2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項題型專題15圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題含答案及解析

專題15圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題一、考情分析圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題是近年高考的熱點,探索性問題通常為探索是否存在符合的點、直線或結(jié)果是否為定值,求解時一般是先假設(shè)結(jié)論存在,再進行推導(dǎo),有時也會出現(xiàn)探索曲線位置關(guān)系的試題,結(jié)構(gòu)不良問題時,兼顧開放性與公平性,形式不固化,問題條件或數(shù)據(jù)缺失或冗余、問題目標(biāo)界定不明確、具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)等特征,選擇不同的條件,解題的難度是有所不同的,能較好地考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.二、解題秘籍(一)解決探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題的注意事項及方法1.解決探索性問題的注意事項(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時,要開放思維,采取另外合適的方法．2．存在性問題的求解方法(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實數(shù)解,則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則,元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法．3.結(jié)構(gòu)不良問題的主要特征有：①問題條件或數(shù)據(jù)部分缺失或冗余；②問題目標(biāo)界定不明確；③具有多種解決方法、途徑；④具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)；⑤所涉及的概念、規(guī)則和原理等不確定．【例1】（2023屆江西省贛州厚德外國語學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線經(jīng)過點,兩條漸近線的夾角為,直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的方程.(2)若動直線經(jīng)過雙曲線的右焦點,是否存在軸上的定點,使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在,求實數(shù)的值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）兩條漸近線的夾角為,漸近線的斜率或,即或；當(dāng)時,由得：,,雙曲線的方程為：；當(dāng)時,方程無解；綜上所述：雙曲線的方程為：.（2）由題意得：,假設(shè)存在定點滿足題意,則恒成立；方法一：①當(dāng)直線斜率存在時,設(shè),,,由得：,,,,,,整理可得：,由得：；當(dāng)時,恒成立；②當(dāng)直線斜率不存在時,,則,,當(dāng)時,,,成立；綜上所述：存在,使得以線段為直徑的圓恒過點.方法二：①當(dāng)直線斜率為時,,則,,,,,,解得：；②當(dāng)直線斜率不為時,設(shè),,,由得：,,,,；當(dāng),即時,成立；綜上所述：存在,使得以線段為直徑的圓恒過點.【例2】（2023屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知雙曲線的右焦點為,從①虛軸長為；②離心率為2；③雙曲線的兩條漸近線夾角為中選取兩個作為條件,求解下面的問題.(1)求的方程；(2)過點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點,為坐標(biāo)原點,記面積分別為,若,求直線的方程.（注：若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.）【解析】（1）若選①②,可知解得∴C的方程為.若選①③,因為,∴∴∴C的方程為.若選②③,設(shè)遞增的漸近線的傾斜角為,可知則此時無法確定a,b,c（2）,由題意知,直線l斜率不為0,∴設(shè)直線.由得,設(shè),,則可知且恒成立,,,∴或.,∴.由,得,∴,∴,滿足或.∴直線l的方程為或.(二)是否存在型探索性問題求解此類問題一般是先假設(shè)存在,再根據(jù)假設(shè)看看能否推導(dǎo)出符合條件的結(jié)論.【例3】（2022屆天津市南開中學(xué)2高三上學(xué)期檢測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、,且也是拋物線：的焦點,為橢圓與拋物線在第一象限的交點,且．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于,兩點,問是否在軸上存在一點,使得當(dāng)變動時,總有？說明理由．