高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《雙曲線》專項(xiàng)測試卷含答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《雙曲線》專項(xiàng)測試卷含答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項(xiàng)選擇題1．已知雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，過點(diǎn)P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線l有()A．4條 B．3條C．2條 D．1條2．過雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1的左焦點(diǎn)作傾斜角為eq\f(π,6)的直線l，則直線l與雙曲線C的交點(diǎn)情況是()A．沒有交點(diǎn)B．只有一個(gè)交點(diǎn)C．有兩個(gè)交點(diǎn)且都在左支上D．有兩個(gè)交點(diǎn)且兩交點(diǎn)分別在左、右兩支上3．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1與直線y＝－eq\f(2,3)x＋m(m∈R)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．0或1 D．0或1或24．已知直線y＝kx＋1與雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8eq\r(,2)，則實(shí)數(shù)k的值為()A．±eq\r(,7) B．±eq\r(,3)或±eq\f(\r(,41),3)C．±eq\r(,3) D．±eq\f(\r(,41),3)5．已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左焦點(diǎn)為F1，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(4,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))6．過雙曲線x2－y2＝4上任一點(diǎn)M(x0，y0)作它的一條漸近線的垂線段，垂足為N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△MON的面積是()A．1 B．2C．4 D．不確定7．(2024·山東煙臺模擬)過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于A，B兩點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，若kAB·kOD＝eq\f(1,2)，則C的離心率為()A．eq\r(,6) B．2C．eq\r(,3) D．eq\f(\r(,6),2)8．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c，過右焦點(diǎn)F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是()A．弦AB的最小值為eq\f(2b2,a)B．若|AB|＝m，則△F1AB的周長為2m＋4aC．若AB的中點(diǎn)為M，且AB的斜率為k，則kOM·k＝eq\f(b2,a2)D．若直線AB的斜率為eq\r(,3)，則雙曲線的離心率e∈[2，＋∞)二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·河北唐山模擬)已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－x2＝1(a>0)，其上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過雙曲線上一點(diǎn)M(x0，y0)作直線l，分別與雙曲線的漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．若l⊥y軸，則|PQ|＝2B．若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)，則直線l的斜率為eq\f(1,4)C．直線PQ的方程為eq\f(y0y,a2)－x0x＝1D．若雙曲線的離心率為eq\f(\r(,5),2)，則△OPQ的面積為210．(2024·湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)關(guān)于雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，下列說法正確的是()A．該雙曲線與雙曲線eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1有相同的漸近線B．過點(diǎn)F(3,0)作直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝5，則滿足條件的直線只有一條C．若直線l與雙曲線C的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則直線l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(,5),2)，\f(\r(,5),2)))D．過點(diǎn)P(1,2)能作4條直線與雙曲線C僅有一個(gè)交點(diǎn)三、填空題與解答題11．過雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為eq\f(π,6)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.12．(2024·湖北武漢模擬)寫出一條同時(shí)滿足下列條件①②的直線l：________.①經(jīng)過點(diǎn)(eq\r(,2)，1)；②與雙曲線x2－y2＝1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．13．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________．14．(2024·廣東肇慶模擬)已知圓M：(x＋2)2＋y2＝eq\f(27,4)的圓心為M，圓N：(x－2)2＋y2＝eq\f(3,4)的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知定點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，過點(diǎn)N的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，證明：∠APN＝∠BPN.高分推薦題15．(2022·新高考全國Ⅰ卷)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ＝2eq\r(,2)，求△PAQ的面積．解析版一、單項(xiàng)選擇題1．