高二上學(xué)期期末考點大通關(guān)真題 100題（選擇性必修第一冊+數(shù)列）（【含答案解析】）

高二上學(xué)期期末考點大通關(guān)真題精選100題考點1空間向量的線性運算1．（2023·河北石家莊·高二?？计谀┤鐖D，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】G是CD的中點，所以故選：A.考點2空間向量的線性表示2．（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體中，是的中點．設(shè)，，，用，，表示，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由是的中點，可知，所以，故選：D.考點3空間向量的共線問題3．（2023·新疆伊犁·高二?？计谀┮阎?、為空間三個不共面的向量，向量，，若與共線，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為、、為空間三個不共面的向量，向量，，若與共線，設(shè)，即，可得，解得，故.故選：D.考點4空間向量的共面問題4．（2023·全國·高二期末）對空間任意一點和不共線三點，，，能得到，，，四點共面的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A選項：，故A錯；B選項：，故B正確；C選項：，故C錯；D選項：，故D錯.故選：B.考點5空間向量的數(shù)量積問題5．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）如圖，在棱長為的正四面體中，分別為棱的中點，則．【答案】【解析】.6．（2023·山東·高二聯(lián)考期末）已知向量，單位向量滿足，則，的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，故，因此，故即，故即，故，而，故，故選：C.7．（2023·江西上饒·高二婺源縣天佑中學(xué)?？计谀┱叫蔚倪呴L為12，其內(nèi)有兩點、，點到邊、的距離分別為3，2，點到邊、的距離也是3和2．現(xiàn)將正方形卷成一個圓柱，使得和重合（如圖）．則此時、兩點間的距離為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】過點作平行于底面的截面圓，過點作平行于底面的截面圓，，設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，解得，于是，由，得，所以、兩點間的距離為.故選：C考點6空間向量的對稱問題8．（2023·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，為原點，已知點，，則（）A．點關(guān)于點的對稱點為B．點關(guān)于軸的對稱點為C．點關(guān)于軸的對稱點為D．點關(guān)于平面的對稱點為【答案】C【解析】點關(guān)于點的對稱點為，A錯；點關(guān)于軸的對稱點為，B錯；點關(guān)于軸的對稱點為，C正確；點關(guān)于平面的對稱點為，D錯.故選：C考點7利用空間向量求空間角9．（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知正四棱柱中，，，點，分別是和的中點，是線段的中點，則直線和所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，則，所以異面直線和所成角的余弦值為.故選：D.10．（2023·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）將長方體沿截面截去一個三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，如圖所示，∵長方形中，，分別是，的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，又∵長方體中且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得.又∵平面，平面，∴平面（2）以點為原點，，所在直線為軸，軸，以點為垂足，垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，∴，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，則，，即，設(shè)為直線與平面所成角，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.11．（2023·河南鄭州·高二?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點在棱上.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因為底面，平面，所以.四邊形是直角梯形，，，因為，所以.所以，所以.又因為，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解法一：以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，所以，即，所以.所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，得.又因為平面，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以，二面角的余弦值為.解法二：取的中點，連接，以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，所以，即，所以.所以.設(shè)平面的一個法向量為，則.取，則，則.又因為平面，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以二面角的余弦值為考點8利用空間向量計算空間距離12．（2023·湖南益陽·高二南縣第一中學(xué)?？