2023-2024學年安徽省合肥市六校聯(lián)盟高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市六校聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以故選：A.2.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】對于A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故A錯誤；對于B，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)與的定義域和對應法則都相同，所以表示相同的函數(shù)，故C正確；對于D，函數(shù)定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故D錯誤.故選：C.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)零點所在的區(qū)間為.故選：B.4.函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域為，所以，所以為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關于軸對稱，排除選項B；而，排除選項C；，排除選項A.故選：D.5.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知.故選：B.6.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的圖像可知，，則，，由，解得，則，故，.故選：B.7.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，由，得，則，即，所以.故選：B.8.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，.若對任意的，且有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式可化為，即，令函數(shù)，由，可得，結合，函數(shù)是上的增函數(shù)，又，不等式，，，即，，不等式的解集為.故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多項符合題目要求，全部答對得5分，部分答對得2分，有選錯得0分.9.下列說法正確的是（）A.是第二象限角B.點是函數(shù)的一個對稱中心C.若角終邊上一點的坐標為（其中），則D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)圖象向左平移個單位得到【答案】AC【解析】對于A，的終邊與的終邊相同，所以為第二象限角，故A正確；對于B，由，故B錯誤；對于C，利用三角函數(shù)的定義知，故C正確；對于D，由，可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，故D錯誤.故選：AC．10.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個元素，則C.關于的不等式的解集，則不等式的解集為D.“”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】對A：命題“”的否定是“，使得”，故A錯誤；對B：當時，集合中也只有一個元素，故B錯誤；對C：因為關于的不等式的解集為，故，不妨設，則由韋達定理可得，，所以不等式，故C正確；對D：由“，”可得“”，但“”，比如時，“，”就不成立，故D成立.故選：CD.11.若實數(shù)m，，滿足，以下選項中正確的有（）A.mn的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.最小值為【答案】AD【解析】對于A，由m，，得，又，所以，解得，當且僅當，即，時等號成立，所以mn最大值為，選項A正確；對于B，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，選項B錯誤；對于C，由，得，所以，當且僅當，即時等號成立，又m，，所以，選項C錯誤；對于D，由m，，，得，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，選項D正確．故選：AD．12.已知函數(shù)函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則有3個零點D.若，則有5個零點【答案】ACD【解析】對A：，，故A正確；圖1對B：若，則或，當時，或，當時，由圖1可知或，故B錯誤；對C：若，由圖1可知則或，當時，由知只有一解，當時，由圖可知有兩解，故有3個零點，故C正確；對D：若，，由圖2知或或，當時，只有一根，當時，只有兩根，當時，只有兩根，所以共有5根，故D正確.圖2故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則___________.【答案】【解析】由題意得，，所以.故答案為：.14.已知，則________．【答案】【解析】由誘導公式，.故答案為：.15.若函數(shù)值域為，則的取值范圍為____________．【答案】【解析】設函數(shù)值域為，由函數(shù)值域為，則，當時，的值域為，符合題意；當時，由，解得，所以的取值范圍為．故答案為：．16.已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則__________.【答案】或【解析】因為，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則，則，可得，解得，且，解得，可知：或1，或故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則和運算性質，可得：原式.（2）由對數(shù)的運算法則和對數(shù)的運算性質，可得：.18.設全集，集合，集合．（1）若時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為或，當時，，所以.（2）因為，所以，當時，，所以，此時滿足條件，當時，因為，所以或，解得或，綜上或，即.19.已知冪函數(shù)的圖象過點.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值組成的集合.解：（1）的圖象過點，所以，則，函數(shù)的解析式為.（2），所以函數(shù)圖象的對稱軸為，若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則或，即或，所以實數(shù)的取值組成的集合為或.20.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若，求的值．解：（1），故周期為，令，，所以的增區(qū)間為.（2），，，故.21.已知函數(shù)的最大值為，與直線的相鄰兩個交點的距離為.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標不變，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù).（1）求的解析式；（2）若，且方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)的最大值為，所以，又與直線的相鄰兩個交點的距離為，所以，所以，則，將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標不變，得到，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù).