第7章　第6講　第1課時　空間的角和距離問題

第七章立體幾何第六講空間的角與距離知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究提能訓練練案[45]知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一兩條異面直線所成角的求法設兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為θ，則cosφ＝|cosθ|＝______(其中φ為異面直線a，b所成的角)．知識點二直線和平面所成角的求法如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝______.知識點三求二面角的大小1．如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝____________.2．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝_________，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．知識點四利用空間向量求距離1．點到直線的距離若能求出點在直線上的射影坐標，可以直接利用兩點間距離公式求距離．2．點到平面的距離3.線面距、面面距均可轉化為點面距進行求解．注意體積法在求點到平面距離時的應用．歸

納

拓

展雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．(

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．(

)(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角．(

)(4)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．(

)××××題組二走進教材2．(選擇性必修1P20例2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM所成的角是______.3．(選擇性必修1P44T13)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E為CD的中點，則點D1到平面AEC1的距離為______，AD1與平面AEC1所成角的余弦值為______.題組三走向高考4．(2022·全國乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．[解析]

(1)證明：因為AD＝CD，E為AC的中點，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因為AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因為E為AC的中點，所以AC⊥BE；又因為DE，BE?平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，因為AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.第一課時空間的角和距離問題考點突破·互動探究空間的距離——師生共研1.(2024·湖南師大附中月考)△ABC的三個頂點分別是A(1,－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則AC邊上的高BD長為______.52．(2024·河南摸底(節(jié)選))如圖，已知正方形ABCD是圓柱OO1的軸截面(經(jīng)過旋轉軸的截面)，點E在底面圓周上，AB＝5，AE＝4，點F是CE的中點．求點B到平面ACE的距離．解法二：體積法由解法一知AE⊥平面BCE，∴AE⊥CE，設點B到平面ACE的距離為d，解法三：向量法∵線段AB是圓O的直徑，∴AE⊥BE，以點E為坐標原點，EB，EA所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，3．(2024·湖湘名校聯(lián)合體聯(lián)考)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱DD1的中點為E，則平面EAC截正方體的外接球所得截面圓的面積為(

)C[引申]本例2中點C到平面ABF的距離為____________.名師點撥：1．向量法求點到直線距離的步驟(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量v.2．求點到平面距離常用的方法(1)定義法：通過求點P到平面垂線段的長求得點到平面的距離，而找(或作)垂線段先要找(或作)過點P的已知平面的垂面，再找(或作)它們交線的垂線．(2)平行轉移法：即通過線面平行或面面平行，轉化為其他點到平面的距離．【變式訓練】(2024·陜西商洛部分學校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F(xiàn)分別是棱A1C1，BC，AC的中點，∠ACB＝60°.(1)證明：平面ABD∥平面FEC1；(2)求點F到平面ABD的距離．空間的角——多維探究角度1異面直線所成的角A[引申]本例中若H為PC的中點，則BH與PA所成角的余弦值為______.名師點撥：1．求異面直線所成角的思路：(1)選好基底或建立空間直角坐標系；(2)求出兩直線的方向向量v1，v2；2．兩異面直線所成角的關注點：【變式訓練】(2022·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，O為底面ABCD的中心，M，N分別為棱A1D1，CC1的中點，則異面直線B1M與ON所成角的余弦值為(

)C角度2線面角[解析]

(1)證明：∵A1C⊥底面ABC，∴A1C⊥AC，A1C⊥BC.又∠ACB＝90°，∴A1C、AC、BC兩兩垂直，∴BC⊥平面ACC1A1.又BC?平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ACC1A1.又A1到平面BCC1B1的距離為1，AA1∥CC1，∴A1到CC1的距離等于C到AA1的距離為1，∴作CH⊥AA1于H，則CH＝1.又AA1＝2，A1C⊥AC，∴A1A上的中線為1，∴H為AA1的中點，即CH垂直平分AA1，∴AC＝A1C.名師點撥：1．用定義法求線面角的步驟(1)用定義法或體積法求出斜線上一點到平面的距離h；2．用向量法求線面角的步驟【變式訓練】(2023·福建莆田質(zhì)檢)在三棱錐P－ABC中，已知△ABC是邊長為8的等邊三角形，PA⊥平面ABC，PA＝14，則AB與平面PBC所成角的正弦值為(