已知雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，過點(diǎn)P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線l有()A．4條 B．3條C．2條 D．1條解析：因?yàn)殡p曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，則P(1,0)是雙曲線的右頂點(diǎn)，所以過P(1,0)且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，另外兩條就是過P(1,0)分別和兩條漸近線平行的直線，所以符合要求的直線有3條．答案：B2．過雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1的左焦點(diǎn)作傾斜角為eq\f(π,6)的直線l，則直線l與雙曲線C的交點(diǎn)情況是()A．沒有交點(diǎn)B．只有一個(gè)交點(diǎn)C．有兩個(gè)交點(diǎn)且都在左支上D．有兩個(gè)交點(diǎn)且兩交點(diǎn)分別在左、右兩支上解析：直線l的方程為y＝eq\f(\r(,3),3)(x＋eq\r(,13))，代入C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1，整理得23x2－8eq\r(,13)x－160＝0，Δ＝(－8eq\r(,13))2＋4×23×160>0，所以直線l與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)符號不同，故兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上．答案：D3．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1與直線y＝－eq\f(2,3)x＋m(m∈R)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．0或1 D．0或1或2解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，當(dāng)m＝0時(shí)，直線y＝－eq\f(2,3)x與雙曲線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，直線y＝－eq\f(2,3)x＋m與雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上，雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1與直線y＝－eq\f(2,3)x＋m(m∈R)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或1.答案：C4．已知直線y＝kx＋1與雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8eq\r(,2)，則實(shí)數(shù)k的值為()A．±eq\r(,7) B．±eq\r(,3)或±eq\f(\r(,41),3)C．±eq\r(,3) D．±eq\f(\r(,41),3)解析：由直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，得k≠±2.將y＝kx＋1代入x2－eq\f(y2,4)＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0，由Δ＝4k2＋4×(4－k2)×5>0，得k2<5.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2k,4－k2)，x1x2＝－eq\f(5,4－k2)，所以|AB|＝eq\r(,1＋k2)·eq\r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,4－k2)))2＋\f(20,4－k2))＝8eq\r(,2)，解得k＝±eq\r(,3)或±eq\f(\r(,41),3).答案：B5．已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左焦點(diǎn)為F1，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(4,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，當(dāng)直線l與漸近線平行時(shí)，與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率大于零時(shí)，要與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，則需直線l的斜率k>eq\f(3,4)；當(dāng)直線l的斜率小于零時(shí)，要與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，則需直線l的斜率k<－eq\f(3,4).故選B．答案：B6．過雙曲線x2－y2＝4上任一點(diǎn)M(x0，y0)作它的一條漸近線的垂線段，垂足為N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△MON的面積是()A．1 B．2C．4 D．不確定解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±x，設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)M(x0，y0)到直線x－y＝0，x＋y＝0的距離，則d1d2＝eq\f(|x0－y0|,\r(,2))·eq\f(|x0＋y0|,\r(,2))＝eq\f(|x\o\al(2,0)－y\o\al(2,0)|,2)＝2，因?yàn)閮蓷l漸近線垂直，所以S△MON＝eq\f(1,2)d1d2＝1.答案：A7．(2024·山東煙臺模擬)過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于A，B兩點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，若kAB·kOD＝eq\f(1,2)，則C的離心率為()A．eq\r(,6) B．2C．eq\r(,3) D．eq\f(\r(,6),2)解析：不妨設(shè)過雙曲線C的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線方程為y＝k(x－c)，k≠0，令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,y＝kx－c，))消去y并整理得(b2－a2k2)x2＋2a2k2cx－(a2k2c2＋a2b2)＝0.則x1＋x2＝eq\f(2a2k2c,a2k2－b2)，x1x2＝eq\f(a2k2c2＋a2b2,a2k2－b2)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2k2c,a2k2－b2)，\f(kb2c,a2k2－b2))).則kOD＝eq\f(b2,a2k)，由kAB·kOD＝eq\f(1,2)，可得eq\f(b2,a2k)·k＝eq\f(1,2).