中考數(shù)學幾何專項沖刺專題17幾何最值之胡不歸鞏固練習（提優(yōu)）含答案及解析

幾何最值之胡不歸鞏固練習1． 如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點，過B的直線交拋物線于E，且tan∠EBA＝，有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點處覓食，則螞蟻從A到E的最短時間是s．2． 如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過點C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）證明：CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD＋OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長．3. 拋物線與軸交于點A、B（A在B的左邊），與軸交于點C，點P是直線AC上方拋物線上的一點，PF⊥軸于點F，PF與線段AC交于點E，將線段OB沿軸左右平移，線段OB的對應線段是，當?shù)闹底畲髸r，求四邊形周長的最小值，并求出對應的點的坐標.4．如圖，已知拋物線y＝（x＋2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y＝－x＋b與拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？5． （1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD＋PC的最小值和PD﹣PC的最大值；（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋PC的最小值為，PD﹣PC的最大值為．（3）如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋PC的最小值為，PD﹣PC的最大值為．6． 如圖1，拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．幾何最值之胡不歸鞏固練習1． 如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點，過B的直線交拋物線于E，且tan∠EBA＝，有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點處覓食，則螞蟻從A到E的最短時間是s．【解答】【解析】過點E作x軸的平行線，再過D點作y軸的平行線，兩線相交于點H，如圖，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，設DH＝4m，EH＝3m，則DE＝5m，∴螞蟻從D爬到E點的時間＝＝4（s）若設螞蟻從D爬到H點的速度為1單位/s，則螞蟻從D爬到H點的時間＝＝4（s），∴螞蟻從D爬到E點所用的時間等于從D爬到H點所用的時間相等，∴螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點所用時間等于它從A以1單位/s的速度爬到D點，再從D點以1單位/s速度爬到H點的時間，作AG⊥EH于G，則AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值為AQ的長，當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則A（﹣1，0），B（3，0），直線BE交y軸于C點，如圖，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，∴OC＝4，則C（0，4），設直線BE的解析式為y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直線BE的解析式為，解方程組得或，則E點坐標為，∴，∴螞蟻從A爬到G點的時間＝（s），即螞蟻從A到E的最短時間為．2． 如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過點C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）證明：CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD＋OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長．【解答】（1）見解析；（2）；（3）AB＝8【解析】（1）連接OC，如圖，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切線；（2）過點C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖，由題可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC?sin∠COH，∴h＝OC?sin60°＝OC，∴OC＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖，則∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等邊三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四邊形AOCF是菱形，∴根據(jù)對稱性可得DF＝DO．過點D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC?sin∠DCH＝DC?sin30°＝DC，∴CD＋OD＝DH＋FD．根據(jù)兩點之間線段最短可得：當F、D、H三點共線時，DH＋FD（即CD＋OD）最小，此時FH＝OF?sin∠FOH＝OF＝6，則OF＝4，AB＝2OF＝8．∴當CD＋OD的最小值為6時，⊙O的直徑AB的長為8．3. 拋物線與軸交于點A、B（A在B的左邊），與軸交于點C，點P是直線AC上方拋物線上的一點，PF⊥軸于點F，PF與線段AC交于點E，將線段OB沿軸左右平移，線段OB的對應線段是，當?shù)闹底畲髸r，求四邊形周長的最小值，并求出對應的點的坐標.【解答】【解析】在拋物線中，令，即，解得，，令，解得，，設直線AC的解析式為，將A、C兩個點坐標代入得，解得，∴直線AC的解析式為，設，∵PF⊥軸，且點E在直線AC上，點P在直線AB上方的拋物線上，，，，，，∴∠CAO＝30o，過點E作EH∥AB交y軸于點H，則EH⊥y軸且∠CEH＝∠CAO＝30o，，∵PF⊥x軸，F(xiàn)O⊥OH，EH⊥y軸，∴四邊形EFOH為矩形，，∴當時，取得最大值，此時，，∴PC∥軸，∵PF⊥軸，CO⊥軸，，∴四邊形PFOC為矩形，，作C關于軸的對稱點D，連接DB1，則B1C=B1D，過O1作OQ∥B1D且O1Q=B1D，連接DQ、PQ,PQ交軸于點G.則四邊形O1B1DQ為平行四邊形.