知關于的不等式.（1）該不等式的解集為，求；（2）若，求此不等式的解集.18.（1）計算：：（2）已知是第三象限角，且①求的值；②求的值．（3）化簡：．19.已知函數(shù)．（1）求的圖象的對稱中心、對稱軸、單調遞增區(qū)間；（2）當時，求的最值．（3）當時，關于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．20.某創(chuàng)業(yè)團隊擬生產A、B兩種產品，根據(jù)市場預測，A產品的利潤與投資額成正比（如圖1），B產品的利潤與投資額的算術平方根成正比（如圖2），（注：利潤與投資額的單位均為萬元）（1）分別將A、B兩種產品的利潤、表示為投資額x的函數(shù)；（2）該團隊已籌集到10萬元資金，并打算全部投入A、B兩種產品的生產，問：當B產品的投資額為多少萬元時，生產A、B兩種產品能獲得最大利潤，最大利潤為多少？21.已知定義域為的函數(shù)滿足對任意，都有.（1）求證：是奇函數(shù)；（2）設，且時，，①求證：在上是減函數(shù)；②求不等式的解集.22.已知函數(shù)（k為常數(shù)，），且是偶函數(shù).（1）求k的值；（2）設函數(shù)，若方程只有一個解，求a的取值范圍.試卷答案解析（時間120分鐘，分值150分）一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】C【分析】先化簡集合元素再求.【詳解】由，所以故選：C【點睛】易錯點點晴：要注意集合中的條件.2.若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由原命題為假命題可知其否定，使得成立是真命題，轉化為對于有解，分離可得，即可求解.【詳解】若命題“，”是假命題，所以，使得成立是真命題，即對于有解，所以，所以，因為，所以，，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D【點睛】方法點睛：若不等式（是實參數(shù)）有解，將轉化為或有解，進而轉化為或，求的最值即可.3.已知，且，則的值是A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出，再利用變角求出的值.【詳解】由，得，由，得，所以故選：D4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出，充分性成立，舉出反例，得到必要性不成立，選出正確答案.【詳解】當時，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故充分性成立，當時，滿足，但不滿足，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.已知函數(shù)，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由冪函數(shù)的奇偶性及單調性即可解得.【詳解】易知是奇函數(shù)且單調遞增，故原不等式等價于即所以，所以在任意的上恒成立，故.故選：D6.設，則（）A. B.C. D.【答案】D【分析】由誘導公式化簡，結合，判斷，結合指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調性，即可判斷的范圍，即可得答案.【詳解】由題意得，而，由于在上單調遞增，故，即，由在R上單調遞增，則，即有；由在上單調遞增，且，故，即，故，故選：D7.定義：如果函數(shù)y＝f（x）在定義域內給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足，則稱函數(shù)y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個均值點，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點，現(xiàn)有函數(shù)f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】函數(shù)是區(qū)間[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，故有在（﹣1，1）內有實數(shù)根，進而可得方程在（﹣1，1）上有根，即可求出t的取值范圍．【詳解】∵函數(shù)是區(qū)間[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，故有即在（﹣1，1）內有實數(shù)根，則有根，所以x＝1或.又1?（﹣1，1）∴方程在（﹣1，1）上有根，因為，而當時，，于.故選：A．8.已知函數(shù)，若的最小值為0，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】首先變形不等式，整理為，且存在，使得，換元后討論對稱軸和定義域的關系，列式求解.【詳解】由題意可知，當時，恒成立，且存在，使得，同除，可得，整理得因為，所以，當且僅當時，等號成立，當，即時，，不符題意；當，即時，由，解得.綜上，.故選：D二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.C.的最小值是2 D.【答案】ABD【分析】對于A，利用不等式性質即得；對于B，利用平方差公式分解因式，再逆用二倍角的余弦公式計算即得；對于C，利用基本不等式時，因等號取不到，故函數(shù)取不到最小值2；對于D，依次運用切化弦通分，輔助角公式化簡分子，再運用誘導公式和二倍角公式即可求得.