计谀┮阎本€過點，其方向向量是，則點到直線的距離是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，知直線的方向向量，，則，，，所以點到直線的距離為.故選：B.13．（2023·湖北·高二期末）如圖，已知棱長為3的正方體，在平面的同側(cè)，頂點A在平面上，頂點B，D到平面的距離分別為1和，則頂點到平面的距離為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，則，，不妨設(shè)平面的法向量為且，由已知，所以，則，故選：A考點9利用空間向量探究動點存在問題14．（2023·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）（多選）在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，的面積的最大值為B．當(dāng)時，三棱雉的體積為定值C．當(dāng)時，的最小值為D．當(dāng)時，不存在點，使得【答案】ABC【解析】對于A中，當(dāng)時，，則點在上運動，則當(dāng)點與重合時，則此時面積取得最大值，，由于直三棱柱，則，為等腰直角三角形，則，又由，面，則面，因為面，所以，則，故選項A正確；對于B中，當(dāng)時，則，點在上運動，則，由于點到平面的距離為定值，點到線段的距離恒為，則，則，故選項B正確；對于C中，設(shè)的中點為，的中點為，當(dāng)時，，則點在線段上運動，因為，，所以當(dāng)點運動到線段的中點時，，此時，所以，故選項C正確；對于D中，當(dāng)時，，設(shè)的中點為，的中點為，則點在上運動，當(dāng)點與點重合時，，，因為，平面，則面，又因為面，則，當(dāng)點與點重合時，面，即面，則，故選項D錯誤；故選：ABC.15．（2023·山東濟南·高二濟南市章丘區(qū)第四中學(xué)校考期末）如圖，已知圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點，是圓臺上底面圓上的點，且平面平面，，，、分別是、的中點.（1）證明：平面；（2）若直線上平面且過點，試問直線上是否存在點，使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點的所有可能位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點與點重合.【解析】（1）因為為圓的一條直徑，且是圓上異于、的點，故，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.（2）存在，理由如下：如圖，以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，則，，，，，，由直線平面且過點，以及平面，得，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，易知平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，則，，由，得，即，解得，所以當(dāng)點與點重合時，直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等.考點10直線的傾斜角與斜率16．（2023·江西上饒·高二婺源縣天佑中學(xué)校考期末）經(jīng)過兩點的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)的范圍是.【答案】【解析】根據(jù)題意，即，且斜率，即，解得或.實數(shù)的范圍是.考點11直線與線段相交求斜率范圍17．（2022·山東濟寧·高二統(tǒng)考期末）設(shè)點，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（）A．或B．或C．D．【答案】B【解析】如圖所示：因為，所以當(dāng)直線過點且與線段相交時，的斜率的取值范圍是或，故選：B考點12直線方程的求解18．（2023·黑龍江牡丹江·高二校考期末）已知直線的斜率是2，且在y軸上的截距是，則此直線的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)直線的斜截式方程得，直線為.故選：A19．（2023·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點，邊上的高所在直線方程為，邊上的中線所在直線方程為.（1）求直線的方程；（2）求頂點的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為邊上的高所在直線方程為，所以，且，即，因為的頂點，所以直線方程：，即直線的方程為：.（2）（解法一）因為所在直線方程為，設(shè)點，因為是中點，，所以，因為在所在直線方程上，所以，解得：，.（解法二）設(shè)點的坐標(biāo)為，所在直線方程為，所以因為是中點，，所以，因為所在直線方程為，代入得：所以，即，解得：，，即，.考點13直線過定點問題20．（2022·山東淄博·高一校考期末）直線，當(dāng)變動時，所有直線恒過定點坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】把直線方程整理為，令，故，所以直線恒過定點為.故選：C.考點14兩直線的平行與垂直21．（2023·甘肅白銀·高二靖遠縣第一中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知直線，直線，則（）A．直線可以與軸平行B．直線可以與軸平行C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，【答案】ABC【解析】當(dāng)時，直線，此時直線與軸平行，B項正確；若，則直線，此時直線與軸平行，A項正確；若，則，解得，經(jīng)驗證可知此時兩直線不重合，C項正確；若，則，解得，D項錯誤.故選：ABC22．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）過點且與直線平行的直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，設(shè)所求直線方程為，因此，解得，所以過點且與直線平行的直線的方程為.