高考數(shù)學總復習《橢圓》專項測試卷及參考答案

第第頁高考數(shù)學總復習《橢圓》專項測試卷及參考答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．若橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．42．(2023·湖南長沙模擬)橢圓eq\r(x－32＋y－42)＋eq\r(x＋32＋y＋42)＝26的短軸長為()A．10 B．12C．24 D．263．如圖所示，圓柱形玻璃杯中水的液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)4．(2024·四川資陽模擬)如圖所示，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，交y軸于點H，若F1，H是線段MN的三等分點，則△F2MN的周長為()A．20 B．10C．2eq\r(5) D．4eq\r(5)5．(2024·山東聊城模擬)研究發(fā)現(xiàn)橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，這個圓叫做橢圓的蒙日圓，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長半軸與短半軸平方和的算術平方根．設橢圓C的焦點為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上的任意一點，R為橢圓C的蒙日圓的半徑，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值為eq\f(1,5)R2，則橢圓C的離心率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(,2),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(,3),3)6．(2024·廣東東莞模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線l交橢圓C于A，B兩點，若△AF2B是邊長為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝17．設橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(,3),2)，P是C上一點，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則a＝()A．1 B．2C．4 D．88．(2024·廣西柳州、梧州大聯(lián)考)已知F是橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦點，P為橢圓C上一點，A(1，2eq\r(,2))，則|PA|＋|PF|的最大值為()A．4eq\r(,2) B．4eq\r(,3)C．4＋2eq\r(,2) D．4＋2eq\r(,3)9．已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓C上，當△MF1F2的面積最大時，△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為()A．3 B．2C．eq\f(5,3) D．eq\f(4,3)二、多項選擇題10．2021年2月10日19時52分，中國首次火星探測任務“天問一號”探測器在火星附近一點P變軌進入以火星星球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ(環(huán)火軌道)繞火星飛行，2021年2月24日6時29分，“天問一號”探測器成功實施第三次近火制動，在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ(火星停泊軌道)，且測得該軌道近火點m千米，遠火點n千米，火星半徑為r千米，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C．橢圓軌道Ⅱ的短軸長為2eq\r(,m＋rn＋r)D．a(chǎn)2c1<a1c211．數(shù)學家稱eq\f(\r(5)－1,2)為黃金比，記為ω，定義：若橢圓的短軸與長軸之比為黃金比ω，則稱該橢圓為“黃金橢圓”，以橢圓中心為圓心，半焦距長為半徑的圓稱為焦點圓．若黃金橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與它的焦點圓在第一象限的交點為Q，則下列結(jié)論正確的有()A．ω2＋ω＝1B．黃金橢圓的離心率e＝ωC．設直線OQ的傾斜角為θ，則sinθ＝ωD．交點Q的坐標為(b，ωb)三、填空題與解答題12．(2024·山東濟寧第一中學質(zhì)量檢測)如圖，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F，過F的直線交橢圓于A，B兩點，點C是A點關于原點O的對稱點，若CF⊥AB且CF＝AB，則橢圓的離心率為________．13．(2024·河北平頂山模擬)已知橢圓C的一個焦點為F(0,1)，橢圓C上的點到F的距離的最小值為1，則橢圓C的標準方程為______________；若P為橢圓C上一動點，M(3,3)，則|PM|－|PF|的最小值為________．14．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，左頂點為A，點E的坐標為(0，c)，點A到直線EF2的距離為eq\f(\r(,6),2)b.(1)求橢圓C的離心率；(2)若P為橢圓C上的一點，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為eq\r(,3)，求橢圓C的標準方程．高分推薦題15．(多選)(2024·山東青島模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，y0))為橢圓C上一點，則下列結(jié)論正確的是()A．△MF1F2的周長為6B．△MF1F2的面積為eq\f(\r(,15),2)C．△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為eq\f(\r(,15),9)D．△MF1F2的外接圓的直徑為eq\f(32,11)解析版一、單項選擇題1．若橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4解析：將原方程變形為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1.由題意知a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，∴a＝eq\r(,\f(1,m))，b＝1.∴eq\r(,\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).答案：A2．(2023·湖南長沙模擬)橢圓eq\r(x－32＋y－42)＋eq\r(x＋32＋y＋42)＝26的短軸長為()A．10 B．12C．24 D．26解析：由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝26，,2c＝\r(－3－32＋－4－42)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝13，,c＝5，))則b＝12,2b＝24.故選C．答案：C3．如圖所示，圓柱形玻璃杯中水的液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)解析：設圓柱的底面半徑為1，則橢圓的短半軸長為1，長軸長為eq\f(2,sin60°)＝eq\f(4\r(3),3)，即長半軸長為eq\f(2\r(3),3)，所以半焦距為eq\f(\r(3),3)，故離心率為eq\f(1,2).