2023-2024學(xué)年福建省福州市高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題“，”為全稱量詞命題，該命題的否定為“，”.故選：C.3.在下列區(qū)間中，方程的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意函數(shù)單調(diào)遞增，且，由零點(diǎn)存在定理可知方程的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間只能為.故選：C.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，?duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，，因此，.故選：B.5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)或；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意.故選：B.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.8.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放.已知過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：h）的關(guān)系為（且，且），其圖象如下，則污染物減少至少需要的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.23小時(shí) B.25小時(shí) C.42小時(shí) D.44小時(shí)【答案】D【解析】由題意時(shí)，，時(shí)，，解得，令，解得，對(duì)比選項(xiàng)可知污染物減少至少需要的時(shí)間約為44小時(shí).故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋刹坏仁降男再|(zhì)可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，取，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，且，則，D對(duì).故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如下所示，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】由圖知，五點(diǎn)法作圖中的第二個(gè)點(diǎn)為，第五個(gè)點(diǎn)為，所以，且，解得，得到，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋傻膱D像與性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，由的圖像與性質(zhì)知選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得：，又，即為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?、都有，且，則（）A. B.C.是增函數(shù) D.是偶函數(shù)【答案】BC【解析】令，得，則，令，則，①令，則，即，②聯(lián)立①②可得，則，，A錯(cuò)B對(duì)；函數(shù)為增函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù)，C對(duì)D錯(cuò).故選：BC.12.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則（）AB.C.D.關(guān)于的方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】ABD【解析】如圖，依題意作出函數(shù)的圖象，對(duì)于A項(xiàng)，作出關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)的圖象，與直線交于點(diǎn)，則，不難看出點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，則，故，A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，由可得：，即，則得，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由解得：，由解得：，此時(shí)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，依題意，，在上單調(diào)遞增，故，于是由圖知，函數(shù)與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于的方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)是____________.【答案】【解析】對(duì)于函數(shù)（且），令，可得，且，故點(diǎn).故答案為：.14.已知扇形的弧長(zhǎng)是，面積是，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為__________.【答案】2【解析】由題意設(shè)扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)、半徑、弧長(zhǎng)以及面積分別為，則，解得.故答案為：2.15.已知函數(shù)不恒為0，且同時(shí)具備下列三個(gè)性質(zhì)：①；②是偶函數(shù)；③，，.寫出一個(gè)函數(shù)__________________.【答案】（答案不唯一，如，（且）等均可）【解析】注意到對(duì)數(shù)函數(shù)（且），滿足，且，即滿足①③，若要滿足②函數(shù)是偶函數(shù)；則只需取，在這里可取.故答案為：（答案不唯一，如，（且）等均可）.16.用表示函數(shù)在閉區(qū)間上最大值，已知.（1）若，則的取值范圍是_____________________.（2）若，則的取值范圍是_____________________.【答案】【解析】（1）若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，則，解得，因?yàn)椋獾茫?，?dāng)時(shí)，，則，不合乎題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，則，則，，由可得，整理可得，因?yàn)?，則，矛盾；當(dāng)時(shí)，則，則，，由可得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，則，若，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由可得，可得，解得；若，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，由可得，可得，可得，解得；若，則，由，可得，矛盾，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1），因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為7.（2）由（1）知函數(shù)的最小值為7，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，所以的取值范圍?18.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn).（1）求，，的值；（2）將的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，此時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角為，求的值.解：（1）因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，則，，.（2）法一，因?yàn)椋桑?）知，所以，所以.法二，，，所以，，所以.19.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）根據(jù)題意可得，，即，因?yàn)椋?，所以，即，所以，由，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.20.已知是自然對(duì)數(shù)底數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（2）解不等式.解：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，則，因?yàn)椋?，且，所以，所以，，，故，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，又由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，兩邊平方可得，解得或，故不等式的解集為或.21.已知函數(shù)為奇函數(shù)，.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2），，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋项}意，所以.（2）設(shè)，根據(jù)題意可得，，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，故，，設(shè)，函數(shù)，，①當(dāng)時(shí)，，可得，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，圖象的對(duì)稱軸為，（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，由，得，即，所以；（ii）當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，，由，得，所以；若，即時(shí)，，由，得，所以；綜上所述，的取值范圍是.22.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖，假定在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為的筒車開啟后按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)1圈、筒車的軸心距離水面的高度為.