數(shù)學(xué)的偉大轉(zhuǎn)折-笛卡爾創(chuàng)立解析幾何

數(shù)學(xué)的偉大轉(zhuǎn)折——笛卡爾創(chuàng)立解析幾何數(shù)學(xué)的偉大轉(zhuǎn)折——笛卡爾創(chuàng)立解析幾何17世紀(jì)歐洲科學(xué)技術(shù)的發(fā)展向人們提出了許許多多用常量數(shù)學(xué)難以解決的問(wèn)題，天體運(yùn)動(dòng)和物理運(yùn)動(dòng)也提出了用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)研究圓錐曲線和其他曲線的問(wèn)題，為此人們尋求解決變量問(wèn)題的新方法，從而使笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。解析幾何的誕生是數(shù)學(xué)的偉大轉(zhuǎn)折，正如恩格斯所說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生。”早期的坐標(biāo)概念在沒(méi)有把坐標(biāo)的概念引進(jìn)數(shù)學(xué)之前，人們對(duì)坐標(biāo)思想的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用早就有過(guò)。我國(guó)最早用“井”字表示井周圍的土地就是取自坐標(biāo)的形態(tài)。公元120年前后，班固和班昭所著的《前漢書(shū)》中給出了八個(gè)編年表，在其中的一個(gè)表里，時(shí)間為一個(gè)軸，品德是一個(gè)軸，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)系。古希臘的托勒密曾討論過(guò)球面上的經(jīng)緯度，我國(guó)13、14世紀(jì)解多元高次方程組使用的“四元術(shù)”，這些都是坐標(biāo)概念的早期示例。以后出現(xiàn)的棋盤、算盤、街道門牌號(hào)等，實(shí)際上也是一種坐標(biāo)系統(tǒng)。16世紀(jì)末，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在代數(shù)中首先系統(tǒng)地使用字母，他所研究的代數(shù)問(wèn)題，大多數(shù)是為解決幾何問(wèn)題而提出來(lái)的。之后韋達(dá)的學(xué)生格塔拉底對(duì)幾何問(wèn)題的代數(shù)解法作了系統(tǒng)地研究，于1607年和1630年分別發(fā)表了《阿波羅尼斯著作的現(xiàn)代闡釋》、《數(shù)學(xué)的分析與綜合》的著作。1631年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特把韋達(dá)和格塔拉底的思想加以引伸和系統(tǒng)化。這些都為幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)的結(jié)合，形和數(shù)的結(jié)合，鋪平了道路。費(fèi)爾馬的坐標(biāo)法1629年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬在對(duì)前人幾何研究的反思中，產(chǎn)生了一個(gè)想法，認(rèn)為古人對(duì)于軌跡的研究感到困難，其原因只有一個(gè)，就是由于他們對(duì)軌跡沒(méi)有給予充分而又一般的表示。他認(rèn)為，要將軌跡作一般的表示，只能借助于代數(shù)。他了解到韋達(dá)用代數(shù)解決幾何問(wèn)題的作法后，決定把阿波羅尼斯關(guān)于圓錐曲線的結(jié)果，直接翻譯成代數(shù)的形式。費(fèi)爾馬所用的一般方法，實(shí)質(zhì)上就是坐標(biāo)法。他考慮任意曲線和它上面的任意點(diǎn)K，K的位置用A、E兩個(gè)字母來(lái)確定。其中A是從點(diǎn)O沿底線到點(diǎn)Z的距離，E是從Z到K的距離。這實(shí)際上是我們現(xiàn)代的斜坐標(biāo)。但y軸沒(méi)有明顯標(biāo)出，而且不用負(fù)數(shù)。他的A、E就相當(dāng)于我們現(xiàn)在的坐標(biāo)x、y。