423三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用424積化和差與和差化積公式課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

4.2.3-4.2.4三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用&積化和差與和差化積公式北師大版（2019）必修第二冊(cè)第四章

三角恒等變換

學(xué)習(xí)目標(biāo)理解輔助角公式的結(jié)構(gòu)形式，并能利用該公式解決三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題．02能靈活運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn).01了解利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)積化和差、和差化積兩組公式的過(guò)程.03會(huì)用積化和差、和差化積公式求值、化簡(jiǎn)和證明.04知識(shí)回顧我們上節(jié)課學(xué)習(xí)了兩角和與差的三角函數(shù)公式，一起回顧一下.

三角函數(shù)式兩角和與差的三角函數(shù)公式

解：

余弦的兩角和差可以推出類(lèi)似結(jié)論嗎

思考交流1：求函數(shù)

f(x)＝sinx＋cosx的最大值、最小值和周期.解：

∴當(dāng)

，即

時(shí)，

當(dāng)

，即

時(shí)，

f(x)的周期T＝2π.思考交流2：求函數(shù)f(x)＝asinx＋bcosx(a，b不同時(shí)為0)的最大值、最小值和周期.當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)

時(shí)，

f(x)的周期

T＝2π.利用兩角和或差的三角函數(shù)公式，可以將某些三角函數(shù)化簡(jiǎn)成為Asin(ωx＋φ)的形式，以利于研究這類(lèi)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).例7已知三個(gè)電流瞬時(shí)值的函數(shù)解析式分別是

其中

ω

為常數(shù)，t為線(xiàn)圈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間.求它們合成后的電流瞬時(shí)值的函數(shù)解析式，并求出這個(gè)函數(shù)的振幅.解：將三個(gè)電流瞬時(shí)值的函數(shù)解析式化成

f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，

由兩角和與差的正弦公式有

其中

，∴，且它的振幅是

由此可知幾個(gè)振幅和初相不同但頻率相同的正弦波之和，總是等于另一個(gè)具有相同頻率的正弦波，同時(shí)可求得這個(gè)正弦波的振幅和初相.問(wèn)題1

右邊的兩個(gè)角如何用左邊的兩個(gè)角表示？右邊的兩個(gè)角分別是左邊兩個(gè)角的和（差）的一半．問(wèn)題2

對(duì)任意兩個(gè)角，sinx＋siny應(yīng)該等于什么？

把

展開(kāi)整理，可得

思考：如何化簡(jiǎn)

問(wèn)題：如何運(yùn)用已知的公式證明sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]？你還能得出什么結(jié)論？

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，兩式相加得sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．

兩式相減得cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

問(wèn)題：利用兩角和差的余弦，你能求出cosαcosβ，sinαsinβ的表達(dá)式嗎？cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．兩式相加可得cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．

兩式相減可得sinαsinβ＝[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

知識(shí)剖析：(1)記憶口訣：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正負(fù)半余弦差.(2)任意兩角的正弦、余弦的積都可化為

的形式.若兩角的函數(shù)名同為正弦或余弦，則“f”表示余弦；若兩角的函數(shù)名一個(gè)為正弦一個(gè)為余弦，則“f”表示正弦.

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．

sinαsinβ＝[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

三角函數(shù)的積化和差例8求

的值

解：

證明：

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，兩式相加得：sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ（1）設(shè)α＋β＝x，α－β＝y(tǒng)，則

代入（1）得：sinx＋siny＝

知識(shí)剖析：(1)記憶口訣：正加正，正在前；余加余，余并肩；正減正，余在前；余減余，負(fù)正弦.(2)利用和差化積與積化和差公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)時(shí)，關(guān)鍵在于將同名稱(chēng)的正弦與余弦進(jìn)行恰當(dāng)組合.組合時(shí)遵循原則：①應(yīng)盡量使兩角的和(差)出現(xiàn)特殊角；②對(duì)于特殊角的三角函數(shù)應(yīng)求出其值.sinx＋siny＝

sinx－siny＝

cosx＋cosy＝

cosx－cosy＝

三角函數(shù)的積化和差解析：（1）例10

把下列各式化為積的形式：（1