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)）.若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則與時(shí)間（單位：s）之間的關(guān)系為.（1）求，，，的值；（2）若盛水筒在不同時(shí)刻，距離水面的高度相等，求的最小值；（3）若筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒，在筒車運(yùn)行一周的過程中，求相鄰兩個(gè)盛水筒距離水面的高度差的最大值.解：（1）如圖，設(shè)筒車與水面的交點(diǎn)為，，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，因?yàn)橥曹囖D(zhuǎn)一周需要1分鐘，所以，故，在中，，所以，即.（2）由（1）知，，不妨設(shè)，由題意得，故，所以，或，，當(dāng)，時(shí)，解得，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的最小值為60；當(dāng)，時(shí)，解得，顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值40，綜上，的最小值為.（3）設(shè)在筒車運(yùn)行一周的過程中，相鄰兩個(gè)盛水筒距離水面的高度差為，兩個(gè)相鄰盛水筒的位置分別用和表示，則，所以，，當(dāng)，即，時(shí)，高度差的最大值為.福建省福州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題“，”為全稱量詞命題，該命題的否定為“，”.故選：C.3.在下列區(qū)間中，方程的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意函數(shù)單調(diào)遞增，且，由零點(diǎn)存在定理可知方程的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間只能為.故選：C.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋瑢?duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，，因此，.故選：B.5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)或；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意.故選：B.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.8.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放.已知過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：h）的關(guān)系為（且，且），其圖象如下，則污染物減少至少需要的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.23小時(shí) B.25小時(shí) C.42小時(shí) D.44小時(shí)【答案】D【解析】由題意時(shí)，，時(shí)，，解得，令，解得，對(duì)比選項(xiàng)可知污染物減少至少需要的時(shí)間約為44小時(shí).故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋刹坏仁降男再|(zhì)可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，取，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，且，則，D對(duì).故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如下所示，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】由圖知，五點(diǎn)法作圖中的第二個(gè)點(diǎn)為，第五個(gè)點(diǎn)為，所以，且，解得，得到，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，由的圖像與性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，由的圖像與性質(zhì)知選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得：，又，即為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，、都有，且，則（）A. B.C.是增函數(shù) D.是偶函數(shù)【答案】BC【解析】令，得，則，令，則，①令，則，即，②聯(lián)立①②可得，則，，A錯(cuò)B對(duì)；函數(shù)為增函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù)，C對(duì)D錯(cuò).故選：BC.12.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則（）AB.C.D.關(guān)于的方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】ABD【解析】如圖，依題意作出函數(shù)的圖象，對(duì)于A項(xiàng)，作出關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)的圖象，與直線交于點(diǎn)，則，不難看出點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，則，故，A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，由可得：，即，則得，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由解得：，由解得：，此時(shí)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，依題意，，在上單調(diào)遞增，故，于是由圖知，函數(shù)與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于的方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)是____________.【答案】【解析】對(duì)于函數(shù)（且），令，可得，且，故點(diǎn).故答案為：.14.已知扇形的弧長(zhǎng)是，面積是，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為__________.【答案】2【解析】由題意設(shè)扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)、半徑、弧長(zhǎng)以及面積分別為，則，解得.故答案為：2.15.已知函數(shù)不恒為0，且同時(shí)具備下列三個(gè)性質(zhì)：①；②是偶函數(shù)；③，，.寫出一個(gè)函數(shù)__________________.【答案】（答案不唯一，如，（且）等均可）【解析】注意到對(duì)數(shù)函數(shù)（且），滿足，且，即滿足①③，若要滿足②函數(shù)是偶函數(shù)；則只需取，在這里可取.故答案為：（答案不唯一，如，（且）等均可）.16.用表示函數(shù)在閉區(qū)間上最大值，已知.（1）若，則的取值范圍是_____________________.（2）若，則的取值范圍是_____________________.【答案】【解析】（1）若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，則，解得，因?yàn)?，解得，若，?dāng)時(shí)，，則，不合乎題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，則，則，，由可得，整理可得，因?yàn)?，則，矛盾；當(dāng)時(shí)，則，則，，由可得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，則，若，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由可得，可得，解得；若，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，由可得，可得，可得，解得；若，則，由，可得，矛盾，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1），因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為7.（2）由（1）知函數(shù)的最小值為7，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，所以的取值范圍?18.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn).（1）求，，的值；（2）將的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，此時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角為，求的值.解：（1）因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，則，，.（2）法一，因?yàn)椋桑?）知，所以，所以.法二，，，所以，，所以.19.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）根據(jù)題意可得，，即，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，由，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.20.已知是自然對(duì)數(shù)底數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（2）解不等式.解：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，則，因?yàn)椋?，且，所以，所以，，，故，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，又由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，兩邊平方可得，解得或，故不等式的解集為或.21.已知