則有a2＝2b2，即3a2＝2c2，則雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(,6),2).故選D．答案：D8．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c，過右焦點(diǎn)F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是()A．弦AB的最小值為eq\f(2b2,a)B．若|AB|＝m，則△F1AB的周長為2m＋4aC．若AB的中點(diǎn)為M，且AB的斜率為k，則kOM·k＝eq\f(b2,a2)D．若直線AB的斜率為eq\r(,3)，則雙曲線的離心率e∈[2，＋∞)解析：對于A，弦AB的最小值為通徑eq\f(2b2,a)，故A正確；對于B，由雙曲線的定義得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，得|AF1|＋|BF1|＝4a＋m，所以△F1AB的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m，故B正確；對于C，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)－\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式相減得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)－eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，則eq\f(1,a2)－eq\f(y1＋y2,b2x1＋x2)·eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，則eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2)·kOM·k＝0，則kOM·k＝eq\f(b2,a2)，故C正確；對于D，若直線AB的斜率為eq\r(,3)，則eq\f(b,a)<eq\r(,3)，所以b2<3a2，所以c2<4a2，所以1<e<2，故D錯(cuò)誤．故選D．答案：D二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·河北唐山模擬)已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－x2＝1(a>0)，其上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過雙曲線上一點(diǎn)M(x0，y0)作直線l，分別與雙曲線的漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．若l⊥y軸，則|PQ|＝2B．若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)，則直線l的斜率為eq\f(1,4)C．直線PQ的方程為eq\f(y0y,a2)－x0x＝1D．若雙曲線的離心率為eq\f(\r(,5),2)，則△OPQ的面積為2解析：若l⊥y軸，則直線l過雙曲線的頂點(diǎn)，M(0，±a)，雙曲線的漸近線方程為y＝±ax，易得P，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±1，∴|PQ|＝2，故A正確；若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)，則a＝eq\r(,2)，易得雙曲線的漸近線方程為y2－2x2＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)－2xeq\o\al(2,1)＝0，yeq\o\al(2,2)－2xeq\o\al(2,2)＝0，兩式作差可得，yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝2xeq\o\al(2,1)－2xeq\o\al(2,2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2×eq\f(x1＋x2,y1＋y2)，∴kl＝2×eq\f(2,4)＝1，故B錯(cuò)誤；若M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，利用點(diǎn)差法同樣可得kl＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝a2×eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝eq\f(a2x0,y0)，∴直線PQ的方程為y－y0＝eq\f(a2x0,y0)(x－x0)，即y0y－yeq\o\al(2,0)＝a2x0x－a2xeq\o\al(2,0)，y0y－a2x0x＝y(tǒng)eq\o\al(2,0)－a2xeq\o\al(2,0)＝a2，∴eq\f(y0y,a2)－x0x＝1，故C正確；若雙曲線的離心率為eq\f(\r(,5),2)，則雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－x2＝1，∴漸近線的方程為y＝±2x，設(shè)P(x1，2x1)，Q(x2，－2x2)，∴S△OPQ＝2|x1x2|，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0y,4)－x0x＝1，,y＝2x，))可得x1＝eq\f(2,y0－2x0)，同理可得x2＝eq\f(－2,y0＋2x0)，∴S△OPQ＝2|x1x2|＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,y0－2x0)·\f(－2,y0＋2x0)))＝eq\f(8,|y\o\al(2,0)－4x\o\al(2,0)|)＝eq\f(8,4)＝2，故D正確．故選ACD．答案：ACD10．(2024·湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)關(guān)于雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，下列說法正確的是()A．該雙曲線與雙曲線eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1有相同的漸近線B．過點(diǎn)F(3,0)作直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝5，則滿足條件的直線只有一條C．若直線l與雙曲線C的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則直線l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(,5),2)，\f(\r(,5),2)))D．