故選：C23．（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為．【答案】或【解析】由題意不妨設(shè)直線與直線的斜率分別為，所以由題意可知，，所以，因為所求直線過點，所以由直線的點斜式方程可知直線的方程為：，化簡并整理得或.考點15直線的交點與方程的解24．（2022·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知三條直線：，：，：（是常數(shù)），.（1）若，，相交于一點，求的值；（2）若，，不能圍成一個三角形，求的值：（3）若，，能圍成一個直角三角形，求的值.【答案】（1）；（2）或或；（3）或【解析】（1）顯然，相交，由得交點，由點代入得，所以當(dāng)，，相交時，.（2）過定點，因為，，不能圍成三角形，所以，或與平行，或與平行，所以，或，或.（3）顯然與不垂直，所以，且或所以的值為或考點16三種距離公式的應(yīng)用25．（2023·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）已知直線過點，且，兩點到直線的距離相等，則直線的方程為.【答案】或【解析】當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，由點到直線的距離公式可知，解得或，當(dāng)時直線的方程為，當(dāng)時直線的方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，兩點到直線的距離不相等，所以此種情況不存在，故答案為；或.26．（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）若直線：與：平行，則與之間的距離為．【答案】【解析】因為直線：與：平行，所以，解得，所以直線：與：平行，所以與之間的距離為.考點17點與直線的對稱問題27．（2023·上?！じ叨?fù)興高級中學(xué)?？计谀┮阎c與點關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為．【答案】【解析】設(shè)直線l的的斜率為k，則，直線的中點坐標(biāo)為，所以由點斜式寫出直線方程為，即.28．（2023·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在上取一點，則由題意可得其關(guān)于直線的對稱點在上，所以，得，在上取一點，則其關(guān)于直線的對稱點在上，所以，得，綜上，故選：A考點18求圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程29．（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）以，為直徑兩端點的圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，的中點坐標(biāo)為，以為直徑的圓的圓心為，又，圓的半徑為1，以為直徑的圓的方程為即.故選：A.30．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若方程表示一個圓，則m可取的值為（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】由方程分別對進行配方得：，依題意它表示一個圓，須使，解得：或，在選項中只有D項滿足.故選：D.31．（2023·新疆阿克蘇·高二?？计谀┣笙铝懈鲌A的方程.（1）圓心為點，且過點；（2）過，，三點．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知半徑，所以圓的方程為：.（2）設(shè)圓的一般方程為：.將，，代入得：，所以圓的方程為：.考點19點與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用32．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知圓的方程為，以下各點在圓內(nèi)的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】，A選項正確.，B選項錯誤，，C選項正確.，D選項錯誤.故選：AC33．（2023·四川成都·高二期末）若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑，若點在圓外，則，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.考點20直線與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用34．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)校考期末）（多選）下列直線中，與圓相切的有（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】圓的圓心為，半徑．對于選項A，圓心到直線的距離．所以直線與圓相交；對于選項B，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切；對于選項C，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切；對于選項D，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離．故選：BC.35．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）若直線和曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】易知直線過定點，曲線可化為，曲線表示的是圓心在坐標(biāo)原點，半徑為1的上半圓，如下圖所示：當(dāng)直線與半圓相切時可得，解得，結(jié)合圖象可得，若直線和曲線有兩個不同的交點，由圖可得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B考點21直線與圓相交弦長問題36．