分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題入門12

分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題入門（12）量不變法——抓住不變量有些分?jǐn)?shù)（倍比關(guān)系）應(yīng)用題，由于某些數(shù)量的變化，引起數(shù)量之間的倍數(shù)（比率）也發(fā)生變化，解題時(shí)，我們可在變化的數(shù)量中尋找不變的數(shù)量作為突破口，從而找到數(shù)量變化和比率變化的關(guān)系，這種以靜制動(dòng)、以不變應(yīng)萬變的解題方法叫做量不變法。此專題重點(diǎn)討論以下三種情形：部分量不變、和不變、差不變；暫不涉及商不變、積不變問題。部分量不變例1：某班女生人數(shù)是男生的，后來轉(zhuǎn)走2名男生，這時(shí)男生人數(shù)是女生的1倍，女生有多少人？解法1：【分析與解】根據(jù)題意，男生人數(shù)、學(xué)生總?cè)藬?shù)都發(fā)生變化，但女生人數(shù)不變，可以確定女生人數(shù)為單位“1”?！吲藬?shù)是男生的，∴原來男生人數(shù)是女生的4÷3＝轉(zhuǎn)走2名男生后,現(xiàn)在男生人數(shù)是女生的1倍，男生人數(shù)是女生的變?yōu)?，2名男生相當(dāng)于女生人數(shù)的（－1）,求單位“1”（1倍數(shù)）女生人數(shù)用除法。根據(jù):少的量(2名男生)÷少的比率=單位“1”的量(女2÷（－1）＝2÷=2×=15（人）答：女生有15人。反思：把不變量視為單位“1”，找出數(shù)量差與對(duì)應(yīng)的比率差，用除法求單位“1”的量。公式：單位“1”(1倍)的量=數(shù)量差÷比率差解法2：【分析與解】把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成比，把比當(dāng)份數(shù)，也不失為是一種好的解題方法。在把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成比的時(shí)候，一定要注意統(tǒng)一比的前后項(xiàng)?！吲藬?shù)是男生的，轉(zhuǎn)走2名男生后，這時(shí)男生人數(shù)是女生的1倍∴原來男生人數(shù)：女生人數(shù)=4：3現(xiàn)在男生人數(shù)：女生人數(shù)=1=6：5“轉(zhuǎn)走2名男生”，女生人數(shù)是不變的，可為什么原來女生是3份而現(xiàn)在是5份呢？那是因?yàn)樵瓉砗同F(xiàn)在分配的時(shí)候女生每份的人數(shù)不一樣了，所以我們要把女生每份的人數(shù)變成一樣的，由此，我們可列出一個(gè)比例式：原來男生人數(shù)：女生人數(shù)=4：3=（4×5）：（3×5）=20：15現(xiàn)在男生人數(shù)：女生人數(shù)=6：5=（6×3）：（5×3）=18：15現(xiàn)在，女生人數(shù)每份的人數(shù)一樣了，男生從原來的20份變成了18份，少了2份，就是因?yàn)槟猩D(zhuǎn)走了2人。用2÷（20－18）=1（人），求出一份的人數(shù)，一份有1人，所以女生人數(shù)就為：1×15=15（人）。答：（略）解法3：∵女生人數(shù)是男生的，∴設(shè)男生原有4K人，則女生為3K人；則（4K－2）：3K＝1=6:55（4K－2）＝3K×6K＝5∴女生有3K＝15（人）答：（略）反思：請(qǐng)比較上述不同的解題方法，并理解掌握其中一種解題方法。例2：某學(xué)校六年級(jí)上學(xué)期有54名學(xué)生，男生占學(xué)生總?cè)藬?shù)的5/18，本學(xué)期轉(zhuǎn)進(jìn)一些男生后，男生占學(xué)生總?cè)藬?shù)的2/5，問轉(zhuǎn)進(jìn)多少男生？