【解析】（1）也是拋物線：的焦點,,,且拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè)點,,,,,,,解得,,橢圓方程為；（2）假設(shè)存在滿足設(shè),,聯(lián)立,消整理得,由韋達定理有,,其中恒成立,由顯然,的斜率存在,故,即,由,兩點在直線上,故,,代入整理有,將代入即有：,要使得與的取值無關(guān),當(dāng)且僅當(dāng)““時成立,綜上所述存在,使得當(dāng)變化時,總有．(三)探索直線是否過定點求出此類問題一般是設(shè)出直線的斜截式方程,然后根據(jù)已知條件確定的關(guān)系式,再判斷直線是否過定點.【例4】（2022屆北京市房山區(qū)高三上學(xué)期期末）已知橢圓的離心率為,分別為橢圓的上、下頂點,且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于（不與點重合）兩點,若直線與直線的斜率之和為,判斷直線是否經(jīng)過定點？若是,求出定點的坐標(biāo)；若不是,說明理由.【解析】（1）由離心率為,可得因為為橢圓的上、下頂點,且,所以即,又解得：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）直線經(jīng)過定點,證明如下：①當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè),(),由,得,則得：設(shè)則,,則所以,經(jīng)檢驗,可滿足,所以直線的方程為,即所以直線經(jīng)過定點．②當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè),,,則解得,此時直線也經(jīng)過定點綜上直線經(jīng)過定點．(四)探索結(jié)果是否為定值此類問題一般是把所給式子用點的坐標(biāo)或其他參數(shù)表示,再結(jié)合韋達定理或已知條件進行化簡,判斷化簡的結(jié)果是否為定值.【例5】（2022屆云南省三校高三聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓過點,．（1）求橢圓E的方程；（2）點是單位圓上的任意一點,設(shè),,是橢圓上異于頂點的三點且滿足．探討是否為定值？若是定值,求出該定值,若不是定值,請說明理由．【解析】（1）因為點,在橢圓上,所以,解得,,所以橢圓方程為．（2）令,,則,所以,即．又,,,所以,即y1所以y1即y12+y22=1所以,故為定值．【例6】（2022屆天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知為坐標(biāo)原點,雙曲線和橢圓均過點且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為的正方形．（1）求,的方程；（2）是否存在直線,使得與交于,兩點,與只有一個公共點,且？證明你的結(jié)論；（3）橢圓的右頂點為,過橢圓右焦點的直線與交于、兩點,關(guān)于軸的對稱點為,直線與軸交于點,,的面積分別為,,問是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由．【解析】（1）根據(jù)題意：,,以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為的正方形,邊長為故,,故,代入計算得到,,,故,.（2）假設(shè)存在直線方程滿足條件,當(dāng)直線斜率不存在時,或,代入計算得到,驗證不成立；當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,則y=kx+bx2即,,化簡得到.設(shè),,y=kx+by2?x2故x1+x2=即,即,即,化簡得到,b2故不存在直線滿足條件.（3）焦點坐標(biāo)為,易知直線方程斜率不為零,設(shè)直線方程為,,,則,x=my+1x23+y直線方程為：,取得到,,故是定值為.(六)探索直線與圓錐曲線的位置關(guān)系探索直線與圓的位置關(guān)系一般根據(jù)圓心到直線距離與圓的半徑的大小進行判斷,探索直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系一般根據(jù)判別式.【例7】已知定理：如果二次曲線與直線有兩個公共點、,是坐標(biāo)原點,則的充要條件是.（1）試根據(jù)上述定理,寫出直線與圓相交于,,坐標(biāo)原點為,且的充要條件,并求的值；（2）若橢圓與直線相交兩點、,而且,試判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說明理由.【解析】（1）由定理可知的充要條件為：,即,.（2）橢圓與直線相交兩點、,,即.圓的半徑為,又圓心到直線的距離為,,直線與圓相切.(七)探索類比問題此類問題多是橢圓與雙曲線的類比【例8】設(shè)分別為橢圓的左、右兩個焦點．(1)若橢圓C上的點到兩點的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程；(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點,求線段的中點的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點,點P是橢圓上任意一點,當(dāng)直線的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明．