答案：B4．(2024·四川資陽模擬)如圖所示，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，交y軸于點H，若F1，H是線段MN的三等分點，則△F2MN的周長為()A．20 B．10C．2eq\r(5) D．4eq\r(5)解析：∵F1H＝HN，OF1＝OF2，∴OH∥F2N，∵Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(4,a)))，∴可得Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a))).∵F1為MH的中點，∴易得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，－\f(2,a)))，將點M代入橢圓方程，即eq\f(4c2,a2)＋eq\f(1,a2)＝1，即4c2＋1＝a2，∴b2＝a2－c2＝3c2＋1＝4，∴c2＝1，∴a＝eq\r(5)，∴△F2MN的周長為4a＝4eq\r(5).答案：D5．(2024·山東聊城模擬)研究發(fā)現(xiàn)橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，這個圓叫做橢圓的蒙日圓，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長半軸與短半軸平方和的算術平方根．設橢圓C的焦點為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上的任意一點，R為橢圓C的蒙日圓的半徑，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值為eq\f(1,5)R2，則橢圓C的離心率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(,2),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(,3),3)解析：設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意得R2＝a2＋b2.設P(x，y)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(－c,0)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝x2＋y2－c2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2－\f(b2x2,a2)))－c2＝eq\f(c2x2,a2)＋a2－2c2.∴當x＝0時，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))有最小值a2－2c2.(當橢圓焦點在y軸上時，同理可證)∴a2－2c2＝eq\f(1,5)(a2＋b2)＝eq\f(1,5)(2a2－c2)，即e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，解得e＝eq\f(\r(,3),3)或e＝－eq\f(\r(,3),3)(舍去)．故選D．答案：D6．(2024·廣東東莞模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線l交橢圓C于A，B兩點，若△AF2B是邊長為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1解析：如圖所示，∵△ABF2是邊長為4的等邊三角形，∴|AF2|＝4，|AF1|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，∴a＝3.又∵|F1F2|＝2c＝eq\r(\a\vs4\al(|AF2|2－|AF1|2))＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(3)，則b2＝a2－c2＝6，故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.故選B．答案：B7．設橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(,3),2)，P是C上一點，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則a＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：∵eq\f(c,a)＝eq\f(\r(,3),2)，∴3a2＝4c2.由橢圓定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a.由F1P⊥F2P得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，又△PF1F2的面積為4，則eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝4，即|PF1|·|PF2|＝8，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，即4a2－16＝3a2，則a2＝16，解得a＝4.故選C．答案：C8．(2024·廣西柳州、梧州大聯(lián)考)已知F是橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦點，P為橢圓C上一點，A(1，2eq\r(,2))，則|PA|＋|PF|的最大值為()A．4eq\r(,2) B．4eq\r(,3)C．4＋2eq\r(,2) D．4＋2eq\r(,3)解析：由題意可得，a＝2，b＝eq\r(,3)，c＝eq\r(,a2－b2)＝1，則橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦點為F(1,0)．∵eq\f(1,4)＋eq\f(2\r(,2)2,3)＝eq\f(35,12)>1，∴點A(1,2eq\r(,2))在橢圓外．設橢圓C的左焦點為F′(－1,0)，連接PF′(圖略)，則|PF′|＋|PF|＝4，即|PF|＝4－|PF′|，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋4－|PF′|.∵|PA|－|PF′|≤|AF′|＝2eq\r(,3)，當點P為AF′的延長線與橢圓的交點時取等號，∴|PA|＋|PF|≤4＋2eq\r(,3).故|PA|＋|PF|的最大值為4＋2eq\r(,3).故選D．答案：D9．已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓C上，當△MF1F2的面積最大時，△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為()A．3 B．2C．eq\f(5,3) D．eq\f(4,3)解析：因為橢圓為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，所以a＝5，b＝3，c＝eq\r(,a2－b2)＝4.當△MF1F2的面積最大時，點M為橢圓C短軸的頂點，不妨設點M為橢圓C的上頂點，點O為坐標原點，△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，則|MF1|＝|MF2|＝a＝5，|F1F2|＝2c＝8，|OM|＝b＝3，S△MF1F2＝eq\f(1,2)(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·r＝eq\f(1,2)|F1F2|·|OM|，所以r＝eq\f(4,3).故選D．答案：D二、多項選擇題10．