【分析與解】根據(jù)題意，男生人數(shù)、學(xué)生總?cè)藬?shù)都發(fā)生變化，但女生人數(shù)不變，所以把女生人數(shù)視為單位“1”。∵本學(xué)期女生人數(shù)=上學(xué)期女生人數(shù)（等量關(guān)系是本質(zhì)）∴本學(xué)期總?cè)藬?shù)×（1-2/5）=上學(xué)期總?cè)藬?shù)54人×（1-5/18）（搭橋過渡可求本學(xué)期總?cè)藬?shù)）∴54×（１－5/18）÷（１－2/5）=65（人）………………本學(xué)期總?cè)藬?shù)本學(xué)期總?cè)藬?shù)-上學(xué)期總?cè)藬?shù)=本學(xué)期轉(zhuǎn)進(jìn)男生人數(shù)即：65－54=11（人）。答：（略）反思：抓住不變量“搭橋”過渡解答問題。（想一想：還有其它解法嗎？）和不變例3：甲乙兩人在銀行都有存款，其中乙的存款數(shù)是甲的3/5，若甲從中取出1200元存入乙的銀行賬戶，這時(shí)乙的存款數(shù)是甲的2/3，問甲原來存款多少元？解法1：【分析與解】根據(jù)題意，甲乙兩人的存款數(shù)都發(fā)生變化，但甲乙存款數(shù)的總和不變，可以把甲乙存款總和視為單位“1”。已知其中乙的存款數(shù)是甲的3/5，則乙的存款數(shù)是甲乙存款總和的3/（5+3）；甲取出1200元存入乙的銀行賬戶后，乙的存款數(shù)是甲的2/3，則乙的存款數(shù)是甲乙存款總和的2/（3+2）。乙增加1200元存款，乙的存款數(shù)就由甲乙存款總和的3/8增加到2/5；即乙增加1200元存款，就實(shí)際增加甲乙存款總和的（2/5－3/8），求單位“1”甲乙存款總和，用除法。根據(jù):增加的量÷增加的比率=單位“1”的量(甲乙存款總和1200÷（2/5－3/8）=1200×40=48000（元）∵乙的存款數(shù)是甲的3/5，∴甲原來存款數(shù)占甲乙存款總和的5/（5+3）48000×5/8=30000（元）綜合算式：1200÷（－）×=1200÷×5/8=1200×40×5/8=30000（元）答：甲原來存款30000元。解法2：【分析與解】根據(jù)題意，甲乙兩人的存款數(shù)都發(fā)生變化，但是甲乙兩人存款總和是不變的，那么我們就可以利用這一不變量來解題，原來甲、乙一共有8份，現(xiàn)在一共有5份，再把每份的錢數(shù)變成一樣的。原來甲的錢數(shù)：乙的錢數(shù)=5：3=（5×5）：（3×5）=25：15現(xiàn)在甲的錢數(shù)：乙的錢數(shù)=3：2=（3×8）：（2×8）=24：16甲取出1200元存入乙的銀行賬戶后，甲少了1200元，也就少了25－24=1（份），也可以利用乙來做：乙多了1200元，就多了16－15=1（份）。這一份就是1200（1200÷1）元。求甲原有多少元便用1200×25=30000（元）。答：（略）解法3：∵乙的存款數(shù)是甲的3/5，∴設(shè)甲原有存款5K元，乙為3K元；甲取出1200元存入乙的銀行賬戶后，乙的存款數(shù)是甲的2/3則：（5K－1200）：（3K＋1200）＝3:22（5K－1200）＝3（3K＋1200）K＝6000故甲原有存款數(shù)5K＝30000（元）答：（略）解法4：∵乙的存款數(shù)是甲的3/5，∴設(shè)甲原有存款5K元，乙為3K元；甲取出1200元存入乙的銀行賬戶后，乙的存款數(shù)是甲的2/3，則乙的存款數(shù)是甲乙存款總和的2/（3+2）則：（5K－1200）：（5K＋3K）＝3:（3＋2）5（5K－1200）＝8K×3K＝6000故甲原有存款數(shù)5K＝30000（元）答：（略）反思：一題多解旨在開闊思路，活躍思維。請(qǐng)比較上述不同的解題方法，并理解掌握其中一種解題方法。例4：某工廠第一車間的人數(shù)是第二車間的2/3