【解析】（1）點在橢圓C上,且到兩點的距離之和等于4,則,,解得,橢圓C的方程為；（2）,則有,設(shè),線段的中點為,則有,又K是橢圓上的動點,則有,即,即.故線段的中點的軌跡方程為（3）類似特性的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點,點P是雙曲線上任意一點,當(dāng)直線的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點P位置無關(guān)的定值．證明：設(shè),,則,,,又,則(八)不良結(jié)構(gòu)問題近年不良結(jié)構(gòu)問題,通常是要求學(xué)生從備選條件中選擇部分條件解題,選擇不同的條件,所用知識可能不同,難易程度也可能不同.【例9】在①,②,③軸時,這三個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并解答．問題：已知拋物線的焦點為F,點在拋物線C上,且______．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與拋物線C交于A,B兩點,求的面積．【解析】（1）解：選擇條件①,由拋物線的定義可得,因為,所以,解得,故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．選擇條件②,因為,所以,,因為點在拋物線C上,所以,即,解得,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．選擇條件③．當(dāng)軸時,,所以．故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：設(shè),,由（1）知．由,得,則,,所以,故．因為點F到直線l的距離,所以的面積為．三、跟蹤檢測1．（2023屆廣東省佛山市順德區(qū)高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測）已知動圓經(jīng)過點,且與直線相切,記動圓圓心的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知是曲線上一點,是曲線上異于點的兩個動點,設(shè)直線?的傾斜角分別為,且,請問：直線是否經(jīng)過定點？若是,請求出該定點,若不是,請說明理由.2．（2023屆江蘇省泰州市泰興市高三上學(xué)期期中）已知圓O：x2＋y2＝16,點A（6,0）,點B為圓O上的動點,線段AB的中點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)T（2,0）,過點T作與x軸不重合的直線l交曲線C于E、F兩點．（i）過點T作與直線l垂直的直線m交曲線C于G、H兩點,求四邊形EGFH面積的最大值；（ii）設(shè)曲線C與x軸交于P、Q兩點,直線PE與直線QF相交于點N,試討論點N是否在定直線上,若是,求出該直線方程；若不是,說明理由．3．（2023屆上海師范大學(xué)附屬嘉定高級中學(xué)高三上學(xué)期期中）己知雙曲線,過點作直線l和曲線C交于A,B兩點.(1)求雙曲線C的焦點和它的漸近線；(2)若,點A在第一象限,軸,垂足為H,連結(jié),求直線斜率的取值范圍；(3)過點T作另一條直線m,m和曲線C交于E,F兩點.問是否存在實數(shù)t,使得和同時成立.如果存在,求出滿足條件的實數(shù)t的取值集合；如果不存在,請說明理由.4．（2023屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三上學(xué)期期中聯(lián)考）設(shè)點為圓上的動點,過點作軸垂線,垂足為點,動點滿足（點、不重合）(1)求動點的軌跡方程；(2)若過點的動直線與軌跡交于、兩點,定點為,直線的斜率為,直線的斜率為,試判斷是否為定值．若是,求出該定值；若不是,請說明理由．5．（2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）已知橢圓的離心率為,過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于兩點,其中在第一象限,過作軸的垂線,垂足為,連接.當(dāng)為橢圓的右焦點時,的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若為的延長線與橢圓的交點,試問：是否為定值,若是,求出這個定值；若不是,說明理由.6．（2023屆云南省部分重點中學(xué)高三上學(xué)期10月份月考）已知拋物線：的焦點為,點在拋物線上,且．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)直線：與拋物線交于,兩點,點,若（為坐標(biāo)原點）,直線是否恒過點？若是,求出定點的坐標(biāo)；若不是,請說明理由．7．（2023屆上海市高橋中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點,動點到,的兩點的距離之和為．(1)試判斷動點的軌跡是什么曲線,并求其軌跡方程．(2)已知直線與圓交于、兩點,與曲線交于、兩點,其中、在第一象限,為原點到直線的距離,是否存在實數(shù),使得取得最大值,若存在,求出和最大值；若不存在,說明理由．8．（2022屆廣東省潮州市高三上學(xué)期期末）已知橢圓的離心率為,以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點A,B為動直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點,問：在x軸上是否存在定點E,使得為定值？