高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)的直觀圖．一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)底面互相平行且全等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)—軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)—二直觀圖1．畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法．2．規(guī)則(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．三空間幾何體的側(cè)面積和表面積1．多面體的表面積因?yàn)槎嗝骟w的各面都是平面，所以多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和，即展開(kāi)圖的面積，側(cè)面積就是側(cè)面展開(kāi)圖的面積．2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖及其表面積與側(cè)面積名稱側(cè)面展開(kāi)圖表面積側(cè)面積圓柱S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)S側(cè)＝2πrl圓錐S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)S側(cè)＝πrl圓臺(tái)S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)S側(cè)＝π(r＋r′)l球—S＝4πr2(r為半徑)—四空間幾何體的體積名稱體積圓柱V＝Sh＝πr2h圓錐V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h棱柱V＝Sh棱錐V＝eq\f(1,3)Sh棱臺(tái)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球V＝eq\f(4,3)πR3常/用/結(jié)/論幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R.①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.棱切球．(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(2)有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)．()(3)直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的面所圍成的幾何體都是圓錐．()(4)若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線．()2．如圖，平行四邊形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，則原圖形的面積是()A．4 B．10eq\r(2)C．4eq\r(2) D．5eq\r(2)解析：在平行四邊形O′A′B′C′中，O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，所以平行四邊形O′A′B′C′的面積為S′＝O′A′·O′C′sin30°＝5×2×eq\f(1,2)＝5，所以原圖形的面積是S＝2eq\r(2)S′＝2eq\r(2)×5＝10eq\r(2).故選B.答案：B3．(2024·廣東佛山階段考試)下列平面圖形中，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的空間圖形的是()ABCD解析：題圖中的空間圖形是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)的組合體．圓臺(tái)是由直角梯形以DE(如圖1)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體，圓錐是由直角三角形以AB(如圖2)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體．兩者拼接，與選項(xiàng)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)A符合題意．故選A.圖1圖2答案：A4．(1)如果圓柱的底面積為S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積是________．(2)若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個(gè)圓錐的表面積為_(kāi)_______．(3)若一個(gè)球的體積為4eq\r(3)π，則它的表面積為_(kāi)_______．解析：(1)設(shè)底面圓半徑為r，∵πr2＝S，∴r＝eq\r(\f(S,π))，∴側(cè)面展開(kāi)圖邊長(zhǎng)為2πr＝2π·eq\r(\f(S,π))，∴側(cè)面積為4π2·eq\f(S,π)＝4πS.(2)如圖所示，設(shè)圓錐的軸截面三角形的邊長(zhǎng)為a，則eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)，∴a2＝4，∴a＝2.∴圓錐的表面積為S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋π·eq\f(a,2)·a＝3π.(3)設(shè)球的半徑為r，∵eq\f(4,3)πr3＝4eq\r(3)π，∴r＝eq\r(3)，∴S球＝4πr2＝12π.答案：(1)4πS(2)3π(3)12π題型基本立體圖形的多維研討維度1基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征典例1(1)(多選)下列說(shuō)法中不正確的是()A．以直角梯形的一條腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體是圓臺(tái)B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)(2)(多選)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ卷)下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有()A．直徑為0.99m的球體能放入的最大的球體是內(nèi)切球．B．所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體能放入的最大的正四面體是棱長(zhǎng)為eq\r(2)m的正四面體．C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體選項(xiàng)C，D的圓柱，放置狀態(tài)是圓柱的軸線重合于正方體的體對(duì)角線．解析：(1)由圓臺(tái)定義知，以直角梯形垂直于底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，故A錯(cuò)誤；由棱柱定義可知，棱柱是有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體，故B錯(cuò)誤；強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，可推得側(cè)面為平行四邊形．底面是正多邊形的棱錐，不能保證頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯(cuò)誤；可推得各側(cè)棱相等．棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故D正確．故選ABC.(2)對(duì)于A選項(xiàng)，正方體內(nèi)切球的直徑為1m，故A符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，正方體內(nèi)部最大的正四面體棱長(zhǎng)為eq\r(2)m，eq\r(2)m>1.4m，故B符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，圓柱底面直徑為0.01m，高為1.8m，正方體的體對(duì)角線為AC1＝eq\r(3)m<1.8m，體對(duì)角線都比不上圓柱的高，所以此圓柱不能放入．