，如果從第一車間調(diào)10人到第二車間，那么第一車間的人數(shù)是第二車間的3/5，第一、二車間原來各有多少人？【分析與解】根據(jù)題意，兩個(gè)車間的人數(shù)在變化，但兩個(gè)車間的總?cè)藬?shù)不變，可以把兩車間總?cè)藬?shù)視為單位"1"。由“第一車間的人數(shù)是第二車間的2/3”可得：原來第一車間人數(shù)是兩車間總?cè)藬?shù)的2/（3+2）

；由“第一車間的人數(shù)是第二車間的3/5”可得：現(xiàn)在第一車間人數(shù)是兩車間總?cè)藬?shù)的3/（5+3）。∴第一車間減少的10人占兩車間總?cè)藬?shù)的（2/5

-3/8），求單位“1”兩車間總?cè)藬?shù)用除法。根據(jù):減少的量÷減少的比率=單位“1”的量(兩車間總?cè)藬?shù)10÷1/40=400（人）第一車間的人數(shù)：400×2/5=160（人）

第二車間人數(shù)：400-160=240（人）答：第一、二車間原來各有160人和240人。（想一想：還有其它解法嗎？）差不變例5：小明5歲的時(shí)候，爸爸31歲，等小明長大考上大學(xué)的時(shí)候，小明的年齡是爸爸年齡的9/22，問小明考上大學(xué)的時(shí)候爸爸幾歲？【分析與解】根據(jù)“小明的年齡是爸爸年齡的9/22”，把爸爸的年齡視為單位“1”。小明在長大，爸爸在變老，唯一不變的，是兩個(gè)人的年齡差。爸爸和小明永遠(yuǎn)相差26歲，相差26歲相當(dāng)于單位“1”的（1-9/22），求單位“1”爸爸的年齡，用除法。根據(jù)單位“1”的量=多的量÷多的率26÷（1-9/22）=26×22/13=44（歲）答：小明考上大學(xué)的時(shí)候爸爸44歲。反思：差不變問題，關(guān)鍵是找出數(shù)量差和與之對(duì)應(yīng)的比率差，用除法求單位“1”的量。公式：單位“1”的量=數(shù)量差÷比率差（想一想：還有其它解法嗎？）例6．培英小學(xué)六年級(jí)有兩個(gè)班，六年一班有學(xué)生48人，六年二班有學(xué)生56人，兩個(gè)班各轉(zhuǎn)出相同的人數(shù)后，六年二班人數(shù)還比六年一班人數(shù)多2/11，兩個(gè)班各轉(zhuǎn)出多少人？【分析與解】兩個(gè)班各轉(zhuǎn)出相同的人數(shù)后，六年二班人數(shù)還比六年一班人數(shù)多2/11，所以把轉(zhuǎn)出后的六年一班人數(shù)視為單位“1”?！邇蓚€(gè)班各轉(zhuǎn)出的人數(shù)相同，∴轉(zhuǎn)出前后兩個(gè)班的人數(shù)都發(fā)生了變化，但兩班人數(shù)的差始終不變，即兩班人數(shù)相差56－48＝8（人）。也就是說，兩個(gè)班各轉(zhuǎn)出相同的人數(shù)后，六年二班人數(shù)比六年一班人數(shù)多2/11，實(shí)際多了8人，因此，求單位“1”轉(zhuǎn)出后六年一班人數(shù)用除法。根據(jù)單位“1”的量=多的量÷多的率轉(zhuǎn)出后六年一班人數(shù):8÷2／11＝44（人）轉(zhuǎn)出人數(shù):48－44＝4（人）答：兩個(gè)班各轉(zhuǎn)出4人。思考題：（1）有兩種糖放在一起，其中軟糖占，再放入16塊硬糖以后，軟糖占兩種糖總和的，求軟糖有多少塊？（2）有科技書和文藝書共360本，其中科技書占總數(shù)的1/9，現(xiàn)在又買來一些科技書，此時(shí)科技書占總數(shù)的1/6。又買來多少本科技書？（3）將的分子和分母減去同一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后為。分子和分母同時(shí)減去幾？（4）建筑工地有兩堆磚，一共有2000塊，其中第二堆占，第一次只用了第一堆磚的一部分，第一次用后第一堆磚占總塊數(shù)的。