若存在,試求出點E的坐標(biāo)和定值；若不存在,請說明理由．9．（2022屆河北省深州市高三上學(xué)期期末）已知拋物線,點F為C的焦點,過F的直線l交C于A,B兩點．（1）設(shè)A,B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為P,Q,線段PQ的中點為R,證明：；（2）在x軸上是否存在一點T,使得直線AT,BT的斜率之和為定值？若存在,求出點T的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．10.已知橢圓的離心率為,圓與橢圓相交于,兩點.（1）求的最小值；（2）若,分別是橢圓的上、下焦點,經(jīng)過點的直線與橢圓交于,兩點,為坐標(biāo)原點,則與的面積之和是否存在最大值？若存在,求出這個最大值及此時直線的方程；若不存在,請說明理由.11.（2022屆北京一六一中學(xué)高三12月測試）已知橢圓上一點與橢圓C的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點作x軸的垂線,設(shè)點A為第四象限內(nèi)一點且在橢圓C上（點A不在直線上）,點A關(guān)于的對稱點為,直線與C交于另一點B．設(shè)O為原點,判斷直線與直線的位置關(guān)系,并說明理由．12．（2023屆海交通大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三上學(xué)期10月月考）已知雙曲線：的右焦點為,漸近線方程為,過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點.(1)求的方程；(2)若直線的斜率為1,求線段的中點坐標(biāo)；(3)點、在上,且,.過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點.從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.①在上；②；③.13．已知橢圓C：的離心率為,點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的兩條切線交于點M（4,t）,其中,切點分別是A、B,試利用結(jié)論：在橢圓上的點處的橢圓切線方程是,證明直線AB恒過橢圓的右焦點；(3)試探究的值是否恒為常數(shù),若是,求出此常數(shù)；若不是,請說明理由．14．（2023屆四川省成都市高三上學(xué)期月考）如圖所示,已知兩點的坐標(biāo)分別為,直線的交點為,且它們的斜率之積．(1)求點的軌跡的方程;(2)設(shè)點為軸上（不同于）一定點,若過點的動直線與的交點為,直線與直線和直線分別交于兩點,當(dāng)時,請比較與大小并說明理由．15．（2023屆廣東省佛山市南海區(qū)三水區(qū)高三上學(xué)期8月摸底）在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,拋物線的焦點為F,拋物線上不同兩點M,N同時滿足下列三個條件中的兩個：①；②；③直線的方程為．(1)請分析說明兩點M,N滿足的是哪兩個條件？并求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過拋物線的焦點F的兩條傾斜角互補的直線和交拋物線于A,B,C,D,且A,C兩點在直線的下方,求證：直線的傾斜角互補并求直線的交點坐標(biāo)．

專題15圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題一、考情分析圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題是近年高考的熱點,探索性問題通常為探索是否存在符合的點、直線或結(jié)果是否為定值,求解時一般是先假設(shè)結(jié)論存在,再進行推導(dǎo),有時也會出現(xiàn)探索曲線位置關(guān)系的試題,結(jié)構(gòu)不良問題時,兼顧開放性與公平性,形式不固化,問題條件或數(shù)據(jù)缺失或冗余、問題目標(biāo)界定不明確、具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)等特征,選擇不同的條件,解題的難度是有所不同的,能較好地考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.二、解題秘籍(一)解決探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題的注意事項及方法1.解決探索性問題的注意事項(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時,要開放思維,采取另外合適的方法．2．存在性問題的求解方法(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實數(shù)解,則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則,元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法．3.