高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.3 反證法（2）教學(xué)實(shí)錄 北師大版選修2-2

高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法（2）教學(xué)實(shí)錄北師大版選修2-2一、課程基本信息

1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高二（1）班

3.授課時(shí)間：2023年4月15日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)

本節(jié)課內(nèi)容為北師大版選修2-2第一章推理與證明1.3反證法（2）。主要內(nèi)容包括反證法的應(yīng)用，通過(guò)具體例題和練習(xí)題，使學(xué)生掌握反證法在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)

1.邏輯推理：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠運(yùn)用反證法進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，提高邏輯思維能力和推理水平。

2.數(shù)學(xué)抽象：培養(yǎng)學(xué)生從具體問(wèn)題中抽象出一般規(guī)律的能力，理解反證法在數(shù)學(xué)證明中的重要作用。

3.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能夠?qū)⒎醋C法應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模中，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是反證法的概念及其應(yīng)用。具體包括：

-反證法的定義：通過(guò)假設(shè)命題的否定成立，推導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題成立的方法。

-反證法的基本步驟：假設(shè)命題的否定成立，進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾，從而證明原命題的正確性。

-反證法在證明不等式、幾何問(wèn)題等方面的應(yīng)用。

舉例：通過(guò)證明“若a、b為正實(shí)數(shù)，且a+b=1，則a^2+b^2≥1/2”這一不等式，重點(diǎn)講解如何運(yùn)用反證法，即先假設(shè)不等式不成立，然后通過(guò)推導(dǎo)出矛盾來(lái)證明原不等式的正確性。

2.教學(xué)難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)在于反證法中矛盾識(shí)別和邏輯推理的準(zhǔn)確性。具體包括：

-矛盾的識(shí)別：學(xué)生可能難以識(shí)別何時(shí)推導(dǎo)出的結(jié)論與已知條件或基本數(shù)學(xué)原則相矛盾。

-邏輯推理的連貫性：學(xué)生在使用反證法時(shí)，可能無(wú)法保持邏輯推理的連貫性，導(dǎo)致證明過(guò)程出現(xiàn)漏洞。

舉例：在證明“一個(gè)三角形的內(nèi)角和為180度”這一命題時(shí)，學(xué)生可能難以理解為什么假設(shè)三角形的內(nèi)角和大于180度會(huì)導(dǎo)致矛盾。難點(diǎn)在于如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反證法推導(dǎo)出假設(shè)的錯(cuò)誤，并理解內(nèi)角和等于180度是三角形的基本屬性。教師需要通過(guò)具體的例子和步驟指導(dǎo)，幫助學(xué)生突破這一難點(diǎn)。四、教學(xué)方法與策略

本節(jié)課將采用講授與案例研究相結(jié)合的方法，首先通過(guò)講授介紹反證法的概念和步驟，隨后通過(guò)具體案例讓學(xué)生逐步理解并應(yīng)用反證法。設(shè)計(jì)小組討論活動(dòng)，讓學(xué)生在小組內(nèi)交流反證法的應(yīng)用技巧，增強(qiáng)互動(dòng)和合作。同時(shí)，使用多媒體展示反證法的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，如幾何圖形的證明，以增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受和興趣。通過(guò)這些方法，旨在提高學(xué)生的邏輯推理能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。五、教學(xué)實(shí)施過(guò)程

1.導(dǎo)入新課

方式：以“悖論酒店”的故事作為導(dǎo)入，讓學(xué)生思考邏輯悖論產(chǎn)生的原因。

目的：引發(fā)學(xué)生對(duì)邏輯推理的興趣，為學(xué)習(xí)反證法打下思維基礎(chǔ)。

2.講授新知

-概念講解：詳細(xì)講解反證法的定義，即假設(shè)命題的否定成立，推導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的正確性。

-演繹推理：通過(guò)例題展示如何運(yùn)用反證法進(jìn)行演繹推理，如證明“如果一個(gè)整數(shù)不能被2整除，則該整數(shù)是奇數(shù)”。

-歸納推理：引導(dǎo)學(xué)生理解反證法在歸納推理中的應(yīng)用，如通過(guò)多個(gè)例子的反證法證明，歸納出一般規(guī)律。

3.鞏固練習(xí)

-課堂練習(xí)：布置一些反證法的練習(xí)題，如證明“如果一個(gè)三角形的兩邊之和大于第三邊，則這個(gè)三角形是存在的”。

-小組討論：分組討論練習(xí)題的解題過(guò)程，互相檢查證明步驟是否嚴(yán)謹(jǐn)，確保邏輯推理的正確性。

4.深化理解

-案例分析：分析具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如證明“不存在兩個(gè)相同的正整數(shù)，使得它們的平方和等于2”，通過(guò)反證法找出矛盾點(diǎn)。