（2023·全國·高二期末）設(shè)直線與圓相交于A，B兩點，則弦長的最小值是.【答案】【解析】直線過定點，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的最大距離，所以弦長的最小值是.37．（2023·甘肅臨夏·高二?？计谀┮阎獔A，直線．（1）求證：直線l恒過定點；（2）當(dāng)時，求直線l被圓C截得的弦長．【答案】（1）證明詳見解析；（2）【解析】（1）依題意直線，整理得，由解得，所以恒過定點.（2）當(dāng)時，直線，圓的圓心為，半徑為，到直線的距離為，所以直線l被圓C截得的弦長為.考點22圓的切線及切線長問題38．（2023·四川綿陽·高二綿陽江油中學(xué)?？计谀┮阎獔A：，過點作圓的切線，則切線長為（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】圓：，即，圓心坐標(biāo)，半徑為3，圓心到的距離為5，所以切線長為．故選：B39．（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過點，，三點．（1）求圓的方程；（2）一條光線從點射出，經(jīng)x軸反射后與圓相切，求反射光線所在直線的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）設(shè)圓的方程為，因為點在圓上，所以，解得，所以圓的方程為．（2）圓的方程可化為，因為關(guān)于x軸的對稱點為，設(shè)切線為直線，因為，所以點在圓外，則過有兩條直線與圓相切；①當(dāng)切線斜率存在時，則設(shè)直線：，即，則圓心到的距離，解得，所以直線：；②當(dāng)切線斜率不存在時，直線：，綜上可得反射光線所在直線為或．考點23圓與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用40．（2023·天津·高二校聯(lián)考期末）圓與圓的位置關(guān)系為（）．A．外切B．相交C．相離D．內(nèi)切【答案】A【解析】由題設(shè)，，，∴，半徑；，半徑，∴，則兩圓外切.故選：A.41．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題知：，，，，.因為和有公共點，所以，解得.故選：C考點24兩圓的公共弦問題42．（2023·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學(xué)校考期末）已知圓與圓（1）求經(jīng)過圓與圓交點的直線方程：（2）求圓與圓的公共弦長．【答案】（1）；（2）【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，圓即，圓心為，半徑為，則，故圓與圓相交；將圓與圓的方程相減，得，即經(jīng)過圓與圓交點的直線方程為；（2）圓的圓心為，半徑為1，到直線的距離為，故圓與圓的公共弦長為.考點25兩圓的公切線問題43．（2023·四川綿陽·高二南山中學(xué)實驗學(xué)校?？计谀ǘ噙x）圓與圓的公切線的方程可能為（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑，由題意得，圓與圓的半徑之和為，半徑之差為0，因為，所以圓與圓的位置關(guān)系為相交．由題意得，因為圓與圓的半徑相等，所以公切線的斜率為2．設(shè)公切線的方程為，即，由，得，所以公切線的方程為或．故選：CD考點26與圓有關(guān)的最值問題44．（2022·河南信陽·高二潢川一中?？计谀┮阎本€：與圓：，則上各點到距離的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】易知圓心，半徑，圓心到直線l：的距離d，所以圓與直線相離，如圖所示：所以圓C上各點到l距離的最小值為，故選：C．45．（2023·河南信陽·高二河南宋基信陽實驗中學(xué)?？计谀┮阎獔A，點，為圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圓，圓心，半徑為，則圓心關(guān)于x軸的對稱點為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取得最小值，結(jié)合圖像可知.故選：C考點27圓的軌跡問題46．（2023·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┮阎c，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，由題意可知，所以，又因為，所以，化簡可得，所以的軌跡方程為，故選：A.考點28對圓錐曲線定義的理解47．（2023·四川涼山·高二寧南中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知、，則下列命題中正確的是（）A．平面內(nèi)滿足的動點P的軌跡為橢圓B．平面內(nèi)滿足的動點P的軌跡為雙曲線的一支C．平面內(nèi)滿足的動點P的軌跡為拋物線D．平面內(nèi)滿足的動點P的軌跡為圓【答案】AD【解析】對于選項A,有、，且,由橢圓定義可知選項A正確;對于選項B,有、，且,軌跡為射線，不符合雙曲線的定義可知選項B錯誤;對于選項C,有、，且，軌跡為線段的垂直平分線，不符合拋物線的定義可知選項C錯誤;對于選項D,有、，且,設(shè)點，則，化簡可得，可知選項D正確;故選：AD考點29涉及圓相切的軌跡問題48．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓N：的圓心為，半徑為，且設(shè)動圓的半徑為，則，即.即點在以為焦點，焦距長為，實軸長為，虛軸長為的雙曲線上，且點在靠近于點這一支上，故動圓圓心P的軌跡方程是故選：A49．（2023·青海西寧·高二期末）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)動圓圓心為，半徑為，根據(jù)題意知：，，所以，所以圓心的軌跡為橢圓.其中，，故，因為焦點在軸上，故圓心軌跡方程為：.