結(jié)構(gòu)不良問題的主要特征有：①問題條件或數(shù)據(jù)部分缺失或冗余；②問題目標(biāo)界定不明確；③具有多種解決方法、途徑；④具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)；⑤所涉及的概念、規(guī)則和原理等不確定．【例1】（2023屆江西省贛州厚德外國語學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線經(jīng)過點,兩條漸近線的夾角為,直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的方程.(2)若動直線經(jīng)過雙曲線的右焦點,是否存在軸上的定點,使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在,求實數(shù)的值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）兩條漸近線的夾角為,漸近線的斜率或,即或；當(dāng)時,由得：,,雙曲線的方程為：；當(dāng)時,方程無解；綜上所述：雙曲線的方程為：.（2）由題意得：,假設(shè)存在定點滿足題意,則恒成立；方法一：①當(dāng)直線斜率存在時,設(shè),,,由得：,,,,,,整理可得：,由得：；當(dāng)時,恒成立；②當(dāng)直線斜率不存在時,,則,,當(dāng)時,,,成立；綜上所述：存在,使得以線段為直徑的圓恒過點.方法二：①當(dāng)直線斜率為時,,則,,,,,,解得：；②當(dāng)直線斜率不為時,設(shè),,,由得：,,,,；當(dāng),即時,成立；綜上所述：存在,使得以線段為直徑的圓恒過點.【例2】（2023屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知雙曲線的右焦點為,從①虛軸長為；②離心率為2；③雙曲線的兩條漸近線夾角為中選取兩個作為條件,求解下面的問題.(1)求的方程；(2)過點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點,為坐標(biāo)原點,記面積分別為,若,求直線的方程.（注：若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.）【解析】（1）若選①②,可知解得∴C的方程為.若選①③,因為,∴∴∴C的方程為.若選②③,設(shè)遞增的漸近線的傾斜角為,可知則此時無法確定a,b,c（2）,由題意知,直線l斜率不為0,∴設(shè)直線.由得,設(shè),,則可知且恒成立,,,∴或.,∴.由,得,∴,∴,滿足或.∴直線l的方程為或.(二)是否存在型探索性問題求解此類問題一般是先假設(shè)存在,再根據(jù)假設(shè)看看能否推導(dǎo)出符合條件的結(jié)論.【例3】（2022屆天津市南開中學(xué)2高三上學(xué)期檢測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、,且也是拋物線：的焦點,為橢圓與拋物線在第一象限的交點,且．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于,兩點,問是否在軸上存在一點,使得當(dāng)變動時,總有？說明理由．【解析】（1）也是拋物線：的焦點,,,且拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè)點,,,,,,,解得,,橢圓方程為；（2）假設(shè)存在滿足設(shè),,聯(lián)立,消整理得,由韋達定理有,,其中恒成立,由顯然,的斜率存在,故,即,由,兩點在直線上,故,,代入整理有,將代入即有：,要使得與的取值無關(guān),當(dāng)且僅當(dāng)““時成立,綜上所述存在,使得當(dāng)變化時,總有．(三)探索直線是否過定點求出此類問題一般是設(shè)出直線的斜截式方程,然后根據(jù)已知條件確定的關(guān)系式,再判斷直線是否過定點.【例4】（2022屆北京市房山區(qū)高三上學(xué)期期末）已知橢圓的離心率為,分別為橢圓的上、下頂點,且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于（不與點重合）兩點,若直線與直線的斜率之和為,判斷直線是否經(jīng)過定點？若是,求出定點的坐標(biāo)；若不是,說明理由.【解析】（1）由離心率為,可得因為為橢圓的上、下頂點,且,所以即,又解得：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）直線經(jīng)過定點,證明如下：①當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè),(),由,得,則得：設(shè)則,,則所以,經(jīng)檢驗,可滿足,所以直線的方程為,即所以直線經(jīng)過定點．②當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè),,,則解得,此時直線也經(jīng)過定點綜上直線經(jīng)過定點．(四)探索結(jié)果是否為定值此類問題一般是把所給式子用點的坐標(biāo)或其他參數(shù)表示,再結(jié)合韋達定理或已知條件進行化簡,判斷化簡的結(jié)果是否為定值.【例5】（2022屆云南省三校高三聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓過點,．（1）求橢圓E的方程；（2）點是單位圓上的任意一點,設(shè),,是橢圓上異于頂點的三點且滿足．