-辯論活動(dòng)：組織學(xué)生就反證法的有效性進(jìn)行辯論，一方論證反證法的必要性，另一方論證其局限性。

5.課堂總結(jié)

-知識(shí)梳理：總結(jié)反證法的步驟和關(guān)鍵點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)在證明過(guò)程中識(shí)別矛盾的重要性。

-學(xué)生反饋：邀請(qǐng)學(xué)生分享在課堂上的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，討論在解決反證法問(wèn)題時(shí)遇到的困難及解決方法。六、教學(xué)反思與改進(jìn)

這節(jié)課通過(guò)講授和案例分析，學(xué)生們對(duì)反證法有了更深的理解。但我也注意到，部分學(xué)生在識(shí)別和構(gòu)造矛盾時(shí)仍然存在困難。我想，下次課我可以引入更多貼近生活的例子，讓學(xué)生更直觀地感受到反證法的實(shí)用性。另外，我也發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在課堂討論時(shí)不夠積極，可能是因?yàn)樗麄兒ε路稿e(cuò)。我會(huì)在接下來(lái)的課程中更加鼓勵(lì)他們，創(chuàng)造一個(gè)更輕松的學(xué)習(xí)氛圍，讓他們敢于表達(dá)自己的觀點(diǎn)。我還打算增加一些互動(dòng)環(huán)節(jié)，比如小組競(jìng)賽，以此來(lái)提高學(xué)生的參與度，讓每個(gè)學(xué)生都能在課堂上有所收獲。七、作業(yè)布置與反饋

作業(yè)布置：

1.請(qǐng)同學(xué)們課后完成以下練習(xí)題：

-證明：如果一個(gè)整數(shù)是偶數(shù)，那么它的平方也是偶數(shù)。

-證明：如果兩個(gè)整數(shù)a和b互質(zhì)，那么它們的和a+b也是偶數(shù)。

-證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，如果x不等于0，那么x^2大于0。

2.閱讀教材中關(guān)于反證法的其他案例，并總結(jié)反證法在不同類型問(wèn)題中的應(yīng)用特點(diǎn)。

3.思考以下問(wèn)題，并準(zhǔn)備在下節(jié)課上分享你的想法：

-反證法與直接證明法的區(qū)別是什么？

-在哪些情況下，使用反證法比直接證明法更為有效？

作業(yè)反饋：

在批改作業(yè)的過(guò)程中，我注意到以下幾點(diǎn)：

1.大部分同學(xué)能夠正確使用反證法證明題目中的命題，但仍有部分同學(xué)在構(gòu)造矛盾時(shí)存在邏輯漏洞。例如，在證明“如果一個(gè)整數(shù)是偶數(shù)，那么它的平方也是偶數(shù)”時(shí)，有些同學(xué)未能清晰地表達(dá)出假設(shè)整數(shù)不是偶數(shù)（即假設(shè)它是奇數(shù)）會(huì)導(dǎo)致的矛盾。

2.有些同學(xué)在書寫證明過(guò)程時(shí)，語(yǔ)言表達(dá)不夠規(guī)范，缺乏邏輯性。我建議同學(xué)們?cè)跁鴮懽C明時(shí)，注意使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，確保每一步的邏輯都是清晰且連貫的。

3.在閱讀教材和總結(jié)反證法應(yīng)用特點(diǎn)的作業(yè)中，我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們能夠很好地歸納反證法在不同類型問(wèn)題中的應(yīng)用，但有些同學(xué)對(duì)于反證法的理解還停留在表面，未能深入挖掘其內(nèi)在的邏輯原理。

針對(duì)以上存在的問(wèn)題，我給出以下改進(jìn)建議：

1.對(duì)于邏輯漏洞的問(wèn)題，我建議同學(xué)們?cè)谧C明過(guò)程中，要仔細(xì)檢查每一步的推理是否嚴(yán)謹(jǐn)，確保假設(shè)的否定能夠推導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的正確性。

2.對(duì)于語(yǔ)言表達(dá)的問(wèn)題，我建議同學(xué)們?cè)跁鴮懽C明時(shí)，可以先在草稿紙上梳理好思路，確保每一步的邏輯都是清晰且連貫的，然后再譽(yù)寫到正式的作業(yè)紙上。

3.對(duì)于反證法理解的問(wèn)題，我建議同學(xué)們?cè)陂喿x教材時(shí)，不