考點30圓錐曲線中距離和差的最值問題50．（2023·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，點在圓上，則的最小值為（）A．12B．10C．8D．6【答案】C【解析】由題意知，圓心，半徑，拋物線的焦點，準(zhǔn)線.如圖，作于，因為在拋物線上，所以.因為，，當(dāng)三點共線時，取等號.又，則當(dāng)三點共線時，取等號.過點，作，垂足為，交圓于點，交拋物線于，此時，有四點共線，則上述兩式可同時取等號.所以有，.所以，的最小值為8.故選：C.51．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點的坐標(biāo)為，則的最小值為（）A．B．C．3D．【答案】B【解析】橢圓的，點在橢圓內(nèi)部，如圖，設(shè)橢圓的右焦點為，則；；由圖形知，當(dāng)在直線上時，，當(dāng)不在直線上時，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，，當(dāng)在射線的延長線上時，取得最小值的最小值為．故選：B考點31圓錐曲線中的焦點三角形問題52．（2023·福建莆田·高二仙游一中校聯(lián)考期末）（多選）已知點是橢圓上一點，為其左、右焦點，且△的面積為3，則下列說法正確的是（）A．P點到軸的距離為B．C．△的周長為D．△的內(nèi)切圓半徑為【答案】ACD【解析】由已知條件得，，，設(shè)，則，解得，則P點到軸的距離為，故正確；將代入得，則，則，且兩向量所成角的范圍為，則為銳角，故錯誤；由橢圓的定義可知，，△的周長為，故正確；設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，圓心為,則，解得，故正確；故選：.53．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀ǘ噙x）已知為雙曲線上一點，為其左右焦點，則（）A．若，則的面積為B．若，則的周長為C．雙曲線上存在一點，使得成等差數(shù)列D．有最大值【答案】BD【解析】由題意得，，，不妨設(shè)且在雙曲線的右支，如圖.對A、B：由雙曲線定義可得，設(shè)，在中由余弦定理得：，當(dāng)時，可得，解得，故A錯誤；當(dāng)時，，解得，所以的周長為，故B正確；對于C：假設(shè)存在點，不妨設(shè)在雙曲線的右支，則，所以公差，且，當(dāng)三點不共線時，設(shè)則，即，又因為，所以，又因為三點不共線，所以，故此種情況不符合；當(dāng)三點共線時，則，故此種情況不符合；綜上所述，則假設(shè)不成立，故不存在點，故C錯誤.對D：，令，則，因為，所以，所以，所以的最大值為，故D正確.故選：BD.考點32對圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解54．（2023·甘肅慶陽·高二?？计谀ǘ噙x）已知曲線C的方程為，則（）A．曲線C可以表示圓B．曲線C可以表示焦點在x軸上的橢圓C．曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓D．曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線【答案】CD【解析】若曲線C表示圓，則，解得，則曲線C的方程為，無意義，A不正確；若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則，不等式無解，B不正確；若曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，則，解得，C正確；若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，則解得，D正確.故選：CD考點33由性質(zhì)求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程55．（2023·全國·高二期末）以的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由原方程可得，所以雙曲線的焦點為，頂點為橢圓的頂點為，焦點為，即，所以所求的橢圓方程為，故選B.56．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，實軸長為，且焦點在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．或B．C．D．【答案】C【解析】由題可得，解得，因為焦點在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.考點34求橢圓的離心率或離心率范圍57．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點、分別是橢圓的左、右焦點，點、在上（位于第一象限）且點、關(guān)于原點對稱，若，，則的離心率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如下圖所示：由題意可知，為、的中點，則四邊形為平行四邊形，則，又因為，則四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，由勾股定理可得，所以，該橢圓的離心率為.故選：B.58．（2023·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓的焦點為為橢圓上的任意一點，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知，，設(shè)，因為，所以，又，，所以，因為，則，當(dāng)時，取得最小值，即，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：D.考點35求雙曲線的離心率或離心率范圍59．（2023·江蘇·高二期末）若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，則C的離心率為（）A．B．3C．D．2【答案】D【解析】由題設(shè)，易知，則，故.