離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征+專項(xiàng)訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.4-離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征-專項(xiàng)訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】1．已知下列隨機(jī)變量：①10件產(chǎn)品中有2件次品，從中任選3件，取到次品的件數(shù)X；②一位射擊選手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，該射擊選手在一次射擊中的得分X；③一天內(nèi)的溫度X；④在體育彩票的抽獎(jiǎng)中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)X.其中X是離散型隨機(jī)變量的是()A.①②③ B．①②④C.②③④ D．③④2．若隨機(jī)變量X的分布列為X123Pa2ba則X的均值E(X)等于()A.2a＋b B．a(chǎn)＋2bC.2 D．33．已知P(X＝i)＝eq\f(i,6)(i＝1，2，3)，隨機(jī)變量Y＝2X－1，則P(Y≥3)＝()A.eq\f(1,6) B．eq\f(5,6)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)4．已知隨機(jī)變量X的分布列是X123Peq\f(1,2)eq\f(1,3)a則E(2X＋a)等于()A.eq\f(5,3) B．eq\f(7,3)C.eq\f(7,2) D．eq\f(23,6)5．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．設(shè)X為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則P(X＝2)＝________．6．隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．7．某大學(xué)志愿者協(xié)會有10名同學(xué)，成員構(gòu)成如表，表中部分?jǐn)?shù)據(jù)不清楚，只知道從這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取1名同學(xué)，該名同學(xué)的專業(yè)為數(shù)學(xué)的概率為eq\f(2,5)，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)參加社會公益活動(每名同學(xué)被選到的可能性相同).專業(yè)性別中文英語數(shù)學(xué)體育男n1m1女1111(1)求m，n的值；(2)求選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的男生的概率；(3)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中是女生或?qū)I(yè)為數(shù)學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.22．(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X012Pb－aba則當(dāng)a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)增大時(shí)()A.E(X)增大B.E(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大3．馬老師從課本上抄錄的一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如下表：X123P？?。勘M管“！”與“？”處無法完全看清，但能肯定兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同，據(jù)此，E(X)＝________．4．某公司的員工中，日生產(chǎn)件數(shù)為95的有3人，日生產(chǎn)件數(shù)為55的有2人，從這5人中任意抽取2人，則這2人的日生產(chǎn)件數(shù)之和X的方差為________．5．某學(xué)校組織知識競賽，有A，B，C三類問題，每位參加比賽的同學(xué)需要先選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，只有答對當(dāng)前的問題才有資格從下一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得10分，否則得0分：B類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分，C類問題中的每個(gè)問題回答正確得30分，否則得0分，已知小康同學(xué)能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，能正確回答C類問題的概率為0.4，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小康按照CBA的順序答題，記X為小康的累計(jì)得分，求X的分布列．(2)相比較小康自選的CBA的答題順序，小康的朋友小樂認(rèn)為按照ABC的順序答題累計(jì)得分期望更大，小樂的判斷正確嗎？并說明理由．6．一位同學(xué)分別參加了三所大學(xué)的招生筆試(各校試題各不相同)，如果該同學(xué)通過各校筆試的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且該同學(xué)參加三所大學(xué)的筆試通過與否互不影響．(1)求該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率；(2)設(shè)該同學(xué)通過筆試的大學(xué)所數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1．解析：①中，X的可能取值為0，1，2，符合要求；②中，X的可能取值為0，1，符合要求；③中，一天的溫度變化是連續(xù)的，所以X不是離散型隨機(jī)變量；④中，在體育彩票的抽獎(jiǎng)中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)是離散且隨機(jī)的，符合要求．答案：B2．解析：E(X)＝1×a＋2×2b＋3×a＝4(a＋b)，由分布列的性質(zhì)可知2a＋2b＝1，所以E(X)＝2.答案：C3．解析：由題意可知P(Y≥3)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(2,6)＋eq\f(3,6)＝eq\f(5,6).答案：B4．解析：由分布列的性質(zhì)可得eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋a＝1，解得a＝eq\f(1,6)，所以E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3)，因此E(2X＋a)＝Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2X＋\f(1,6)))＝2E(X)＋eq\f(1,6)＝2×eq\f(5,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(7,2).答案：C5．解析：由題意可知P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)6．