故C不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?.2m>1m，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過(guò)AC1的中點(diǎn)O作OE⊥AC1，設(shè)OE∩AC＝E，可知AC＝eq\r(2)，CC1＝1，AC1＝eq\r(3)，OA＝eq\f(\r(3),2)，那么tan∠CAC1＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(OE,AO)，即eq\f(1,\r(2))＝eq\f(OE,\f(\r(3),2))，解得OE＝eq\f(\r(6),4)，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))2＝eq\f(3,8)＝eq\f(9,24)>eq\f(9,25)＝0.62，即eq\f(\r(6),4)>0.6，所以以AC1為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為1.2m圓柱，若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心為O1，與正方體的下底面的切點(diǎn)為M，可知AC1⊥O1M，O1M＝0.6，那么tan∠CAC1＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(O1M,AO1)，即eq\f(1,\r(2))＝eq\f(0.6,AO1)，解得AO1＝0.6eq\r(2)，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為eq\r(3)－2×0.6eq\r(2)≈1.732－1.2×1.414＝0.0352>0.01，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D符合題意．故選ABD.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．對(duì)點(diǎn)練1(多選)如圖，從一個(gè)正方體中挖掉一個(gè)四棱錐，然后從任意面剖開(kāi)此幾何體，下面圖形可能是該幾何體的截面的是()ABCD解析：對(duì)于A，由于截面中間是矩形，如果可能的話，一定是用和正方體底面平行的截面去剖開(kāi)正方體并且是從挖去四棱錐的那部分剖開(kāi)，但此時(shí)剖面中間應(yīng)該是一個(gè)正方形，因此A圖形不可能是截面；對(duì)于B，當(dāng)從正方體底面的一組相對(duì)棱的中點(diǎn)處剖開(kāi)時(shí)，截面正好通過(guò)四棱錐頂點(diǎn)，如圖1中截面EFNM，此時(shí)截面形狀如B圖形，故B可能是該幾何體的截面；對(duì)于C，當(dāng)截面垂直于底面不經(jīng)過(guò)底面一組相對(duì)棱的中點(diǎn)處，并和另一組棱平行去剖開(kāi)正方體時(shí)，如圖2中截面PDGH，截面形狀如C圖形，故C可能是該幾何體的截面；圖1圖2圖3對(duì)于D，如圖3所示，按圖中截面A1B1C1的位置去剖開(kāi)正方體，截面形狀如D圖形，故D可能是該幾何體的截面，故選BCD.答案：BCD維度2斜二測(cè)畫(huà)法典例2有一塊多邊形的菜地，它水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，如圖所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______．直觀圖面積為S′＝eq\f(2\r(2)＋1,4)，可利用S′＝eq\f(\r(2),4)·S原圖形．求得原圖形的面積．解析：在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，如圖1，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).還原圖形關(guān)鍵兩點(diǎn)A′B′＝2AB，A′D′＝AD.又四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖2所示．在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)＋1))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).故答案為2＋eq\f(\r(2),2).平面圖形與其直觀圖的關(guān)系(1)在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半．(2)按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．以三角形為例說(shuō)明原因：S直觀圖＝eq\f(1,2)B′C′·O′A′·sin45°＝eq\f(1,2)BC·eq\f(1,2)OA·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)BC·OA·eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),4)·S原圖形．對(duì)點(diǎn)練2(2024·江西南昌月考)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為1cm，下底面邊長(zhǎng)為2cm，高(兩底面之間的距離，即兩底面中心連線的長(zhǎng)度)為2cm的正四棱臺(tái)．解：①畫(huà)軸．如圖1所示，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠x(chóng)Oy＝45°，∠x(chóng)Oz＝90°.②畫(huà)下底面．以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上截取線段MN＝2cm，在y軸上截取線段PQ＝1cm，分別過(guò)點(diǎn)M，N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P，Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正四棱臺(tái)的下底面．③畫(huà)高．在Oz上截取OO′＝2cm，過(guò)O′分別作平行于Ox，Oy的直線O′x′，O′y′.④畫(huà)上底面．在平面x′O′y′上用畫(huà)正四棱臺(tái)下底面的方法畫(huà)出邊長(zhǎng)為1cm的正四棱臺(tái)的上底面的直觀圖A′B′C′D′.⑤成圖．順次連接AA′，BB′，CC′，DD′，整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)得正四棱臺(tái)的直觀圖，如圖2所示．圖1圖2題型空間幾何體的表面積典例3(1)(2024·云南麗江模擬)已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，有兩個(gè)側(cè)面是等腰直角三角形，底面為等腰三角形且底上的高為eq\r(5)，則這個(gè)三棱錐的表面積為()計(jì)算每個(gè)面的面積．A．4＋3eq\r(3)＋eq\r(15) B．4＋eq\r(3)＋2eq\r(15)C．4＋eq\r(3)＋eq\r(15) D．4＋2eq\r(3)＋eq\r(15)(2)(2024·江蘇南京質(zhì)檢)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為_(kāi)_______．解析：(1)結(jié)合題目邊長(zhǎng)關(guān)系，三棱錐如圖所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝eq\r(5)，由題意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，則BC＝CD＝2eq\r(2)，則BE＝eq\r(BC2－CE2)＝eq\r(3)，BD＝2eq\r(3)，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝1，則該三棱錐的表面積△BCD是等腰三角形，△ABD也是等腰三角形．為S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＋eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(5)＝4＋eq\r(3)＋eq\r(15).故選C.