第一次用了多少塊磚？（5）班級(jí)圖書角的文藝書是科普書的，又買來21本科普書，這時(shí)文藝書的本數(shù)是科普書的。圖書角里現(xiàn)在有科普書多少本？（6）乙隊(duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)的。現(xiàn)在甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)，則乙隊(duì)人數(shù)是甲隊(duì)的。甲隊(duì)原來有多少人？乙隊(duì)原來有多少人？（7）弟弟的錢數(shù)是姐姐的。姐姐和弟弟都買了一個(gè)40元的機(jī)器貓后，這時(shí)弟弟的錢數(shù)是姐姐的。姐姐原來有錢多少元？弟弟原來有錢多少元？（8）在閱覽室里，女生占全室人數(shù)的1/3，后來又進(jìn)來5名女生，這時(shí)女生占全室人數(shù)的5/13，閱覽室原有多少人？（9）小明看一本課外讀物，讀了幾天后，已讀的頁數(shù)是剩下頁數(shù)的，后來他又讀了20頁，這時(shí)已讀的頁數(shù)是剩下頁數(shù)的，這本課外讀物共有多少頁？（10）兄弟三人合買一臺(tái)彩電，老大出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的，老二出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的，老三比老二多出400元。問這臺(tái)彩電多少錢？（11）甲乙兩個(gè)倉庫共有水泥180噸，如果甲把它的1/3給乙，甲還比乙多10噸，甲乙原來各有多少噸？（12）甲乙兩個(gè)倉庫共有水泥180噸，如果甲把它的1/3給乙，甲還比乙多1/5，甲乙原來各有多少噸？（13）某校五年級(jí)學(xué)生參加大掃除的人數(shù)是未參加的1/4，后來又有2個(gè)同學(xué)主動(dòng)參加，實(shí)際參加的人數(shù)是未參加人數(shù)的1/3，問某班五年級(jí)有學(xué)生多少人?（14）煤氣收款員到一幢樓里收煤氣差價(jià)款，他走出樓時(shí)一算，沒交款的戶數(shù)占已交款戶數(shù)的1/8。如果少收2戶，則沒交款的戶數(shù)恰好占已交款戶數(shù)的1/6，這幢樓有多少住戶?（15）甲、乙兩人原有錢的比是3：4，后來甲又給乙50元，這時(shí)甲錢是乙的1/2，原來兩人各有多少元錢?（16）小明放一群鴨子，岸上的只數(shù)是水中的3/4，從水中上岸9只后，水中的只數(shù)與岸上的只數(shù)同樣多，這群鴨子有多少只?（17）有兩根蠟燭，一根長8厘米，另一根長6厘米。把兩根都燃燒掉同樣長的部分后，短的一根剩下的長度是長的一根剩下長度的3/5，每段燃燒掉了多少厘米？（18）A、B兩種商品價(jià)格比為7：3，如果他們的價(jià)格分別上漲70元，他們的價(jià)格比為7：4，原來A、B的價(jià)格各是多少？解法1：【分析與解】這道題要抓住一個(gè)關(guān)鍵：A、B兩種商品價(jià)格分別上漲70元，那么差是不變的，原來的差是7－3=4（份），現(xiàn)在的差是7－4=3（份），那么可以把每份的價(jià)格變?yōu)橐粯拥模?和4的最小公倍數(shù)為12，把他們差的份數(shù)變成12份，比例式如下：原來A的價(jià)格：B的價(jià)格=（7×3）：（3×3）=21：9現(xiàn)在A的價(jià)格：B的價(jià)格=（7×4）：（4×4）=28：16從上面的方程式中我們可看出A的價(jià)格增加了28－21=7（份），之所以增加了7份是因?yàn)樗膬r(jià)格上漲了70元，所以用70÷7=10（元），一份就為10元，當(dāng)然了，這道題也可用B的價(jià)格來做，B的價(jià)格份數(shù)多了16－9=7（份），也就是上漲的70元，求出一份為70÷7=10（元），那