故選：D60．（2023·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線的右焦點為F，過點F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點D.若，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為，則直線，聯(lián)立方程，消去y得：，則可得，則，設(shè)線段的中點，則，即，且，線段的中垂線的斜率為，則線段的中垂線所在直線方程為，令，則，解得，即，則，由題意可得：，即，整理得，則，注意到雙曲線的離心率，∴雙曲線的離心率取值范圍是.故選：A.考點36直線與圓錐曲線的位置關(guān)系61．（2023·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）曲線與直線的公共點的個數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時，曲線的方程為，表示橢圓的上半部分含與軸的交點，此時曲線與的交點為(0,3),(4,0),當(dāng)時，曲線的方程為，表示雙曲線在軸下方的部分，其一條漸近線方程為：，故直線與無交點，曲線與直線的公共點的個數(shù)為.故選：B62．（2023·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：，過點與雙曲線C有且只有一個公共點的直線有（）條．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由雙曲線方程知：右頂點為，漸近線為，顯然在上，如下圖示，∴過P點的直線以及與平行且過P點直線與雙曲線都只有一個交點.故共有兩條直線滿足要求.故選：B63．（2023·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€，若過點的直線l與拋物線恒有公共點，則p的值可以是．（寫出一個符合題意的答案即可）【答案】（答案不唯一，不小于2的實數(shù)均正確）【解析】若點在拋物線的內(nèi)部或在拋物線上，則過點的直線l與拋物線恒有公共點，所以當(dāng)x=1時，，解得，故答案為：（答案不唯一，不小于2的實數(shù)均正確）.考點37直線與圓錐曲線相交弦長問題64．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高二?？计谀┮阎獧E圓的焦點是，，且，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓C與直線交于M，N兩點，且，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得：，，解得，故，故橢圓C的方程為；（2）聯(lián)立與得，，，解得，設(shè)，則，故，又，所以，解得，滿足，故實數(shù)的值為65．（2023·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）設(shè)動點與點之間的距離和點到直線的距離的比值為，記點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若為坐標(biāo)原點，直線交曲線于兩點，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由動點與點之間的距離和到直線：的距離的比值為，可得，整理得，即曲線的方程為.（2）聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，可得，，所以，又由點到直線的距離，所以的面積.考點38圓錐曲線的中點弦問題66．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）若橢圓的弦AB被點平分.則直線AB的方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，則滿足，兩式作差得，即，又被點平分，故，且直線的斜率存在，所以，整理得，即，則所在直線方程為，化簡得.故選：A.67．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的焦點到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點，若線段的中點為，則直線l的斜率為（）A．B．1C．D．2【答案】B【解析】因為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以它的一個焦點為，一條漸近線方程為，所以焦點到漸近線的距離，化簡得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，所以①，②，①-②得，，化簡得③，因為線段的中點為，所以，代入③，整理得，顯然，所以直線的斜率.故選：B考點39圓錐曲線中的定值問題68．（2023·廣東廣州·高二廣州市真光中學(xué)?？计谀┮阎獎狱c在上，過作軸的垂線，垂足為，若為中點．（1）求點的軌跡方程；（2）過作直線交的軌跡于、兩點，并且交軸于點．若，，求證：為定值．【答案】（1）；（2），證明見解析【解析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，點在上，則有，即，所以點的軌跡方程為.（2）直線斜率不存在時，直線方程為，則、，，，得，，由，得，，，由，，此時.直線斜率存在時，由直線交軸于點知斜率不為0，設(shè)直線方程為，則有，設(shè)、，由，消去得，，有，，，由，得，，，由，，此時.綜上可知，為定值.考點40圓錐曲線中過定點問題69．（2023·云南玉溪·高二玉溪第三中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的右焦點為，漸近線與拋物線：交于點.（1）求，的方程；（2）設(shè)A是與在第一象限的公共點，作直線l與的兩支分別交于點M，N，使得.求證：直線MN過定點.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為：，因為的漸近線過，則有，解得，則，由拋物線過，得，則，所以，的方程分別為，.