【詳解】對于A項，因，利用不等式的性質可得：.故A項正確；對于B項，，故B項正確；對于C項，因，由，當且僅當時等號成立，但由可得：，顯然此方程無實數(shù)解，即取不到最小值2，故C項錯誤；對于D項，，故D項正確.故選：ABD.10.設函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結論正確的是（）A. B.點是函數(shù)一個對稱中心C.在上為增函數(shù) D.方程僅有6個實數(shù)根【答案】BCD【分析】根據(jù)和的奇偶性可推導得到，，由可判斷A；推導可得，即可判斷B；作出圖象，結合圖象即可判斷C；將解的個數(shù)轉化為與的交點個數(shù)，結合圖象即可判斷D.【詳解】為奇函數(shù)，，即，關于點對稱，為偶函數(shù)，，即，關于對稱，由，得：，，即是周期為的周期函數(shù)，對于A，，A錯誤；對于B，，即，關于點成中心對稱，B正確；對于CD，由周期性和對稱性可得圖象如下圖所示，

由圖象可知：在上單調遞增，C錯誤；方程的解的個數(shù)，等價于與的交點個數(shù)，，，結合圖象可知：與共有個交點，即有個實數(shù)解，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，下列四個命題正確的是（）A.函數(shù)的單調遞增區(qū)間是B.若，其中，則C.若的值域為R，則D.若，則【答案】ABD【分析】對于A，利用復合函數(shù)的“同增異減原則”即可求得；對于B，判斷的符號，去掉絕對值，代入化簡即得；對于C，要結合對數(shù)函數(shù)的圖象理解，要使對數(shù)型函數(shù)的值域為R，須使真數(shù)能取遍一切正數(shù)，列出不等式組求解即得；對于D，分別判斷絕對值內的對數(shù)式的符號，去絕對值，再結合的范圍，利用對數(shù)函數(shù)單調性即可比較大小.【詳解】對于A項，由可得，取，因在定義域內為減函數(shù)，而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，根據(jù)同增異減原則可知：函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，故A項正確；對于B項，因，，故由可得：，即得，則，故B項正確；對于C項，要使的值域為R，須使能取遍一切正數(shù).①當時，可以取遍一切正數(shù)，符合題意；②當時，依題意，須使，解得：.綜上可知，故C項正確；對于D項，當時，，，則，，故，，由可得：，則，即得：，故D項正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)將的圖象上所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則下列說法正確的是（）A.的圖象關于對稱B.在上單調遞減C.的解集為D.方程在上有且只有兩個相異實根【答案】AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)的性質，求出函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的性質即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點向右平移個單位長度，可得，然后橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），可得，因為的最小正周期為，所以，解得，即，因為為偶函數(shù)，所以，解得，又因為，當時，可得，所以，.對于A，當時，，所以的圖象關于對稱，故A正確；對于B，因為，所以，所以在上先單調遞減后單調遞增，故B錯誤；對于C，由，得，即，解得，所以的解集為，故C正確；對于D，由，得，即，所以即所以，解得，又因為，所以，所以方程在上有3個相異實根，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題4個小題，每小題5分（16第一空2分，第二空3分），共20分．13.函數(shù)（，且）的圖象過定點A，則點A的坐標是________．【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質即可得解.【詳解】因為（，且）的圖象過定點A，令，則，，所以點A的坐標為.故答案為：.14.函數(shù)的最小正周期是______．【答案】6【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的周期，結合圖形求解即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，顯然，即是函數(shù)的周期，在同一坐標系內作出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)的周期相同，所以函數(shù)的最小正周期是6.故答案為：615.已知，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是________．