當最小時，四邊形的周長最小，而，∴當點與G重合時，的值最小為PQ的長，∵點C、D關于軸對稱，且，，的最小值為，即四邊形的周長的最小值為，設直線PQ的解析式為，將P、Q坐標代入得，解得，，令，解得，，即.4．如圖，已知拋物線y＝（x＋2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y＝－x＋b與拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？【解答】（1）；（2）或；（3）當點F坐標為（﹣2，）時，點M在整個運動過程中用時最少.【解析】（1）拋物線y＝（x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線經(jīng)過點B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝，∴直線BD解析式為：．當x＝﹣5時，y＝，∴D（﹣5，）．∵點D（﹣5，）在拋物線y＝（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝，∴．∴拋物線的函數(shù)表達式為：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由拋物線解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，則有∠BAC＝∠PAB，如答圖2﹣1所示．設P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON＝x，PN＝y(tǒng)．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴．∴P（x，x＋k），代入拋物線解析式y(tǒng)＝（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（與點A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：．②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC＝∠PAB，如答圖2﹣2所示．設P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON＝x，PN＝y(tǒng)．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，∴．∴P（x，x＋），代入拋物線解析式y(tǒng)＝（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4）＝x＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（與點A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，，∴，解得，∵k＞0，∴，綜上所述，或．（3）方法一：如答圖3，由（1）知：D（﹣5，），如答圖2﹣2，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN＝，ON＝5，BN＝4＋5＝9，∴tan∠DBA＝，∴∠DBA＝30°．過點D作DK∥x軸，則∠KDF＝∠DBA＝30°．過點F作FG⊥DK于點G，則FG＝DF．由題意，動點M運動的路徑為折線AF＋DF，運動時間：t＝AF＋DF，∴t＝AF＋FG，即運動的時間值等于折線AF＋FG的長度值．由垂線段最短可知，折線AF＋FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．過點A作AH⊥DK于點H，則t最?。紸H，AH與直線BD的交點，即為所求之F點．∵A點橫坐標為﹣2，直線BD解析式為：，∴，∴F（﹣2，）．綜上所述，當點F坐標為（﹣2，）時，點M在整個運動過程中用時最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴當且僅當AH⊥DK時，AF＋FH最小，點M在整個運動中用時為：，∵lBD：，∴FX＝AX＝﹣2，∴F（﹣2，）．5． （1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD＋PC的最小值和PD﹣PC的最大值；（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋PC的最小值為，PD﹣PC的最大值為．（3）如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋PC的最小值為，PD﹣PC的最大值為．【解答】（1）5，5；（2），；（3），【解析】（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG＝1．∵，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，∴PD＋PC＝DP＋PG，∵DP＋PG≥DG，∴當D、G、P共線時，PD＋PC的值最小，最小值為．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD﹣PC的值最大（如圖2中），最大值為DG＝5．（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG＝4．∵，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴，∴PD＋＝DP＋PG，∵DP＋PG≥DG，∴當D、G、P共線時，PD＋的值最小，最小值為．∵PD﹣＝PD﹣PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD﹣的值最大，最大值為．（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．∵，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝，∴PD＋＝DP＋PG，∵DP＋PG≥DG，∴當D、G、P共線時，PD＋的值最小，最小值為DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD?sin60°＝，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝，∵PD﹣＝PD﹣PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD﹣的值最大（如圖2中），最大值為DG＝．6． 如圖1，拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．【解答】（1）a＝﹣，；（2）m＝2；（3）【解析】（1）令y＝0，則ax2＋（a＋3）x＋3＝0，∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），設直線AB解析式為y＝kx＋b，則，解得，∴直線