(2)由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐的組合體．如圖，過(guò)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E，過(guò)C作AB的垂線，垂足為F.則∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，所以EC＝CD·sin45°＝2，ED＝EC＝2，所以CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，所以BC＝eq\r(32＋42)＝5.故圓臺(tái)的上底面半徑r1＝2，下底面半徑R＝5，高h(yuǎn)1＝4，母線長(zhǎng)l1＝5.圓錐底面半徑r2＝2，高h(yuǎn)2＝2，母線長(zhǎng)l2＝2eq\r(2).所以圓臺(tái)側(cè)面積S1＝π(R＋r1)l1＝π(5＋2)×5＝35π，圓臺(tái)側(cè)面積公式．圓錐側(cè)面積S2＝πr2l2＝π×2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)π，圓臺(tái)下底面面積S3＝πR2＝25π.故該幾何體的表面積S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4eq\r(2)π＋25π＝(60＋4eq\r(2))π.故答案為(60＋4eq\r(2))π.求解幾何體表面積的類型及求法(1)求多面體的表面積 只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積．(2)求旋轉(zhuǎn)體的表面積 可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其側(cè)面展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的關(guān)系．(3)求不規(guī)則幾何體的表面積 通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積．對(duì)點(diǎn)練3(1)(多選)已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，若θ＝30°，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(21)，則()A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6B．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3C．正四棱錐的側(cè)面積為24eq\r(3)D．正四棱錐的側(cè)面積為12eq\r(3)(2)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖(扇環(huán))所在的扇形的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_______cm2(結(jié)果中保留π)．解析：(1)如圖，在正四棱錐S-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，SH⊥AB，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a(a>0)，因?yàn)椤蟂HO＝30°，OH＝a，所以O(shè)S＝eq\f(\r(3),3)a，SH＝eq\f(2\r(3),3)a，在Rt△SAH中，因?yàn)閍2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a))2＝21，所以a＝3，底面邊長(zhǎng)為6，SH＝2eq\r(3)，所以側(cè)面積為S＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)×4＝24eq\r(3).故選AC.(2)如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，所以C＝π·SA.又C＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20cm.同理SB＝40cm.所以AB＝SB－SA＝20(cm)．S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.答案：(1)AC(2)1100π題型空間幾何體的體積典例4(1)(2023·全國(guó)乙卷，理)已知圓錐PO的底面半徑為eq\r(3)，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝120°，若可知AB的弦心距OD＝eq\f(\r(3),2)，且AB＝3.△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，則該圓錐的體積為此條件轉(zhuǎn)化為△PAB的斜高PD＝eq\f(3\r(3),2)，由此再計(jì)算高PO的長(zhǎng)．()A．π B.eq\r(6)πC．3π D．3eq\r(6)π(2)(2023·全國(guó)甲卷，文)在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．3解析：(1)因?yàn)椤螦OB＝120°，OA＝OB＝eq\r(3)，所以AB＝3.常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系要記準(zhǔn)確.①頂角為120°的等腰三角形中：底邊＝eq\r(3)·腰長(zhǎng)；②等腰直角三角形中：斜邊＝eq\r(2)·直角邊．如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接OD，PD，則OD＝eq\f(\r(3),2).又因?yàn)椤鱌AB為等腰三角形，面積為eq\f(9\r(3),4)，則有eq\f(1,2)×3×PD＝eq\f(9\r(3),4)，所以PD＝eq\f(3\r(3),2).在Rt△POD中，PO＝eq\r(PD2－OD2)＝eq\r(6)，所以該圓錐的體積為eq\f(1,3)×π(eq\r(3))2×eq\r(6)＝eq\r(6)π.故選B.(2)如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接PM，CM.由題意可知，△PAB與△ABC均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則PM＝CM＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PM2＋CM2＝PC2，所以PM⊥CM.由這些特殊的數(shù)量關(guān)系推得位置關(guān)系：PM⊥平面ABC，因此空間幾何是位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的完美統(tǒng)一．另：本例中AB⊥平面PMC，則有VP-ABC＝eq\f(1,3)S△PMC·AB.此法也很精妙！又PM⊥AB，且CM∩AB＝M，所以PM⊥平面ABC.因?yàn)镾△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所以三棱錐P-ABC的體積為eq\f(1,3)·S△ABC·PM＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.故選A.求多面體體積的幾種轉(zhuǎn)化方法(1)分割法：通過(guò)對(duì)不規(guī)則幾何體進(jìn)行分割，化為規(guī)則幾何體，分別求出體積后再相加即得所求幾何體體積．(2)補(bǔ)形法：通過(guò)補(bǔ)形構(gòu)造出一個(gè)規(guī)則幾何體，然后進(jìn)行計(jì)算．(3)等體積法：三棱錐的體積求解具有較多的靈活性，因?yàn)槿忮F的任意一個(gè)頂點(diǎn)都可以作為頂點(diǎn)，任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面，常常需要對(duì)其頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以方便求解．換頂點(diǎn)，換底面的常見(jiàn)技巧就是盡量讓底面在幾何體的表面上，這樣的底面數(shù)量關(guān)系更明顯.對(duì)點(diǎn)練4(1)(多選)(2023·新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面積