解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).又a＝eq\f(1,3)－d，c＝eq\f(1,3)＋d，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤eq\f(1,3)－d≤eq\f(2,3)，0≤eq\f(1,3)＋d≤eq\f(2,3)，∴－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案：eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))7．解：(1)∵該名同學(xué)的專業(yè)為數(shù)學(xué)的概率為eq\f(2,5)，∴eq\f(1＋m,10)＝eq\f(2,5)，解得m＝3，∵m＋n＋6＝10，∴n＝1.(2)設(shè)事件A為“選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的男生”，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)＋1,Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,12).(3)由題意可知，這10名學(xué)生中是女生或?qū)I(yè)為數(shù)學(xué)的人數(shù)為7，X所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,120)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，故X的分布列為X0123Peq\f(1,120)eq\f(7,40)eq\f(21,40)eq\f(7,24)故E(X)＝0×eq\f(1,120)＋1×eq\f(7,40)＋2×eq\f(21,40)＋3×eq\f(7,24)＝eq\f(21,10)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(21,10)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,120)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(21,10)))eq\s\up12(2)×eq\f(7,40)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(21,10)))eq\s\up12(2)×eq\f(21,40)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(21,10)))eq\s\up12(2)×eq\f(7,24)＝eq\f(49,100).INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．解析：X的可能取值為1，2，3，4，依據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中的p1，p2，p3，p4的值，四種情形的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都為2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(D(X)).A中的方差D(X)＝0.65；B中的方差D(X)＝1.85；C中的方差D(X)＝1.05；D中的方差D(X)＝1.45.可知B的情形對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大．答案：B2．解析：由隨機(jī)變量X的分布列得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤b－a≤1，,0≤b≤1，,0≤a≤1，,b－a＋b＋a＝1，))解得b＝0.5，0≤a≤0.5，∴E(X)＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.故當(dāng)a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)增大時(shí)，E(X)增大．D(X)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a＋eq\f(1,4)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，所以當(dāng)a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))時(shí)，D(X)單調(diào)遞增，當(dāng)a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))時(shí)，D(X)單調(diào)遞減．答案：AC3．解析：設(shè)P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，則2a＋b＝1.于是E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.答案：24．解析：由題意，可得X的可能取值為190，150，110，且P(X＝190)＝eq\f(Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝150)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝110)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(0,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，則E(X)＝190×eq\f(3,10)＋150×eq\f(3,5)＋110×eq\f(1,10)＝158，所以方差D(X)＝322×eq\f(3,10)＋(－8)2×eq\f(3,5)＋(－48)2×eq\f(1,10)＝576.答案：5765．解：(1)由題意可知，X的所有可能取值為0，30，50，60，P(X＝0)＝1－0.4＝0.6，P(X＝30)＝0.4×(1－0.6)＝0.16，P(X＝50)＝0.4×0.6×(1－0.8)＝0.048，P(X＝60)＝0.4×0.6×0.8＝0.192.故X的分布列為X0305060P0.60.160.0480.192(2)由(1)可知E(X)＝0×0.6＋30×0.16＋50×0.048＋60×0.192＝18.72.若按照ABC順序答題，記Y為小樂答題的累計(jì)得分，則Y所有可能取值為0，10，30，60，P(Y＝0)＝1－0.8＝0.2，P(Y＝10)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(Y＝30)＝0.8×0.6×(1－0.4)＝0.288，P(Y＝60)＝0.8×0.6×0.4＝0.192，故E(Y)＝0×0.2＋10×0.32＋30×0.288＋60×0.192＝23.36，E(X)＜E(Y)，則小樂的判斷正確．6．解：(1)設(shè)該同學(xué)通過三所大學(xué)筆試的事件分別為A，B，C，該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率P＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(23,24)，所以該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率為eq\f(23,24).(2)由條件可知X＝0，1，2，3，P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\