探討是否為定值？若是定值,求出該定值,若不是定值,請說明理由．【解析】（1）因為點,在橢圓上,所以,解得,,所以橢圓方程為．（2）令,,則,所以,即．又,,,所以,即y1所以y1即y12+y22=1所以,故為定值．【例6】（2022屆天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知為坐標(biāo)原點,雙曲線和橢圓均過點且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為的正方形．（1）求,的方程；（2）是否存在直線,使得與交于,兩點,與只有一個公共點,且？證明你的結(jié)論；（3）橢圓的右頂點為,過橢圓右焦點的直線與交于、兩點,關(guān)于軸的對稱點為,直線與軸交于點,,的面積分別為,,問是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由．【解析】（1）根據(jù)題意：,,以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為的正方形,邊長為故,,故,代入計算得到,,,故,.（2）假設(shè)存在直線方程滿足條件,當(dāng)直線斜率不存在時,或,代入計算得到,驗證不成立；當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,則y=kx+bx2即,,化簡得到.設(shè),,y=kx+by2?x2故x1+x2=即,即,即,化簡得到,b2故不存在直線滿足條件.（3）焦點坐標(biāo)為,易知直線方程斜率不為零,設(shè)直線方程為,,,則,x=my+1x23+y直線方程為：,取得到,,故是定值為.(六)探索直線與圓錐曲線的位置關(guān)系探索直線與圓的位置關(guān)系一般根據(jù)圓心到直線距離與圓的半徑的大小進行判斷,探索直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系一般根據(jù)判別式.【例7】已知定理：如果二次曲線與直線有兩個公共點、,是坐標(biāo)原點,則的充要條件是.（1）試根據(jù)上述定理,寫出直線與圓相交于,,坐標(biāo)原點為,且的充要條件,并求的值；（2）若橢圓與直線相交兩點、,而且,試判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說明理由.【解析】（1）由定理可知的充要條件為：,即,.（2）橢圓與直線相交兩點、,,即.圓的半徑為,又圓心到直線的距離為,,直線與圓相切.(七)探索類比問題此類問題多是橢圓與雙曲線的類比【例8】設(shè)分別為橢圓的左、右兩個焦點．(1)若橢圓C上的點到兩點的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程；(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點,求線段的中點的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點,點P是橢圓上任意一點,當(dāng)直線的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明．【解析】（1）點在橢圓C上,且到兩點的距離之和等于4,則,,解得,橢圓C的方程為；（2）,則有,設(shè),線段的中點為,則有,又K是橢圓上的動點,則有,即,即.故線段的中點的軌跡方程為（3）類似特性的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點,點P是雙曲線上任意一點,當(dāng)直線的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點P位置無關(guān)的定值．證明：設(shè),,則,,,又,則(八)不良結(jié)構(gòu)問題近年不良結(jié)構(gòu)問題,通常是要求學(xué)生從備選條件中選擇部分條件解題,選擇不同的條件,所用知識可能不同,難易程度也可能不同.【例9】在①,②,③軸時,這三個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并解答．問題：已知拋物線的焦點為F,點在拋物線C上,且______．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與拋物線C交于A,B兩點,求的面積．【解析】（1）解：選擇條件①,由拋物線的定義可得,因為,所以,解得,故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．選擇條件②,因為,所以,,因為點在拋物線C上,所以,即,解得,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．選擇條件③．當(dāng)軸時,,所以．故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：設(shè),,由（1）知．由,得,則,,所以,故．因為點F到直線l的距離,所以的面積為．三、跟蹤檢測1．（2023屆廣東省佛山市順德區(qū)高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測）已知動圓經(jīng)過點,且與直線相切,記動圓圓心的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知是曲線上一點,是曲線上異于點的兩個動點,設(shè)直線?