2023-2024學年河南省商丘市中州聯(lián)盟高二上學期期末考試數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省商丘市中州聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期期末考試數學試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若點是橢圓上任意一點,分別是的左、右焦點,則（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由方程可知：，由橢圓的定義可知．故選：D．2.在等比數列中，，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】由等比數列的性質易知.故選：C.3.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設與直線平行直線方程是，代入點，得，解得，所以所求的直線方程是．故選:A4.函數在上的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由題，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以.故選：B.5.已知平面的一個法向量是平面內一點，是平面外一點，則“”是“點到平面的距離為1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，若點到平面的距離為1，則，解得或，故“”是“點到平面的距離為1”的充分不必要條件．故選:A．6.若數列an滿足（且），，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，則有，.故.故選：C.7.已知圓關于直線對稱，過點分別作圓的兩條切線，切點分別為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓可化為．可知圓心為，半徑，因為圓關于對稱，即直線過圓心，則，解得，可得，且，所以．故選：D．8.已知函數及其導函數的定義域均為R，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，則，故單調遞增.又，故可轉化為，即，由單調遞增可得，解得或，即不等式的解集為.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】因為，對于選項A：若，則，所以，A正確；對于選項B：若，則，解得，故B錯誤；對于選項C：若，則，解得，故C正確；對于選項D：若，則，解得，故D錯誤．故選：AC．10.已知等差數列的前項和為，無論首項和公差如何變化，始終是一個定值，則下列各數也為定值的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為數列為等差數列，則，若始終是一個定值，所以是定值，故B正確；又因為，，所以與也為定值，所以C，D正確；沒有足夠條件判斷A，故A錯誤；故選：BCD．11.已知雙曲線與直線無公共點，過的右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標原點，若，則的離心率可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，則的右焦點到的距離，即，因為，則，又因為，則，可得，又因為與直線無公共點，則，所以的離心率．故選：BC．12.如圖,在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動點,且滿足，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，若，則C.當時，直線與直線所成角的大小為D.當時，三棱錐的體積的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，當時，分別是線段和線段的中點，所以也是的中點，所以，故A正確；對于B，當時，，所以，，，滿足，故B正確；對于C，過作交于，可知面，與直線成角即為，當時，，在中，則，所以，所以，故C錯誤；對于D，易知是正三角形，三棱錐體積為，當且僅當，即時取等號，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某小球可以看作一個質點，其相對于地面的高度（單位：m）與時間（單位：s）存在函數關系，則該小球在時的瞬時速度為______m/s.【答案】【解析】由函數，可得，則，所以該小球在時的瞬時速度為.故答案為：.14.已知函數，則________．【答案】【解析】因為，則，令，則，解得，可得，所以．故答案為：.15.已知點是拋物線上任意一點，則點到直線與到直線的距離之和的最小值是________．【答案】【解析】拋物線的焦點的坐標為2,0，準線方程為，由拋物線定義可得點到直線距離等于PF，過點作直線的垂線，垂足為，所以點到直線與到直線的距離之和等于，由兩點之間線段最短可得，過作直線的垂線，垂足為，，所以，當且僅當三點共線時等號成立．故答案為：.16.已知數列的前項和為，且，.設數列中不在數列中的項按從小到大的順序構成數列，則數列的前40項和為______.【答案】973【解析】當時，，解得；當時，由，得，兩式相減，得，即，，數列是首項為2，公比為2的等比數列，因此，，即是數列中的第項，，，數列的前40項和是由數列的前45項去掉數列的前5項后構成的，數列的前40項和為．故答案為：973．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為等差數列的前項和，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求數列前項和.解：（1）設an的公差為，由，，得,解得.故an的通項公式為.（2）由，，得，所以，由可得數列bn是等差數列，因首項為1，公差為1，故.18.已知函數．（1）求在點處的切線方程；（2）求函數的極值．解：（1）由，的定義域為，得，所以，又，所以在點處的切線方程為，即；（2），由，得，或，當或時，，在上均單調遞增；當時，，在上單調遞減；故函數在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.故函數有極大值，也有極小值，極大值為，極小值為.19.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,，點是的中點，點分別是線段上的點,且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，根據題意，因為，且.所以．因為，所以，即．（2）由（1）得．設是平面的一個法向量，則，令，得，所以．因為平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．因為，結合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．20.已知數列滿足，且．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．解：（1）因為，當時，；當時，，可得；且符合，所以．（2）由（1）可知，則，可得，兩式相減得，所以．21.已知函數，．（1）當時，求函數y=fx在上的值域（）；（2）討論函數的單調性．解：（1）當a=2時，，定義域為，則，令，得x=1或(舍去)，當時，，，，所以fx在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增，所以當x=1時，fx所以當，，，又因為，因為，此時，，故fx在上的值域為.（2），，當時，，，當，，當，，所以fx在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增；當時，令，得或x=1，當a>0時，時，，當時，，所以fx在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增；當時，當時，，當，，所以fx在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增；當a=-1時，所以fx在區(qū)間單調遞減；當時，當時，，當時，，所以fx在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增；綜上所述：當時，fx在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增；當時，fx在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增；當a=-1時，fx區(qū)間單調遞減；當時，在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增.22.