【答案】【分析】由有兩個零點可得有兩個零點，即與的圖象有兩個交點，則函數(shù)在定義域內不能是單調函數(shù)，結合函數(shù)圖象可求的范圍【詳解】有兩個零點，有兩個零點，即與的圖象有兩個交點，由可得，或①當時，函數(shù)的圖象如圖所示，此時存在，滿足題意，故滿足題意②當時，由于函數(shù)在定義域上單調遞增，故不符合題意③當時，函數(shù)單調遞增，故不符合題意④時，單調遞增，故不符合題意⑤當時，函數(shù)的圖象如圖所示，此時存在使得，與有兩個交點綜上可得，或故答案為：【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，滲透了轉化思想，數(shù)形結合、分類討論的數(shù)學思想．已知函數(shù)在區(qū)間上單調，且滿足______；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為______．【答案】①.0②.【分析】由結合函數(shù)單調性，即可確定的一個對稱中心為，即可求得；利用函數(shù)的對稱中心和單調區(qū)間，結合周期可得，求出，再結合函數(shù)零點個數(shù)，列出不等式求得，綜合，即可求得的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調，且滿足，而，,即的一個對稱中心為，故；而，故在區(qū)間上單調，設函數(shù)的最小正周期為T，則；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則恰好為第一個零點，相鄰兩個零點之間相距半個周期，故，即，解得，結合，可得的取值范圍為，故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題綜合考查了三角函數(shù)單調性、周期以及對稱性的應用，解答的關鍵在于第二空的求解時，要根據(jù)零點的個數(shù)，結合正弦函數(shù)的性質，列出關于參數(shù)的不等式，從而求解答案.四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知關于的不等式.（1）該不等式的解集為，求；（2）若，求此不等式解集.【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】分析：⑴根據(jù)不等式解集，則方程有兩根，故計算出的值⑵分類討論無解和有解時根的大小詳解：（1）由韋達定理有：；（2）.①，即時：解集為；②，即時：解集為；③，即時：解集為.點睛：本題主要考查了一元二次不等式，在含有參量的不等式中注意分類討論，得出不同情況的結果．本題較為基礎．18.（1）計算：：（2）已知是第三象限角，且①求的值；②求的值．（3）化簡：．【答案】（1）；（2）①；②；（3）．【分析】（1）運用對數(shù)換底公式、對數(shù)的運算性質、指數(shù)冪的運算性質化簡計算即得；（2）①利用三角誘導公式和同角的基本關系式化簡已知式求得，再根據(jù)角的象限確定值；②將所求的弦的二次齊次式通過構造分母化弦為切即得；（3）利用二倍角公式化單角為半角，再逆用二倍角公式，最后根據(jù)角的范圍去掉根號，化簡即得.【詳解】（1）．（2）由題意可得：①，即是第三象限角，．②是第三象限角，，（3）由，原式．19已知函數(shù)．（1）求的圖象的對稱中心、對稱軸、單調遞增區(qū)間；（2）當時，求的最值．（3）當時，關于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）對稱中心為，對稱軸方程為，單調遞增區(qū)間為（2）最小值為；最大值為2（3）【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡的表達式，結合正弦函數(shù)的性質，即可求得答案；（2）由，確定，結合正弦函數(shù)的最值，即可求得答案；（3）化簡，參變分離，可得，換元，即令，則求在上的最小值，即可求得答案.【小問1詳解】由題意，得函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為；令，解得，所以函數(shù)的對稱軸方程為；由，得，所以的單調遞增區(qū)間為.【小問2詳解】當時，，所以，當即時，函數(shù)取得最小值為；當即時，函數(shù)取得最大值為2；【小問3詳解】由題意得時，有解，而此時，即有解，只需要即可，，，令，則在上單調遞減，所以當時，，即，所以.【點睛】方法點睛：（1）本題第三問考查恒成立或有解問題，一般方法是轉化為函數(shù)的最值問題解決；（2）參變分離，當參數(shù)的系數(shù)的正負確定時，一般可采用分離參數(shù)的方法，然后可構造函數(shù)，解決問題.20.某創(chuàng)業(yè)團隊擬生產A、B兩種產品，根據(jù)市場預測，A產品的利潤與投資額成正比（如圖1），B產品的利潤與投資額的算術平方根成正比（如圖2），（注：利潤與投資額的單位均為萬元）（1）分別將A、B兩種產品的利潤、表示為投資額x的函數(shù)；（2）該團隊已籌集到10萬元資金，并打算全部投入A、B兩種產品的生產，問：當B產品的投資額為多少萬元時，生產A、B兩種產品能獲得最大利潤，最大利潤為多少？【答案】（1），（2）6.25萬元，4.0625萬元【分析】（1）設，，代入點的坐標，求出解析式；（2）設B產品的投資額為x萬元，創(chuàng)業(yè)團隊獲得的利潤為y萬元，列出，換元后，配方得到時，y取得最大值4.0625.【小問1詳解】因為A產品的利潤與投資額成正比，故設，將代入，解得：，故，因為B產品的利潤與投資額的算術平方根成正比，故設，