（2）由于點，在雙曲線左右兩支上，則直線的斜率存在，設(shè)的方程為，由消去y得：，，即，則，，，由，解得，于是，，由，得，即，整理得：，即，顯然不在直線上，即，于是，滿足，因此直線的方程為，即，恒過定點，所以直線過定點.考點41圓錐曲線中定直線問題70．（2023·黑龍江大慶·高二大慶市第二十三中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€，過點的兩條直線、分別交于、兩點和、兩點．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為直線與的交點，證明：點在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)直線的斜率為時，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，因為，可得，由韋達定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，拋物線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線與軸重合時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則可得，設(shè)點、，由韋達定理可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，同理可得，直線的方程為，即，化簡可得，同理可知，直線的方程為，因為點在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點的橫坐標(biāo)為定值即可，由，消去，因為直線與相交，則，解得，所以，點的橫坐標(biāo)為，因此，直線與的交點必在定直線上.考點42圓錐曲線中的最值問題71．（2023·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓過點，離心率為，經(jīng)過圓上一動點P作兩條直線，它們分別與橢圓E恰有一個公共點，公共點分別記為A、B．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：；（3）求面積的最大值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）由橢圓E的離心率，∴，又橢圓E過點，∴，解得，則，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)P點坐標(biāo)為，依題意、的斜率不能同時不存在或同為0．①若、中的斜率有一個不存在時（，的斜率有一個不存在時，另一個為0，若有一個為0時，則另一個不存在）不妨設(shè)的斜率不存在，則直線的方程為，∴，則另一條直線的方程為，此時．②若、斜率存在且不為0時，設(shè)過P點的方程為，代入方程得：，∴，整理得：（*）且，又，∴，方程（*）的兩個根即為、的斜率，∴，即．綜上：．（3）同（2）設(shè)及，①當(dāng)或時，；、②當(dāng)時，，斜率存在且不為0，設(shè)方程為：，聯(lián)立橢圓E消去y并整理得：，∴，化簡得：，解得：，又，故，∴直線的方程為：，即，同理可得的方程為：．又在直線、上，則，∴直線的方程為：．由，消去y整理可得：，又，所以，，∴，．∴．又點O到直線的距離，∴，∵，且，∴或，∴或，故．綜上可知，面積的最大值為．考點43圓錐曲線中的取值范圍問題72．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，點關(guān)于軸對稱的點為.當(dāng)時，.（1）求雙曲線的方程；（2）若的外心為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，因為雙曲線的右焦點為，所以，因為點和點關(guān)于軸對稱，所以當(dāng)時，直線的方程為，聯(lián)立可得，又，所以，又，所以，故雙曲線方程為；（2）若直線的斜率為0，則直線與雙曲線右支只有一個交點，與已知矛盾，所以可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消，得，方程的判別式，設(shè)，則，，由已知，所以，所以線段的中點坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為，又線段的垂直平分線方程為，所以點的坐標(biāo)為，所以，所以，所以，，因為，所以，所以，所以所以的取值范圍為.考點44等差數(shù)列的基本量計算73．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二揚中市第二高級中學(xué)校考期末）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A．182B．128C．56D．42【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，由，，得，解得，所以；故選:D.考點45等差數(shù)列通項公式性質(zhì)及應(yīng)用74．（2023·甘肅白銀·高二校考期末）在等差數(shù)列中，前五項和為10，最后五項之和為90，前項之和為180，則項數(shù).【答案】18【解析】因為，所以，所以，即，因為，解得.考點46等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)75．（2023·黑龍江大慶·高二校考期末）等差數(shù)列和的前項和分別為和，如果，的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知，，又，所以，故選：C.76．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，已知，，則（）A．90B．40C．50D．60【答案】D【解析】因為為等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，，，故，.故選：D77．