（2），在上有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，令，所以，由，所以，所以，則，同時，所以，所以在上有實數(shù)解，等價于在上有解，即在上有解，①時，無解；②時，有解，即在有解，即在有解，令，，則，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的值域為，所以在有解等價于，綜上：.22.已知函數(shù)對任意的實數(shù)都有，且當時，有恒成立.（1）求證：函數(shù)在上為增函數(shù).（2）若，對任意的，關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）任取，且，因為，，所以，故，因為，所以，又因為當時，，所以，所以，所以，即，所以在上為增函數(shù).（2）當時，，解得，關于的不等式恒成立，等價于恒成立，因為，，所以，即恒成立，因為在上為增函數(shù)，所以，又因為在上單調(diào)遞減，由題意可得，恒成立，即恒成立，令，因為，則，所以恒成立，等價于恒成立，令，則，因為函數(shù)對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.安徽省合肥市六校聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以故選：A.2.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】對于A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故A錯誤；對于B，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)與的定義域和對應法則都相同，所以表示相同的函數(shù)，故C正確；對于D，函數(shù)定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故D錯誤.故選：C.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)零點所在的區(qū)間為.故選：B.4.函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域為，所以，所以為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關于軸對稱，排除選項B；而，排除選項C；，排除選項A.故選：D.5.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知.故選：B.6.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的圖像可知，，則，，由，解得，則，故，.故選：B.7.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，由，得，則，即，所以.故選：B.8.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，.若對任意的，且有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式可化為，即，令函數(shù)，由，可得，結合，函數(shù)是上的增函數(shù)，又，不等式，，，即，，不等式的解集為.故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多項符合題目要求，全部答對得5分，部分答對得2分，有選錯得0分.9.下列說法正確的是（）A.是第二象限角B.點是函數(shù)的一個對稱中心C.若角終邊上一點的坐標為（其中），則D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)圖象向左平移個單位得到【答案】AC【解析】對于A，的終邊與的終邊相同，所以為第二象限角，故A正確；對于B，由，故B錯誤；對于C，利用三角函數(shù)的定義知，故C正確；對于D，由，可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，故D錯誤.故選：AC．10.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個元素，則C.關于的不等式的解集，則不等式的解集為D.“”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】對A：命題“”的否定是“，使得”，故A錯誤；對B：當時，集合中也只有一個元素，故B錯誤；對C：因為關于的不等式的解集為，故，不妨設，則由韋達定理可得，，所以不等式，故C正確；對D：由“，”可得“”，但“”，比如時，“，”就不成立，故D成立.故選：CD.11.若實數(shù)m，，滿足，以下選項中正確的有（）A.mn的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.最小值為【答案】AD【解析】對于A，由m，，得，又，所以，解得，當且僅當，即，時等號成立，所以mn最大值為，選項A正確；對于B，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，選項B錯誤；對于C，由，得，所以，當且僅當，即時等號成立，又m，，所以，選項C錯誤；對于D，由m，，，得，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，選項D正確．故選：AD．12.已知函數(shù)函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則有3個零點D.若，則有5個零點【答案】ACD【解析】對A：，，故A正確；圖1對B：若，則或，當時，或，當時，由圖1可知或，故B錯誤；對C：若，由圖1可知則或，當時，由知只有一解，當時，由圖可知有兩解，故有3個零點，故C正確；對D：若，，由圖2知或或，當時，只有一根，當時，只有兩根，當時，只有兩根，所以共有5根，故D正確.圖2故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則___________.【答案】【解析】由題意得，，所以.故答案為：.14.已知，則________．【答案】【解析】由誘導公式，.故答案為：.15.若函數(shù)值域為，則的取值范圍為____________．【答案】【解析】設函數(shù)值域為，由函數(shù)值域為，則，當時，的值域為，符合題意；當時，由，解得，所以的取值范圍為．故答案為：．16.已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則__________.【答案】或【解析】因為，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則，則，可得，解得，且，解得，可知：或1，或故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則和運算性質，可得：原式.（2）由對數(shù)的運算法則和對數(shù)的運算性質，可得：.18.設全集，集合，集合．（1）若時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為或，當時，，所以.（2）因為，所以，當時，，所以，此時滿足條件，當時，因為，所以或，解得或，綜上或，即.19.已知冪函數(shù)的圖象過點.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值組成的集合.解：（1）的圖象過點，所以，則，函數(shù)的解析式為.（2），所以函數(shù)圖象的對稱軸為，若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則或，即或，所以實數(shù)的取值組成的集合為或.20.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若，求的值．解：（1），故周期