若橢圓的長軸長，短軸長分別等于雙曲線的實軸長，虛軸長，且橢圓和雙曲線的焦點在同一坐標軸上，則稱橢圓是雙曲線的共軛橢圓，雙曲線是橢圓的共軛雙曲線．已知橢圓的共軛雙曲線為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知點，直線（不過點）與相交于、兩點，且，求點到直線的距離的最大值．解：（1）由題意可設的標準方程為，則，，所以雙曲線的標準方程為．（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設點Mx1,y1、聯(lián)立，得，所以且，即且，由韋達定理可得，，．因為，且，，所以所以或．當時，直線恒過點，不合題意，當時，直線恒過點，合乎題意；當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，則、因為，所以，解得或（舍去）．所以直線恒過點，所以當直線時，點到直線的距離最大，距離的最大值為．河南省商丘市中州聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期期末考試數學試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若點是橢圓上任意一點,分別是的左、右焦點,則（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由方程可知：，由橢圓的定義可知．故選：D．2.在等比數列中，，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】由等比數列的性質易知.故選：C.3.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設與直線平行直線方程是，代入點，得，解得，所以所求的直線方程是．故選:A4.函數在上的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由題，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以.故選：B.5.已知平面的一個法向量是平面內一點，是平面外一點，則“”是“點到平面的距離為1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，若點到平面的距離為1，則，解得或，故“”是“點到平面的距離為1”的充分不必要條件．故選:A．6.若數列an滿足（且），，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，則有，.故.故選：C.7.已知圓關于直線對稱，過點分別作圓的兩條切線，切點分別為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓可化為．可知圓心為，半徑，因為圓關于對稱，即直線過圓心，則，解得，可得，且，所以．故選：D．8.已知函數及其導函數的定義域均為R，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，則，故單調遞增.又，故可轉化為，即，由單調遞增可得，解得或，即不等式的解集為.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】因為，對于選項A：若，則，所以，A正確；對于選項B：若，則，解得，故B錯誤；對于選項C：若，則，解得，故C正確；對于選項D：若，則，解得，故D錯誤．故選：AC．10.已知等差數列的前項和為，無論首項和公差如何變化，始終是一個定值，則下列各數也為定值的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為數列為等差數列，則，若始終是一個定值，所以是定值，故B正確；又因為，，所以與也為定值，所以C，D正確；沒有足夠條件判斷A，故A錯誤；故選：BCD．11.已知雙曲線與直線無公共點，過的右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標原點，若，則的離心率可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，則的右焦點到的距離，即，因為，則，又因為，則，可得，又因為與直線無公共點，則，所以的離心率．故選：BC．12.如圖,在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動點,且滿足，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，若，則C.當時，直線與直線所成角的大小為D.當時，三棱錐的體積的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，當時，分別是線段和線段的中點，所以也是的中點，所以，故A正確；對于B，當時，，所以，，，滿足，故B正確；對于C，過作交于，可知面，與直線成角即為，當時，，在中，則，所以，所以，故C錯誤；對于D，易知是正三角形，三棱錐體積為，當且僅當，即時取等號，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某小球可以看作一個質點，其相對于地面的高度（單位：m）與時間（單位：s）存在函數關系，則該小球在時的瞬時速度為______m/s.【答案】【解析】由函數，可得，則，所以該小球在時的瞬時速度為.故答案為：.14.已知函數，則________．【答案】【解析】因為，則，令，則，解得，可得，所以．故答案為：.15.已知點是拋物線上任意一點，則點到直線與到直線的距離之和的最小值是________．【答案】【解析】拋物線的焦點的坐標為2,0，準線方程為，由拋物線定義可得點到直線距離等于PF，過點作直線的垂線，垂足為，所以點到直線與到直線的距離之和等于，由兩點之間線段最短可得，過作直線的垂線，垂足為，，所以，當且僅當三點共線時等號成立．故答案為：.16.已知數列的前項和為，且，.設數列中不在數列中的項按從小到大的順序構成數列，則數列的前40項和為______.【答案】973【解析】當時，，解得；當時，由，得，兩式相減，得，即，，數列是首項為2，公比為2的等比數列，因此，，即是數列中的第項，，，數列的前40項和是由數列的前45項去掉數列的前5項后構成的，數列的前40項和為．故答案為：973．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為等差數列的前項和，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求數列前項和.解：（1）設an的公差為，由，，得,解得.故an的通項公式為.（2）由，，得，所以，由可得數列bn是等差數列，因首項為1，公差為1，故.18.已知函數．（1）求在點處的切線方程；（2）求函數的極值．解：（1）由，的定義域為，得，所以，又，所以在點處的切線方程為，即；（2），由，得，或，當或時，，在上均單調遞增；當時，，在上單調遞減；故函數在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.故函數有極大值，也有極小值，極大值為，極小值為.19.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,，點是的中點，點分別是線段上的點,且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，根據題意，因為，且.所以．因為，所以，即．（2）由（1）得．設是平面的一個法向量，則，令，得，所以．因為平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．因為，結合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．20.已知數列滿足，且．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．解：（1）因為，當時，；當時，，可得；且符合，所以．（2）由