的傾斜角分別為,且,請問：直線是否經(jīng)過定點？若是,請求出該定點,若不是,請說明理由.【解析】（1）設(shè)動圓圓心,∵動圓經(jīng)過點,且與直線相切,∴點的軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,故其方程為,∴動圓圓心的軌跡方程是；（2）由（1）可得,當(dāng)直線?中其中一條的斜率不存在,不妨設(shè),,易得,直線的直線為,與聯(lián)立可得,故直線的方程為；當(dāng)直線?的斜率都存在時,故設(shè)直線?的斜率,設(shè)所以,同理可得,因為,所以,所以,即,所以,所以,即,由題意可設(shè)方程為,聯(lián)立,消整理得,所以,,,所以即,所以,令得,,此時有定點,綜上所述,直線經(jīng)過定點2．（2023屆江蘇省泰州市泰興市高三上學(xué)期期中）已知圓O：x2＋y2＝16,點A（6,0）,點B為圓O上的動點,線段AB的中點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)T（2,0）,過點T作與x軸不重合的直線l交曲線C于E、F兩點．（i）過點T作與直線l垂直的直線m交曲線C于G、H兩點,求四邊形EGFH面積的最大值；（ii）設(shè)曲線C與x軸交于P、Q兩點,直線PE與直線QF相交于點N,試討論點N是否在定直線上,若是,求出該直線方程；若不是,說明理由．【解析】（1）設(shè),,因為點在圓上,所以①,因為為中點,所以,整理得,代入①式中得,整理得,所以曲線的方程為.（2）（i）因為直線不與軸重合,所以設(shè)直線的方程為,即,則直線為,設(shè)曲線的圓心到直線和直線的距離分別為,,則,,所以,,所以,當(dāng)時,；當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,綜上所述,四邊形面積的最大值為7.（ii）設(shè),,聯(lián)立,得,則,,,因為曲線與軸交于,兩點,所以,,則直線的方程為,直線的方程為,聯(lián)立兩直線方程得,,所以,所以在定直線上.3．（2023屆上海師范大學(xué)附屬嘉定高級中學(xué)高三上學(xué)期期中）己知雙曲線,過點作直線l和曲線C交于A,B兩點.(1)求雙曲線C的焦點和它的漸近線；(2)若,點A在第一象限,軸,垂足為H,連結(jié),求直線斜率的取值范圍；(3)過點T作另一條直線m,m和曲線C交于E,F兩點.問是否存在實數(shù)t,使得和同時成立.如果存在,求出滿足條件的實數(shù)t的取值集合；如果不存在,請說明理由.【解析】（1）解：由曲線,可得曲線的焦點為,漸近線方程；（2）解：設(shè),因為雙曲線的漸近線為,且點在第一象限,所以,從而,所以,即直線斜率的取值范圍為；（3）解：由,得,當(dāng)一條直線斜率存在另一條直線斜率為0時,不妨取直線,直線,此時,令,則,解得,所以,因為,所以,解得,當(dāng)兩條直線斜率都存在時,不妨設(shè)且,聯(lián)立,消得,設(shè),則,則,將替換成,可得,由,可得,解得,即,此時恒成立,綜上所述,,因此滿足條件的集合為．4．（2023屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三上學(xué)期期中聯(lián)考）設(shè)點為圓上的動點,過點作軸垂線,垂足為點,動點滿足（點、不重合）(1)求動點的軌跡方程；(2)若過點的動直線與軌跡交于、兩點,定點為,直線的斜率為,直線的斜率為,試判斷是否為定值．若是,求出該定值；若不是,請說明理由．【解析】（1）設(shè)點P為,動點M為,則Q點為,,,求得：又,即點M的軌跡方程為：,（2）設(shè)直線AB方程為：,由得,

或,設(shè)A點,B點,則,求得：,的值為定值,定值為．5．（2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）已知橢圓的離心率為,過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于兩點,其中在第一象限,過作軸的垂線,垂足為,連接.當(dāng)為橢圓的右焦點時,的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若為的延長線與橢圓的交點,試問：是否為定值,若是,求出這個定值；若不是,說明理由.【解析】（1）橢圓離心率,,則,當(dāng)為橢圓右焦點時,；,解得：,,橢圓的方程為：.（2）由題意可設(shè)直線,,,則,,,直線；由得：,,則,,；,又,,則,為定值.6．（2023屆云南省部分重點中學(xué)高三上學(xué)期10月份月考）已知拋物線：的焦點為,點在拋物線上,且．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)直線：與拋物線交于,兩點,點,若（為坐標(biāo)原點）,直線是否恒過點？若是,求出定點的坐標(biāo)；若不是,請說明理由．【解析】（1）因為點在拋物線上,且,所以有,因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè),,直線方程與拋物線方程聯(lián)立,得,因為,．因為,所以,所以．則,即．當(dāng)時,,即；當(dāng)時,,符合題意,即．綜上,直線過定點．7．（2023屆上海市高橋中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點,動點到,的兩點的距離之和為．