)A角度3二面角[解析]

(1)證明：作PO⊥平面ABCD于O，∵PA＝PB＝PC，∴Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，∴OA＝OB＝OC，即O為△ABC的外心，又AB⊥BC，∴O為AB的中點，∴PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD.(2)解法一：幾何法取AB的中點E，連接DE，由AB＝2CD知O∈DE，取OD的中點H，連接QH，則QH∥PO，∴QH⊥平面ABCD，作HM⊥BC于M，解法二：向量法由AB＝BC，AB⊥BC，知OB⊥OC，∴OB、OC、OP兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系名師點撥：求二面角的方法步驟1．法向量法(1)建坐標系，確定相關點的坐標，進而確定相關向量的坐標；(2)求法向量——求二面角兩個面的法向量n1，n2；(4)下結論——結合圖形確定cosθ(θ∈[0，π])或θ的值．2．找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。?.幾何法——通過找二面角的平面角求解(1)定義法：在二面角的棱上找一特殊點，過該點在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，如圖(1)，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：過棱上任一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面的交線所形成的角即為二面角的平面角，如圖(2)，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．(3)垂線法(三垂線定理法)：過二面角的一個半平面內(nèi)一點作另一個半平面所在平面的垂線，從垂足出發(fā)向棱引垂線，利用三垂線定理即可找到所求二面角的平面角或其補角，如圖(3)，∠ABO為二面角α－l－β的平面角．【變式訓練】又∵B1M?平面AB1M，AM?平面AB1M，∴A1C1⊥平面AB1M，∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面AB1M.名師講壇·素養(yǎng)提升立體幾何中的動態(tài)問題立體幾何中的動態(tài)問題是指點、線或面位置不確定的一類開放性試題，是高考命題的熱點，常見題型有動點軌跡、角度與距離的計算、面積與體積的計算、探索性問題以及有關幾何量的最值求解等，主要考查空間幾何體的結構特征、線面的位置關系，常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等以上，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．動態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊含著某些不變的因素，因此要認真分析其變化特點，尋找不變的靜態(tài)因素，動中窺靜，靜中見動，以靜制動．求解動態(tài)范圍的選擇題、填空題，有時應把這類動態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個極端位置，即用特殊法求解范圍．對于探究存在問題或動態(tài)范圍(最值)問題，用定性分析法，比較復雜時，可以建立空間直角坐標系，引進參數(shù)，把動態(tài)問題化歸為靜態(tài)問題，具體地，可通過構建方程、函數(shù)或不等式等進行定量計算，以算促證．類型一動點問題1.(2024·福建寧德一中測試)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點O為底面ABCD的中心，點P在側面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運動．若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為(

)C[分析]

由D1O⊥OP知P在過O且垂直D1O的平面內(nèi)，又P在平面BB1C1C內(nèi)，故P的軌跡為線段，所以建系確定垂面與棱BB1、CC1的交點M，N，進而求C1到線段MN上點的距離最大值即可．2．(多選題)(2024·廣東調(diào)研)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M為DD1的中點，N為ABCD所在平面上一動點，N1為A1B1C1D1所在平面上一動點，且NN1⊥平面ABCD，則下列命題正確的是(

)ACD名師點撥：1．動態(tài)問題的一般解法2．立體幾何中軌跡問題的解法(1)利用平行、垂直關系轉化為面面交線，或把空間數(shù)量關系轉化為某平面內(nèi)的數(shù)量關系確定動點軌跡．(2)若動點與定點的連線與定直線所成角為定值，則動點形成圓錐側面，可通過分析平面與圓錐母線及軸的位置關系確定動點在該平面內(nèi)的軌跡．(3)建立直角坐標系，求得軌跡方程進行判斷．類型二翻折問題(多選題)(2024·廣東佛山S7聯(lián)考)如圖甲，在矩形ABCD