費(fèi)爾馬通過(guò)建立坐標(biāo)，把平面上的點(diǎn)和一對(duì)未知數(shù)聯(lián)系起來(lái)。然后在點(diǎn)動(dòng)成線的思想下，把曲線用一個(gè)方程表示出來(lái)。他想，未知數(shù)A和E實(shí)際上是變數(shù)，因而聯(lián)系A(chǔ)和E的方程是不確定的。他便用不同字母代表不同類的數(shù)，然后寫(xiě)出聯(lián)系A(chǔ)和E的各種方程，并指明它們所描繪的各種曲線。費(fèi)爾馬肯定，方程如果是一次的，就代表直線，如果是二次的，就代表圓錐曲線，并給出了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程。費(fèi)爾馬通過(guò)坐標(biāo)法把幾何曲線和代數(shù)方程聯(lián)系起來(lái)，從而把幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)，這已經(jīng)接近于解析幾何的核心思想。他沖破幾何學(xué)研究的古典形式的束縛，使幾何學(xué)向前邁出了一大步。笛卡爾解析幾何的誕生幾乎是費(fèi)爾馬研究解析幾何的同時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾也在獨(dú)立地研究著。1596年3月21日，笛卡爾出生在法國(guó)圖倫一個(gè)貴族之家。他從小喪母，父親是地方議會(huì)議員，保姆撫養(yǎng)他成人。笛卡爾8歲進(jìn)入當(dāng)時(shí)歐洲最負(fù)盛名的拉夫累舍公學(xué)讀書(shū)，1612年入波埃頓大學(xué)攻讀法律，四年后以最優(yōu)秀的成績(jī)獲得法學(xué)博士學(xué)位。畢業(yè)后他來(lái)到巴黎當(dāng)律師，其間，溜到郊區(qū)一個(gè)僻靜的住所埋頭研究了兩年數(shù)學(xué)。1617年他參加了奧倫治公爵的軍隊(duì)，部隊(duì)駐守在荷蘭小城布雷達(dá)。1618年11月的一天，笛卡爾看到貼在街頭海報(bào)上征解的一道數(shù)學(xué)難題，兩天后他送去了正確答案，成功地解決了這一難題。這一偶然的機(jī)會(huì)使他決心終生研究數(shù)學(xué)。笛卡爾認(rèn)真地分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)。他認(rèn)為古希臘人給后人帶來(lái)的幾何方法過(guò)于抽象和特殊；歐幾里得幾何中的每一個(gè)證明，都需要一個(gè)特殊的新方法，這既“笨拙和不必要”，而且使幾何學(xué)“失去科學(xué)的形象”；又認(rèn)為當(dāng)時(shí)通行的代數(shù)“完全受法則和公式的控制，成為一種混雜和晦暗，阻礙思想”。他準(zhǔn)備尋找另一種能概括這兩門學(xué)科優(yōu)點(diǎn)的新方法。1619年，部隊(duì)駐扎在多瑙河畔的諾伊堡小鎮(zhèn)上，笛卡爾整天沉迷在畫(huà)圖、計(jì)算和思考之中，探索幾何與代數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系，各種思路和演算常常使他夜里遲遲不能入睡。11月10日晚，他的思考達(dá)到了異常興奮的地步，連作夢(mèng)都?jí)舻皆鯓影汛鷶?shù)應(yīng)用到幾何中去的方法。他后來(lái)說(shuō)：“第二天，我開(kāi)始懂得這驚人發(fā)現(xiàn)的基本原理。我終于發(fā)現(xiàn)了一種不可思議的科學(xué)的基礎(chǔ)?！边@就是解析幾何思想的萌生。笛卡爾在給定的軸上標(biāo)出x，在與該軸成固定角的線上標(biāo)出y，并且作出其x、y的值滿足給定關(guān)系的點(diǎn)，這實(shí)際上是引進(jìn)了“坐標(biāo)”的概念。通過(guò)坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)了平面的“算術(shù)化”，即平面上的一個(gè)點(diǎn)，只要用一個(gè)數(shù)對(duì)（x，y）來(lái)表示就行了，反之亦然。再利用坐標(biāo)方法，把平面上的曲線與一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)的方程聯(lián)系起來(lái)。