2021年2月10日19時52分，中國首次火星探測任務“天問一號”探測器在火星附近一點P變軌進入以火星星球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ(環(huán)火軌道)繞火星飛行，2021年2月24日6時29分，“天問一號”探測器成功實施第三次近火制動，在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ(火星停泊軌道)，且測得該軌道近火點m千米，遠火點n千米，火星半徑為r千米，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C．橢圓軌道Ⅱ的短軸長為2eq\r(,m＋rn＋r)D．a(chǎn)2c1<a1c2解析：由已知得a1>a2，b1>b2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A錯誤；|PF|＝a1－c1＝a2－c2，故B正確；軌道Ⅱ的短軸長為2b2＝2eq\r(,a\o\al(2,2)－c\o\al(2,2))＝2eq\r(,a2－c2a2＋c2)＝2eq\r(,m＋rn＋r)，故C正確；由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1，兩邊平方，得aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，即beq\o\al(2,1)＋2a1c2＝beq\o\al(2,2)＋2a2c1，由于b1>b2>0，故beq\o\al(2,1)>beq\o\al(2,2)，∴a1c2<a2c1，故D錯誤．故選BC．答案：BC11．數(shù)學家稱eq\f(\r(5)－1,2)為黃金比，記為ω，定義：若橢圓的短軸與長軸之比為黃金比ω，則稱該橢圓為“黃金橢圓”，以橢圓中心為圓心，半焦距長為半徑的圓稱為焦點圓．若黃金橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與它的焦點圓在第一象限的交點為Q，則下列結(jié)論正確的有()A．ω2＋ω＝1B．黃金橢圓的離心率e＝ωC．設直線OQ的傾斜角為θ，則sinθ＝ωD．交點Q的坐標為(b，ωb)解析：方程ω2＋ω－1＝0的根為ω＝eq\f(－1±\r(5),2)，故A正確；由題意可知，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)＝ω，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－ω2)＝eq\r(ω)≠ω，故B錯誤；易知QF1⊥QF2，且∠QF1F2＝eq\f(θ,2)，則|QF2|＝2c·sineq\f(θ,2)，|QF1|＝2c·coseq\f(θ,2)，所以|QF1|＋|QF2|＝2c·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))＝2a，即sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,\r(ω))，兩邊平方，可得sinθ＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(ω))))2＝eq\f(2,\r(5)－1)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，即sinθ＝eq\f(\r(5)＋1,2)－1＝eq\f(\r(5)－1,2)＝ω，故C正確；由C知sinθ＝ω，所以tanθ≠ω，故D錯誤，故選AC．答案：AC三、填空題與解答題12．(2024·山東濟寧第一中學質(zhì)量檢測)如圖，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F，過F的直線交橢圓于A，B兩點，點C是A點關于原點O的對稱點，若CF⊥AB且CF＝AB，則橢圓的離心率為________．解析：設橢圓的左焦點為F′，連接AF′，BF′，CF′，則四邊形FAF′C為矩形，所以AF′＝CF＝AB，且AF′⊥AB，則三角形ABF′為等腰直角三角形，設AF′＝AB＝x(x>0)，則x＋x＋eq\r(2)x＝4a，解得x＝(4－2eq\r(2))a，則AF＝(2eq\r(2)－2)a，在Rt△AFF′中，由勾股定理得(AF′)2＋(AF)2＝(2c)2，所以[(4－2eq\r(,2))a]2＋[(2eq\r(,2)－2)a]2＝(2c)2，得e2＝9－6eq\r(2)，所以e＝eq\r(6)－eq\r(3).答案：eq\r(6)－eq\r(3)13．(2024·河北平頂山模擬)已知橢圓C的一個焦點為F(0,1)，橢圓C上的點到F的距離的最小值為1，則橢圓C的標準方程為______________；若P為橢圓C上一動點，M(3,3)，則|PM|－|PF|的最小值為________．解析：因為橢圓C的一個焦點為F(0,1)，所以橢圓C的焦點在y軸上，且c＝1.因為橢圓C上的點到F的距離的最小值為1，所以a－c＝1，得a＝2.因為b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的標準方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.將M(3,3)代入橢圓方程，得eq\f(32,4)＋eq\f(32,3)＝eq\f(63,12)>1，所以點M在橢圓外．如圖所示，設橢圓C的另一個焦點為F′(0，－1)，則|PF|＋|PF′|＝4，所以|PM|－|PF|＝|PM|＋|PF′|－4.當F′，P，M三點共線時，|PM|＋|PF′|取得最小值，且最小值為|MF′|＝eq\r(,3－02＋3＋12)＝5，所以|PM|－|PF|的最小值為1.答案：eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1114．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，左頂點為A，點E的坐標為(0，c)，點A到直線EF2的距離為eq\f(\r(,6),2)b.(1)求橢圓C的離心率；(2)若P為橢圓C上的一點，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為eq\r(,3)，求橢圓C的標準方程．解：(1)由題意，得A(－a,0)，直線EF2的方程為x＋y＝c.因為點A到直線EF2的距離為eq\f(\r(,6),2)b，即eq\f(|－a－c|,\r(,12＋12))＝eq\f(\r(,6),2)b，所以a＋c＝eq\r(,3)b，即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，所以2c2＋ac－a2＝0，因為離心率e＝eq\f(c,a)，所以2e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(1,2)或e＝－1(舍去)，所以橢圓C的離心率為eq\f(1,2).(2)由(1)知離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c①.因為∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為eq\r(,3)，所以eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\r(,3)，所以|PF1||PF2|＝4.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,\a\vs4\al(|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°,＝2c2，)))所以a2－c2＝3②，聯(lián)立①②，得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.高分推薦題15．(多