（2023·江蘇常州·高二奔牛高級中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列中,,其前項和為,則.【答案】110【解析】由題知為等差數(shù)列,記數(shù)列,所以,由,可知,所以是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以,所以,所以.考點47等比數(shù)列的基本量計算78．（2023·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，其前項和為，已知，則（）A．4B．16C．32D．64【答案】D【解析】當(dāng)公比時可得，代入，與矛盾，所以.由等比數(shù)列的前項和公式，可得，兩式相除，得，可解得或（舍），當(dāng)時，代入原式可求得，則由等比數(shù)列的通項公式.故選：D考點48等比數(shù)列通項公式性質(zhì)79．（2023·海南·高二嘉積中學(xué)?？计谀┱椀缺葦?shù)列中，，則的值是．【答案】8【解析】因為正項等比數(shù)列中，，所以.考點49等比數(shù)列前n項和性質(zhì)80．（2023·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項和為．若，則（）A．13B．16C．9D．12【答案】A【解析】設(shè)，則，因為為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得仍成等比數(shù)列.因為，所以，所以，故.故選：A考點50等差、等比數(shù)列的證明81．（2023·北京西城·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的公比，，且，的等差中項等于．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由，的等差中項等于，得，所以，即．解得或（舍）．由，得．所以．（2）因為，所以，．所以數(shù)列是首項為3，公差為的等差數(shù)列．82．（2023·湖北·高二期末）已知數(shù)列的首項，且滿足（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）證明：數(shù)列中的任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）由，得，可得，由可得，故，故，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列的通項為，則，設(shè)，，為數(shù)列中的任意三項，易得，若這三項若能構(gòu)成等差數(shù)列，只能是，所以，此式的左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以數(shù)列中的任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列．考點51數(shù)列的實際應(yīng)用83．（2023·新疆伊犁·高二?？计谀┲袊糯鷶?shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣的一個問題“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”，其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人前4天共走了（）A．189里B．288里C．336里D．360里【答案】D【解析】記第天走的路程里數(shù)為，前項和為，由題意知是等比數(shù)列，且公比為，，解得，，故選：D.考點52數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用84．（2023·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）（多選）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且滿足，，則下列說法正確的是（）A．最大B．C．D．【答案】AB【解析】因為，，所以，所以，，故C錯誤；所以，且，故B正確；所以，則單調(diào)遞減，且，所以最大，故A正確，令，，則，，則，故D錯誤.故選：AB85．（2023·安徽亳州·高二亳州二中?？计谀ǘ噙x）已知等比數(shù)列的前項積為，公比，且，則（）A．當(dāng)時，最小B．C．存在，使得D．當(dāng)時，最小【答案】BD【解析】對于選項B：因為，所以，又因為，所以，故B正確；對于選項A、D：因為，所以，則，又因為，可得，則，故，且，可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以當(dāng)時，最小，故選項A錯誤，選項D正確；對于選項C：因為數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且當(dāng)時，，所以，故C錯誤，故選：BD.考點53數(shù)列的周期性及應(yīng)用86．（2023·山東煙臺·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，則（）A．B．C．2D．1【答案】B【解析】由，因，則，，，，，，由此不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的項具有周期性，且最小正周期為3，故故選：B.考點54由前n項和求數(shù)列的通項公式87．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谀┮阎菙?shù)列的前n項和，且滿足，則數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然，故.88．（2023·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，故選：C.89．（2023·天津津南·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則（）