這樣一來(lái)，就能把幾何問(wèn)題歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題，并運(yùn)用代數(shù)方法來(lái)研究幾何對(duì)象。1619年11月10日應(yīng)算作解析幾何最初的誕生日。笛卡爾和費(fèi)爾馬的解析幾何在坐標(biāo)觀點(diǎn)以及用方程表示曲線的方法方面基本上是相同的。但是在對(duì)待傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的態(tài)度上，兩者是不同的。笛卡爾打破了希臘數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，用代數(shù)方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的幾何方法，這是數(shù)學(xué)史上的一次重大變革，而費(fèi)爾馬卻著眼于繼承希臘人的思想，認(rèn)為他自己的工作只是重新表述了阿波羅尼斯的工作。解析幾何學(xué)的完善當(dāng)時(shí)，多數(shù)數(shù)學(xué)家受舊的觀念的束縛，反對(duì)把代數(shù)和幾何混在一起，因而解析幾何的思想并沒(méi)有很快被數(shù)學(xué)家們接受。笛卡爾的《幾何學(xué)》于1637年出版后，也沒(méi)有引起普遍重視。費(fèi)爾馬的著作遲至1679年才出版。笛卡爾去世5年后的1655年，英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯首先引進(jìn)了負(fù)的縱、橫坐標(biāo)，使得所考慮的曲線的范圍擴(kuò)展到了整個(gè)平面。沃利斯進(jìn)一步完善了坐標(biāo)法，其著作《論圓錐曲線》引起了數(shù)學(xué)家的普遍重視，大大傳播了解析幾何思想。費(fèi)爾馬和笛卡爾提出的坐標(biāo)系都是不完整的，費(fèi)爾馬沒(méi)有明確y軸，而笛卡爾只是用了一根x軸，y軸是沿著與x軸成斜角的方向畫(huà)出的。1691年，雅可布·伯努利發(fā)明了另一種坐標(biāo)。他用一個(gè)固定點(diǎn)以及由該點(diǎn)發(fā)出的射線為基準(zhǔn)，用平面上一點(diǎn)到固定點(diǎn)的連線的長(zhǎng)度和這連線與基準(zhǔn)的夾角的余弦為點(diǎn)的坐標(biāo)，這實(shí)質(zhì)上就是現(xiàn)在的極坐標(biāo)。在笛卡爾x、y軸的基礎(chǔ)上，1694年萊布尼茲提出并正式使用縱坐標(biāo)，而橫坐標(biāo)到18世紀(jì)才由沃爾夫等人引入。坐標(biāo)一詞也是萊布尼茲在1692年首創(chuàng)的。1715年，約翰·伯努利引進(jìn)了現(xiàn)在通用的三個(gè)坐標(biāo)平面，把解析幾何從平面推廣到空間。1745年，歐拉給出了現(xiàn)代形式下的解析幾何的系統(tǒng)敘述，這是解析幾何發(fā)展史上的重要一步。之后，對(duì)解析幾何發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)的是法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日，他在1788年提出了向量概念，引起了數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家的極大注意，向量分析的出現(xiàn)立即對(duì)解析幾何產(chǎn)生深刻的影響，現(xiàn)在向量代數(shù)成了空間解析幾何的重要內(nèi)容。19世紀(jì)，經(jīng)典解析幾何已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)完備。這時(shí)候，這門學(xué)科才正式定名為“解析幾何”，以后便流傳下來(lái)。解析幾何的建立在數(shù)學(xué)史上占有重要的地位，它使變量數(shù)學(xué)從此走上了歷史舞臺(tái)，它實(shí)現(xiàn)了數(shù)形關(guān)系的溝通。作為一種有效的數(shù)學(xué)工具，它不僅廣泛地被使用于物理學(xué)和其他工程技術(shù)領(lǐng)域，