過點(diǎn)P(1,2)能作4條直線與雙曲線C僅有一個(gè)交點(diǎn)解析：雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的漸近線方程可表示為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝0，雙曲線eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1的漸近線方程可表示為eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝0，整理后都是y＝±eq\f(\r(,5),2)x，故A正確；由于雙曲線的實(shí)軸長為2a＝4，∴過焦點(diǎn)F與左、右兩支都相交的直線被雙曲線截得的弦長的取值范圍是[4，＋∞)，存在關(guān)于x軸對稱的兩種情況，使其弦長為5，另外當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，經(jīng)計(jì)算可得弦長正好是5，故滿足條件的直線有三條，如圖所示，故B錯(cuò)誤；由于雙曲線的漸近線的斜率為±eq\f(\r(,5),2)，焦點(diǎn)在x軸上，∴若直線l與雙曲線C的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則直線l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(,5),2)，\f(\r(,5),2)))，如圖所示，故C正確；如圖所示，過點(diǎn)P(1,2)能作4條直線與雙曲線C僅有一個(gè)交點(diǎn)，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與雙曲線相切，故D正確．故選ACD．答案：ACD三、填空題與解答題11．過雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為eq\f(π,6)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.解析：易得雙曲線的左焦點(diǎn)F1(－2,0)，∴直線AB的方程為y＝eq\f(\r(,3),3)(x＋2)，與雙曲線方程聯(lián)立，得8x2－4x－13＝0.Δ＝16＋4×8×13＞0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(1,2)，x1x2＝－eq\f(13,8)，∴|AB|＝eq\r(,1＋\f(1,3))×eq\r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,8))))＝3.答案：312．(2024·湖北武漢模擬)寫出一條同時(shí)滿足下列條件①②的直線l：________.①經(jīng)過點(diǎn)(eq\r(,2)，1)；②與雙曲線x2－y2＝1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．解析：顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－eq\r(,2))，代入雙曲線的方程得(1－k2)x2－2k(1－eq\r(,2)k)x－2＋2eq\r(,2)k－2k2＝0.當(dāng)1－k2＝0時(shí)，k＝±1，此時(shí)直線方程為y－1＝x－eq\r(,2)或y－1＝－(x－eq\r(,2))，即y＝x＋1－eq\r(,2)或y＝－x＋1＋eq\r(,2).當(dāng)1－k2≠0時(shí)，Δ＝4k2(1－eq\r(,2)k)2－4(1－k2)(－2＋2eq\r(,2)k－2k2)＝0，解得k＝eq\r(,2)，此時(shí)直線方程為y－1＝eq\r(,2)(x－eq\r(,2))，即y＝eq\r(,2)x－1.答案：y＝eq\r(,2)x－1或y＝x＋1－eq\r(,2)或y＝－x＋1＋eq\r(,2)(只需答出其中之一即可)13．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________．解析：雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)為A(3,0)，右焦點(diǎn)為F(5,0)，漸近線的方程為y＝±eq\f(4,3)x.不妨設(shè)直線FB的方程為y＝eq\f(4,3)(x－5)，代入雙曲線的方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝eq\f(17,5)，y＝－eq\f(32,15)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).所以S△AFB＝eq\f(1,2)|AF||yB|＝eq\f(1,2)(c－a)·|yB|＝eq\f(1,2)×(5－3)×eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).答案：eq\f(32,15)14．(2024·廣東肇慶模擬)已知圓M：(x＋2)2＋y2＝eq\f(27,4)的圓心為M，圓N：(x－2)2＋y2＝eq\f(3,4)的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知定點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，過點(diǎn)N的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，證明：∠APN＝∠BPN.(1)解：如圖，設(shè)圓E的圓心E(x，y)，半徑為r，則|EM|＝r＋eq\f(3\r(,3),2)，|EN|＝r－eq\f(\r(,3),2)，所以|EM|－|EN|＝2eq\r(,3)<|MN|＝4.由雙曲線的定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2eq\r(,3)的雙曲線的右支，所以曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1，x≥eq\r(,3).(2)證明：由題意知直線l的斜率不為零．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為x＝my＋2，由于直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，故－eq\r(,3)<m<eq\r(,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－y2＝1，x≥\r(,3)，,x＝my＋2，))消去x并整理得(m2－3)y2＋4my＋1＝0，Δ＝16m2－4(m2－3)＞0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(4m,m2－3)，,y1y2＝\f(1,m2－3)，))又x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，y1≠0，y2≠0，eq\f(1,kAP)＋eq\f(1,kBP)＝eq\f(my1＋\f(1,2),y1)＋eq\f(my2＋\f(1,2),y2)＝2m＋eq\f(1,2)·eq\f(y1＋y2,y1y2)＝2m＋eq\f(1,2)·eq\f(－\f(4m,m2－3),\f(1,m2－3))＝0，即kAP＋kBP＝0，所以∠APN＝∠BPN.高分推薦題15．(2022·新高考全國Ⅰ卷)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.(1)求l的斜率；(2)