(1)試判斷動點的軌跡是什么曲線,并求其軌跡方程．(2)已知直線與圓交于、兩點,與曲線交于、兩點,其中、在第一象限,為原點到直線的距離,是否存在實數(shù),使得取得最大值,若存在,求出和最大值；若不存在,說明理由．【解析】（1）解：由題意知,,所以動點的軌跡是以,為焦點的橢圓,且,,又因為,所以,所以的軌跡方程為．（2）解：當(dāng)時,解得,又圓的半徑,所以在橢圓外,在橢圓內(nèi),點在內(nèi),在外,在直線上的四點滿足：,,由,消去整理得,因為直線經(jīng)過橢圓內(nèi)的右焦點,所以該方程的判別式恒成立,設(shè),,所以,,,又因為的直徑,所以,化為,因為為點到直線的距離,,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以時取得最大值．8．（2022屆廣東省潮州市高三上學(xué)期期末）已知橢圓的離心率為,以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點A,B為動直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點,問：在x軸上是否存在定點E,使得為定值？若存在,試求出點E的坐標(biāo)和定值；若不存在,請說明理由．【解析】（1）由離心率為,得,及,又以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓為,且與直線相切,所以,所以,,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假設(shè)存在,設(shè),聯(lián)立,消整理得,,設(shè),則,由,則,要使上式為定值,即與無關(guān),則應(yīng),即,此時為定值,所以在x軸上存在定點,使得為定值.9．（2022屆河北省深州市高三上學(xué)期期末）已知拋物線,點F為C的焦點,過F的直線l交C于A,B兩點．（1）設(shè)A,B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為P,Q,線段PQ的中點為R,證明：；（2）在x軸上是否存在一點T,使得直線AT,BT的斜率之和為定值？若存在,求出點T的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．【解析】（1）證明：設(shè),,,故可設(shè)直線l的方程為,由得,則,,由題意可知,,,則,．因為,,所以,故．（2）假設(shè)存在點滿足題意,設(shè)直線AT,BT的斜率分別為k1,k2．,,則．因為,且為常數(shù),所以,即,故存在點滿足題意．10.已知橢圓的離心率為,圓與橢圓相交于,兩點.（1）求的最小值；（2）若,分別是橢圓的上、下焦點,經(jīng)過點的直線與橢圓交于,兩點,為坐標(biāo)原點,則與的面積之和是否存在最大值？若存在,求出這個最大值及此時直線的方程；若不存在,請說明理由.【解析】（1）由,得.所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則圓心A的坐標(biāo)為(0,2).設(shè),由對稱性得,且,則由題意知－2<y0<2,所以當(dāng)y0＝時,取得最小值,最小值為.（2）由題意知F1(0,),F2(0,－),直線l的斜率一定存在.設(shè)l：y＝kx＋,M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y并整理得(4＋k2)x2＋2kx－1＝0,Δ＝(2k)2＋4(4＋k2)＝16k2＋16>0,則x1＋x2＝－,x1x2＝－.所以△OF2N與△OF2M的面積之和S＝×|x2－x1|＝×＝×＝×＝2×.令t＝1＋k2,則t≥1,所以S＝2×＝2×≤2×＝2×＝1,當(dāng)且僅當(dāng)t＝,即t＝3,k＝±時等號成立.所以當(dāng)k＝±時,△OF2N與△OF2M的面積之和取得最大值,且最大值為1,此時直線l的方程為或.11.（2022屆北京一六一中學(xué)高三12月測試）已知橢圓上一點與橢圓C的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點作x軸的垂線,設(shè)點A為第四象限內(nèi)一點且在橢圓C上（點A不在直線上）,點A關(guān)于的對稱點為,直線與C交于另一點B．設(shè)O為原點,判斷直線與直線的位置關(guān)系,并說明理由．【解析】（1）∵,∴,又∵焦點三角形的周長為,故,解得故橢圓的方程為：.（2）（1）由題意的：,解得,橢圓的方程為（2）直線與直線平行,證明如下：由題意,直線的斜率存在且不為零關(guān)于對稱,則直線與斜率互為相反數(shù)設(shè)直線,設(shè),由,消去得∴∴同理,又故直線與直線平行12．（2023屆海交通大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三上學(xué)期10月月考）已知雙曲線：的右焦點為,漸近線方程為,過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點.(1)求的方程；(2)若直線的斜率為1,求線段的中點坐標(biāo)；(3)點、在上,且,.過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點.從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個