第六講-相似三角形的中位線及其應(yīng)用培優(yōu)輔導(dǎo)(三)

第頁第六講相似三角形(三)三角形的中位線及其應(yīng)用一、知識點梳理：1、三角形的中位線定義：結(jié)三角形兩邊中點的線段.三角形中位線定理：三角形的中位線于第三邊（位置關(guān)系）②三角形的中位線等于（數(shù)量關(guān)系）符號語言：∵DE是△ABC的中位線（或AD=BD,AE=CE)∴DE2、三角形的重心：三角形重心的性質(zhì)：基礎(chǔ)鞏固1、如圖△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，已知DE=5，則BC的長為2、如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，則S△EBD：S△ABC=3、若△ABC的面積是8cm2，則它的三條中位線圍成的三角形的面積是4、△ABC的三邊長分別為a、b、c，三條中位線組成第一個中點三角形，第一個中點三角形的三條中位線又組成第二個中點三角形，以此類推，求第2009中點三角形的周長為（） B． C． D．5、如圖，小紅作出了邊長為1的第1個正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面積，然后分別取△A1B1C1三邊的中點A2，B2，C2，作出了第2個正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面積，用同樣的方法，作出了第3個正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面積…，由此可得，第2014個正△A2014B2014C2014的面積是（） B． C． D．3、梯形的中位線定義：結(jié)梯形中點的線段.梯形中位線定理：梯形的中位線3、中點四邊形：對角線的四邊形的中點四邊形是菱形對角線的四邊形的中點四邊形是矩形對角線的四邊形的中點四邊形是正方形對角線的四邊形的中點四邊形是平行四邊形(1)順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是.(2)順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是.(3)順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是.(4)順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是.(5)順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是基礎(chǔ)鞏固1、順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是（）A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形2、順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的是（）①平行四邊形②菱形③等腰梯形④對角線互相垂直的四邊形A.①③B.②③C.③④D.②④3、順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是A.菱形 B.對角線互相垂直的四邊形 C.矩形 D.對角線相等的四邊形4、若梯形中位線的長是高的2倍，面積是18cm2，則這個梯形的高等于（）（A）6cm （B）6cm （C）3cm （D）二、專題講解：常規(guī)輔助線的添加方法一、【利用角平分線+垂直、必有等腰三角形】例題1：如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足為D點，點E為AB的中點.求證：DE∥BC；（2）求證：DE=（BC-AC）/2練習(xí)：如圖，在?ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為BC上一點，M為AF的中點，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求證：CF=2ME。方法二、【取中點構(gòu)造中位線】例題2：如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點。求證：2AF=FC

練習(xí)：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠CBD=20°，∠BDA=110°，E、F、P分別為AB、CD、BD的中點，探索PF與EF的數(shù)量關(guān)系.練習(xí)：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AB中點，連結(jié)EC、ED、CE⊥DE，CD、AD與BC三條線段之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由。相似三角形應(yīng)用培優(yōu)例題精講【例1】（線段等積式的證明）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，(1)圖中有哪兩個三角形相似?(2)求證：AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA；(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；(4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；(5)求證：AC·BC＝AB·CD．【鞏固】如圖所示，已知AB∥CD，AD，BC交于點E，F(xiàn)為BC上一點，且∠EAF＝∠C．求證：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB．【例2】已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點(不與B，C點重合)，∠ADE＝45°．(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長．培優(yōu)同步檢測1、P是RtΔABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P做直線截ΔABC，使截得的三角形與ΔABC相似，滿足這樣條件的直線共有（）A.1條B.2條C.3條D.4條2、如圖，在□ABCD中，E為CD上一點，DE:CE=2:3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則（）A.4:10:25B.4:9:25C.2:3:5D.2:5:253、如圖，CD是△ABC的中線，點E、F分別是AC、DC的中點，EF=1，則BD=_________．4、如圖所示，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上一點，且，射線CF交AB于E點，則等于______．5、如圖所示，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，若△AED的面積是4m2，則四邊形DEBC的面積為______．6、已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一點，且點P不與點A重合，過點P作PE⊥AB交AC于E，點E不與點C重合，若AB＝10，AC＝8，設(shè)AP＝x，四邊形PECB的周長為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．7、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)已知點A和點B的坐標(biāo)分別